BAB 2 : DETERMINAN PERMUTASI Kita sudah cukup mengenal fungsi-fungsi sinus, fungsi kuadrat, juga fungsi konstant yang memetakan suatu bilangan riil ke bilangan riil. Pada bagian ini akan dipelajari mengenai suatu fungsi yang memetakan suatu matriks ke bilangan riil yang disebut dengan fungsi determinan. Untuk itu sebelumnya akan dibahas tentang konsep permutasi yang menjadi dasar perhitungan determinan. Definisi Permutasi (i) Suatu permutasi himpunan bilangan bilat {1,2,3,,n} merupakan suatu penyusuan bilangan-bilangan bulat tersebut dalam sutu urutan tertentu tanpa penghilangan (Omission) ataupun perulangan (repetition). (ii) Barisan bilangan-bilangan (j1, j2, j3,.jn) dimana berlaku j i j k untuk i k (i=1,2,3,n dan k=1, 2, 3, m) serta j i adalah salah satu bilangan asli (1,2,3,..,n). 1. Terdapat 6 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3} yaitu (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Suatu metode yang sistematis untuk menampilkan semua permutasi adalah dengan pohon permutasi. 1 2 3 2 1 3 3 3 2 3 1 2 1 2. Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4} Catatan Apabila kita mempunyai n buah bilangan asli 1, 2, 3,, n maka banyaknya permutasi yang dapat kita bentuk ada n!. misal n=3, maka banyaknya permutasi = 3! = 3*2*1 = 6. jadi ada 6 buah permutasi (seperti tampak pada contoh 1). Definisi Inversi Permutasi (i) Yang dimaksud inversi pada suatu permutasi (j 1, j 2,.,j n ) ialah adanya j k <j i (j k mendahului j i ) padahal j i <j k (i dan k=1, 2,..n). (ii) Suatu inversi dikatakan terjadi di dalam permutasi ((j 1, j 2,.,j n ) apabila ditemukan bilangan bulat yang lebih besar berada di depan bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi tersebut.
(iii) Sebuah permutasi dikatakan genap jika jumlah total inversi yang terjadi genap dan dikatakan ganjil jika jumlah total inversi yang terjadi ganjil. (iv) Jika sebuah permutasi adalah permutasi genap maka tanda (sign) dari permutasi tersebut adalah (+) dan jika suatu permutasi adalah permutasi ganjil maka tanda dari permutasi tersebut adalah (-). 1. Misalkan ada permutasi (2,1,4,3), berapa banyaknya inversi pada permutasi tersebut? Misalkan 2 1 4 3 j 1 j 2 j 3 j 4 Terlihat bahwa : j 1 =2 mendahului j 2 =1, padahal 1<2 j 3 =4 mendahului j 4 =3, padahal 3<4 Total inversi adalah 2 dan termasuk inversi genap. 2. Diketahui permutasi (4,3,1,2). Tentukan banyaknya inversi permutasi tersebut!. Misalkan 4 3 j 1 j 2 j 3 j 4 Terlihat bahwa : j 1 =4 mendahului j 2 =3, padahal 3<4 j 1 =4 mendahului j 3 =1, padahal 1<4 j 1 =4 mendahului j 4 =2, padahal 2<4 j 2 =3 mendahului j 3 =1, padahal 1<3 j 2 =3 mendahului j 4 =2, padahal 2<3 Total inversi adalah 5 dan termasuk permutasi ganjil. 3. Tentukan inversi dari permutasi (1,2,3,4)!. Karena urutannya sudah benar (terurut dari nilai terkecil ke nilai terbesar) maka total inversinya adalah 0 dan termasuk permutasi genap. DETERMINAN Konsep inversi permutasi yang sudah dijabarkan diatas akan digunakan untuk menghitung determinan dari suatu matriks. Sekarang pandang matriks bujursangkar A berorde (berukuran) n a 11 a 21 a n1 a 12.a 1n a 22.a 2n a n2. a nn
Definisi Determinan Determinan dari matriks bujursangkar A berorde n adalah jumlah dari semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks tersebut. Determinan dari suatu matriks A dituliskan det(a) atau A = σ (j 1, j 2,.,j n ). a 1 j 1, a 2 j 2, a m j n a 11 a 12 a 21 a 22 Maka n=2, terdapat 2! = 2*1=2 Hasil kalinya sebagai berikut : 1. a 11 a 22 permutasi (1,2), banyaknya inversi=0 (permutasi genap). Maka σ (1,2)= +1 jadi +a 11 a 22. 2. a 21 a 12 permutasi (2,1), banyaknya inversi=1 (permutasi ganjil). Maka σ (2,1)= -1 jadi -a 21 a 12 3. Maka det(a)= A =+a 11 a 22 -a 21 a 12 NILAI DETERMINAN Nilai atau harga suatu determinan dapat diperoleh dengan berbagai cara antara lain : Langsung dengan aturan SARRUS (inversi permutasi) Metode ekspansi dengan MINOR dan KOFAKTOR. A. METODE SARRUS Metode Sarrus pada dasrnya menggunakan inversi permutasi, tetapi metode ini hanya berlaku untuk menghitung nilai atau harga determinan yang berorde sampai dengan 3. sedangkan untuk determinan matriks berorde lebih dari 3 digunakan metode ekspansi. Misalkan diketahui matriks berorde 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 n=3 berarti hasil kalinya 3!=3.2.1=6, yaitu a 11 a 22 a 33, permutasi (1,2,3). Banyaknya inversi=0 (+) a 12 a 23 a 31 permutasi (2,3,1). Banyaknya inversi=2 (+) a 13 a 21 a 32 permutasi (3,1,2). Banyaknya inversi=2 (+) a 13 a 22 a 31 permutasi (3,2,1). Banyaknya inversi=3 (-) a 11 a 23 a 32 permutasi (1,3,2). Banyaknya inversi=1 (-) a 12 a 21 a 33 permutasi (2,3,1). Banyaknya inversi=1 (-) Untuk lebih mudahnya dapat digambarkan
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 13 a 22 a 31 -a 11 a 23 a 32 -a 12 a 21 a 33 (-) (+) 3 1. Diketahui matriks A = hitunglah A 4 1 5 3 2 4 3 4 1 5 3 2 4 4 1 3 2 = 1.1.4+2.5.3+3.4.2-3.1.3-1.5.2-2.4.4 = 4+30+24-9-10-32 = 7 2. Hitunglah A jika 0 6 0 8 6 8 3 2 2 0 6 0 8 6 8 3 2 2 0 6 8 6 3 2 = 0.6.2+6.8.3+0.3.2-0.6.3-0.8.2-6.3.2 = 0+144+0-0-0-96 = 48 B. METODE EKSPANSI MINOR dan KOFAKTOR Andaikan ada sebuah determinan dengan orde ke-n maka yang dimaksud dengan MINOR unsur a ij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. a 11 a 12 a 13 a 14 D= a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 Maka MINOR unsur a 33 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2 M 32 = a 11 a 13 a 14 a 21 a 23 a 24 a 41 a 43 a 44
Sedangkan yang dimaksud dengan KOFAKTOR suatu unsur determinan a ij adalah C ij = (-1) i+j M ij. Maka KOFAKTOR unsur a 32 = C 32 = (-1) 3+2 M32 2 5 6 7 8 9 1 2 4 Minor a 32 =M 32 = = 2.7-4.5 = 14-20 = -6 5 7 Kofaktor a 32 = C 32 = (-1) 3+2.(-6) = 6 Untuk mencari harga suatu determinan dengan orde ke-n (n>2) yang pad ahakekatnya melukiskan polinomial homogen dengan orde ke-n dapat dilakukan dengan ekspansi menurut ekspansi baris atau kolom. Menurut Teorema LAPLACE Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemenelemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Dengan kata lain n A = a ij c ij = a i1 c i1 +a i2 c i2 +..+ a in c in, dengan i sembarang. Disebut j=1 uraian baris ke-i (Ekspansi Baris). n A = a ij c ij = a 1j c 1j +a 2j c 2j +..+ a nj c nj, dengan j sembarang. Disebut j=1 uraian kolom ke-i (Ekspansi Kolom). Hitung determinan matriks 3 2 1 5 7 dengan minor dan kofaktor Misalkan minor dan kofaktornya dicari dengan melakukan ekspansi kolom ke-1 dari matriks A. Maka minor a 11 =M 11 = = 3.7-4.5=1 5 7 2 3 Minor a 21 =M 21 = = 2.7-3.5=-1 5 7 2 3 Minor a 31 =M 31 = = 2.4-3.3=-1
Mencari kofaktor dengan rumus C ij = (-1) i+j M ij. Kofaktor a 11 = C 11 = (-1) 1+1 M 11 = (-1) 2.1 = 1 Kofaktor a 21 = C 21 = (-1) 2+1 M 21 = (-1) 3.(-1) = 1 Kofaktor a 31 = C 31 = (-1) 3+1 M 31 = (-1) 4.(-1) =-1 n Maka A = a ij c ij = a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31 = 1.1+2.1+1.(-1)=1 j=1 Catatan Dalam pemilihan kolom atau baris mana yang diekspansi, tidak menjadi persoalan karena hasilnya akan sama saja. SIFAT-SIFAT DETERMINAN Diberikan beberapa sifat penting dalam determinan 1. Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka harga determinan = 0. 0 0 =0.5-0.4=0-0=0 4 5 2. Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris. Dengan kata lain A = A T. A = 2 1 5 7 maka A =2.7-1.5=9 AT= 2 5 1 7 maka A =2.7-5.1=9 3. Pertukaran tempat antara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda determinan. maka A =1.4-2.3=-2 Jika baris 1 ditukar dengan baris 2 menjadi maka A =3.2-4.1=2 Jika kolom 1 ditukar dengan kolom 2 menjadi 2 1 maka A =2.3-4.1=2 4 3 4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maha harga determinan itu = 0. 0 B= maka A = 0 0 3-1 1
5. Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan 0), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut. maka A =1.4-2.3=-2 Misalkan baris 1 dikalikan dengan 2 maka A 1 = = = 2.4-4.3=-4 Terlihat bahwa A 1 =2 A Misalkan kolom 1 dikalikan dengan 3 maka A 2 = = = 3.4-2.9=-6 Terlihat bahwa A 2 =3 A 6. Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang pada baris atau kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (bukan 0) dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang baris atau kolom yang lain. 1*2 2*2 1 *3 2 3* maka A =1.4-2.3=-2 H 12 (3) A 1 = maka A 1 =-2 H 1 +3.H 2 Terlihat bahwa A 1 = A 2 4 3 2 9 4 10 14 7. Bila A dan B bujursangkar maka A.B = A. B. Buktikan! 8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka hasil determinanya merupakan hasil kali dari elemenelemen yang terletak pada diagonal utamanya. 2 1 3 0 4 1 0 0 1 maka A =2.4.1=8 2 0 0 B= 1 3 0 maka B =2.3.2=12 4
SOAL LATIHAN 1. Carilah banyaknya inversi pada permutasi-permutasi a. (4,1,2,3), (4,3,2,1), (1,3,2,4) b. (5,3,2,1,4), (1,3,5,4,2), (2,3,5,4,1) 2. Hitunglah determinan matriks 2 3 a. b. c. 1 4 1-2 - - 2 3 2 2 2 3. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut t-2 2 a. b. -4 t-1 t-5 7-1 t+3 4. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut dengan menggunakan metode sarrus. 2 1 1 3-2 -4 a. 0 5-2 b. 2 5-1 c. 1-0 6 1 2-4 1 1-2 3 5 1-1 5. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut dengan metode ekspansi. 5 4 2 1 2 3 1-2 a. b. -5-7 -3 9 1-2 -1 4 2 1 3 2 3 0 1-2 1-1 4 3 2 2-1 1