STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field
RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan perkalian), yang memenuhi aksioma, antara lain: 1. Tertutup terhadap penjumlahan a, b G c G a + b = c 2. Assosiatif terhadap penjumlahan a, b, c Ga b c a b c 3. Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan 0 Ga G 0 + a = a + 0 = a 4. Setiap elemen anggota G mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan a G a G (-a) + a = a + (-a) = 0 5. Komutatif terhadap penjumlahan a, b G a + b = b + a 6. Tertutup terhadap oprasi perkalian a, b G c G a b = c 7. Assosiatif terhadap oprasi perkalian a, b, c G a b c a b c 8. Distributif perkalian terhadap penjumlahan a, b, c G a (b + c) = (a b) + (a c) distribusi kiri (b + c) a = (b a) + (c a) distribusi kanan Contoh1: Selidiki apakah I 6 = {0,1, 2, 3, 4, 5} terhadap oprasi + dan merupakan ring
+ 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 1) Tertutup terhadap penjumlahan (2,3 I 6 ) 5 I 2 + 3 = 5 I 6 2) Assosiatif terhadap penjumlahan 2, 4, 5 I 2 4 5 2 4 5 0 + 5 = 2 + 3 5 = 5 3) Terdapat elemen identitas terhadap penjumlahan 0 I 3 I 0 + 3 = 3 + 0 = 3 4) Setiap anggota elemen I 6 mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan 4 I 2 I 2 + 4 = 4 + 2 = 0 5) Komutatif terhadap penjumlahan 1, 4 I 1 + 4 = 4 + 1 = 5 6) Tertutup terhadap perkalian 3, 2 I 0 I 2 3 = 0 7) Assosiatif terhadap perkalian 2, 4, 5 I 2 4 5 2 4 5 2 5 = 2 2 4 = 4 8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan 2, 3, 4 I 2 (3 + 4) = (2 3) + (2 4) 2 1 = 0 + 2 2 = 2
Contoh2: Selidiki apakah himpunan bilangan kompleks terhadap oprasi + dan suatu ring K = {a + bi a,b є R, R himpunan bilangan riil dan i= 1 } 1) Tertutup terhadap oprasi penjumlahan + Missal: K a b i K a b i є K K K = (a b i) + (a b i) = a a + (b b )i є K K tertutup terhadap oprasi penjumlahan 2) Assosiatif terhadap oprasi penjumlahan Missal: K a b i K a b i є K K a b i (K K ) + K = K + (K K ) {(a b i) + (a b i)} + (a b i) = (a b i) + {(a b i) + (a b i)} (a a a ) + (b b b ) i = (a a a ) + (b b b ) i K assosiatif terhadap oprasi penjumlahan 3) Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan K a b i є K 0 K a b i є K 0 + (a b i) = (a b i) + 0 = a b i K mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan + 4) Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan (a b i є K) ( a b i є K) a b i + (a b i) = (a b i) + (a b i) = 0 Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan 5) Komutatif terhadap oprasi penjumlahan K a b i є K, maka K a b i a b i) + (a b i = (a b i + a b i) a a ) + (b b ) i = a a ) + (b b )i
6) Tertutup terhadap oprasi perkalian Missal: K a b i K a b i є K K K = (a b i a b i) = a a b b + (a b a b )i є K K tertutup terhadap oprasi perkalian 7) Assosiatif terhadap oprasi perkalian Missal: K a b i K a b i є K K a b i (K K ) K = K (K K ) {(a b i) (a b i)} (a b i) = (a b i) {(a b i) (a b i)} K assosiatif terhadap oprasi perkalian 8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan Missal: K a b i K a b i є K K a b i (a b i) {(a b i)} (a b i)} = (a b i) (a b i) (a b i) (a b i) K distributif perkalian terhadap penjumlahan KARAKTERISTIK RING Jika R suatu Ring atau (R ; + ; ) ring untuk elemen sembarang a є R. jika dapat ditemukn bilangan bulat positif terkecil n sehingga n.a=0 elemn nol(0) dari ring R, maka karakteristik dari ring R adalah n. Jika n tidak dapat ditemukan, maka karakteristik dari ring R adalah nol(0) atau tidak terhingga Contoh Berapa karakteristik dari ring R bilangan bulat modulo.5 Jawab 5 0 = 0 5 2 = 0 5 4 = 0 5 1 = 0 5 3 = 0 Jadi karakteristik dari I 5 adalah 5
PEMBAGI NOL Suatu elemen a є ring R disebut pembagi nol bila hanya terdapat elemen b 0 єr a. b = b. a = 0 PEMBAGI NOL SEJATI Jika a є ring R suatu pembagi nol (a 0) dan b 0 є Ring, maka a disebut pembagi nol sejati (PNS). Jadi a 0 dan b 0 a. b = 0 Contoh 1. Bilangan bulat modulo 6 I 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2 x 3 = 3 x 2 = 0 (mod 6) Jadi bilang bulat modulo 6 memuat PNS 2. Bilangan bulat modulo 5 I 5 = {0, 1, 2, 3, 4} I 5 tidak memuat pembagi nol sejati karena tidak ada anggota I 5 yang dikalikan hasilnya nol(0) MACAM-MACAM RING 1. Ring Unit Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring unit bila hanya bila R juga memenuhi sifat terdapat elemen satuan terhadap perkalian ( z R)(a R) z. a = a. z = a
2. Ring Unit Komutatif Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring bila R juga bersifat komutatif perkalian maka R disebut ring unit komutatif a, b R a. b = b. a Contoh: 1) Selidiki apakah R = {x + y 3 x, y є Riil} suatu ring unit komutatif terhadap oprasi penjumlahan + dan perkalian x Akan dibuktikan R = {x + y 3 x, y є Riil} suatu ring unit komutatif Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian Missal elemen satuan dari R adalah (x + y 3) є R dengan x, y є Riil, maka (x + y 3) (a + b 3) = (a + b 3) (x + y 3) = (a + b 3) Mempunyai elemen satuan o Elemen satuan kiri (x + y 3) (a + b 3) = (a + b 3) (xa + 3yb) + (xb+ ya) 3 = (a + b 3) xa + 3yb = a ax + 3by = a xb + ya = b bx + ay = b x y 3 3 23 2 2 3 2 = 1 3 = 2 3 2 0 Jadi elemen satuan kiri dari R adalah 1 + 0 3 o Elemen satuan kanan (a + b 3) (x + y 3) = (a + b 3) (ax + 3by) + (ay + bx) 3 = (a + b 3) ax + 3by = a ax + 3by = a bx + ay = b bx + ay = b
x y 3 3 23 2 2 3 2 = 1 3 = 2 3 2 0 Jadi elemen satuan kiri dari R adalah 1 + 0 3 Komutatif terhadap perkalian (x + y 3) (a + b 3) = (a + b 3) (x + y 3) (xa + 3yb) + (ya + xb) 3 = (xa + 3yb) + (xb+ ya) 3 R komutatif, karena perkalian bilangan Riil bersifat komutatif x y 0 2) Selidiki apakah M = y x 0 x, y Riil Suatu ring unit yang komutatif terhadap oprasi penjumlahan dan perkalian Akan dibuktikan M adalah Ring unit yang komutatif Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian x y 0 Misal elemen satuan dari M adalah y x 0 M dengan x, y R, maka x y 0 a b 0 a b 0 x y 0 a b 0 y x 0 b a 0 b a 0 y x 0 b a 0 Elemen satuan kiri x y 0 a b 0 a b 0 y x 0 b a 0 b a 0 ax by bx ay 0 a b 0 ay bx by ax 0 = b a 0 ax + by = a bx + ay = b a abx + a 2 y = ab -bx ay = -b ax by = a b abx b 2 y = ab (a 2 +b 2 ) y = 0 y = 0 bx + 0 = b x = 1
1 0 0 jadi elemen satuan kirinya adalah 0 1 0 Elemen satuan kanan a b 0 x y 0 a b 0 b a 0 y x 0 = b a 0 ax by bx ay 0 a b 0 ay bx by ax 0 = b a 0 ax + by = a bx + ay = b a abx + a 2 y = ab -bx ay = -b ax by = a b abx b 2 y = ab (a 2 +b 2 ) y = 0 y = 0 bx + 0 = b x = 1 1 0 0 jadi elemen satuan kanannya adalah 0 1 0 Komutatif terhadap oprasi perkalian x y 0 a b 0 a b 0 x y 0 y x 0 b a 0 b a 0 y x 0 HOMOMOERPHISMA Diketahui (R; +; ) dan (R ; +; ) ring Didefinisikan suatu fungsi f dari R ke R atau f : R R, maka fungsi f disebut homomorphisme dari R R bila dan hanya bila 1. a, b R f (a + b) = f(a) + f(b) 2. a, b R f (a b) = f(a) f(b) Jika homomorphisma injektif, maka f disebut monomorphisma Jika homomorphisma surjektif, maka f disebut epimophirsma Jika homomorphisma bijektif, maka f disebut isomorphisma Jika homomorphisma yang domain dan kodomainnya sama disebut endhomorphisma Suatu isomomorphisma yang domainda kodomainnya sama disebut automorphisma
Contoh: Jika (R ; + ; ) ring bilangan bulat dan (R ; + ; ) ring bilangan genap. Oprasi + seperti pada R sedangkan oprasi pada R didefinisikan ab = ; a, b R Jika f didefinisikan dari R R dengan f(x)= 2x, x R. Maka apakah f suatu homomorphisma yang bijektif (isomorphisma) f : R R dengan f(x) = 2x, x R akan dibuktikan isomorphisma (homomorphisma yang injektif dan surjektif) 1) ( a, b R) f (a + b) = f(a) + f(b) 2(a + b) = 2a + 2b 2a + 2b = 2a + 2b 2) ( a, b R) f (a b) = f(a) f(b) 2 (a b) = 2a 2b 2 ab = 2 (2ab) 2 ab = 2ab f injektif a b f(a) f(b) atau 2a 2b f surjektif (2a R ) ( a R) f(a) = 2a f isomorphisma SUB RING Suatu himpunan (R ; +; ) yang tidak kosong disebut sub ring dari ring (R; +; ) bila hanya bila terhadap oprasi yang sama dengan R, R juga ring dan R ring R dan R 0 disebut subring dari ring (R; +; ) bila hanya bila memenuhi: 1. a, b R (a - b) R 2. a, b R a. b R Contoh Selidiki apakah ring himpunan bilangan genap merupakan sub ring dari ring himpunan bilangan bulat
G : { bilangan bulat genap} atau G : {2n Akan dibuktikan G subring dari bilangan bulat Jika diambil X 1 = 2n 1 ; n 1 є B n є B} X 2 = 2n 2 ; n 2 є B Maka 1) X 1 - X 2 = 2n 1-2n 2 = 2 (n 1 - n 2 ) є G Karena n 1, n 2 є B (n 1 - n 2 ) є B 2(n 1 - n 2 ) є G 2) X 1. X 2 = (2n 1 ) (2n 2 ) = 2 (2n 1 n 2 ) є G Karena n 1, n 2 є B n 1 n 2 є B 2n 1 n 2 є G 2 (2n 1 n 2 ) є G Karena syarat 1) dan 2) terpenuhi maka G subring dari B