DIFERENSIASI VEKTOR Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor URAIAN MATERI Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor, maka bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau, yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t. Dalam R 2, fungsi vektor biasa ditulis dengan, dalam R 3, fungsi vektor ditulis dengan, Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R 3 dikaitkan dengan suatu vektor, maka bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut: Setelah kita mengetahui fungsi vektor, maka selanjutnya kita pelajari turunan biasa dari fungsi vektor. Turunan Biasa Masih ingat apa saja yang termasuk vektor? Coba sebutkan! Ya, kecepatan, percepatan, gaya, dan perpindahan termasuk vektor. Sekarang pada kegiatan belajar ini, kita fokuskan pada perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Pernahkah Anda naik alat transportasi pada gambar di samping? Kalau pernah, kemana saja Anda pergi menggunakan alat transportasi tersebut? Pernahkah Anda ke Jakarta menggunakannya? Pesawat yang terbang dengan rute Padang-Jakarta berarti pesawat 49
tersebut melakukan perpindahan dengan titik awalnya Padang dan titik akhirnya Jakarta. Pesawat melakukan perpindahan karena pesawat memiliki kecepatan dan percepatan. Hubungan apa yang kita dapatkan dari perpindahan, kecepatan, dan percepatan? Kecepatan merupakan perpindahan benda tiap selang waktu tertentu atau bisa dikatakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu. Percepatan merupakan hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang waktu berubahnya kecepatan tersebut atau dapat dikatakan turunan kecepatan sebagai fungsi waktu. Berikut definisi turunan vektor: Definisi Turunan Vektor adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel, didefinisikan turunan dari sebagai berikut:... 3.1 jika limitnya ada. Jika fungsi vektor dengan fungsi skalarfungsi skalar,, dan dapat diferensialkan terhadap variabel, maka mempunyai turunan variabel terhadap yang dirumuskan sebagai berikut:... 3.2 Selanjutnya, Anda pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan fungsi vektor. 50
Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor: Jika,, dan adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar t yang diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka i. ii. iii. iv. v. vi. Bukti: Untuk membuktikan sifat-sifat dari turunan biasa, kita dapat menggunakan definisi turunan biasa dari fungsi vektor 3.1. i. ii. iv. 51
Pembuktian iii, v, dan vi dijadikan latihan untuk Anda. CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika, tentukan Contoh 2 Buktikan sifat 52
Contoh 3 Jika. Tentukan di t = 0 Cara 1 pada saat t = 0, maka Cara 2 (menggunakan sifat turunan) pada saat t = 0, maka Contoh 4 Jika pada titik. tentukan vektor singgung satuan 53
Vektor singgung satuan (T) Saat, maka LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika pada saat t = 0, carilah (a) saat t = 0, maka (b) saat t = 0, maka (c) 54
(d) Latihan 2 Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva pada sebarang saat. Carilah besarnya kecepatan dan percepatan Vektor posisi dari pergerakan partikel Kecepatan diperoleh dari turunan pertama Misalkan Percepatan diperoleh dari turunan pertama Misalkan Jadi, besarnya kecepatan adalah dan percepatan. Latihan 3 Jika dan, carilah 55
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Jika dan. Tentukan pada saat. Latihan 2 Carilah 56
Latihan 3 Carilah vektor singgung satuan di sebarang titik pada kurva dimana adalah konstantakonstanta. Latihan 4 Jika, carilah A bila saat diketahui bahwa dan saat 57
Kunci Jawaban Latihan 1 : -30i + 14j + 20k Latihan 2 : Latihan 3 : Latihan 4 : Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 58
Materi pokok pertemuan ke 6 : 2. Turunan parsial fungsi vektor URAIAN MATERI Turunan parsial Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama dengan definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel dianggap konstan, kecuali satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan. Misalkan adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel skalar,, dan, maka kita tuliskan. Ketiga turunan parsialnya didefinisikan sebagai berikut:... 3.3 adalah masing-masing turunan parsial dari terhadap,, dan jika limitnya ada. Jika fungsi vektor dengan fungsi skalar-fungsi skalar,, dan mempunyai turunan parsial terhadap variabel,, dan, maka juga mempunyai turunan variabel terhadap,, dan yang dirumuskan sebagai berikut:... 3.4 Selanjutnya pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan parsial: 59
Sifat-sifat turunan parsial: Misalkan dan adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsi skalar,, dan dan dapat dideferensialkan terhadap ketiga variabel tersebut, maka berlaku i. ii. iii. iv. v. Bukti: i. Berdasarkan definisi 3.3, maka Sehingga ii. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi 3.3. Maka 60
Sehingga atau Pembuktian iii, iv, dan v dijadikan tugas buat Anda. Aturan Rantai Misalkan adalah fungsi vektor yang dapat dideferensialkan terhadap variabel,, dan, dimana,, dan adalah fungsi-fungsi skalar yang dapat dideferensialkan terhadap variabel,, dan, maka bentuk fungsi tersusun dapat dituliskan dengan Turunan parsial terhadap variabel,, dan dapat diberikan sebagai berikut:... 3.5 61
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika, tentukanlah (a), (b), (c) (a) (b) (c) Contoh 2 Misalkan. Tentukan(a),(b),(c) (a) (b) (c) 62
Contoh 3 Jika, dengan dan, tentukan dan nyatakan dalaam bentuk s dan t. LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika. Tentukan Latihan 2 Jika,, tentukan 63
LATIHAN MANDIRI Latihan 1 Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Jika, carilah Latihan 2 Jika dan, carilah di titik (1,0,-2) 64
Latihan 3 Misalkan, dimana. Tentukan (a), (b), (c) Latihan 4 Jika, tentukanlah (a), (b), (c) 65
66
Kunci Jawaban Latihan 1 :,,,, Latihan 2 : Latihan 3 : (a) (b) (c) Latihan 4 : (a) (b) (c) Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 67
Materi pokok pertemuan ke 7 : 3. Rumus Frenet-Serret URAIAN MATERI Vektor Singgung Satuan Misalkan adalah vektor posisi yang menghubungkan titik pangkal dengan sebarang titik dalam ruang R 3. Jika berubah, maka adalah sebuah vektor yang searah dengan. Sedangkan adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di. Jika adalah vektor singgung satuannya, maka 68
Rumus Frenet-Serret Jika kurva C dalam ruang adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan oleh kurva, maka kita telah mengetahui bahwa adalah sebuah vektor yang searah dengan garis singgung pada C. Jika skalar u diambil sebagai panjang busur s yang diukur dari suatu titik pada C, maka... 3.6 adalah sebuah vektor singgung satuan pada C. Laju perubahan dinyatakan dengan terhadap s adalah ukuran dari kelengkungan C dan Arah dari pada sebarang titik pada C adalah normal terhadap kurva pada titik tersebut. Jika adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini, maka disebut normal utama pada kurva. Jadi dimana disebut kelengkungan dari C pada titik yang dispesifikasikan. Besaran... 3.7 disebut jari-jari kelengkungan. 69
Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang dan sedemikian rupa sehingga... 3.8 disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa,, dan membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada sebarang titik dari C. Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektorvektor,, dan dikenal sebagai rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh... 3.9 dimana Besaran adalah sebuah skalar yang disebut torsi.... 3.10 disebut jari-jari torsi. CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) normal utama N, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan, (c) Binormal B, torsi, dan jari-jari torsi untuk kurva ruang. (a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah, maka 70
Jadi (b) karena, maka dan dari, diperoleh (c) dari, diperoleh 71
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Diketahui. Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan, (c) normal utama N, dan (d) Binormal B (a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah, maka Jadi (b) karena, maka 72
(c) dari, diperoleh (d) 73
LATIHAN MANDIRI Latihan 1 Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Tentukan torsi dari 74
Latihan 2 Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan, (c) jari-jari kelengkungan, (d) normal utama N, (e) Binormal B, dan (f) torsi, untuk kurva 75
Kunci Jawaban Latihan 1 :0 Latihan 2 : Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 76