Bilangan Kmpleks dan Fasr leh: Sudaryatn Sudirham. Bilangan Kmpleks.. Definisi Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kmpleks sebagai berikut [] Bilangan kmpleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan z ( x, y Kita namakan x bagian nyata (real part dari z dan y bagian khayal (imaginary part dari z dan kita lambangkan z x Im z y Kita akan mencba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata. Bilangan yata. Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti,, 3 dan seterusnya; bilangan nyata rasinal ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata irasinal yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasi bilangan bulat, seperti π yang nilainya adalah 3,4., dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya. Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan psisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata, seperti diperlihatkan leh Gb...
- - 0 3 4 5 m Gb... Psisi bilangan nyata di sumbu nyata. Tinjaulah suatu fungsi y x dengan x adalah bilangan bulat. Jika kita plt nilai fungsi y, kita akan mendapatkan gambar seperti Gb... 3.5 3.5.5 0.5 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Gb... Plt y x Pada Gb... ini sumbu mendatar adalah sumbu nyata di mana bilangan-bilangan nyata di psisikan. Sumbu tegak juga merupakan sumbu nyata di mana bilangan-bilangan nyata yang merupakan nilai y dipsisikan. Bidang yang dibatasi leh kedua sumbu nyata ini disebut bidang-nyata. Kita lihat di bidang-nyata ini bahwa kita hanya dapat menggambarkan nilai y sampai pada x 0, karena untuk x < 0 kita tidak mendapatkan nilai y yang berupa bilangan nyata. Walaupun kita tidak mendapatkan nilai y yang nyata untuk x negatif, namun x untuk x yang negatif dapat didefinisikan sebagai suatu bilangan imajiner (khayal. Jika didefinisikan bahwa Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
j (.. maka 4 9 8 j9 00 j0 4 9 j3 dst. 4 j Sekarang kita dapat memandang j sebagai sebuah peratr; artinya jika j berperasi pada bilangan nyata 5 misalnya, kita mendapatkan bilangan imajiner j5 dan jika berperasi pada bilangan nyata b kita mendapatkan bilangan imajiner jb. Sumbu tegak pada Gb... dapat diubah menjadi sumbu imajiner untuk memsisikan bilangan imajiner sehingga sumbu-sumbu yang membatasi bidang sekarang adalah sumbu nyata (diberi tanda dan sumbu imajiner (diberi tanda Im; bidang yang dibatasi leh kedua sumbu ini disebut bidang kmpleks. Jika setiap titik di bidang kmpleks menunjukkan psisi bilangankmpleks (x,,y dengan x adalah kmpnen nyata dan y adalah kmpnen imajiner-nya sebagaimana dikatakan dalam pendefisian bilangan kmpleks yang diberikan di awal sub-bab ini... Pernyataan Bilangan Kmpleks Jika setiap bilangan-nyata mempunyai satu nilai, maka suatu bilangan-kmpleks juga mempunyai satu nilai namun satu nilai ini terdiri dari dua kmpnen yaitu kmpnen nyata dan kmpnen imajiner. Jadi satu bilangan kmpleks z merupakan jumlah dari kmpnen nyata dan kmpnen imajiner dan dituliskan z a + jb (. dengan a bilangan nyata, b juga bilangan nyata, dan jb adalah bilangan imajiner. Perhatikan Gb..3. yang merupakan plt dari satu bilangan kmpleks z. 3
Im jb Gb..3. presentasi grafis bilangan kmpleks. Bentuk penulisan bilangan kmpleks seperti (. disebut bentuk sudut siku. Sebutan ini mudah difahami jika kita melihat Gb..3 di mana z merupakan sudut siku dari segitiga siku-siku dengan sisi a dan jb. Bilangan kmpleks z juga dapat ditulis dengan cara lain, yaitu dengan melihat panjang penggal garis yang menghubungkan titik asal dengan z, yang dalam Gb..3. diberi nama ρ, dan sudut yang dibentuk leh garis ini dengan sumbu nyata yang pada Gb..3. diberi tanda. Dari Gb..3. jelas terlihat bahwa a ρ cs dan b ρ sin (.3 sehingga bilangan kmpleks z dapat dituliskan sebagai z ρ(cs + j sin (.4 Sudut disebut argumen (ditulis argz dan penggal garis yang menghubungkan titik z ke titik awal disebut mdulus. Dari Gb..3. jelas bahwa sedangakan mdulus z adalah ρ b arg z tan (.5 a ρ a b (.6 mdulus z + Dengan demikian maka (. dapat ditulis sebagai ρ a z a + z a + b (cs + j sin (.7 jb 4 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
CO TOH:. Suatu bilangan kmpleks dinyatakan dalam bentuk sudut siku z 3 + j4 Sudut dengan sumbu nyata adalah tan (4 / 3 53, Pernyataan z dapat kita tuliskan z 3 + 4 ( cs 53, + j sin 53, ( + j sin 53, 5 cs 53,. Suatu bilangan kmpleks dinyatakan sebagai ( cs 0 sin z 0 + j 0 Pernyataan ini dapat kita tuliskan z ( + j sin 0 0 cs 0 0(0,94 + j0,34 9,4 + j3,4 Kesamaan Bilangan Kmpleks. ρ a + b merupakan nilai mutlak, karena ia adalah panjang penggal garis. Dua atau lebih bilangan kmpleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi dengan sudut yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda. Dua bilangan kmpleks sama besar jika mereka mempunyai baik ρ maupun yang sama besar, atau dengan kata lain memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar.. egatif dari Bilangan Kmpleks. Nilai negatif dari suatu bilangan kmpleks adalah nilai negative dari kedua kmpnennya. Jadi jika z a + jb maka z a jb. Perhatikan representasi grafis pada Gb..4. 5
Im jb +80 ρ ρ z a + a jb CO TOH: z a jb Gb..4. Negatif dari suatu bilangan kmpleks.. Jika z 4 + j6 maka z z 4 j6. Sudut dengan sumbu nyata 3. z dapat dinyatakan sebagai z z tan (6 / 4 56, 3 56,3 + 80 36, 3 4 + 6 ( cs 56,3 + j sin 56,3 7,( cs 56,3 + j sin 56,3 ( + 80 + j sin(56,3 + 80 7, cs(56,3 7, ( 0,55 j0,83 3,96 j6 Knjugat Bilangan Kmpleks. Knjugat dari suatu bilangan kmpleks z adalah bilangan kmpleks z * yang memiliki kmpnen nyata sama dengan z tetapi kmpnen imajinernya adalah negatif dari kmpnen imajiner z. Perhatikan Gb..5. Jika z a + jb maka z a jb (.8 6 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
Im jb jb ρ a z a + jb z a jb Gb..5. Kmpleks knjugat. CO TOH:. Jika z 5+ j6 maka z 5 j6. Sudut dengan sumbu nyata tan (6 / 5 50, 50, 3. z dapat dinyatakan sebagai z z 5 + 6 ( cs 50, + j sin 50, ( + j sin 50, 7,8 cs 50, ( sin 50, 7,8 cs 50, j 4. Jika z 5 j6 maka z 5 + j6 7
z 5 + j6 Im z 5 j6 5. Jika z 5 j6 maka z 5 + j6 Im z 5 + j6 z 5 j6 8 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
. Operasi-Operasi Aljabar Seperti halnya bilangan nyata, perasi aljabar juga dapat dilakukan pada bilangan kmpleks.. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kmpleks Karena bilangan kmpleks terdiri dari dua kmpnen maka perasi penjumlahan harus dilakukan pada kedua kmpnen. Hasil penjumlahan dua bilangan kmpleks merupakan bilangan kmpleks yang kmpnen nyatanya merupakan jumlah kmpnen nyata dan kmpnen imajinernya juga merupakan jumlah kmpnen imajiner. Demikian pula selisih dua bilangan kmpleks adalah bilangan kmpleks yang kmpnen nyatanya merupakan selisih kmpnen nyata dan kmpnen imajinernya juga merupakan selisih kmpnen imajiner. CO TOH: z z + z z ( a ( a ( a ( a + jb + ( a + jb ( a + a + j( b a + j( b Jika s + j3 dan s 3 + j4 maka s + s 5 + j7 + jb + jb b + b ( + j3 + (3+ j4 (. s s ( + j3 (3+ j4 j 9
.. Perkalian Bilangan Kmpleks Perkalian dua bilangan kmpleks dialksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian kmpnen per kmpnen. ( z ( z ( a a a a a + jb ( a + jb a + jb a + jb + jb a b b b b (. Jika z z maka z z adalah z z ( a + jb( a jb a jba + jba + b (.3 a + b CO TOH: Jika z + j3 dan z 3 + j4 maka ( z( z ( + j3(3 + j4 6 + j9 + j9 6 + j8 CO TOH: Jika z + j3 dan z z j3 maka ( z( z ( + j3( j3 4 j6 + j6 + 9 5 + 9 4 Jadi perkalian suatu bilangan kmpleks dengan knjugatnya akan menghasilkan bilangan nyata. Sifat ini akan kita manfaatkan dalam melakukan pembagian bilangan kmpleks. 0 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
.3. Pembagian Bilangan Kmpleks Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan. Dalam mencari hasil bagi dua bilangan kmpleks, kita kalikan pembagian ini dengan dan bilangan ini kita pilih sama dengan rasi knjugat bilangan kmpleks pembagi dengan dirinya sendiri. Dengan cara demikian kita akan memperleh suatu pembagian di mana bilangan pembaginya adalah bilangan nyata. CO TOH: z a + jb a jb z a + jb a jb ( aa + b b + j( b a ba a + b Jika z + j3 dan z 3 + j4 maka (.3 z z + j3 3 j4 (6 + + j( 8 + 9 3 + j4 3 j4 3 + 4 8 5 + j 5.4. Pernyataan Bilangan Kmpleks Bentuk Plar Pernyataan bilangan kmpleks bentuk sudut siku adalah seperti yang kita pakai untuk menyatakan definisi bilangan kmpleks, yaitu z a + jb. Bentuk plar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui relasi gemetri sederhana. lasi (.3, (.5, dan (.6, yaitu σ ρcs ρ σ + ω dan dan ω ρsin ω tan σ Memungkinkan pengubahan dari bentuk sudut siku ke bentuk plar dan juga sebaliknya. Bentuk plar diturunkan dari fungsi ekspnensial kmpleks yang akan kita lihat lebih dulu.
Fungsi Ekspnensial Kmpleks. Kita telah mengenal fungsi ekspnensial nyata. Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekpnensial x y e merupakan fungsi ekpnensial nyata; y memiliki nilai nyata. Jika z adalah bilangan kmpleks fungsi ekspnensial kmpleks e z e ( σ+ dengan e σ e σ z σ + maka didefinisikan (cs + j sin adalah fungsi ekspnensial riil` ; (.4 Melalui identitas Euler, e j cs + j sin kmpleks (.4 dapat kita tuliskan fungsi expnensial z σ e e e (.5 Bentuk Plar. lasi (.5 memberikan memberikan jalan untuk representasi bilangan kmpleks dalam bentuk plar z e (.6 ρ Mdulus z (nilai abslut adalah ρ, ditulis z dan ρ σ + argumen z kita dituliskan juga sebagai z. Perhatikan representasi grafis Gb... Im ρ z Gb... z ρe ; arg z z. Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
CO TOH: Misalkan suatu bilangan kmpleks z 0 e j0,5. Mdulus bilangan kmpleks ini adalah z 0 dan argumennya z 0,5 rad. Bentuk sudut sikunya adalah: z 0 (cs 0,5 + j sin 0,5 0 (0,88 + j0,48 8,8 + j4,8 Im 0 z 5e j0,5 0,5 rad CO TOH: Misalkan suatu bilangan kmpleks z 3+ j4. Mdulus z adalah z ρ 3 + 4 5 4 Argumennya adalah z tan 0,93 rad. 3 presentasi plar adalah: z 5e j0,93 Im 5 z 5e j0,93 0,93 rad 3
CO TOH: Misalkan suatu bilangan kmpleks z + j0. Mdulus z adalah z ρ 4 + 0. Argumen tan ( 0 / ± π tidak bernilai tunggal. Kita harus berhati-hati menentukan argumennya. Di sini kita harus memilih π rad karena kmpnen imajiner 0 sedangkan jπ kmpnen nyata. presentasi plar adalah z e. Im jπ z e CO TOH: Misalkan suatu bilangan kmpleks z 0 j. Mdulus z adalah z ρ 0 + 4. tan Argumen ( / 0 π / sedangkan kmpnen nyata. jπ / presentasi plar adalah z e. Im ; kmpnen imajiner 0 j jπ / z e 4 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
.5. Manfaat Bentuk Plar Perkalian dan Pembagian Bilangan Kmpleks. presentasi plar dari bilangan kmpleks mempermudah perasi perkalian dan pembagian. ( z( z ρe ρe j( + ρρe z ρe z ρe ρ j( e ρ CO TOH: Misalkan bilangan kmpleks z 0 e j0,5 dan z 5 e j0,4. (.7 j0,5 j0,4 j0,9 z z 0e 5e 50e z z j0,5 0e j0, e j0,4 5e Knjugat Kmpleks. Knjugat dari suatu bilangan kmpleks yang dinyatakan dalam bentuk sudut siku, diperleh dengan mengganti j dengan j seperti diperlihatkan secara grafis pada Gb...a; hal ini telah kita pelajari. Im z σ + z σ + Im a b Gb... Bilangan kmpleks knjugat. z ρe z ρe 5
Jika dinyatakan dalam bentuk plar, sudut argumen knjugat berlawanan dengan argumen bilangan kmpleks asalnya, seperti diperlihatkan secara grafis leh Gb...b. lasi-relasi antara suatu bilangan kmpleks dengan knjugatnya adalah sebagai berikut. ( z( z* z [ ] ( * * ( * z z z z z z * z * z * atau z s s * (.7 CO TOH: j0,5 0e dan z 5 z j0,5 j0,5 zz 0e 0e 00. zz 5 j0,5 j0,4 j0,9. [ zz ] [ 0e 5e ] [ 50e ] j0,5 j0,4 j0,9 0e 5e 50e e j0,4 j0,9 50e 3. z z 0e 5e 0e 5e j0,5 j0,4 j0,5 j0,4 e j0, [ e ] j0, 50e j0, 6 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
3. Bilangan Kmpleks untuk Menyatakan Fugsi Sinus Berikut ini kita akan melihat pemanfaatan bilangan kmpleks untuk menyatakan fungsi sinus. Tindakan demikian ini kita jumpai dalam analisis rangkaian listrik. 3.. Fungsi Sinus Sinyal listrik sebagai fungsi waktu adalah yang berbentuk sinusidal y Asin( ωt (3. dengan A adalah amplitud (simpangan maksimum, ω adalah frekuensi sudut ω πf dengan f frekuensi siklus. Namun pernyataan sinyal sinus sering dilakukan menggunakan fungsi csinus yaitu bentuk pernyataan yang dianggap nrmal: y A cs( ωt (3. jika puncak pertama fungsi terjadi pada ωt > 0 dan disebut sudut fasa. seperti terlihat pada Gb.3.. A y A y A 0 0 ωt A 0 0 ωt a y Acs ωt b y Acs( ωt Gb.3.. Fungsi sinusidal dinyatakan dengan fungsi csinus. Dengan bentuk nrmal ini maka fungsi y Asin( ωt dituliskan sebagai y A cs( ωt π / di mana π/ pada Gb.3..b. 7
3.. Fasr Kita mengenal pernyataan suatu bilangan kmpleks yang berbentuk z Ae ( + sin A cs j (3.3 Dengan pernyataan bilangan kmpleks ini maka fungsi csinus dan sinus dapat dinyatakan sebagai fungsi ekspnensial kmpleks, yaitu A cs Ae Asin x Im Ae jx kmpnen nyata dari z, dan kmpnen imajiner dari z (3.4 Karena sinyal sinus dalam analisis rangkaian listrik dituliskan dalam bentuk nrmal sebagai fungsi csinus, dapat ditetapkan bahwa hanya bagian riil dari bilangan kmpleks Ae jx saja yang diambil untuk menyatakan sinyal sinus. Oleh karena itu sinyal sinus y Acs(ωt+ dapat kita tulis sebagai y Acs( ωt + Ae Ae e jωt j( ωt+ tanpa harus menuliskan keterangan lagi. Ae e jωt (3.5 Jika kita bekerja pada suatu frekuensi ω tertentu untuk seluruh sistem rangkaian, maka faktr e jωt pada pernyataan fungsi sinus (3.5 tidak perlu dituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus cukup dengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Jadi sinyal sinus v A cs( ωt + dinyatakan dengan V Ae (3.6 Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kmpleks ini disebut fasr yang biasa dituliskan dengan huruf tebal dengan garis di atasnya. Fasr ini merupakan bilangan kmpleks dan dapat digambarkan secara grafis seperti terlihat pada Gb.3.. Gambar grafis seperti ini disebut diagram fasr. 8 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
Im A V Gb.3.. Fasr V Ae Jadi dengan ntasi fasr, kita hanya memperhatikan amplitud dan sudut fasa dari suatu sinyal sinus, dengan pengertian bahwa frekuensinya sudah tertentu. Karena kita hanya memperhatikan amplitud dan sudut fasa saja, maka fasr dapat kita tuliskan dengan menyebutkan besarnya dan sudut fasanya. Pengertian ini ekivalen dengan mdulus dan argumen pada bilangan kmpleks. Jadi penulisan fasr dalam bentuk yang juga kita sebut bentuk plar adalah V Ae j ditulis sebagai V A (3.7 Fasr V A kita gambarkan dalam bidang kmpleks, seperti terlihat pada Gb.3.. Panjang fasr adalah nilai mutlak dari amplitud A. Penulisan fasr dalam bentuk plar, dapat diubah ke bentuk sudut-siku, yaitu : ( cs + sin V A A j (3.8 Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah ke bentuk plar b V a + jb a + b tan (3.9 a Transfrmasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudutsiku dan bentuk plar, memudahkan kita dalam melakukan perasiperasi fasr yang akan kita lihat berikut ini, yang pada hakekatnya sama seperti perasi aljabar pada bilangan kmpleks yang sudah kita pelajari. 9
3.3. Operasi Fasr Perkalian Fasr. Perkalian fasr mudah dilakukan bila fasr dituliskan dalam bentuk plar. Jika A A dan B B C AB AB ( + maka (3.0 Hal ini mudah difahami, karena jika kita A Ae maka dan B Be C Ae Be menuliskan j( + ABe AB ( + Pembagian Fasr. Pembagian fasr mudah dilakukan bila fasr dituliskan dalam bentuk plar. maka Jika A A A A D B B dan dan A ( B B B maka Hal ini juga mudah difahami. Jika kita menuliskan A Ae Ae D Be B Be A e B e A e B j( A ( B (3. Penjumlahan dan Pengurangan Fasr. Operasi penjumlahan ataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan fasr dalam bentuk sudut-siku. 0 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
Jika maka A a + jb C A + B ( a + a + j( b + b ( a + a + ( b + b D A B B a + jb ( a + jb ( a + jb dan b + b tan a + a b b ( a + ( a b b tan a a (3. Jika fasr dinyatakan dalam bentuk plar, kita ubah dulu ke bentuk sudut siku untuk mudah dijumlahkan / dikurangkan Jika A A C A + B D A B ( A cs + B cs + j( Asin + B sin ( A cs B cs + j( Asin B sin dan B B maka (3.3 Fasr egatif dan Fasr Knjugat. Jika dituliskan dalam bentuk sudut-siku, nilai negatif fasr adalah negatif dari masing-masing kmpnen riil dan imajiner. Im A A A A Gb... Fasr dan negatifnya serta knjugatnya Jika A a + jb maka A a jb Jika A a + jb maka A a jb *
Dalam bentuk plar, Jika maka A A A A A ( + 80 ( 80 dan A * A Fasr Dengan Sudut Fasa 90 dan 0. Bentuk sudut-siku dari fasr dengan sudut 90 dan 0 adalah CO TOH: A A 90 B B 90 C C 0 ja C a. v ( t 0 cs(500t 45 ; jb Pernyataan fasr sinyal sinus ini dalam bentuk plar dan bentuk sudut siku adalah V V 0 45 atau 0 cs( 45 + j0 sin( 45 7,07 j7,07 b. v ( t 5 cs(500t + 30 Pernyataan fasr sinyal sinus ini dalam bentuk plar dan bentuk sudut siku adalah ; (3.4 (3.5 V V 5 30 atau 5 cs(30 + j 5 sin(30,99 + j7,5 c. i ( t 4 cs000t Pernyataan fasr dalam bentuk plar dan bentuk sudut siku adalah I 4 0 atau I 4 cs(0 j4 sin(0 4 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr
d. i ( t 3cs(000t 90 e. Pernyataan fasr dalam bentuk plar dan bentuk sudut siku adalah I 3 90 atau I 3cs( 90 + j3sin( 90 j3 I 3 I + I dari c dan d Fasr hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama. Karena kedua arus dalam sal e ini berfrekuensi sama maka fasrnya dapat kita jumlahkan I 3 I + I 4 j3. Hasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentuk plar menjadi f. S g. Z I 3 ( 4 + ( 3 tan 5 6, 9 * * V I ; VI S * V 3 4 S I ( 0 45 ( 4 0 40 45 * V S I ( 5 30 (3 90 45 0 V ; Z I V I Z Z V I V 5 30 5 60 I 3 90 0 45.5 45 4 0 ; 3
3.3. Knsekuensi Pernyataan Sinyal Sinus dalam Fasr Karakteristik piranti dalam rangkaian listrik dinyatakan leh hubungan antara arus dan tegangannya. Untuk resistr, induktr, dan kapasitr hubungan tersebut adalah: sistr : Induktr : Kapasitr : vr RiR dil vl L dt dvc ic C dt atau vc C 4 Sudaryatn Sudirham: Bilangan Kmpleksdan Fasr ic dt (3.6 R, L, dan C berturut-turut adalah resistansi, induktansi, dan kapasitansi dari piranti yang bersangkutan. lasi-relasi ini adalah relasi di mana tegangan maupun arus merupakan fungsi waktu. Jika tegangan dan arus dinyatakan dalam bentuk fasr maka harus dilakukan penyesuaian pada relasi tegangan-arus elemen tersebut. sistr. Jika arus pada resistr adalah maka tegangannya adalah j( ω t+ i R ( t I Rm cs( ωt + I Rme Jika dinyatakan dalam fasr maka j( ωt+ v R ( t RiR ( t RI Rme V R RI R (3.7 Hubungan arus dan tegangan resistr ini mirip dengan hubungan tegangan dan arus jika dinyatakan sebagai fungsi waktu. Induktr. Untuk induktr, jika arus induktr adalah j( ω t+ i L ( t I Lm cs( ωt + I Lme maka tegangan induktr adalah dil ( t d v L ( t L L dt j( ω t+ ( I Lme j( ωt+ jωl( I e dt m
Dalam bentuk fasr, VL jωli L jx LI L Z LI L dengan : X L ωl dan Z L jωl (3.8 Jadi dengan pernyataan sinyal dalam fasr, hubungan tegangan dan arus induktr tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkan berbentuk linier dengan faktr prprsinalitas sebesar Z L jx L ; X L disebut reaktansi induktif, Z L disebut impedansi induktr. Kapasitr. Untuk kapasitr, jika tegangan kapasitr adalah maka arus kapasitr adalah dvc d i C ( t C C dt j( ω t+ v C ( t VCm cs( ωt + VCme j( ω t+ ( V e Cm dt yang dalam bentuk fasr dapat kita tuliskan sebagai IC jωc VC VC IC jωc dengan : X C atau ω ωc j C ZC j( ωt+ jωc( VCme IC jx C IC Z C IC dan j ωc (3.9 Seperti yang kita perleh pada induktr, hubungan tegangan dan arus kapasitr tidak lagi berupa hubungan integral, melainkan berupa hubungan linier dengan faktr prprsinalitas sebesar Z C jx C ; X C kita sebut reaktansi kapasitif, Z C kita sebut impedansi kapasitr. Pembaca dapat mempelajari lebih lanjut analisis rangkaian listrik dengan buku Analisis Rangkaian Listrik Jilid leh Sudaryatn Sudirham. 5