Analisis Rangkaian Listrik

Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Jilid Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

BAB Analisis Rangkaian Menggunakan Transformasi Fourier Dengan pembahasan analisis rangkaian dengan menggunakan transformasi Fourier, kita akan mampu melakukan analisis rangkaian menggunakan transformasi Fourier. mampu mencari tanggapan frekuensi... Transformasi Fourier dan Hukum Rangkaian Kelinieran dari transformasi Fourier menjamin berlakunya relasi hukum Kirchhoff di kawasan frekuensi. Relasi HTK misalnya, jika ditransformasikan akan langsung memberikan hubungan di kawasan frekuensi yang sama bentuknya dengan relasinya di kawasan waktu. Misalkan relasi HTK jika ditransformasikan : v( v ( v3( : V V3 V3( Hal inipun berlaku untuk KCL. Dengan demikian maka transformasi Fourier dari suatu sinyal akan mengubah pernyataan sinyal di kawasan waktu menjadi spektrum sinyal di kawasan frekuensi tanpa mengubah bentuk relasi hukum Kirchhoff, yang merupakan salah satu persyaratan rangkaian yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian listrik. Persyaratan rangkaian yang lain adalah persyaratan elemen, yang dapat kita peroleh melalui transformasi hubungan tegangan-arus (karakteristik i-v elemen). Dengan memanfaatkan sifat diferensiasi dari transformasi Fourier, kita akan memperoleh relasi di kawasan frekuensi untuk resistor, induktor, dan kapasitor sebagai berikut. Resistor Induktor Kapasitor : VR RI R : VL jωli L : IC jωcvc Relasi diatas mirip dengan relasi hukum Ohm. Dari relasi di atas kita dapatkan impedansi elemen, yaitu perbandingan antara tegangan dan arus di kawasan frekuensi

Z R R ; Z L jωl ; ZC (.) jωc Bentuk-bentuk (.) telah kita kenal sebagai impedansi arus bolakbalik. Dari uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa transformasi Fourier suatu sinyal akan tetap memberikan relasi hukum Kirchhoff di kawasan frekuensi dan hubungan tegangan-arus elemen menjadi mirip dengan relasi hukum Ohm jika elemen dinyatakan dalam impedansinya. Dengan dasar ini maka kita dapat melakukan transformasi rangkaian, yaitu menyatakan elemen-elemen rangkaian dalam impedansinya dan menyatakan sinyal dalam transformasi Fouriernya. Pada rangkaian yang ditransformasikan ini kita dapat menerapkan kaidah-kaidah rangkaian dan metoda-metoda analisis rangkaian. Tanggapan rangkaian di kawasan waktu dapat diperoleh dengan melakukan transformasi balik. Uraian di atas paralel dengan uraian mengenai transformasi Laplace, kecuali satu hal yaitu bahwa kita tidak menyebut-nyebut tentang kondisiawal. Hal ini dapat difahami karena batas integrasi dalam mencari transformasi Fourier adalah dari sampai. Hal ini berbeda dengan transformasi Laplace yang batas integrasinya dari ke. Jadi analisis rangkaian dengan menggunakan transformasi Fourier mengikut sertakan seluruh kejadian termasuk kejadian untuk t <. Oleh karena itu cara analisis dengan transformasi Fourier tidak dapat digunakan jika kejadian pada t < dinyatakan dalam bentuk kondisi awal. Pada dasarnya transformasi Fourier diaplikasikan untuk sinyal-sinyal non-kausal sehingga metoda Fourier memberikan tanggapan rangkaian yang berlaku untuk t sampai t. CO TOH-.: Pada rangkaian seri antara resistor R dan kapasitor C diterapkan tegangan v. Tentukan tanggapan rangkaian v C. Penyelesaian: Persoalan rangkaian orde pertama ini telah pernah kita tangani pada analisis transien di kawasan waktu maupun kawasan s (menggunakan transformasi Laplace). Di sini kita akan menggunakan transformasi Fourier. v R C v C Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

Transformasi Fourier dari rangkaian ini adalah : tegangan masukan V (, impedansi resistor R terhubung seri dengan impedansi kapasitor. jωc Dengan kaidah pembagi tegangan kita dapatkan tegangan pada kapasitor adalah ZC / jωc / RC VC V V V R ZC R (/ jωc) jω (/ RC) Tegangan kapasitor tergantung dari V (. Misalkan tegangan masukan v ( berupa sinyal anak tangga dengan amplitudo. Dari tabel.. tegangan ini di kawasan frekuensi adalah V ( πδ(. Dengan demikian maka jω V C / RC ( ) j (/ RC) πδ ω j ω ω jω / RC πδ( / RC ( jω / RC) ( jω / RC) Fungsi impuls δ( hanya mempunyai nilai untuk ω, sehingga pada umumnya F(δ( F()δ(. Dengan demikian suku kedua πδ( / RC ruas kanan persamaan di atas πδ(. Suku pertama ( jω / RC ) dapat diuraikan, dan persamaan menjadi V C πδ( jω jω / RC Dengan menggunakan Tabel.. kita dapat mencari transformasi balik v C ( sgn( (/ RC) t (/ RC) t [ e ] u( [ e ] u( Pemahaman : Hasil yang kita peroleh menunjukkan keadaan transien tegangan kapasitor, sama dengan hasil yang kita peroleh dalam analisis transien di kawasan waktu di Bab-4 contoh 4.5. Dalam menyelesaikan persoalan ini kita tidak menyinggung sama sekali mengenai kondisi awal pada kapasitor karena transformasi Fourier telah mencakup keadaan untuk t <. V R /jωc V C 3

CO TOH-.: Bagaimanakah v C pada contoh.. jika tegangan yang diterapkan adalah v ( sgn(? Penyelesaian: Dari Tabel.. kita peroleh F [ sgn( ] maka V C ( dan uraiannya adalah. Dengan demikian jω V C / RC jω / RC Transformasi baliknya memberikan jω jω jω / RC Pemahaman: v C ( sgn( e (/ RC) t u( Persoalan ini melibatkan sinyal non-kausal yang memerlukan penyelesaian dengan transformasi Fourier. Suku pertama dari v C ( memberikan informasi tentang keadaan pada t <, yaitu bahwa tegangan kapasitor bernilai karena suku kedua bernilai nol untuk t <. Untuk t >, v C ( bernilai e (/RC) t u( yang merupakan tegangan transien yang nilai akhirnya adalah. Di sini terlihat jelas bahwa analisis dengan menggunakan transformasi Fourier memberikan tanggapan rangkaian yang mencakup seluruh sejarah rangkaian mulai dari sampai. Gambar v C ( adalah seperti di bawah ini. v C -4-4 sgn( - - sgn(e (/RC) t u( t e (/RC) t u( 4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

.. Konvolusi dan Fungsi Alih Jika h( adalah tanggapan rangkaian terhadap sinyal impuls dan x( adalah sinyal masukan, maka sinyal keluaran y( dapat diperoleh melalui integral konvolusi yaitu y ( t h( τ) x( tτ) dτ (.) Dalam integral konvolusi ini batas integrasi adalah τ sampai τ t karena dalam penurunan formulasi ini h( dan x( merupakan bentuk gelombang kausal. Jika batas integrasi tersebut diperlebar mulai dari τ sampai τ, (.) menjadi ( h( τ) x( tτ dτ (.3) τ y ) Persamaan (.3) ini merupakan bentuk umum dari integral konvolusi yang berlaku untuk bentuk gelombang kausal maupun non-kausal. Transformasi Fourier untuk kedua ruas (.3) adalah F ( Y F [ y ] t τ τ h( τ) x( tτ) dτ h( τ) x( tτ) dτ e Pertukaran urutan integrasi pada (.4) memberikan jωt dt (.4) Y τ τ t h( τ) h( τ) x( tτ) e t x( tτ) e jωt jωt dt dτ dt dτ (.5) Mengingat sifat pergeseran waktu pada transformasi Fourier, maka (.5) dapat ditulis Y τ τ h( τ) e h( τ) e jωτ jωτ X dτ dτ X H( X (.6) 5

Persamaan (.6) menunjukkan hubungan antara transformasi Fourier sinyal keluaran dan masukan. Hubungan ini mirip bentuknya dengan persamaan yang memberikan hubungan masukan-keluaran melalui fungsi alih T(s) di kawasan s yaitu Y(s) T(s) X(s). Oleh karena itu H( disebut fungsi alih bentuk Fourier. CO TOH-.3: Tanggapan impuls suatau sistem adalah α α t h( e. Jika sistem ini diberi masukan sinyal signum, sgn(, tentukanlah tanggapan transiennya. Penyelesaian: Dengan Tabel.. didapatkan H( untuk sistem ini α α t α α H F e α ω Sinyal masukan, menurut Tabel.. adalah Sinyal keluaran adalah X F α Y H X α ω yang dapat diuraikan menjadi k k k 3 jωy jω ( α j Y ( α j Y [ sgn( ] jω jω k k k3 Y jω α jω α jω α ( α j( α j jωα jωα α jω( α j α jω( α j α α ω α jω( α j( α j jω jωα jωα α α( αα) α α( αα) 6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

Jadi Y jω α jω α j( sehingga y( sgn( e [ e α t αt u( e α( ] u( [ e α t u( ] u( ] Gambar dari hasil yang kita peroleh adalah seperti di bawah ini. CO TOH-.4: Tentukan tanggapan frekuensi dari sistem pada contoh-.3. Penyelesaian : Fungsi alih sistem tersebut adalah -4 4 [e α t ] u( y( - α H. α ω Kurva H( kita gambarkan dengan ω sebagai absis dan hasilnya adalah seperti gambar di bawah ini. H( [e α t ] u( t - - ω 7

Pada ω, yaitu frekuensi sinyal searah, H( bernilai sedangkan untuk ω tinggi H( menuju nol. Sistem ini bekerja seperti lowpass filter. Frekuensi cutoff terjadi jika H ( ω ) H () α α ωc ωc α α.644α.3. Energi Sinyal Energi total yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang sinyal didefinisikan sebagai W total p( dt dengan p( adalah daya yang diberikan oleh sinyal kepada suatu beban. v ( Jika beban berupa resistor maka p( i ( R ; dan jika R bebannya adalah resistor Ω maka WΩ f ( dt (.7) dengan f ( berupa arus ataupun tegangan Persamaan (.7) digunakan sebagai definisi untuk menyatakan energi yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang sinyal. Dengan kata lain, energi yang diberikan oleh suatu gelombang sinyal pada resistor Ω menjadi pernyataan kandungan energi gelombang tersebut. Teorema Parseval menyatakan bahwa energi total yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang dapat dihitung baik di kawasan waktu maupun kawasan frekuensi. Pernyataan ini dituliskan sebagai W Ω f d π ( dt F ω (.8) Karena F( merupakan fungsi genap, maka (.8) dapat dituliskan π W Ω F dω (.9) 8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

Jadi di kawasan waktu energi gelombang adalah integral untuk seluruh waktu dari kuadrat bentuk gelombang, dan di kawasan frekuensi energinya adalah (/π) kali integrasi untuk seluruh frekuensi dari kuadrat besarnya (nilai mutlak) transformasi Fourier dari sinyal. Penurunan teorema ini dimulai dari (.7). W jωt e dω dt π Ω f ( dt f ( F Integrasi yang berada di dalam tanda kurung adalah integrasi terhadap ω dan bukan terhadap t. Oleh karena itu f( dapat dimasukkan ke dalam integrasi tersebut menjadi W jωt e dω π dt Ω f ( F Dengan mempertukarkan urutan integrasi, akan diperoleh W Ω π π π F f ( F( e jωt dt dω f ( e F( F( dω π j( ω F dt dω dω Teorema Parseval menganggap bahwa integrasi pada persamaan (.8) ataupun (.9) adalah konvergen, mempunyai nilai berhingga. Sinyal yang bersifat demikian disebut sinyal energi; sebagai contoh: sinyal kausal eksponensial, eksponensial dua sisi, pulsa persegi, sinus teredam. Jadi tidak semua sinyal merupakan sinyal energi. Contoh sinyal yang mempunyai transformasi Fourier tetapi bukan sinyal energi adalah sinyal impuls, sinyal anak tangga, signum, dan sinus (tanpa henti). Hal ini bukan berarti bahwa sinyal ini, anak tangga dan sinyal sinus misalnya, tidak dapat digunakan untuk menyalurkan energi bahkan penyaluran energi akan berlangsung sampai tak hingga; justru karena itu ia tidak disebut sinyal energi melainkan disebut sinyal daya. 9

CO TOH-.5: Hitunglah energi yang dibawa oleh gelombang t v( e u( t V Penyelesaian: [ ] ) Kita dapat menghitung di kawasan waktu WΩ t t [ e ] dt [ e ] t e Untuk menghitung di kawasan frekuensi, kita cari lebih dulu V(/(j. ω W Ω ω tan 6 π d ω π() π π π Pemahaman: Kedua cara perhitungan memberikan hasil yang sama. Fungsi F( menunjukkan kerapatan energi dalam spektrum sinyal. Persamaan (.4) adalah energi total yang dikandung oleh seluruh spektrum sinyal. Jika batas integrasi adalah ω dan ω maka kita memperoleh persamaan J ω W F dω (.) π ω yang menunjukkan energi yang dikandung oleh gelombang dalam selang frekuensi ω dan ω. Jika hubungan antara sinyal keluaran dan masukan suatu pemroses sinyal adalah Y H X maka energi sinyal keluaran adalah W Ω H X dω (.) π Dengan hubungan-hubungan yang kita peroleh ini, kita dapat menghitung energi sinyal langsung menggunakan transformasi Fouriernya tanpa harus mengetahui bentuk gelombang sinyalnya. J dt Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

CO TOH-.6: Tentukan lebar pita yang diperlukan agar 9% dari t total energi gelombang exponensial v( [ e ] u( V dapat diperoleh. Penyelesaian: Bentuk gelombang t [ e ] u( v( V jω Energi total : ω W Ω tan 6 ω π d ω π() π J π Misalkan lebar pita yang diperlukan untuk memperoleh 9% energi adalah β, maka β β ω W9% tan 6 ω π d ω π() β tan π Jadi 9 tan β β π.9 tan π β 63 rad/s

Soal-Soal. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan keposisi dan tetap pada posisi sampai t. Jika v V, v V, tentukan v in, V in (, V o (, v o. S µf v v v in kω. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan keposisi dan tetap pada posisi sampai t. Tentukan v in, V in (, V o (, v o, jika v V, v 5 V. S v v v in kω µf 3. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan keposisi dan tetap pada posisi sampai t. Tentukan v in, V in (, V o (, v o, jika v e t V, v e t V. S v v v in H,5 kω 4. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan keposisi dan tetap pada posisi sampai t. Tentukan v in, V in (, V o (, v o, jika v e t V, v e t V. v o v o v o Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

v S v v in,5 kω H v o 5. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan keposisi dan tetap pada posisi sampai t. Tentukan v in, V in (, V o (, v o, jika v V, v e t V. S v v v in H Ω 6. Pada sebuah rangkaian seri L H, C µf, dan R kω, diterapkan tegangan v s sgn( V. Tentukan tegangan pada resistor. 7. Tanggapan impuls sebuah rangkaian linier adalah h( sgn(. Jika tagangan masukan adalah v s ( δ(e t u( V, tentukan tegangan keluarannya. 8. Tentukan tanggapan frekuensi rangkaian yang mempunyai tanggapan impuls h( δ(e t u(. 9. Tentukan tegangan keluaran rangkaian soal 8, jika diberi masukan v s ( sgn(.. Jika tegangan masukan pada rangkaian berikut adalah v cost V, tentukan tegangan keluaran v o. µf kω kω v v o v o 3

. Ulangi soal untuk sinyal yang transformasinya V ( ω 4. Tentukan enegi yang dibawa oleh sinyal t v( 5 t e u( V. Tentukan pula berapa persen energi yang dikandung dalam selang frekuensi ω rad/s. 3. Pada rangkaian filter RC berikut ini, tegangan masukan adalah 5 t v e u( V. v kω µf kω v o Tentukan energi total masukan, persentase energi sinyal keluaran v o terhadap energi sinyal masukan, persentase energi sinyal keluaran dalam selang passband-nya. 4. Pada rangkaian berikut ini, tegangan masukan adalah 5 t v e u( V. µf kω kω v Tentukan energi total masukan, persentase energi sinyal keluaran v o terhadap energi sinyal masukan, persentase energi sinyal keluaran dalam selang passband-nya. v o 4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

Daftar Pustaka. Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN 979-999-54-3.. Sudaryatno Sudirham, Pengembangan Metoda Unit Output Untuk Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah, Monograf, 5, limited publication. 3. Sudaryatno Sudirham, Pengantar Rangkaian Listrik, Catatan Kuliah El, Penerbit ITB, 7. 4. Sudaryatno Sudirham, Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan Kualitas Daya, Catatan Kuliah El 64, 8. 5. P. C. Sen, Power Electronics McGraw-Hill, 3rd Reprint, 99, ISBN -7-45899-. 6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : Circuits, Devices and Systems ; John Wiley & Son Inc, 5 th ed, 99. 7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn : Electric Circuit Analysis ; Prentice-Hall Inc, nd ed, 99. 8. Vincent Del Toro : Electric Power Systems, Prentice-Hall International, Inc., 99. 9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : The Analysis And Design of Linier Circuits,. Prentice-Hall Inc, 994.. Douglas K Lindner : Introduction to Signals and Systems, McGraw-Hill, 999. 5

Daftar otasi v atau v( : tegangan sebagai fungsi waktu. V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah. V rr : tegangan, nilai rata-rata. V rms : tegangan, nilai efektif. V maks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak. V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor. V : nilai mutlak fasor tegangan. V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s. i atau i( : arus sebagai fungsi waktu. I : arus dengan nilai tertentu, arus searah. I rr : arus, nilai rata-rata. I rms : arus, nilai efektif. I maks : arus, nilai maksimum, nilai puncak. I : fasor arus dalam analisis di kawasan fasor. I : nilai mutlak fasor arus. I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s. p atau p( : daya sebagai fungsi waktu. p rr : daya, nilai rata-rata. S : daya kompleks. S : daya kompleks, nilai mutlak. P : daya nyata. Q : daya reaktif. q atau q( : muatan, fungsi waktu. w : energi. R : resistor; resistansi. L : induktor; induktansi. C : kapasitor; kapasitansi. Z : impedansi. Y : admitansi. T V (s) : fungsi alih tegangan. T I (s) : fungsi alih arus. T Y (s) : admitansi alih. T Z (s) : impedansi alih. µ : gain tegangan. β : gain arus. r : resistansi alih, transresistance. g : konduktansi; konduktansi alih, transconductance. 6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

I DEKS a akar kompleks 4 akar riil 36, 38 anak tangga, 43, 56, 3 analisis transien arus mesh 99 b Bode plot 3 c cutoff 6 d decibel 7 diagram blok 69, 7, 74, 77, 89 diferensiasi 6, 6 dinamis 8 e eksponensial 57, energi sinyal 8 f Fourier 95 fungsi alih 6, 9, 7, 66, 5 fungsi fasa 4 fungsi gain 4 fungsi jaringan 5 fungsi masukan 5 fungsi pemaksa 7 g gain 6 gain, band-pass 9, 4, 43 gain, high-pass 6, 9, 37, 46 gain, low-pass 6, 9, 49 h hubungan bertingkat 4 i impedansi 86 impuls induktor 86 integrasi 6, 6 integrator 86, 88 k kaidah 9 kaidah rantai 4 kapasitor 86, 7 kaskade 68 Kirchhoff 89 komponen mantap 7 komponen transien 7 kondisi awal 6 konvolusi 75, 7, 67, 5 l linier 6 m metoda-metoda 93 n nilai akhir 65 nilai awal 65 Norton 9 o orde ke-dua 3, 33, 4 orde pertama,, 4, 6, p paralel 69 Parseval 9 passband 6 pembalikan pen-skalaan 65, 5 pole 68, 7, 7, 73, 56 proporsionalitas 9 7

r reduksi rangkaian 96 resistor 85 ruang status 87, 89 s simetri 98,, sinyal 63 sinyal sinus, 46, 57, sistem 64, 65, 65, 85 spektrum kontinyu 3 statis 8 stopband 6 sub-sistem 8 superposisi 8, 9, 94 t tanggapan alami 4, 5, 6, 34 tanggapan frekuensi, 4, 4, 5 tanggapan lengkap 4, 6, 35 tanggapan masukan nol 4, 6 tanggapan paksa 4, 6, 6, 35 tanggapan status nol 4, 6 tegangan simpul 98 teorema 9 Thévenin 97 transformasi balik 55, 59, 6 transformasi Fourier 95, 3, 8,, 3 transformasi Laplace 55, 56,, 58, 59, 67, 78, 85, translasi s 64 translasi t 63 u umpan balik 69 unik 59 unit output 93 z zero 68, 5, 5 8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

Biodata Nama: Sudaryatno Sudirham Lahir: di Blora pada 6 Juli 943 Istri: Ning Utari Anak: Arga Aridarma Aria Ajidarma. 97 : Teknik Elektro Institut Teknologi Bandung. 97 8 : Dosen Institut Teknologi Bandung. 974 : Tertiary Education Research Center UNSW Australia. 979 : EDF Paris Nord dan Fontainbleu Perancis. 98 : INPT - Toulouse Perancis; 98 DEA; 985 Doktor. Kuliah yang pernah diberikan: Pengukuran Listrik, Pengantar Teknik Elektro, Pengantar Rangkaian Listrik, Material Elektroteknik, Phenomena Gas Terionisasi, Dinamika Plasma, Dielektrika, Material Biomedika. Buku: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, Bandung, ; Metoda Rasio TM/TR Untuk Estimasi Susut Energi Jaringan Distribusi, Penerbit ITB, Bandung, 9; Fungsi dan Grafik, Diferensial Dan Integral, Penerbit ITB, Bandung, 9; Analisis Rangkaian Listrik (), Darpublic, e-book, Bandung, ; Analisis Rangkaian Listrik (), Darpublic, e-book, Bandung, ; Mengenal Sifat Material (), Darpublic, e-book, Bandung, ; Analisis Keadaan Mantap Rangkaian Sistem Tenaga, Darpublic, Bandung,. 9

Analisis Rangkaian Listrik () Analisis Transien, Transformasi Laplace, Fungsi Jaringan, Tanggapan Frekuensi, Pengenalan Pada Sistem, Persamaan Ruang Status, Transformasi Fourier. Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()