Q<RCBITJ{ Vol. 7 No.2 Juli 2011: 318-322 ANALISIS GRAK HARMONIK TRDAM (DAMPD HARMONIC MOTION) DNGAN SPRADSHT XCL Oleh : Ahad Fauzi StafPengajar Progra Pendidikan Fisika FKlP Universitas Sebelas Maret Rn. Ir. Sutarnj No. 36 A Kentingan Surakarta Abstrak Gerak haronik erupakan satu topik penting dala Fisika dan ilu teknik. Pada uunya untuk eperudah eahai karalcteristik gerak haronik dengan asusi kondisi ideal yakni tidak ada gesekan. Naun deikian pada kenyataannya asusi tersebut horus diperhitungkan lag; karena adanya gesekan sangat berpengaruh terhadap gerak haronik. Karalcteristik gerak haronik tereda biasanya dinyatakan dala persaaan differensial yang secara uu diselesaikan enurut anal isis analitik. Naun deikian untuk enyelesaikan persaaan dif.ferensial gerak haronik tereda tidaklah udah. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk engatasi asalah ini adalah dengan enggunakan analisis nuerik. Dengan pendekatan nuerik dengan enggunakan etode uler-croer dengan bantuan Spreadsheet xcel gerak haronik tereda lebih udah dipahai karalcteristiknya. Dengan Spreadsheet xcel pengaruh perubahan nilai konstanta redaan dan konstata pegas sangat udah divisualisasikan dalabentuk graftk. Berdasarkan hasil yang diperoleh disipulkan bahwa hash anal isis gerak haronik tereda yang diperoleh dengan anal isis nuerik hasilnya hapir soa dengan hasil yang dipeoleh dengan analisis analitik. Kata kudci: gerak haronik tereda, redaan, uler-croer 1. Pendahuluan 2. Pebahasan a. Analisis Gerak Haronik Tereda Pada uunya pebahasan gerak dengan Pendekatan Analitik halonik selalu diasusikan adanya keadaan ideal yaitu tidak ada gesekan yang bekerja pada osilator. Naun pada kenyataannya tidaklah deikian) sebagai contoh dala kasus ayunan sederhana apabila diberikan suatu sipangan aka seakin laa aplitudonya seakin kecil sehingga akhiya berhenti. Hal tersebut enunjukkan adanya gesekan. Dengan deikian jelas bahwa adanya gesekan sangat epengaruhi aplitudo ayunan. Gaya gesek ini dapat berupa gaya gesek yang ditibulkan udara ataupun dala siste ayunan siste itu sendiri (gesekan antara ujung tali dan dinding). Gabar 1. Osilator Haronik Tereda Gabar 1 di atas enunjukkan sebuah silinder yang dihubungkan beban keudian diasukkan dala suatu fluida dengan gaya redaan -b dt dan gaya peulih pegas -kx. Jika silinder diberi sipangan keudian dilepaskan aka silinder akan berosilasi dala fluida 318
OCRCBlfJ!}{ Vol. 7 No.2 Juli 2011: 318-322 dengan aplitudo yang seakin laa seakin berkurang. Berkurangnya aplitudo gerak haronik karena adanya gesekan lnl sering disebut sebagai redaan. Biasanya besarnya gesekan ini sebanding dengan kecepatan akan tetapi berlawanan arahnya. Untuk eperudah dala enganalisis digunakan pendekatan bahwa besarnya gesekan sebanding dengan kecepatan beban yang berosilasi. Gejala adanya redaan dala gerak haronik ini dapat diteui pada shock absorber sepeda otor atau obil. Misalkan besarnya gaya gesek adalah Fx = - b Vx diana Vx enyatakan kecepatan gerak osilasinya. Tanda negatif uncul karena gaya gesek ini berlawanan arab. dengan arah gerak osilasinya. Dengan enggunakan huku kedua Newton aka gaya total yang bekerja pada beban yang berosilasi dinyatakan dengan l:f = -bv x - kx... (1) x d 2 x dt 2 -=-b--kx dt apabila kedua ruas persaaan dibagi dengan akan diperoleh d 2 x -b k dt 2 = -;;;: dt - ;: X... (2) persaaan (2) dapat pula disusun kebali enjadi persaaan berikut d 2 x b k dt 2 +;: dt + X = 0... (3) Persaaan (3) adalah persaaan differensial gerak osilator haronik dengan redaan. solusi analitik persaaan (3) adalah x = Ae -(2~)tcoS (w't + cfj)... (4) frekuensi sudut w' didefinisikan sebagai w' = J:-C~)2... (5) Kita dapat engecek kebenaran bahwa persaaan (4) erupakan solusi persaaan (3) dengan enghitung turunan pertaa dan kedua dari x keudian ensubstitusikan kedala persaaan (2) lalu engecek bahwa suku kiri dan kanan adalah saa. Berdasarkan persaaan ( 4) dapat disipulkan bahwa aplitudo getaran Ae -(2~)t tidaklah konstan akan tetapi berkurang enurut faktor e -(2~)t sehingga aplitudo getarannya dapat berfluktuasi hingga enjadi nol. Dengan eperhatikan persaaan (5) kita ketahui bahwa nilai w' tidak tetap tetapi tergantung pada nilai b dengan uraian sebagai berikut. Jika ~ = (~)2 aka akan teijadi 2 redaan kritis (Critical Daped). Pada keadaan redaan kritis ini siste tidak akan berosilasi lagi akan tetapi akan kebali pada posisi kesetibangan tanpa berosilasi ketika diberi sipangan keudian dilepaskan. Jika ~ > (~)2 aka akan teijadi 2 redaan kurang (Under Daped) pada kondisi ini aka siste akan berosilasi naun dengan aplitudo yang akan seakin berkurang dengan bertabahnya waktu. Jika!!.. < (~)2aka akan teijadi 2 redaan lebih (Over Daped). Pada keadaan lnl siste tidak akan berosilasi lagi, naun siste akan kebali pada posisi kesetibangan lebih labat jika dibandingkan dala kasus tereda kritis. b. Analisis Gerak Haronik Tereda dengan Pendekatan N uerik Untuk enganalisis gerak haronk tereda dengan pendekatan nuerik dapat digunakan etode uler-croer dengan uraian sebagai berikut. Persaaan (3) dapat diuraikan sebagai berikut d 2 x -b k X dt2 = -;;;: dt -... (6) berdasarkan definisi bahwa ~:: =:; aka persaaan ( 6) dapat dituliskan enjadi dv = -b _ ~ X... (7) dt dt dt = V... (8) 319
Analisis GerakHaronik Tereda... n...... Ahad Fauzi Solusi nuerik dengan etode uler Croer persaaan (7) dan (8) adalah Vi+l = Vi - - b Vi llt - - k Xi llt... (9) dan Xi+l = Xi + Vi+l llt... (10) Berdasarkan persaaan (9) dan (10) jelas dapat disipulkan bahwa solusi dengan analisis nuerik lebih udah dibandingkan solusi eksaknya. Salah satu cara evisualisasikan persaaan (4) aupun persaaan (9) dan (10) adalah dengan enggunakan alat bantu koputer dengan progra tertentu. Pada akalah ini, akan digunakan progra Sprea~heet xcel untuk evisualisasikan persaaan (4) aupun persaaan (9) dan (10). Misalkan dala siste gerak haronik tereda terdiri atas sebuah balok dengan assa 1 kg dihubungkan dengan pegas dengan konstanta pegas 8 N/ dan b=o,23. Balok diasukkan ke dala fluida, balok ditarik sejauh 20 e keudian dilepaskan, dengan enggunakan Spreadsheet xcel, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan langkah berikut. Langkah awal yang perlu kita lakukan untuk enyelesaikan soal tersebut adalah dengan endeklarasikan variabel-variabel persaaanya dala Spreadsheet seperti tabel berikut. Tabell Variabel-Variabel dala Gerak Haronik Tereda Variabel Nilai Satuan v 0 ls k 8 N/ xo 0.2 b 0.23 dt s kg t v X Nuerik X Analitik 0 0 0.2 0.2 0.05-0.08 0.196 0.19687136 0.1-0.15748 0.188126 0.18987013= 0.15-0.23092 0.17658003 0.1791796 0.2-0.2989 0.16163524 0.16505417 0.25-6011 0.14362961 0.14781355-0.41342 0.12295845 0.12783561 5-0.45785 0.10006584 0.10554827 0.4-0.49261 0.07543518 0.0814204 0.45-0.51712 0.04957907 0.05595201 0.5-0.53101 0.02302872 0.02966406 0.55-0.53411-0.0036769 0.00308779 0.6-0.5265-0.0300018-0.0232459 0.65-0.50844-0.055424-0.048817 0.7-0.48043 0.0794453-0.0731266 0.75-0.44312 0.1016015-0.0957065 0.8-9739 -0.1214709-0.1161282 0.85-4423 -0.1386823-0.134011 0.9-0.2848-0.1529222-0.1490289 0.95-0.22035-0.1639398-0.1609165 1-0.15224-0.171552-0.1694737 1.05 0.08187-0.1756456-0.1745685 1.1 0.01067-0.1761792-0.1761395 1.15 0.059922-0.173183-0.1741957 1.2 0.128507-0.1667577 I -0.168816 1.25 0.193732-0.1570711-0.1601464 1.3 0.254332 0.1443545-0.1483967...."...... Langkah selanjutnya adalah ebuat grafik dengan Spreadsheet untuk hubungan sipangan terhadap waktu seperti grafik berikut. Langkah selanjutnya adalah engadakan koputasi dengan Spreadsheet untuk enentukan posisi balok seperti dala tabel berikut. Tabel 2 Perbandingan Posisi Balok enurut Analisis Analitik dan Nuerik 320
ClM3ITJ( Vol. 7 No.2 Juli 2011: 318-322 c 0.1 C 0 a. iii -0.1-0.2 - x Nuerik ---- x Analitik Grafik 1. Gerak Haronik Tereda. Terhadap Waktu untuk cp=o Berdasarkan tabel (2) dan grafik (1) disipulkan bahwa aplitudo gerak haronik dengan redaan tidaklah tetap, akan tetapi aplitudonya enurun sebagai fungsi waktu. Berdasarkan tabel (2) dapat disipulkan bahwa sipangan pada t = 0.05 s enurut analisis analitik adalah 0.197 sedangkan enurut analisis nuerik sipangannya adalah 0.196 dengan deikian perhitungan dengan analsis nuerik engandung kesalahan 0.44%. Naun deikian kesalahan yang ditibulkan perhitungan dengan analisis nuerik tidaklah linear akan tetapi selalu berfluktuasi terhadap waktunya. c 0.1 C 0 a. -0.1 iii -0.2 - - b= 0.25 ---- b= 0.1 Grafik 2. Gerak Haronik dengan Redaan untuk b yang Berbeda Berdasarkan grafik (2) terlihat bahwa dengan seakin besar nilai b aka aplitudo getarannya seakin cepat enurun apabila dibandingkan untuk nilai b yang lebih keeil akan tetapi jika nilai b seakin besar aka periodenya akan bertabah. c 0.1 C a. 0 iii -0.1-0.2 -k=l -----k=8 Grafik 3. Gerak Harnlonik Dengan Redaan untuk k yang Berbeda Berdasarkan grafik (3) dapat disipulkan bahwa nilai k tidak berpengaruh terhadap laju penurunan aplitudonya, apabila k seakin keeil aka periodenya seakin besar. 3. Penutup Berdasarkan ural an di atas dapat dikeukakan bahwa persaaan differensial gerak haronik tereda lebih udah dieari dengan pendekatan nuerik dari pada dengan pendekata analitik. Dengan enggunakan Spreadsheet xcel dapat divisualisasikan solusi nuerik persaaan differensial gerak harnlonik tereda.. Berdasarkan hasil analisis grafik yang diperoleh dari Spreadsheet xcel dapat disipulkan seeara udah bahwa pada gerak haronik tereda, seakin besar nilai koefisien reda. (b) aka aplitudo getarannya seakin eepat enurun apabila dibandingkan untuk nilai b yang lebih keeil akan tetapi jika nilai b seakin besar aka periodenya akan bertabah. Selain itu dapat pula dikeukakan bahwa nilai konstanta pegas (k) tidak berpengaruh terhadap laju penurunan aplitudonya, apabila k 321
Analisis Gerak Haronik Tereda......... Ahad Fauzi seakin kecil aka periodenya seakin besar DAFTAR PUSTAKA Bloch, S.C. 2005. xcel untuk Insinyur dan Iluwan. Terjeahan Soni Astranto. Jakarta: rlangga. Chapra, S. dan Canale, R. 1998. Nuerical Methods for ngineers with Prograing and Software Apllication. Singapura: McGraw HilL Chapra, S. dan Canale, R. 1991. Metode Nuerik. TeIjeahan Nyoan Susila. Jakarta: rlangga. Fauzi, A. 2010. Peanfaatan Spreadsheet xcel untuk Menyelesaikan Soalsoal Fisika. Surakarta: UNS Press. Giordano, N, 1997. Coputational Physics. New Jersey: Prentice Hall. Halliday, D dan Resnick, R. 1997. FISlKA JIUD 1. Terjeahan Pantur Silaban dan rwin Sucipto. Jakarta: rlangga. Karris, S. 2007. Nuerikal Analysis Using MATLAB and xcel....: Orchad Publications. Mittal, P dan Dev J. 1994. Waves And Oscillations. New Delhi: HAR ANAND PUBLICATIONS. Plybon, B. 1992. Apllied Nuerikal Analysis.USA: PWS-KNT. Tipler, P. 1998. Fisika Untuk Sains dan Teknik. Jakarta: rlangga. Young dan Freedan.2004.University PhYSics. San Francisco: Pearson Addison Wesley. 322