Konsep Dasar Probabilitas

Konsep Dasar Probabilitas

Random Events Sample space : collection of all possible events arising from a conceptual experiment or from an operation that involves chance.

Reservoir storage: amount of water in a reservoir varies in time from 0 to c. Reservoir capacity make up from combination of inflows and outflows. Sample space: Ω={S:0 S<c

Event Event is a collection of sample points in the sample space Ω of an experiment. Event consists of a single point simple event Event consists of a two or more points compound event.

Sample space: Ω A i, dimana I = 1,2,., k Ai S: (i-1)c/k S<ic/k dimana i= 1,2, k Jika terdapat 4 kondisi wi S: (i-1)c/4 S<ic/4 dimana i= 1,2, k A = w 4 S: 3c/4 S<c single sample point B = w 1 + w 2 compound event w 1 = S: 0 S<c/4 dan w 2 = S: c/4 S<2c/4

Null Event, Intersection and Union Hubungan antar event: Dua Event A 1, A 2, mutually exclusive atau disjoint jika kejadiannya tidak bersamaan satu sama lain. A 1, A 2 adalah null event. A 1 A 2 = A 1 A 2 =. Contoh: A {S: 3c/4 S<c dan B {S: 0 S<c/2 adalah mutually exclusive. Intersection jika kedua event memiliki kesamaan sample point. A 1 A 2 = A 1 A 2. Contoh A B c adalah {S: 3c/4 S<c Union : kedua sample memiliki penyambungan kejadian. A 1 A 2 = A 1 + A 2 contoh A 1 A 2 ={S: 0 S<c/2

Diagram Venn and Event Space Collection of sample points in sample space = sets Set operations = union, intersection, complement, etc. All possible combinations of event = event space.

Event Space A Jika A A, maka A c A Jika A 1 A dan A 2 A, maka A 2 + A 1 dan A Jika A 1 A dan A 1 A, maka A 1 A 2 A Jika A, maka A c A

Associative (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C) (AB)C = A(BC) (A B) C = A (B C) Compound events (A+B) C = AC + BC (A B) C = (A C) (B C) AB + C = (A+C)(B+C) (A B) C = (A C) (B C)

Probabilitas Prior Probability berdasarkan asumsi, tidak memerlukan verifikasi. Misalnya probability ace pada kartu adalah 1/13 Posterior Probability, memerlukan observasi dan pengukuran. Misalnya kuat tekan beton pada saat failure/rupture (beban kritis). Beban kritis pada kubus beton yg ditest bervariasi, dan unpredictable. Pengukuran dan observasi diperlukan untuk mengetahui probability beban kritis tsb.

Contoh

Multidimensional observation Bidang keteknikan banyak melakukan joint observasi. Misalnya teknik lingkungan, Dissolved Oxygen (DO) dan Biological Oxygen Demand (BOD) diukur pada air yang diteliti untuk menyelidiki polusi pada suatu sungai. Teknik sipil, pengukuran compressive strength dan density beton. Intesitas dan durasi hujan, kecepatan dan arah angin, periode dan tinggi gelombang, dll.

Jumlah hari dan total curah hujan

Petani di Castle Park Milan mengetahui jika jumlah hari hujan lebih empat hari, dan total curahhujan lebih dari 20 mm, irigasi tidak diperlukan.

Mengukur Probabilitas Fungsi Probabilitas, Pr adalah fungsi yang memetakan event space A pada sebuah random experiment dalam interval 0,1 Pr A 0 untuk A A Pr = 1 jika A1 A, A2 A dan A1 A2 = maka Pr A1 + A2 = Pr A1 + Pr A2

Kasus Reservoir/Bendungan A i S: (i-1)c/k S<ic/k untuk i = 1,2,3,4. Jika observasi dilakukan setiap tahun selama 36 thn, maka frekuensi kejadian untuk masing-masing kondisi: 5, 15, 10 dan 36. Pr A 1 = 5/36, Pr A 2 = 15/36, Pr A 3 = 10/36, Pr A 2 = 6/36 Pr = 5/36+15/36+10/36+6/36 = 1

Kasus Reservoir Jika C = A2 {S: c/4 S<c/2} D = A3 + A4 {S: c/2 S<c} maka kita dapat menghitung bahwa C terjadi 15 kali dalam 36 thn D terjadi 10 + 6 = 16 kali. Pr C = 15/36 dan Pr D =16/36 C + D = A2 + A3 + A4 Pr C+D = Pr A2 + A3 + A4 = (15+10+6)/36 = 31/36 = Pr C + Pr D

Additional Rule Pr A 1 + A 2 + + A k = Pr A 1 + Pr A 2 + + Pr A k Pr A 1 = 1 Pr A Pr A B Pr A + B = Pr A + Pr B -Pr AB

Contoh Kejadian banjir pada sungai Bisagno di Genoa Italia dicatat sejak tahun 1931 1995. 6 kejadian banjir yaitu 1945, 1951(2 kali), 1953, 1970, 1992. Jika N adalah kejadian banjir per tahun maka kita dapat mendefenisikan {N: N>0} dan A {N: N=0}. Kejadian banjir minimal sekali dalam setahun maka A c {N: N>0}, Pr A c =5/36 = 0.077 dan Pr A = 1 0.077 = 0.923 yang merupalan probabilitas kejadian tanpa banjir dalam setahun. Sementara Pr A c = 0.077 adalah resiko banjir yang akan terjadi.

Plotting Data Jika D c {S:0 S<c/2} maka probabilitas Pr D c = Pr A1 + A2 = (5 + 15)/36 = 20/36 Pr D = 1 - Pr D c = 1 20/36 = 16/36 Jika E = A2 + A3 {S:c/4 S<3c/4} maka Pr ED = Pr E + Pr D =Pr E+D Pr ED = 25/36 + 16/36 31/36 = 10/36

Probability of Null Event, Contained event and Boole s inequality Null event Pr = 0 Contained event Pr A Pr Pr B jika A B Boole s inequality Pr A1+A2+ +An Pr A1 +Pr A2 + +Pr An

Contoh Dua kejadian akan menyebabkan kegagalan bendungan di daerah rawan gempa. Banjir besar dengan muka air sangat tinggi (A) Gempa bumi (B) Pr A = a Pr B = b Pr A+B = Pr A + Pr B - Pr AB Kejadian AB sangat kecil kemungkinannnya, Pr A+B Pr A + Pr B Pr A+B = a + b Jika a = 0.02 dan b = 0.01 maka Pr A+B = 0.02+0.01 =0.03

Conditional Probability Jika A dan B adalah dua events pada sample space dan Pr B > 0 maka probability event A ketika B sudah terjadi adalah: Pr A B = Pr AB / Pr B Pr B 0 Contoh: pengetesan kubus beton 40 sample A {2440 < c < 2460 kg/m3} B {55 < c < 65 kg/m3} Pr A = 19/40 Pr B = 26/40 Intersection event Pr AB = 16/40 Probabilitas kubus beton dengan densitas 2440 2460 kg/m3 yang memiliki kompressif streghtn 55-65 N/mm2 adalah Pr A B = Pr AB /Pr B = (16/40) / (26/40) = 16/26