VECTOR DI BIDANG R DAN RUANG R Nurdininty Athri (NDT)
VEKTOR DI BIDANG (R ) DAN DI RUANG (R ) Pokok Bhsn :. Notsi dn Opersi Vektor. Perklin titik dn Proyeksi Ortogonl. Perklin silng dn Apliksiny Beerp Apliksi : Proses Grfik Komputer Kuntissi pd proses kompresi Lest Squre pd Optimsi Klsifiksi sinyl
Notsi dn Opersi Vektor esrn yng mempunyi rh Notsi vektor,, ˆ ˆ ˆ k j i Pnjng vektor dlh Vektor stun Vektor dengn pnjng tu norm sm dengn stu
Opersi Vektor meliputi :. Penjumlhn ntr vektor (pd rung yng sm). Perklin vektor () dengn sklr () dengn vektor lin Hsil kli titik (Dot Produt) Hsil kli silng (Cross Produt)
Penjumlhn Vektor Mislkn u dn v dlh vektor-vektor yng erd di rung yng sm, mk vektor u v didefinisikn : v u v u u
Perklin vektor dengn sklr u k u Perklin vektor dengn sklr k, didefinisikn segi vektor yng pnjngny k kli pnjng vektor dengn rh u Jik k >0serh dengn u Jik k <0 erlwnn rh dengn u u u u
Ser nlitis, kedu opersi pd vektor dits dpt dijelskn segi erikut : Mislkn, dn,,.,,.,,. k k k, k,, dlh vektor-vektor di rung yng sm mk :
Perklin ntr du vektor Hsil kli titik (dot produt) Hsil kli silng (ross produt) Hsil kli titik (dot produt) Hsil kli titik merupkn opersi ntr du uh vektor pd rung yng sm yng menghsilkn sklr Hsil kli silng (Cross produt) Hsil kli silng merupkn opersi ntr du uh vektor pd rung R yng menghsilkn vektor
Dot Produt Mislkn, dlh vektor pd rung yng sm mk hsil kli titik ntr du vektor : os dimn : pnjng : pnjng : sudut ntr keduny
Contoh : Tentukn hsil kli titik dri du vektor iˆ dn Jw : iˆ ˆj kren tn = tu = 45 0 os = 4 8
Ingt Aturn Cosinus = + os os
Selnjutny dpt ditulis Ingt hw : os os..... n.... n.... 4 n n n n n n n n......... n n...
Perhtikn setip sukuny, diperoleh huungn :... n n Contoh: Tentukn hsil kli titik dri vektor = () + 0 () iˆ dn iˆ ˆj = 4 Beerp sift hsil kli titik :... k k k, dimn k R
DOT PRODUCT Persmn u. v u v os dpt dinytkn segi : os u.v u v Persmn hsil kli titik (dot produt) dpt digunkn untuk menghitung sudut () dintr du uh vektor sudut lnip jik dn hny jik u.v > 0 sudut tumpul jik dn hny jik u.v < 0 = / jik dn hny jik u.v = 0
OPERASI VEKTOR Misl u = (u,u ), mk u u u Misl u = (u,u,u ), mk u u u u Jrk ntr du uh titik (Vektor) Misl A(, ) dn B(, ) dlh du titik di R. Mk, jrk ntr titik A dn B dlh d d A, B AB Misl A(,, ) dn B(,, ) dlh du titik di R. Mk, jrk ntr titik A dn B dlh A. B AB
OPERASI VEKTOR Contoh Mislkn u = (,,), u =? Jw : u 9 Contoh Hitunglh jrk ntr titik A(,, ) dn B(,, 4) Jw : d AB. 4 4
w w u w w proy u u u k w...( w k) u kw...( ) u k w u k...( w 0) Kren w proj u k, u mk w proju PROYEKSI ORTOGONAL u w w kren w proj u,( w proyeksi upd ) mk w u proj u proj u u proju...( ku k u ) proj u...( 0) proj u u os...( u u os ) u u
Contoh Crilh proyeksi ortogonl vektor w 4 reltif pd vektor v 4
Jw : Proy v w w v v v 4 4 ( 4) 4 ( ) ( ) 6 4 6 6 4 4
LATIHAN. Mislkn = (k,k,) dn = (k,,-4). Crilh nili k. Jik sudut ntr dn runing. Jik sudut ntr dn tumpul. Jik sudut ntr dn ortogonl. Crilh proyeksi ortogonl vektor reltif pd vektor. (6,), (, 9). (5,6), (, ). (,0,0), (4,,8) d. (,,6), (,, 7)
CROSS PRODUCT Definisi Cross produt (hsil kli silng) merupkn hsil kli ntr du vektor di rung (R ) yng menghsilkn vektor yng tegk lurus terhdp kedu vektor yng diklikn terseut. Mislkn =(,, ) dn = (,, ) dlh vektor di R, mk ross produt x dlh vektor yng didefinisikn iˆ ˆj kˆ ˆ ˆ i j kˆ,,
Huungn ntr Cross Produt dn Dot Produt () ( ) 0 () ( ) 0 CROSS PRODUCT Sift dri Cross Produt Jik,, nd dlh vektor di rung R dn k sklr, mk () ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (4) () ( ) k ( ) ( k) k (5) 0 0 0 (6) 0 ( x ortogonl terhdp ) ( x ortogonl terhdp ) (Identits Lgrnge)
Mk, x sin CROSS PRODUCT os os os sin
Contoh : Crilh dimn Jw : w u v iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ w u u u v v v 0. 0( ) ˆ ( ). ˆ.0. i j kˆ iˆ7ˆj6kˆ u,,, v (, 0, )
Interpretsi Geometri CROSS PRODUCT sin Apkh ini? sin Lus Jjrgenjng/Prllelogrm sin Lus Segitig sin
Contoh: Mislkn koordint titik A, B, dn C s : A = (,, ) B = (4,, 0) C = (,, ) Gunkn ross produt untuk menri lus segitig ABC dn lus prllelogrm ABCD!
A segi un A C B AB AC Jw : B A 4,,0,, (,,) C A,,,,, 4, 5 iˆ ˆj kˆ ABAC iˆ ˆj 0kˆ 4 5 Lus segitig ABC 4 69 00 7 Lus prllelogrm 4 69 00 7
B segi un B C A iˆ ˆj kˆ BABC iˆk ˆ 0ˆj Lus segitig ABC BA BC,, 4,, 0,,,, 4,,0,, BA xbc 4 69 00 7 Lus prllelogrm 4 69 00 7
LATIHAN. Tentukn os sudut yng terentuk oleh psngn vektor erikut :. dn. dn. Tentukn proyeksi ortogonl vektor terhdp vektor dn tentukn pnjng vektor proyeksi terseut:. dn. dn. Dikethui Cri : u 8 6 v 7 u 8 v (,4), (5, ), (7,) u v w. (7 ). ( ). ( ).( ) u v w uvw u v w d u v w
4. Tentukn du uh vektor stun di idng yng tegk lurus terhdp vektor 5. Tentukn vektor yng tegk lurus terhdp vektor dn 6. Tentukn lus segitig yng mempunyi titik sudut P (,0, ), Q (,4,5), dn R (7,,9) dn tentukn lus prlellogrm! u 7 u 4 0 v