Vektor B A B. A. Pengertian Vektor. B. Operasi pada Vektor. C. Perbandingan Vektor. D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor

Transkripsi

1 Vektor B A B 4 A. Pengertin Vektor B. Opersi pd Vektor C. Perndingn Vektor D. Perklin Sklr Du Vektor dn Proyeksi Vektor Sumer: Pernhkh klin meliht leming yng meluncur di udr st dilempr oleh tlet lempr leming? Leming terseut meluncur dengn keceptn dn rh tertentu sesui dengn keinginn sng tlet. Dlm mtemtik, leming yng meluncur ini mewkili seuh vektor, yitu sutu esrn yng memiliki esr dn rh. Agr klin leih memhmi tentng vektor ini, peljrilh erikut. B 4 Vektor 8

2 A ktivits di K A. Pengertin Vektor Untuk memhmi tentng vektor, lkuknlh kegitn erikut. els. Gmrlh seuh rus gris pd selemr kerts!. Berilh tnd pnh pd ujung rus gris terseut ini!. Seut titik pngkl rus gris segi titik P dn titik ujungny segi titik Q. 4. Ukurlh pnjng rus gris dengn menggunkn penggris! 5. Diskusikn dengn temn sengkumu! 6. Ap yng dpt disimpulkn dri ktivits ini? Kemukkn hsil kegitn ini di depn kels! Rus gris errh yng klin gmr pd kegitn ini mewkili seuh vektor. Pnjng gris yng diukur menggunkn penggris menunjukkn pnjng vektor terseut. Kren titik pngkl P dn titik ujung Q, mk vektor diseut segi vektor PQ. Pnjng vektor PQ ini dilmngkn dengn PQ. Selin cr di ts, seuh vektor dpt pul ditulis menggunkn: huruf kecil yng dicetk tel. Seperti,, c, dn seginy. Mislny, vektor PQ Q di smping ditulis segi vektor. P huruf kecil yng di ts huruf itu diuuhi tnd pnh. Q Seperti,,c dn seginy. Mislny vektor PQ dpt ditulis segi vektor P. Penulisn vektor dengn menggunkn lmng pnh di ts leih sering digunkn. Kren mnggunkn tulisn tngn, vektor yng diuuhi tnd pnh leih mudh dituliskn dripd yng dicetk tel. Klin es memilih cr penulisn vektor terseut. Sekrng, perhtikn serng titik A(, dn titik B(, pd koordint Crtesius erikut. y A(, c B(, O x Gmr 5. Titik A(, dn B(, pd koordint Crtesius Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

3 Pd idng Crtesius terseut, vektor mewkili rus gris errh dri titik pngkl O(0, 0 ke titik A(,. Oleh kren itu, vektor ini dpt klin tuliskn dlm entuk psngn terurut (,. Adpun vektor mewkili rus gris errh dri titik pngkl O(0, 0 ke titik B(,. Vektor dpt klin tuliskn segi (,. Dengn menggunkn rumus jrk, klin dpt menentukn pnjng vektor dn ini, yitu: Pnjng vektor dlh Pnjng vektor dlh Dengn menrik rus gris dri titik A ke titik B, klin mendptkn vektor c. Dengn menggunkn rumus jrk, vektor c ini dpt di tuliskn segi c (, sehingg pnjng vektor c dlh c. Jik rh vektor c dilik, mk kn didpt vektor c, yitu seuh vektor yng pnjngny sm dengn pnjng vektor c dengn rh erlwnn. Vektor ini diseut vektor invers dri vektor c. Jik ditulis dlm entuk psngn terurut, vektor c (,. Pnjngny dlh c Untuk setip vektor yng ukn vektor nol, dpt ditentukn sutu vektor stun dri vektor, dilmngkn dengn ê. Vektor stun rhny serh dengn vektor dn pnjngny sm dengn stu stun. x Jik vektor y, mk vektor stun dri dirumuskn dengn: x ê x y y Vektor-vektor stun ˆ idnj ˆ dpt dinytkn dengn vektor kolom, yitu: ˆ ˆ 0 i dn j 0 Dengn pemhmn yng sm seperti vektor pd idng (R, klin dpt memhmi vektor pd rung (R. Mislny, mil serng titik A(,, dn B(,, pd rung (R, mk klin dpt menuliskn vektor yng mewkili vektor OA dn vektor yng mewkili vektor OB dlm entuk psngn terurut segi erikut. (,, dn (,, Pnjng kedu vektor ini msing-msing dn B 4 Vektor 85

4 Untuk vektor pd rung (R, jug dpt ditentukn vektor x stunny. Jik vektor y, mk vektor stun dri dirumuskn z dengn: x ê y x y z z Vektor-vektor stun ˆˆ i, j, dn k ˆ dpt dinytkn dengn vektor kolom, yitu: 0 0 ˆi 0, ˆj,dn kˆ Contoh. Dikethui segitig ABC dengn titik-titik sudut A(0,, 5, B(, 4, 6, dn C(4,,. Tentukn:. Vektor p yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik B. Vektor q yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl B ke titik C c. Vektor r yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik C d. Keliling segitig ABC Jw:. Vektor p mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik B, mk p AB ( 0, 4, 6 5 (,,. Pnjng vektor p dlh p 4 6 AB 6. Vektor q mewkili rus gris errh dri titik pngkl B ke titik C, mk q BC (4, 4, 6 (,, 5. Pnjng vektor q dlh q ( ( c. Vektor r mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik C, mk r AC (4 0,, 5 (4, 0, 4. Pnjng vektor r dlh r 4 0 ( d. Keliling segitig ABC dlh p q r Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

5 . Dikethui vektor dn di R. Jik 5, 7, dn 05, tentukn Jw: Dri 5, didpt 5 5 Persmn Dri 7, didpt Persmn Dri 05, didpt ( ( 05 Sehingg diperoleh ( ( Persmn Sustitusi persmn dn ke persmn Persmn 4 ( ( Persmn 5 Sustitusi persmn,, dn 4 ke persmn Jdi, 4. ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Gmrkn vektor-vektor erikut pd koordint Crtesius!. k (4, 7 f. p (, 0,. l (7, 4 g. q (6, 7, 8 c. m (5, 0 h. r (,, 0 d. n (0, 5 i. s (4, 4, 4 e. o (5, 5 j. t (0, 0, 0. Dikethui segitig ABC dengn titik-titik sudut A(, 4,, B(6,, 5, dn C(, 5, 6.. Gmrlh segitig terseut. Boot sol: 0 Boot sol: 0 B 4 Vektor 87

6 . Tentuknlh vektor yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik B dn tentukn pnjng vektor. c. Tentuknlh vektor yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl B ke titik C dn tentukn pnjng vektor. d. Tentuknlh vektor c yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik C dn tentukn pnjng vektor c. e. Tentuknlh keliling segitig ABC. f. Tentuknlh lus segitig ABC.. Dikethui vektor u (,,, v (,, 0, dn w (,, 4. Tentuknlh: Boot sol: 0. u v e. w u. u v f. w u w u c. u v u v g. w w d. w u h. w w 4. Dikethui vektor u dn v di R.. Jik u 5, v, dn u v, tentuknlh u v. Jik u, v 5, dn u v, tentuknlh u v Boot sol: 0 c. Jik u 4, v, dn uv 7, tentuknlh u v Buktikn secr geometris dn ljr hw jik u dn v di R, mk:. u v u v. u v u v u v. Sumer: Elementry Liner Alger Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

7 B. Opersi pd Vektor B.. Penjumlhn dn Pengurngn Vektor Perhtikn titik-titik A(,, B(,, dn C(c, c pd koordint Crtesius erikut ini! y A(, c O B(, x c C(c, c Gmr 5. Titik A(, dn B(, dn C(c, c pd koordint Crtesius Pd gmr terseut, vektor,, dn c dpt klin tulis segi erikut. (,. Dpt pul ditulis, (c, c. c Dpt pul ditulis, c c (c, c. c Dpt pul ditulis, c c Sekrng, jumlhknlh vektor dn. Kren vektor merupkn mtriks kolom, mk klin dpt menjumlhkn vektor dn dengn menggunkn turn penjumlhn mtriks. Dengn turn ini, kn diperoleh c c c c c c c Perhtikn hw c. c Urin terseut menunjukkn hw c. Secr geometris, penjumlhn ntr vektor dn ini dpt klin lkukn dengn du cr, yitu: B 4 Vektor 89

8 . Cr segitig Dlm cr ini, titik pngkl vektor erimpit rus dengn titik ujung vektor. Jumlh vektor dn didpt dengn menrik rus gris dri titik pngkl vektor ke titik ujung vektor. Rus gris ini diwkili oleh vektor c. Akitny, c. c Gmr 5. Penjumlhn vektor + = c dengn cr segitig. Cr jjrgenjng A B c D E Mislkn, vektor mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik B dn vektor mewkili rus gris errh dri titik pngkl C ke titik D. Dlm cr jjrgenjng, titik pngkl vektor erimpit dengn titik pngkl vektor, yitu A C. Dengn memut jjrgenjng ABED, kn diperoleh ABAD AB BE (Oleh kren AD BE AE Gmr 5.4 Penjumlhn vektor + = c dengn cr jjrgenjng (Gunkn cr segitig Oleh kren AB, AD, dn AE c, mk c. Sekrng, jik vektor dijumlhkn dengn invers vektor, mk klin mendptkn penjumlhn vektor ( segi erikut. ( c Gmr 5.5 Penjumlhn vektor + ( Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

9 B 4 Vektor 9 Seperti pd ilngn rel, klin dpt menuliskn (. Secr geometris, klin dpt mengurngkn dengn segi erikut. Dengn menggunkn turn penjumlhn dn pengurngn mtriks kolom, klin dpt menytkn turn penjumlhn dn pengurngn vektor segi erikut. Untuk dn vektor-vektor di R, erlku Dengn menggunkn psngn terurut, dpt dituliskn (, (, (, (, (, (, Untuk dn vektor-vektor di R, erlku Dengn menggunkn psngn terurut, dpt dituliskn (,, (,, (,, (,, - (,, (,, Gmr 5.6 Pengurngn - secr geometris

10 c d e Perhtikn gmr erikut! Dri gmr di smping, klin dpt menytkn: c d e c d e Gmr 5.7 Penjumlhn vektor Contoh Dikethui vektor-vektor (0,,, (,, 4, dn c (, 0,, tentukn: c c 9. ( c 5. c 0. ( c Jw:. (0,, (,, 4 (0,, 4 (,, Jdi, (,,.. (,, 4 (0,, ( 0, (, 4 ( (,, Jdi, (,,.. c (,, 4 (, 0, ( (, 0, 4 (,, 7 Jdi, c (,, c (,, 4 (, 0, ( (, 0, 4 (5,, Jdi, c (5,,. 5. c (, 0, (,, 4 (, 0, 4 (5,, Jdi, c (5,,. 6. (0,, (0,, ((0 0, (, ( (0, 4, Jdi, (0, 4,. 7. (0,, (0,, ((0 0, (, ( (0, 0, 0 o Jdi, o. 8. o (0,, (0, 0, 0 (0 0, 0, 0 (0,, Jdi, o. 9. ( c (,, (, 0, ( (, 0, (,, 6 Jdi, ( c (,, ( c (0,, (,, 7 (0 (,, 7 (,, 6 Jdi, ( c (,, Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

11 Ash Kompetensi. Dikethui vektor-vektor erikut. c Jik c, dn c, gmrkn vektor-vektor erikut!. k.. l. c. c m. c d. c n. c e. c o. c f. c p. c g. ( c q. ( c h. ( c r. ( c i. ( c s. ( ( c j. ( c t. ( ( c. Berdsrkn gmr erikut, tulisknlh opersi-opersi vektorny dlm entuk yng pling sederhn.. d. f e h d c. d e d. e g g f e. c f. c i h c i. Dikethui vektor-vektor (5, 4, ; (,, ; dn c (, 8, 5; tentuknlh:. m. ( c. c n. ( c c. o. ( c d. ( c p. (c e. ( c q. f. ( c r. g. s. c h. t. c i. c u. c j. c v. c k. c w. ( ( c l. c x. ( ( c 4. Secr geometri, uktikn hw:. u v v u c. u o o u u. (u v w u (v w d. u (u u u o B 4 Vektor 9

12 B.. Perklin Sklr dengn Vektor Pd gin seelumny, klin telh mempeljri penjumlhn vektor. Ap yng terjdi jik vektor-vektor yng dijumlhkn dlh k vektor yng sm? Dlm penjumlhn terseut, klin kn mendptkn seuh vektor ru yng setip komponen-komponenny diperoleh dengn menglikn k dengn setip komponen-komponen vektor u. Akitny, vektor ru terseut segris dengn vektor u dn memiliki pnjng ku. Jik k sklr tk nol dn vektor u (u, u,, u n, mk ku (ku, ku,, ku n. Dlm perklin sklr dengn vektor ini, jik k 0, mk vektor ku serh dengn vektor u. Adpun jik k 0, mk vektor ku erlwnn rh dengn vektor u. u u u u... k vektor u u... u u u ku k 0 k 0 u u... u ku Contoh Gmr 5.8 Perklin sklr dengn vektor u. Dikethui vektor (, 4, 5 dn (,,, tentukn vektor c. Jw: c (, 4, 5 (,, (, 4, 5 (,, (, 8, 0 (6, 9, 6 (8, 7, 6 Jdi, c (8, 7, 6.. Buktikn hw vektor u (, 0, 6 sejjr dengn vektor v (, 0,. Bukti: Untuk memuktikn hw vektor u (, 0, 6 sejjr dengn vektor v (, 0,, klin hrus menunjukkn d ilngn rel k sehingg u kv. u kv u kv o (, 0, 6 k(, 0, (0, 0, 0 (, 0, 6 (k, 0, k (0, 0, 0 ( k, 0, 6 k (0, 0, 0 Didpt, k, mk, u v. Jdi, vektor u (, 0, 6 sejjr dengn vektor v (, 0, Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

13 Ash Kompetensi. Dikethui vektor (,,, (0,,, dn c (,,. Hitunglh:. d. 4c. 4c e. 4c c. 4 f. 4 c. Dikethui vektor dn seperti gmr erikut. Gmrkn vektor c jik:. c. c c. c. Crilh vektor dengn titik pngkl P(,, 4 yng mempunyi rh sm seperti vektor v (7, 6,! 4. Crilh vektor dengn titik ujung Q(, 0, 7 yng rhny erlwnn dengn vektor v (, 4,! 5. Buktiknlh hw vektor u (,, sejjr dengn vektor v (4,, 6! 6. Dikethui titik A(, 4, 6, B(6, 6,, dn C(4, 0, 6. Tunjukkn hw titik A, B, dn C segris (kolinier! B.. Sift-Sift Opersi Hitung pd Vektor Vektor di R erhuungn dengn letk sutu titik pd seuh idng dengn psngn ilngn (x, y merupkn koordint Crtesius dri sutu titik tu koordint idng. y B(, O C(, A(, 4 5 D(5, x Gmr 5.9 Koordint Crtesius di R Vektor R mempunyi psngn ilngn (x, y, z yng merupkn koordint Crtesius dri sutu titik tu koordint rung ke tig sumu mementuk tig idng, yitu idng xy, idng xz, dn idng yz. B 4 Vektor 95

14 Ketig idng terseut memgi rung dimensi tig menjdi 8 derh seperti Gmr 5.0. z x y Gmr 5.0 Derh perpotongn pd rung dimensi tig z A(, 4, 5 (, 4 y x Gmr 5. Koordint Crtesius di R Sift-sift yng terdpt dlm opersi hitung vektor dlh segi erikut. Jik,, dn c vektor-vektor di R tu di R dn k sert l sklr tk nol mk erlku huungn erikut.. 5. k(l (kl. ( c ( c 6. k( k k. o o 7. (k l k l 4. ( o 8. Dlm uku ini kn diuktikn sift, sift, sift 4, dn sift 7. Untuk sift-sift yng lin, dpt klin uktikn sendiri. Pemuktin sift Amil serng vektor (,, dn (,,, mk (,, (,, (,, (,, (,, (,, Jdi,. Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

15 Amil serng vektor (,,, (,,, dn c (c, c, c, mk: ( c ((,, (,, (c, c, c (,, (c, c, c ( c, c, c ( ( c, ( c, ( c (,, ( c, c, c (,, ((,, (c, c, c ( c Jdi, ( c ( c. Amil serng vektor (,,, mk : ( (,, (,, (,, (0, 0, 0 o Jdi, ( o. Amil serng sklr k dn l sert vektor (,,, mk : (k l (k l(,, ((k l, (k l, (k l (k l, k l, k l (k, k, k (l, l, l k(,, l(,, k l Jdi, (k l k l. Pemuktin sift Pemuktin sift 4 Pemuktin sift 7 ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Buktikn secr geometri hw:. ( o. k(l (kl c. k( k k. Tentuknlh vektor u dn v, jik u v (7,, dn u 5v (, 0,.. Dikethui titik A(7,, 6, B(, 0, 0, dn C(,,. Tentukn pnjng AB, AC, dn BC. Kemudin, uktiknlh hw C terletk pd gris AB. 4. Dikethui titik A(6,, 4, B(,,, dn C(6,, 4. Tunjukkn hw titik A, B, dn C segris (kolinier. 5. Tentuknlh semu sklr c, c, dn c yng memenuhi c (, 7, 8 c (,, c (, 6, 0. Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 B 4 Vektor 97

16 C. Perndingn Vektor Niko Senter pergi dri rumh ke sekolhny dengn erjln kki melintsi seuh jln yng lurus. Jik st ini, i telh meningglkn rumh sejuh m meter dn i hrus menempuh jrk n meter lgi untuk ti di sekolh, mk perndingn jrk yng telh ditempuh dengn jrk yng elum ditempuhny dlh m : n. Mislkn: Posisi rumh Niko Senter dlh P Posisi sekolh dlh Q Posisi Niko Senter st ini dlh N mk dpt dituliskn PN : NQ m : n. Dri perndingn ini, klin dpt menytkn titik N segi vektor posisi n dlm vektor posisi titik P dn Q. Crny segi erikut. n r PN P m m r PQ m n N r m (s r m n mrnrmsmr m n ms nr m n Jdi, n ms nr. m n O r n s n Q Jik P(x, y dn Q(x, y di R, mk n x x m n y y m n mx nx my ny Koordint titik N dlh N, mn mn x x my n y Jik P(x, y, z dn Q(x, y, z di R z z, mk n m n mx nx my ny mz nz Koordint titik N dlh N,, mn mn mn Dlm perndingn PN : NQ m : n terdpt du ksus, yitu:. Titik N memgi PQ di dlm. m n P N Q PN : NQ m : n Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

17 . Titik N memgi PQ di lur. P Contoh m Q n Tentuknlh koordint sutu titik pd gris huung A(,, 4 dn B(6, 7, 8 di dlm dn di lur dengn perndingn :. Jw: Mislkn, titik terseut dlh titik P. Untuk titik P memgi AB di dlm dengn perndingn :, erlku AP : PB :. Koordint titik P dpt klin tentukn dengn cr erikut P,, P(, 4, 5 Jdi, titik P(, 4, 5. Untuk titik P memgi AB di lur dengn perndingn :, erlku AP : PB :. Koordint titik P dpt klin tentukn segi erikut. P 6 ( 7 ( 8 ( 4,, ( ( ( P(0,, Jdi, titik P(0,,. N PN : NQ m : n Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentuknlh koordint titik P yng terletk pd gris AB jik:. A(, 0,, B(0, 4, 5, dn AP : PB :. A(,,, B(,, 5, dn AP : PB :. Titik-titik sudut segitig ABC dlh A(, 0, 6, B(0,,, dn C(, 0, 4. Titik P memgi AB di dlm dengn perndingn :, Titik Q dlh titik tengh AC, dn titik R memgi BC di lur dengn perndingn :. Tentuknlh koordint-koordint titik P, Q, dn R.. Buktikn hw A(,,, B(, 5, 0, C(, 4, dlh titik-titik sudut segitig siku-siku smkki. Tentuknlh koordint titik sudut keempt dri persegi ABCD. 4. Dikethui segitig ABC dengn AB dn AC. Titik D pd sisi BC dengn BD : DC : dn titik E pd AC dengn AE : EC :. Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 40 B 4 Vektor 99

18 . Nytkn vektor AE dn AD dlm vektor dn.. Jik M titik potong ntr gris AD dn BE, nytkn vektor dlm vektor dn. c. Jik perpnjngn gris CM memotong gris AB di titik F, tentuknlh perndingn AF : FB. d. Jik perpnjngn gris DE memotong gris AB tu perpnjngnny di titik H, tentukn perndingn AH : HB. 5. Dikethui jjrgenjng OABC, D dlh titik tengh OA. Buktiknlh hw CD digi du oleh OB dengn perndingn :. Buktikn jug hw OB digi du oleh CD dengn perndingn :. Boot sol: 0 D, E, dn F erturut-turut titik tengh sisi AB, BC, dn CA sutu segitig ABC. Buktiknlh hw c d e f D. Perklin Sklr Du Vektor dn Proyeksi Vektor B O A Jik dn vektor-vektor tk nol dn sudut di ntr vektor dn, mk perklin sklr vektor dn didefinisikn oleh cos. Jik dinytkn dlm entuk psngn terurut, perklin sklr du vektor ini didefinisikn segi erikut. Jik (,,..., n dn (,,..., n dlh serng vektor pd R n, mk hsil kli dlm tu perklin sklrny dlh... n n Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

19 Jik (, dn (, vektor-vektor di R, mk Jik (,, dn (,, vektor-vektor di R, mk Dlm perklin sklr du vektor terdpt sift-sift erikut. Jik,, dn c vektor-vektor di R tu di R dn k sklr tk nol, mk:.. k( (k (k. ( c c 4. Dlm uku ini kn diuktikn sift dn sift. Untuk sift-sift linny, dpt diuktikn sendiri. Amil serng vektor (,, dn (,,, mk: Mislkn ˆ i ˆ j ˆ k dn ˆ i ˆ j ˆ k ( ˆ i ˆ j ˆ k ( ˆ i ˆ j ˆ k ˆ i ˆi ˆ i ˆj ˆ i kˆ ˆ i ˆj ˆ j ˆj ˆ j kˆ ˆ i kˆ ĵ kˆ ˆ k kˆ kren ˆi ˆi ˆj ˆj kˆ kˆ dn kren ˆˆ i, j, dn kˆ sling tegk lurus, mk ˆi ˆj ˆi kˆ ˆj kˆ 0 sehingg Jdi,. Amil serng vektor (,,, (,, dn k sklr tk nol, mk : k( k( (k k k (* (k (k (k (k Dri persmn (*, diperoleh k( (k (k (k (k Perhtikn gmr erikut! Proyeksi vektor pd vektor dlh vektor c. Perhtikn segitig AOB! Pd segitig AOB, cos c c cos Jdi, pnjng proyeksi vektor pd vektor dlh c Setelh mengethui pnjngny, klin dpt pul menentukn vektor proyeksi terseut, yitu: c c vektor stun c O Pemuktin sift A c C B B 4 Vektor 0

20 Oleh kren c erimpit dengn mk vektor stun c dlh Jdi, c Sehingg proyeksi vektor pd vektor dlh vektor c. Contoh Dikethui vektor (,, 0 dn (,,. Tentuknlh:. esr sudut yng dientuk oleh vektor dn vektor. pnjng proyeksi vektor pd vektor c. vektor proyeksi pd vektor Jw:. Untuk menentukn esr sudut yng dientuk oleh vektor dn vektor, terleih dhulu tentuknlh,, dn. ( ( 0 ( 0 ( 44 9 Mislkn sudut yng dientuk oleh vektor dn vektor dlh, mk: cos Didpt 5.. Mislkn vektor proyeksi pd dlh c, mk: c Jdi, pnjng proyeksi vektor pd vektor dlh. c. Vektor proyeksi pd dlh c c (,,,, 0 0 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

21 4 Wktu : 90 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentukn, (, (, dn sudut ntr vektor dn jik:. (, dn (, c. (7,, dn (5, 0,. (, 6 dn (9, d. ( 0, 0, dn (8,, 4. Dri vektor-vektor dn pd sol nomor, tentukn:. Pnjng proyeksi vektor pd vektor. Vektor proyeksi pd c. Pnjng proyeksi vektor pd vektor d. Vektor proyeksi pd. Gunkn vektor-vektor untuk menentukn sudut-sudut di gin dlm segitig dengn titik-titik sudut (, 0, (,, dn (, Mislkn, c dengn o. Apkh c? Jelskn! 5. Dikethui 4,, dn sudut ntr vektor dn dlh lncip dengn tn 4. Tentuknlh:. c. (. d. ( ( 6. Dikethui vektor (7, 6, 4, (5,,, dn c (, 0,. Tentuknlh pnjng proyeksi vektor pd vektor ( c 7. Dikethui segitig PQR dengn P(5,, 5, Q(, 8,, dn R(,,. Tentuknlh:. pnjng PR d. proyeksi vektor PR pd PQ. pnjng PQ e. lus segitig PQR c. pnjng proyeksi PR pd PQ 8. Dikethui vektor (,, dn (4, 0, 8. Tentukn nili x gr vektor ( x tegk lurus pd vektor. Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Olimpide Mtemtik SMU, 000 B 4 Vektor 0

22 Dikethui vektor (,, dn (, y,. Jik pnjng proyeksi pd dlh, tentuknlh nili y yng mungkin! Rngkumn. Penulisn vektor Dengn huruf kecil dicetk tel. Mislkn:,, c,.... Dengn huruf kecil yng di ts huruf terseut diuuhi tnd pnh. Mislkn:,, c,.... Pnjng vektor dirumuskn segi erikut: Jik R, (,, mk Jik R, (,,, mk. Jik vektor (, dn vektor (,, mk vektor yng menghuungkn vektor dn dlh vektor c (,. Pnjng vektor c dlh c ( (. 4. Untuk setip vektor yng ukn vektor nol, dpt ditentukn sutu vektor stun dri vektor, dilmngkn dengn ê. Vektor stun rhny serh dengn vektor dn pnjngny sm dengn stu stun. x Jik vektor, mk vektor stun dri dirumuskn dengn: y x ê x y y 5. Jik,, c, k, l dlh vektor mk sift-sift opersi hitung pd vektor dlh segi erikut ( c ( c o o ( o k(l (kl Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

23 k( k k (k l k l 5. Penjumlhn ntr vektor dn dpt dilkukn dengn du cr erikut ini. Cr segitig c Titik pngkl vektor erimpit dengn titik ujung vektor. Cr jjrgenjng c Titik pngkl vektor erimpit dengn titik pngkl vektor. 6. Sift-sift perklin sklr du vektor ( c c k( (k (k, k dlh konstnt 7. Sudut ntr du vektor B cos Sehingg cos O A 8. Perndingn vektor Titik N memgi PQ di dlm PN : NQ m : n m n R N S B 4 Vektor 05

24 Titik N memgi PQ di lur PN : NQ m : (n m R S N n Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

25 Ulngn B 4 I. Pilihlh jwn yng pling tept!. Dikethui titik P (, 7 dn Q(4,. Titik R dlh seuh titik pd gris huung PQ sehingg PR PQ. Koordint titik C dlh.... A. (5, D. (, B. (, 6 E. (4, C. (, 5. Dikethui C 6i 5j k dn d vektor yng segris (koliner erlwnn rh dengn c. Jik d 75, mk d.... A. 6i 5j k B. i 0j 4k C. i 0j 4k D. 48i 45j 6k E. 56i 6j 4k. Dierikn segi enm erturn ABCDEF. Jik AB u dn AF v, mk AB CD AD AE AF.... A. u v D. 6u 6v B. 4u 4v E. 8u 8v C. 5u 5v 4. Jik OA (,, OB (4, dn OA, OB mk tn.... A. B. C D. E Jik (, k, (, 5, dn sudut (, dlh, mk konstnt positif k 4 dlh.... A. 4 B. C. D. 4 E Jik sudut ntr vektor i j pk dn i j pk dlh 60, mk p.... A. tu D. 5 tu 5 B. tu E. 7 tu 7 C. tu 7. Dikethui persegi pnjng OABC dn D titik tengh OA, CD memotong digonl AB di P. Jik OA dn OB, mk OP dpt dinytkn segi.... A. ( D. B. ( E. 4 C. 8. ABCDEF dlh segi enm erturn dengn pust O, jik AB dn BC msingmsing dinytkn oleh vektor u dn v, mk sm dengn.... A. u v D. v u B. u v E. v u C. v u 9. Dikethui kuus OABC. DEFG. Jik OA (, 0, 0 dn OC (0, 0,, mk vektor proyeksi AF ke OF dlh.... B 4 Vektor 07

26 08 08 A. B. (,, D. (,, (,, E. (,, 4 C. (,, 0. Dikethui u i 4j xk dn v i j 6k. Jik pnjng proyeksi u dn v dlh 6, mk x dlh.... A. 8 D. 6 B. 0 E. 8 C. 4. Gmr di wh ini menunjukkn hw c.... A. c B. C. D. c c E. c. Dikethui kuus OABC.DEFG. Jik OB (0, 0,. (, 0, 0, OC (0,, 0, dn OB Vektor proyeksi OD ke OF dlh.... A. B. C. (,, (,, (,, D. E. (,,,,. Sudut ntr vektor xi (x j x k dn dlh 60. Jik pnjng proyeksi ke sm dengn 5, mk x.... A. 4 tu D. tu B. tu 4 E. tu C. tu 4. Dikethui u dn v vektor tk nol serng, w v.u u.v. Jik (u w dn (v w, mk.... A. 90 D. 90 B. 90 E. 80 C. 5. Seuh vektor x dengn pnjng 5 memut sudut lncip dengn vektor y (, 4. Jik vektor x diproyeksikn ke vektor y, pnjng proyeksiny. Vektor x terseut dlh.... A. (, tu, 5 5 B. (, tu, 5 5 C. (, tu 4 5, D. (, tu 5, E. 4, tu 5, II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. Mislkn (,,, (,, dn c (,,. Hitunglh:. c d. ( 7. 7 c e. 8c c. c f. ( c. Gmrlh vektor-vektor erikut!. m (, 7 d. p (,, 4. n (6, e. q (, 0, c. o (0, 4 f. r (0, 0,. Mislkn p (,,, q (,, 0 dn r (,, 4. Hitunglh:. p q d. p 5q r. p q e. c. p p f. 4. Buktiknlh hw: (u kv v u v r r r r 5. Buktiknlh!. uv uv u v. u v uv uv 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm