TEORI DEFINITE INTEGRAL

Transkripsi

1 definite integrl & lus yog.prihstomo TEORI DEFINITE INTEGRAL Definisi : Jik y = f(x) dlh fungsi kontinu dn terdefinisi dlm intervl tertutup [,] sehingg lim n n i= f ( xi). Δxi d (mempunyi nili), mk definite integrl f(x) terhdp x dri x = smpi x = dinytkn oleh : f ( x) n = lim n i= f ( ). Δ xi xi dengn n dlh jumlh su intervl di dlm intervl [,] cttn : definite integrl sering diseut segi Integrl Riemnn. Untuk menentukn nili definite integrl secr lngsung dengn definisi di ts mk kit hrus menggunkn jumlh Riemnn (jumlh Riemnn kn dijelskn dlm contoh). Hl ini kurng efisien, terkdng dlm perhitungnny menemui keslhn. Oleh kren itu, nili definite integrl ditentukn dengn menggunkn teorem dsr integrl klkulus erikut ini : f = = F () F () ( x) [ F (x)] hlmn []

2 definite integrl & lus yog.prihstomo Sift- Sift Umum Definite Integrl : Mislkn f(x) dn g(x) merupkn fungsi-fungsi kontinu dlm intervl tertutup [,], mk definite integrl memenuhi sift-sift umum segi erikut : f ( x) () = f ( x) (2) = - f ( x) k f ( x) f ( x) () = k ; dengn k dlh konstnt f ( x) ± g ( x)] [ f (4) = + ( x) g ( x) c f ( x) f ( x) f c ( x) (5) + = ; untuk < c < f ( x) (6) ) Jik f(x) > dlm intervl < x <, mk > f ( x) ) Jik f(x) < dlm intervl < x <, mk < hlmn [2]

3 definite integrl & lus yog.prihstomo TEORI LUAS Menentukn Lus dengn Proses Limit Mislkn kurv y = f(x) kontinu dlm intervl < x <. Lus derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu x, dn gris-gris x = dn x =, dpt ditentukn dengn menggunkn proses limit segi erikut : () Mul-mul intervl [,] digi menjdi n uh su-intervl (pnjng tip su intervl tidk perlu sm) dengn cr menyisipkn (n-) uh titik. Mislkn titik-titik itu dlh ξ, ξ 2, ξ,., ξ n-. Ditetpkn pul hw = ξ dn = ξ n, sehingg = ξ < ξ < ξ 2 <. < ξ n =. Dengn demikin, pnjng setip suintervl dlh x = ξ ξ, x 2 = ξ 2 ξ, x = ξ ξ 2,.., x i = ξ i ξ i-,., x n = ξ n ξ n-. Dlm setip su-intervl x i = ξ i ξ i-, kit tentukn titik dengn sis x i dn koordintny f(x i ). Kemudin diut persegi pnjngpersegi pnjng dengn ler x i dn tinggi f(x i ), seperti diperlihtkn pd gmr diwh ini. Perhtikn hw nykny persegi pnjng yng diut dengn cr seperti itu d n uh, dn lus msing-msing persegi pnjng itu dlh Y L = f(x ). x L 2 = f(x 2 ). x 2 L = f(x ). x L n = f(x n ). x n y=f(x) f(x n ) f(x ) x x 2 x x n X X 2 X X n X hlmn []

4 definite integrl & lus yog.prihstomo (2) Lus derh L didekti dengn jumlh semu lus persegi pnjng tdi, Jdi, L f(x ). x + f(x 2 ). x 2 + f(x ). x f(x n ). x n Dengn menggunkn notsi sigm ( ) gin rus knn dri entuk di ts dpt dituliskn menjdi : n L i= f ( ). Δ xi xi Untuk menunjukkn hw penjumlhn terseut menckup ujung-ujung intervl dn, mk huungn di ts dpt ditulis segi erikut : x L = x= f ( x). Δx Bentuk penjumlhn f lim f n n i= lim f n x6 ( xi). Δxi diseut segi jumlh Reimnn. () Lus derh L yng seenrny diperoleh dengn mengmil nili n yng cukup esr (n 6 ). Ini errti h nili x menjdi kecil sekli ( x 6 ). Dengn demikin, lus derh L ditentukn dengn : L = n i= ( xi). Δxi tu L = lim = x= x6 x f ( x) f ( x). Δx Untuk menyederhnkn cr penulisn, entuk-entuk limit di ts dpt dituliskn menjdi : n i= ( xi). Δxi = lim = x= x f ( x). Δx = Jdi, lus derh L ditentukn oleh rumus : L = f ( x) hlmn [4]

5 definite integrl & lus yog.prihstomo Menentukn Lus Derh Antr Du Kurv Mislkn du kurv msing-msing dengn persmn y = f(x) dn y = g(x), merupkn kurv-kurv yng kontinu dn f(x) > g(x) dlm intervl < x <. Derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), kurv y = g(x), gris x = dn gris x = diperlihtkn pd gmr di wh. Kit dpt menentukn lus derh yng dirsir (ABCD) dengn cr segi erikut : Lus ABCD = Lus EFCD Lus EFBA = f ( x) g ( x ) = { f ( x)- g(x)} D C y = f(x) A E x = B F x = y = g(x) Jdi, lus derh yng ditsi oleh kurv y = f(x) dn y = g(x), gris x = dn gris x =, ditentukn dengn rumus : L = { f ( x)- g(x)} Dengn cttn hw f(x) > g(x) dlm intervl < x < hlmn [5]

6 definite integrl & lus yog.prihstomo PENGAPLIKASIAN DENGAN MAPLE Contoh Definite Integrl : > Int(x^2-x-6,x=..2); vlue(%); x 2 x Contoh 2 Definite Integrl : > Int(x^2-4*x+5,x=..4); vlue(%); x 2 4 x Contoh Definite Integrl : > Int(x^2/2+2,x=..2); vlue(%); + d 2 x2 2 x Contoh 4 Definite Integrl : > Int(/(2*x+),x=..2); vlue(%); evlf(%,5); d 2 x + x 2 hlmn [6]

7 definite integrl & lus yog.prihstomo ln( 5 ) Contoh 5 Jumlh Reimnn : > restrt: with(student): with(plots): Wrning, the nme chngecoords hs een redefined > f:= x -> x^2 + ; f := x x 2 + > plot(f(x), x =..4, color = lue); > leftox(f(x), x =..4, 8, color = lue, shding = mgent); hlmn [7]

8 definite integrl & lus yog.prihstomo > leftsum(f(x), x =..4, 8); > evlf(%); 2 7 i = + 4 i > leftox(f(x), x =..4, 6, color = lue, shding = mgent); > leftsum(f(x), x =..4, 6); > evlf(%); 4 5 i = + 6 i2.75 > leftox(f(x), x =..4, 28, color = lue, shding = mgent); hlmn [8]

9 definite integrl & lus yog.prihstomo > leftsum(f(x), x =..4, 28); > evlf(%); 2 27 i = + 24 i > Int(f(x),x); d x2 + x > int(f(x),x); > int(f(x),x=..4); > evlf(%); + x x. dengn rumus definite integrl dpt kit peroleh dengn mudh hsil yng sm : > f:= x^2 + ; f := x 2 + > int (f(x), x=..4);evlf(%); x( x ) hlmn [9]

10 definite integrl & lus yog.prihstomo Contoh 6 Jumlh Reimnn : > restrt: with(student): with(plots): Wrning, the nme chngecoords hs een redefined > g:= x -> x + 5; g := x x + 5 > plot(g(x), x =.., y =..8, color = lue); > leftox(g(x), x =..,, color = lue, shding = mgent); > leftsum(g(x), x =.., ); 2 i = ( i + 5 ) hlmn []

11 definite integrl & lus yog.prihstomo > evlf(%); 8. > leftox(g(x), x =.., 2, color = lue, shding = mgent); > leftsum(g(x), x =.., 2); > evlf(%); 4 i = + 4 i > leftox(g(x), x =.., 24, color = lue, shding = mgent); hlmn []

12 definite integrl & lus yog.prihstomo > leftsum(g(x), x =.., 24); > evlf(%); i = + 8 i > Int(g(x),x); d x + 5 x > int(g(x),x); + 2 x2 5 x > int(g(x), x =..); > evlf(%); dengn rumus definite integrl dpt kit peroleh dengn mudh hsil yng sm : > f:= x + 5; f := x + 5 > int (f(x),x=..);evlf(%); x( x ) hlmn [2]

13 definite integrl & lus yog.prihstomo Contoh 7 Lus Dintr 2 Kurv : > restrt; > with(plots): > f:= x -> x/; > g:= x -> -x; > h:= x -> (24-7*x) / ; f := x x g := x x 7 h := x 8 x > := plot(f(x), x = , thickness=2, color = rown): > := plot(g(x), x = , thickness=2, color = lue): > c:= plot(h(x), x = , thickness=2, color = mgent): > d:= textplot([6,4,`f`], thickness=2, color = rown): > e:= textplot([.5,7,`h`], thickness=2, color = mgent): > k:= textplot([2,-4,`g`], thickness=2, color = lue): > p:= seq( plot([ + i * (/5), t, t = g( + i*(/5))..f( + i * (/5))], thickness=2, color=red), i =..5): > q:= seq( plot([ + i * (/5), t, t = g( + i *(/5))..h( + i *(/5))], thickness=2, color = rown), i =..49): > disply({,,c,d,e,k,p,q}); >#kit memutuhkn titik potong. >#kit tentukn f = g, h = g, dn h = f. hlmn []

14 definite integrl & lus yog.prihstomo > solve(f(x) = g(x), x); > solve(h(x) = g(x), x); > solve(h(x) = f(x), x); >#selesikn dengn integrl > int(x/ + x, x=..); > int(8 - (7*x)/ + x, x =..6); Jdi, lus derh ntr 2 kurv = 2 sq units Contoh 8 Lus Dintr 2 Kurv : Tentukn lus re ntr kurv y = 6 x x 2 dn y = x 2 4 x >#kit memutuhkn titik potong. > f := x -> 6*x-x^2; g := x -> x^2-4*x; solve(f(x)=g(x),x); f := x 6 x x 2 g := x x 2 4 x, 5 > h := unpply(simplify(f(x)-g(x)),x); Int(h(x),x=..5); vlue(%); h := x x 2 x 2 x 2 x hlmn [4]

15 definite integrl & lus yog.prihstomo > reetween([f(x),g(x)],x=[..5,-..6],shding=silver); Jdi lus derh yng dirsir = 25/ Contoh 9 Lus Dintr 2 Kurv : Tentukn lus re ntr y = 8 x x 2 nd y = x x 2 jw tentukn titik potong kedu kurv > f := x -> 8*x-x^2; g := x -> x^-*x^2; solve(f(x)=g(x),x); f := x 8 x x 2 g := x x x 2, 4, -2 ilustrsikn dengn menggunkn grfik > f := x -> 8*x-x^2; g := x -> x^-*x^2; reetween([f(x),g(x)],x=[-2..4, ]); f := x 8 x x 2 g := x x x 2 hlmn [5]

16 definite integrl & lus yog.prihstomo () tentukn lus pd sisi knn koordint (,) 4 ( f( x ) g( x) ). > f := x -> 8*x-x^2; g := x -> x^-*x^2; Int(f(x)-g(x),x=..4); vlue(%); f := x 8 x x 2 g := x x x 2 8 x + 2 x 2 x 4 28 () tentukn lus pd sisi kiri koordint (,) 2 ( g( x ) f( x) ). > f := x -> 8*x-x^2; g := x -> x^-*x^2; Int(g(x)-f(x),x=-2..); vlue(%); f := x 8 x x 2 g := x x x 2 hlmn [6]

17 definite integrl & lus yog.prihstomo x 2 x 2 8 x Contoh Lus Ellips Ditsi Gris x= dn x=7 : > restrt: with(plots): Wrning, the nme chngecoords hs een redefined > f:=(x-5)^2/9+(y-7)^2/4=; ( x 5 ) 2 ( y 7 ) 2 f := + = 9 4 > p:=: p2:=7: > implicitplot({x=p,x=p2,f},x=..,y=4..); -2 2 > Y:=solve(f,y); 2 6 x 2 + x Y := 7 +, x 2 + x > Int(Y[]-Y[2],x=p..p2); x 2 + x > vlue(%); > evlf(%); rcsin hlmn [7]