Pokok Pokok Bahasan :

Sistem Bilangan Arsitektur Komputer I Agus Aan Jiwa Permana, S.Kom, M.Cs Site s : agus E-mail : agus agus-aan.web.ugm.ac.id agus-aan@mail.ugm.ac.id 1 studywithaan@gmail.com 2

Pokok Pokok Bahasan : Bilangan Desimal. Bilangan Biner. Bilangan Oktal. Bilangan Heksadesimal Bilangan BCD. Bilangan biner bertanda dan tak bertanda. Komplemen. Aritmatika Biner. Aritmatika Heksadesimal

Definisi : Sistem Bilangan Sistem bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base / radix) yang tertentu. Terdapat 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu : Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16).

Bilangan Desimal Sering disebut sebagai sistem denary. Sistem bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction). Sistem bilangan terdiri dari 10 digit.

Bentuk perpangkatan bilangan desimal : 10 0 = 1 10 1 =10 10 2 =100 dst.... Bilangan Desimal (Cont.) (Satuan) (Puluhan) (Ratusan) Note : Hal ini menunjukan nilai pada setiap eksponen dengan basis 10. Penulisannya : 357 des = 357 (10) = 357D

Bilangan Desimal (Cont.) Operasi bilangan desimal adalah seperti berikut : Integer Desimal : (Bilangan bulat 8598). Absolut value adalah Nilai Mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah Nilai Penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya (dari kanan ke kiri). Sama Artinya :

Bilangan Desimal (Cont.) Operasi bilangan desimal adalah seperti berikut : Desimal Fraction : (Bilangan bulat 183,75). Nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma.

Bilangan Biner Biner (Basis 2) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 0 dan 1. Sistem ini paling sering digunakan untuk merepresentasikan kuantitas dan mewakili keadaaan dalam sistem digital maupun sistem komputer. Digit bilangan biner disebut binary digit atau bit. Dipopulerkan oleh John Von Neumann. (4 bit = nibble), (8 bit = byte)

Bilangan Biner (Cont.) Sejumlah bit yang dapat diproses komputer untuk mewakili suatu karakter, dapat berupa : huruf, angka, atau lambang khusus. disebut word. Sebuah komputer dapat memproses satu word data yang terdiri dari 4 sampai 64 bit. Sistem bilangan biner, menunjukan eksponen dengan basis 2 yaitu : 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, dst... Bit paling kiri bertindak sebagai bit paling berarti Most Significant Bit (MSB), sedangkan bit paling kanan bertindak sebagai bit paling tidak berarti Least Significant Bit (LSB).

Bilangan Biner (Cont.) Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8 bit(byte). Penulisannya : 100 (2) atau 100 bin atau 100B Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII (American Standard Code for Information Interchange) menggunakan sistem pengkodean 1 Byte.

Konversi Bilangan Desimal Menjadi Biner. Misalkan cara mencari bilangan desimal 10, jika diubah menjadi biner maka Langkahnya : 10:2 = 5 Sisa (0), 5:2 = 2 Sisa (1), 2:2 = 1 Sisa (0), 1:2 = 0 Sisa (1). sisa hasil bagi dibaca dari bawah ke atas, sehingga menjadi 1010

Operasi Bilangan Biner Adapun operasi dalam bilangan biner adalah sebagai berikut : Operasi Penjumlahan (+) Operasi Pengurangan (-) Operasi Perkalian (*) Operasi Pembagian (/)

Operasi Bilangan Biner (Cont.) Operasi Penjumlahan : Ketentuannya : 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 dengan carry of 1 1 + 1 = 2, maka harus dikurangi dengan nilai basis yaitu 2 sehingga 2 2 = 0

Operasi Bilangan Biner (Cont.) Contoh penjumlahan : 1111 10100 + 100011 Keterangan : 1 + 0 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 (Carry of 1) 1 + 0 + 1 = 0 (Carry of 1) 1 + 1 = 0 (Carry of 1) Note : Carry of 1, letakan di bagian depan.

Operasi Bilangan Biner (Cont.) Operasi pengurangan : Ketentuannya : 0-0 = 0 1-0 = 1 1-1 = 0 0 1 = 1 dengan borrow of 1, (Pinjam 1 dari posisi sebelah kirinya).

Operasi Bilangan Biner (Cont.) Contoh pengurangan : 11101 1011-10010 Keterangan : 1-1 = 0 0-1 = 1 (Borrow of 1) 0-0 = 0 1-1 = 0 1-0 = 1 Note : Baca nilainya dari bawah ke atas.

Operasi Bilangan Biner (Cont.) Operasi perkalian : Ketentuannya : 0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 0 * 1 = 0 Contoh Perkalian Biner :

Operasi Bilangan Biner (Cont.) Operasi pembagian : Pembagian biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga ketentuan pembagian biner adalah : 0 / 1 = 0 1 / 1 = 1 Contoh Pembagian Biner :

Bilangan Oktal (Octal) Oktal (Basis 8) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 8 Simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Position value system bilangan oktal adalah perpangkatan dari nilai 8, seperti tabel di bawah : Contoh :

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Penulisannya bilangan oktal adalah : 1161 okt = 1161 (8) = 1161o Operasi Bilangan Oktal : Adapun operasi pd bil. oktal adalah : Op. penjumlahan Op. pengurangan Op. perkalian Op. pembagian

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Operasi Penjumlahan : Langkah penjumlahan oktal, sbb :» Tambahkan masing-masing kolom secara desimal» Rubahlah dari hasil desimal ke octal» Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal» Jika hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Operasi Penjumlahan (Cont.) : Contoh :

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Soal : 1. 177 + 52 = 2. 75 + 125 = 3. 345 + 121 = 4. 063 + 456 = 5. 76 + 023 = 6. 57 + 26 = 7. 1413 + 572 = 8. 1543 + 671 = 9. 01 + 67 = 10. 057 + 100 = 251 222 466 541 121 105 2205 2434 70 157

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Operasi Pengurangan : Pengurangan Oktal dapat dilakukan sama seperti pada pengurangan bilangan desimal. Contoh :

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Soal : 1. 145 27 = 2. 23 5 = 3. 137 44 = 4. 125 20 = 5. 56 7 = 116 16 73 105 47

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Operasi Perkalian : Langkah perkalian oktal, sbb : Kalikan masing-masing kolom secara desimal Rubah dari hasil desimal ke oktal Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil oktal Jika hasil perkalian tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Langkah 1. Operasi Perkalian (Cont.) Contoh perkalian bil. Oktal (16 x 14) : Langkah 3. Langkah 2.

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Soal : 1. 212 x 436 = 2. 720 x 067 = 3. 555 x 666 = 4. 375 x 4453 = 5. 2256 x 544 = 6. 655 x 546 = 7. 377 x 355 = 8. 45 x 765 x 21 = 9. 23 x 7675747 = 10. 56 x 456 x 4 = 115054 61660 470176 2207577 1500770 453756 166023 1147371 225431045 154420

Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Operasi Pembagian Contoh pembagian bil. Oktal (310 : 62) 4 10 x 6 10 = 24 10 = 30 8 1 10 x 6 10 + 3 10 = 9 10 = 11 8 Hasil = 110 8

Operasi Pembagian (Cara Lain) Gunakan pengurangan berulang dengan pembaginya. Kemudian hasil pengurangan dikurangi lagi dengan pembagi. Ex : (310/6 2) Jumlah operasi pengurangan adalah 4, berarti hasil pembagiannya adalah 4.

Bilangan Hexadesimal Sistem bilangan heksadesimal merupakan sistem bilangan basis enam belas. Meskipun pada sistem digital dan komputer operasi secara fisik dikerjakan secara biner, namun untuk representasi data banyak digunakan format bilangan heksadesimal karena format ini lebih praktis, mudah dibaca dan mempunyai kemungkinan timbul kesalahan lebih kecil.

Bilangan Hexadesimal Penerapan format heksadesimal banyak digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi memori, kode instruksi dan kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter nonnumerik Pada sistem ini, terdapat 16 lambang yaitu : 0, 1, 2, 3,......,9, A, B, C, D, E, F Dimana : A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 dan F = 15

Bilangan Hexadesimal Representasi suatu bilangan heksadesimal bulat adalah sebagai berikut : (h m-1 h i h 2 h 1 h 0 ) dengan h i ϵ H Sehingga suatu bilangan heksadesimal m digit akan mempunyai nilai :

Bilangan Hexadesimal Untuk bilangan heksadesimal pecahan, representasi nilainya menjadi sebagai berikut : (h m-1 h i h 2 h 1 h 0, h -1... h n ) dengan h i ϵ H m-1 i 2 1 0-1 n i Sehingga suatu bilangan heksadesimal pecahan akan mempunyai nilai : Cara penulisannya : 271 heks = 271 (16) = 271H

Bilangan Hexadesimal Position Value system bilangan hexadesimal adalah perpangkatan dari nilai 16.

Bilangan Hexadesimal Operasi Aritmetika Bilangan Hexadesimal :» Operasi Penjumlahan (+)» Operasi Pengurangan (-)» Operasi Perkalian (*)» Operasi Pembagian (/)

Bilangan Hexadesimal Operasi Penjumlahan (+) Ketentuannya : o Tambahkan masing-masing kolom secara desimal o Rubah dari hasil desimal ke hexadesimal o Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil hexadesimal o Kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.

Contoh : BAD (16) + 431 (16) Bilangan Hexadesimal

Bilangan Hexadesimal Operasi Pengurangan (-) Pengurangan Hexadecimal dapat dilakukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal Contoh : 12E1 627 =.....?

Bilangan Hexadesimal Langkah-langkah Operasi Pengurangan (-)

Bilangan Hexadesimal Operasi Perkalian (*) Kalikan masing-masing kolom secara desimal Rubah dari hasil desimal ke Hexadesimal Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil Hexadesimal kalau hasil perkalian tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya

Bilangan Hexadesimal Operasi Perkalian (*) : AC * 1B =.....? Langkah 1

Binary Coded Decimal Sistem bilangan BCD hampir sama dengan sistem bilangan biner. Pada sistem bilangan ini, setiap satu digit desimal diwakili secara tersendiri ke dalam bit-bit biner. Karena pada sistem bilangan desimal terdapat 10 digit, maka dibutuhkan 4 bit biner untuk mewakili setiap digit desimal. Setiap digit desimal dikodekan ke sistem bilangan biner tak bertanda.

Binary Coded Decimal Contoh : BCD untuk 4 adalah : 0100 BCD untuk 18 adalah : 0001 1000 BCD untuk 625 adalah : 0110 0010 0101

Tabel Konversi :

Biner Bertanda & Tak Bertanda Terdapat dua sistem bilangan biner, yaitu bilangan biner tak bertanda dan bilangan biner bertanda. Pada sistem bilangan biner tak bertanda (unsign bit), hanya dikenal bilangan biner positif dan tidak diijinkan adanya bilangan biner negatif. Di sini semua bit digunakan untuk merepresentasikan suatu nilai

Biner Bertanda & Tak Bertanda Pada bilangan biner bertanda (sign bit). Untuk tanda positif, diwakili oleh 0 Untuk tanda negatif, diwakili oleh 1 Dalam membedakan nilai positif dan negatif, tanda (+) atau (-) dituliskan di sebelah kiri bilangan desimal.

Biner Bertanda & Tak Bertanda Pada bilangan biner tak bertanda di atas, nilai bilangan dihitung dari A 3 A 0. Sehingga, 1100 bin = 1 X 2 3 + 1 X 2 2 + 0 X 2 1 + 0 X 2 0 = 12 des Pada bilangan biner bertanda, bit paling kiri menyatakan tanda, sehingga nilai bilangan dihitung dari A 2... A 0. Sehingga 1100 bin = - (1 X 2 2 + 0 X 2 1 + 0 X 2 0 ) = - 4 des

Biner Bertanda & Tak Bertanda Secara umum, bilangan biner tak bertanda yang terdiri dari n-bit memiliki nilai maksimum M. M = 2 n 1 Pada bilangan biner bertanda yang terdiri dari n- bit memiliki nilai maksimum M. M = 2 (n-1) 1 Sehingga untuk register 8-bit dalam sebuah microprocessor yang menggunakan sistem bilangan bertanda, nilai mak = 127 10 Mempunyai jangkauan : - 127 10 Sampai +127 10

Biner Bertanda & Tak Bertanda 0110 0111 = + 103 10 1101 0101 = - 85 10 1001 0001 = - 17 10 0111 1111 = + 127 10 1111 1111 = - 127 10 1000 0000 = - 0 10 0000 0000 = + 0 10

Komplemen Satu & Dua Terdapat dua cara untuk mengubah suatu bilangan positif ke bilangan negatif, yaitu menggunakan sistem bilangan biner komplemen satu dan sistem bilangan biner komplemen dua. Komplemen satu : merupakan cara yang paling mudah ditempuh. Dengan cara ini, cukup dilakukan dengan mengubah bit 0 ke 1 dan bit 1 ke 0 pada setiap bit suatu bilangan biner

Komplemen Satu & Dua Sebagai contoh, 101101 merupakan bilangan biner dengan nilai (45). Maka komplemen satu 45 = [0]10010 (+45) Caranya :

Komplemen Satu & Dua Pada sistem bilangan komplemen dua, dilakukan dengan mengubah bit 0 ke 1 dan bit 1 ke 0 pada setiap bit suatu bilangan biner, kemudian menambahkannya dengan satu. Dengan kata lain, bilangan biner komplemen dua didapatkan dari bilangan biner komplemen satu ditambah satu. Komp. Dua = Komp. Satu + 1

Contoh : 54 10 = 0011 0110 2 Komplemen Satu & Dua Komplemen satu = [1]100 1001 1 + ----------------- Komplemen dua = [1]100 1010 ( - 54)