Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM Statistika dan Probabilitas
2 Distribusi probabilitas variabel random diskrit Distribusi Hipergeometrik Proses Bernoulli n Distribusi Binomial n Distribusi Geometrik n Distribusi Binomial Negatif Proses Poisson n Distribusi Poisson n Distribusi Eponensial n Distribusi Gamma Distribusi Multinomial Distribusi probabilitas variabel random kontinu Distribusi Normal Distribusi t Distribusi Chi-kuadrat (χ 2 ) Distribusi F
3 Diskrit Distribusi Hipergeometrik
4 Distribusi Hipergeometrik Situasi Mengambil sampel (random) berukuran n tanpa pengembalian dari suatu populasi berukuran N Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok, masing-masing berukuran k dan (N k) Contoh Suatu populasi berupa n hari hujan dan hari tak hujan n stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek n sukses dan gagal
Distribusi Hipergeometrik 5 Persamaan/rumus Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N objek adalah sebuah kombinasi Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh sukses dan (n ) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari k sukses dan (N k) gagal adalah: ( )!!! n n N N n N = ( ) ( ) ( ) ( )!!!!!! n n k N k N k k n k N k + =
Distribusi Hipergeometrik 6 Jadi probabilitas mendapatkan X = sukses dalam sampel berukuran n yang diambil dari suatu populasi berukuran N yang memiliki k elemen sukses adalah Distribusi kumulatif dari probabilitas mendapatkan sukses atau kurang adalah: ( ) = n N n k N k k n N f X,, ; ( ) = = i X n N i n k N i k k n N F 0,, ;
7 Distribusi Hipergeometrik Nilai rerata (mean) suatu distribusi hipergeometrik adalah ( X) E = Varian nk N nk Var( X) = 2 Catatan: ( N n)( N n) N ( N 1) k; n; k N; n N; n N k
Distribusi Hipergeometrik 8 Contoh Suatu DAS memiliki 12 stasiun penakar curah hujan dan diketahui bahwa 2 diantaranya dalam keadaan rusak. Manajemen telah memutuskan untuk mengurangi jumlah stasiun menjadi 6 saja. Apabila 6 stasiun dipilih secara acak dari 12 stasiun tersebut, berapakah peluang terpilihnya stasiun rusak sejumlah 2, 1, atau tidak ada sama sekali?
9 Hypergeometric Distributions Penyelesaian populasi, N = 12 jumlah stasiun rusak, k = 2 ukuran sampel, n = 6 peluang (probabilitas) mendapatkan stasiun rusak sejumlah = 2, 1, 0 dalam sampel berukuran n = 6 yang diambil dari populasi berukuran N = 12 yang memiliki stasiun rusak sejumlah k = 2 adalah: k N k N ( ; N, n k) = n n f X,
Distribusi Hipergeometrik 10 ( ) = n N n k N k k n N f X,, ; ( ) ( ) ( ) 2273 0. 6 12 0 6 2 12 0 2 0;12,6,2 0 : 0.5454 6 12 1 6 2 12 1 2 1;12,6,2 1: 0.2273 6 12 2 6 2 12 2 2 2;12,6,2 2: = = = = = = = = = X X X f f f
11 Distribusi Hipergeometrik Ekspektasi jumlah stasiun rusak yang ada di dalam sampel adalah: nk 6 2 E = = N 12 atau ( X) = 1 M 2 1 = i fx i = i= 0 ( ) = 0 0.2273+ 1 0.5454 + 2 0.2273 1
Distribusi Hipergeometrik 12 ( ) = n N n k N k k n N f X,, ; ( ) = = i X n N i n k N i k k n N F 0,, ; =HYPGEOM.DIST(,n,k,N,FALSE) =HYPGEOM.DIST(,n,k,N,TRUE) f X (2;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(2,6,2,12,FALSE) = 0.2273 f X (1;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(1,6,2,12,FALSE) = 0.5454 f X (0;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(0,6,2,12,FALSE) = 0.2273
13 Diskrit Distribusi Binomial
Contoh Ilustrasi 14 Investigasi thd suatu populasi karakteristik populasi variabel nilai variabel n nilai ujian: 0 s.d. 100 n status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai, duda/janda n usia: 0 s.d.... n cuaca: cerah, berawan, hujan
Contoh Ilustrasi 15 Contoh lain Jawaban pertanyaan: n ya / tidak n benar / salah n menang / kalah n lulus / tak-lulus n sukses / gagal SUKSES vs GAGAL
16 Distribusi Binomial Jika variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidak berubah (tetap) apapun hasil eksperimen sebelumnya Distribusi Binomial Probabilitas hasil suatu distribusi binomial prob(sukses) = p prob(gagal) = = 1 p
17 Distribusi Binomial Ilustrasi Peluang sukses (S) dalam suatu eksperimen adalah p prob(s) = p Peluang gagal (G) adalah = 1 p prob(g) = 1 eksperimen: n peluang sukses p n peluang gagal 2 eksperimen: n peluang sukses kmd sukses (S,S): pp n peluang sukses kmd gagal (S,G): p n peluang gagal kmd sukses (G,S): p n peluang gagal kmd gagal (G,G):
18 Sukses-Gagal dalam 2 Eksperimen Jumlah sukses Cara sukses Jumlah cara sukses Probabilitas sukses 2 SS 1 pp 1 p 2 0 1 SG atau GS 2 p+p 2 p 1 1 0 GG 1 1 p 0 2
19 Sukses-Gagal dalam 3 Eksperimen Jumlah sukses Cara sukses Jumlah cara sukses Probabilitas sukses 3 SSS 1 ppp 1 p 3 0 2 SSG, SGS, GSS 3 pp+pp+pp 3 p 2 1 1 SGG, GSG, GGS 3 p+p+p 3 p 1 2 0 GGG 1 1 p 0 3
20 Sukses-Gagal dalam 3 atau 5 Eksperimen 3 eksperimen: peluang sukses pada eksperimen ke-3: p peluang sukses di salah satu eksperimen: p + p + p 5 eksperimen: 5 p = 10 p 2 2 3 2 3 peluang sukses 2: pp + pp +... + pp
21 Distribusi Binomial Jika peluang sukses p dan peluang gagal = 1 p probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil eksperimen yang lain Maka peluang mendapatkan kali sukses dalam n kali eksperimen adalah: n fx..., n ( ; n, p) = p ( 1 p), = 0, 1, 2, n koefisien binomial =COMBIN(n,)
Distribusi Binomial 22 Distribusi binomial dan distribusi binomial kumulatif ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = i i n i X n X p p i n p n F n p p n p n f 0 1, ;..., 2, 1, 0,, 1, ; =BINOM.DIST(,n,p,FALSE) =BINOM.DIST(,n,p,TRUE)
23 Distribusi Binomial Nilai rerata dan varian E ( X) = n p ( X) = n p VAR Koefisien skewness c s p = à simetris p = > p à negative skew n p < p à positive skew
Distribusi Binomial 24 Contoh #1 Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana). Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 3? Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5, 4, 3, 2, 1, 0?
25 Distribusi Binomial Setiap kali pemilihan n prob(as) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(as) = ¼ = 0.25 = p n prob(ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(ag) = 1 p = 0.75 = Dalam 5 pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3 adalah: 5 3 5 3 fx ( ; n, p) = f X ( 3;5,0.25) = 0.25 ( 1 0.25) = 0. 0879 3 =BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)
26 Distribusi Binomial Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas 0 1 0.237 1 5 0.396 2 10 0.264 3 10 0.088 4 5 0.015 5 1 0.001 Jumlah = 1.000
27 Diskrit Distribusi Poisson
Distribusi Poisson 28 Situasi Proses Bernoulli dalam suatu selang waktu à p adalah probabilitas terjadinya suatu event dalam selang waktu tersebut. Jika selang waktu t sangat pendek, sedemikian hingga probabilitas p menjadi kecil dan jumlah pengamatan (eksperimen) n bertambah, sedemikian hingga np konstan, maka n ekspektasi jumlah kejadian dalam selang waktu total à tetap
Distribusi Poisson 29 Sifat Proses Poisson adalah suatu proses diskrit pada skala waktu kontinu. n Oleh karena itu, distribusi probabilitas jumlah event dalam suatu waktu T adalah sebuah distribusi diskrit, n akan tetapi distribusi probabilitas waktu antar events serta waktu sampai ke event ken adalah distribusi kontinu.
30 Distribusi Poisson Probabilitas distribusi Poisson f X λ e! λ ( ; λ) =, = 0, 1, 2,... dan λ = n p > 0 Distribusi Poisson kumulatif F X ( ; λ) = i= 0 λ i e i! λ
31 Distribusi Poisson Nilai rerata dan varian E ( X) = λ VAR( X) = λ Skewness coefficient c s 1 2 = λ
32 Distribusi Poisson Contoh Suatu printer membuat kesalahan secara random pada kertas cetak rerata 2 kesalahan per halaman. Hitunglah probabilitas terjadi satu salah cetak dalam satu halaman. Penyelesaian λ = 2, = 1 f X 2 e 1! 2 2 e ( λ) = f ( 1;2) = = = 0. 2707 ; X 2 1
33 Kontinu Distribusi Normal
Flash-back Distribusi Binomial 34 Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan secara acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana). Berapakah probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 5, 4, 3, 2, 1, 0?
35 Flash-back Distribusi Binomial Distribusi Binomial memilih 1 di antara 4 kegiatan untuk diberi dana Histogram distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana
36 Flash-back Distribusi Binomial Setiap kali pemilihan prob(as) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(as) = ¼ = 0.25 = p prob(ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(ag) = 1 p = 0.75 = Dalam 5 pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3 adalah: f 5 3 3 5 3 ( ; n, p) = ( 3;5,0.25) = 0.25 ( 1 0.25) = 0. 0879 X f X =BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)
37 Flash-back Distribusi Binomial Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas 0 1 0.2373 1 5 0.3955 2 10 0.2637 3 10 0.0879 4 5 0.0146 5 1 0.0010 Jumlah = 1.0000
Flash-back Distribusi Binomial 38 Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana Probabilitas 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.3955 0.2373 0.2637 0.0879 0.0146 0.0010 0 1 2 3 4 5 Frekuensi perolehan dana
Flash-back Distribusi Binomial 39 Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang 10 tahun 20 tahun n tahun n diperoleh n + 1 kemungkinan hasil n Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n 1 kali,... 0 kali
40 Flash-back Distribusi Binomial 0.3 0.25 0.25 n = 10 n = 20 0.2 Probabilitas 0.2 0.15 0.1 0.05 Probabilitas 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Frekuensi perolehan dana 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Frekuensi perolehan dana
Distribusi Binomial vs Kurva Normal 41 Apabila pemilihan (eksperimen) dilakukan sejumlah n kali dan n» histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki selang (interval) kecil garis yang melewati puncak-puncak histogram kurva mulus berbentuk seperti lonceng Kurva Normal
Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 0.25 n = 20 0.2 Peobabilitas 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Frekuensi perolehan dana 42
Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 0.14 0.12 n = 50 0.1 Peobabilitas 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 Frekuensi perolehan dana 43
44 Kurva Normal dan Distribusi Normal Kurva Normal berbentuk seperti lonceng dengan karakteristika tertentu tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normal Distribusi normal lebih mudah dilakukan daripada distribusi binomial karena karakteristika distribusi normal telah diketahui (didefinisikan) tabel distribusi normal perintah/fungsi dalam MSEcel
45 Distribusi Normal Karakteristika distribusi normal simetris terhadap nilai rerata (mean) score mengumpul di sekitar nilai rerata kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran tiga kali simpangan baku dari nilai rerata
46 Distribusi Normal luas = 1 μ 3σ μ 2σ μ σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ + X
47 Distribusi Normal luas = 0.00135 luas = 0.9973 luas = 0.00135 μ 3σ μ 2σ μ σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ + X
48 pdf Distribusi Normal p X () pdf (probability density function) N(μ,σ 2 1 2 ) 2 2 1 ( µ ) σ ( ) ( ) 2 p = 2πσ e X μ 3σ μ 2σ μ σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ + X
49 pdf Distribusi Normal p X () μ 1 =μ 2 =μ 3 σ 1 > σ 2 > σ 3 N(μ 1,σ 12 ) N(μ 2,σ 22 ) N(μ 3,σ 32 ) μ 1 =μ 2 =μ 3 + X
50 pdf Distribusi Normal p X () μ 1 < μ 2 < μ 3 σ 1 = σ 2 = σ 3 N(μ 1,σ 12 ) N(μ 2,σ 22 ) N(μ 3,σ 32 ) μ 1 μ 2 μ 3 + X
51 Distribusi Normal Jika X berdistribusi normal, N(µ,σ 2 ), maka prob(x ) dapat dicari dengan: 1 2 2 1 ( t µ ) ( X ) = PX ( ) = px ( t) dt = ( 2πσ ) e prob 2 σ 2 dt luas di bawah kurva pdf (dari s.d. ) à cdf cdf (cumulative distribution function) +
52 pdf - cdf P X () p X () cdf 1 pdf µ 0 +
53 Distribusi Normal Luas di bawah kurva pdf menunjukkan probabilitas suatu event menunjukkan percentile rank prob(x ) = prob(- X ) = luas di bawah kurva antara - s.d. prob(- X + ) = 1 = luas di bawah kurva antara - s.d. + prob(x ) = prob( X + ) = luas di bawah kurva antara s.d. + = 1 prob(x ) - +
54 Distribusi Normal Probabilitas prob(x µ) = prob(x µ) = 0.50 prob(µ- X µ) = prob(µ X µ+) µ +
Distribusi Normal 55 Probabilitas prob(x = ) = luas di bawah kurva antara s.d. = 0 prob(x ) = prob(x < ) prob(x ) = prob(x > ) prob( a X b ) = prob( a < X < b ) a + - b
56 Distribusi Normal Standar Distribusi normal biasa disajikan dalam bentuk distribusi normal standar dinyatakan dalam variabel Z Z = X µ σ Z berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1) à disebut dengan nama distribusi normal standar
57 Distribusi Normal Standar luas = 1 μ 3σ μ 2σ μ σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ + X 3 2 1 0 1 2 3 + Z
58 Tabel Distribusi Normal Standar Tabel z vs ordinat kurva normal standar z vs ordinat pdf (probability density function) à file1 Tabel z vs luas di bawah kurva z vs cdf (cumulative distribution function) luas kurva dari 0 s.d. z à file2 luas kurva dari s.d. z à file3
59 Tabel Distribusi Normal Standar Contoh Suatu variabel random X berdistribusi normal, serta memiliki nilai rerata 12, dan simpangan baku 3 prob(x < 15)= prob(z < 1)= (lihat tabel) prob(x < 9)= prob(z < 1)= (lihat tabel) prob(9 < X < 15)= prob( 1 < Z < 1)= (lihat tabel)
60 Perintah (Fungsi) MS Ecel Distribusi Normal NORM.DIST(,mean,standard_dev,cumulative) n = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya n mean = nilai rerata (aritmetik) n standard_dev = nilai simpangan baku n cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf NORM.INV(probability,mean,standard_dev) n probability = probabilitas suatu distribusi normal n mean = nilai rerata (aritmetik) n standar_dev = nilai simpangan baku
61 Perintah (Fungsi) MS Ecel Distribusi Normal Standar NORM.S.DIST(z,TRUE) n menghitung nilai cdf distribusi normal standar NORM.S.DIST(z,FALSE) n menghitung nilai pdf distribusi normal standar NORM.S.INV(probability) n kebalikan dari NORM.S.DIST(z) n mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui Ingat Distribusi Normal Standar n mean = 0 n simpangan baku = 1
Perintah (Fungsi) MS Ecel 62 Contoh 1 NORM.DIST(15,12,3,TRUE) n rerata = 12 n simpangan baku = 3 n prob(x < 15) = NORM.DIST(15,12,3,TRUE) = 0.8413 NORM.INV(0.8,12,3) n prob(x < ) = 0.8 n = NORM.INV(0.8,12,3) = 14.5249
63 Perintah (Fungsi) MS Ecel Contoh 2 NORM.S.DIST(3,TRUE) n rerata = 0 n simpangan baku = 1 n prob(z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) = 0.9987 n prob(0 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) 0.5 = 0.4987 n prob(1 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) NORM.S.DIST(1,TRUE) n prob(z > 1.5) = 1 NORM.S.DIST(1.5,TRUE) NORM.S.INV(0.65) n prob(z < z) = 0.65 n z = NORM.S.INV(0.65) = 0.3843
64