IndoMS Journal on Statstcs Vol, No (4), Page 39-49 TEKNIK EKSTRAPOLASI RICHARDSON BERULANG PADA MODEL BINOMIAL FLEKSIBEL UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI JUAL AMERIKA Arum Handn Prmandar, Abdurahman Jurusan Statsta FMIPA UII Program Stud Statsta FMIPA UGM Abstract Ths paper presents repeated Rchardson extrapolaton appled on flexble bnomal for prcng Amercan put opton We apply Rchardson extrapolaton on the sequence of approxmaton of opton value for acceleratng ts rate of convergence Frst, we defne the sequence of approxmaton usng flexble bnomal model A number of tme step used n ths scheme are based on the step sze characterzed by sequence of ntegers Second, we extrapolate the sequence of approxmaton repeatedly As the result, repeated Rchardson extrapolaton technque worng on flexble bnomal model and can be used to accelerate the sequence of approxmaton produced by ths scheme so that we merely need a less of tme for prcng opton Keywords: Rchardson extrapolaton, flexble bnomal model, Amercan put opton Abstra Dalam paper n dbahas mengena ten estrapolas Rchardson berulang yang dterapan pada model bnomal flesbel untu menentuan harga ops jual Amera Estrapolas Rchardson dterapan pada barsan pendeatan nla ops untu mempercepat laju onvergensnya Langah pertama adalah menentuan barsan pendeatan nla ops menggunaan model bnomal flesbel yang jumlah langahnya bergantung pada stepsze yang darateran dengan barsan blangan bulat Langah edua adalah mengetrapolas barsan nla ops tersebut secara berulang Dar hasl omputas dperoleh hasl bahwa ten estrapolas Rchardson berulang dapat mempercepat laju onvergens barsan nla ops yang dhaslan oleh model bnomal flesbel dan mempercepat perhtungan harga ops dbandngan dengan metode bnomal onvensonal Kata unc: estrapolas Rchardson, model bnomal flesbel, ops put Amera Mathematcs Subject Classfcaton: 6P5, 65B5 39
4 Arum Handn Prmandar, Abdurahman Pendahuluan Ops merupaan salah satu produ fnansal turunan yang memberan ha epada pemegangnya untu membel atau menjual suatu aset acuan (underlyng asset) saat jatuh tempo atau sebelumnya, pada harga yang telah dsepaat Pada umumnya, aset acuan yang dgunaan berupa saham umum (common stoc) Ops jual/ put tpe Amera adalah ops yang memberan ha epada pemegangnya untu menjual aset acuan pada saat jatuh tempo atau sebelum jatuh tempo Penentuan harga wajar ops tpe Amera perlu detahu watu terba untu menjalanan ops tersebut arena memungnan pelasanaan ops d awal (early exercse) Pada tahun 979, Cox, Ross, dan Rubnsten [3] mengusulan model bnomal sebaga metode untu menla harga ops tpe n dan demudan har denal dengan model CRR, untu memberan perhargaan epada merea Dalam penentuan harga ops serng al dgunaan metode teras atau prosedur omputas berdasaran pada beberapa parameter Aan tetap eonvergenan pada beberapa sema numer yang lambat menjad suatu masalah serus dalam stuas prats Salah satu asus yang laju eonvergenannya lambat adalah model bnomal Solus untu masalah tersebut adalah penggunaan ten estrapolas Rchardson untu mempercepat laju onvergens Sayangnya estrapolas Rchardson tda dapat dterapan pada model bnomal CRR arena eonvergenan nla ops yang dperoleh dar model bnomal CRR tda monoton Dengan ata lan, seman banya langah yang ta gunaan dalam model n tda menjamn aan mendeat harga sesungguhnya Selanjutnya Tan [5] mengembangan model bnomal dengan menambahan suatu parameter emrngan yang mengubah bentu pohon bnomalnya Model n dsebut dengan model bnomal flesbel Dbandngan dengan model bnomal CRR, model bnomal flesbel meml eonvergenan yang lebh monoton Dalam paper n, ten etrapolas Rchardson dterapan secara berulang dan dgunaan pada model bnomal flesbel yang dusulan oleh Tan untu menentuan harga ops put Amera Estrapolas Rchardson dgunaan sebaga alat untu mempercepat laju eonvergenan pada model bnomal flesbel dengan memanfaatan barsan Romberg sebaga stepsze Model Bnomal Flesbel Model Bnomal Tan (999) mengusulan parameter enaan dan penurunan pada model bnomal flesbel sebaga berut: t t u e, t t d e, dengan λ merupaan onstanta sembarang yang dsebut parameter emrngan Lambda dapat bernla postf, negatf, maupun nol, selama nlanya terbatas Dengan ata lan t O
Ten Estrapolas Rchardson Berulang Pada Model Bnomal Flesbel 4 atau t O t terpenuh Perubahan pada parameter enaan dan penurunan tda menjadan probabltas bernla non-negatf Keadaan non-negatf aan tercapa ja: rt d e u, atau dapat dtulsan sebaga r t () Sebarang nla λ yang terbatas memenuh onds () untu t yang cuup ecl (atau nla N yang cuup besar) Parameter λ dapat danggap sebaga derajat emrngan dar pohon bnomal Keta, pohon bnomal aan smetrs sehngga tt pusat pohon aan membentu gars horzontal, sepert pada pohon bnomal CRR Dengan ata lan, pergeraan na dan turun membawa harga aset pada level yang sama dengan harga awal Ja, pohon bnomal aan mrng e atas artnya pergeraan na dan turun menngatan level dar harga aset Sebalnya, pohon bnomal aan mrng e bawah (Gambar ) Gambar Pengaruh parameter emrngan pada pohon bnomal Model bnomal CRR adalah ejadan husus dalam model bnomal flesbel dengan Parameter enaan dan penurunan, serta probabltas pada model bnomal CRR adalah p u e t, t d e, r t e d u d () Model bnomal CRR aan onvergen pada model Blac-Scholes dengan jalan yang tda teratur Hal n berart eonvergenan model bnomal CRR tda mulus Gambar d bawah menglustrasan eonvergenan model bnomal CRR dbandng dengan model bnomal flesbel untu menla harga ops call tpe Eropa dengan harga saham sebesar $, harga ontra sebesar $95, umur ops adalah 6 bulan, volatltas sebesar %, dan bunga bebas reso adalah 6% Galat ddefnsan sebaga esalahan model bnomal terhadap model Blac- Scholes
4 Arum Handn Prmandar, Abdurahman Gambar Konvergens model bnomal CRR dan bnomal flesbel Untu dapat menggunaan estrapolas Rchardson, suatu model harus meml onvergens yang mulus Konds n tda tercapa dengan model bnomal CRR arena model n meml onvergens yang sangat berflutuas (tda mulus) Menggunaan model bnomal flesbel, terdapat cara sederhana untu mencapa emulusan onvergens yatu dengan cara memlh parameter emrngan sedeman sehngga pada saat jatuh tempo sebuah tt pada pohon bnomal bertepatan dengan harga ontra Oleh arena tu perlu dturunan rumusan untu menentuan nla λ Andaan suatu model bnomal flesbel beerja dengan N langah Harga aset setelah N langah dengan total enaan sebesar j, dberan sebaga berut: j N j S( N, j) Su d, j N Msalan nla awal λ adalah, yang mana merepresentasan model bnomal CRR Tt terdeat dengan nla ontra K N, j, dapat dtentuan dengan menyelesaan persamaan: N Su d K (3) Mengambl logartma dar edua ss pada persamaan (3) dperoleh: K log Nlog d S (4) logu log d Oleh arena η haruslah blangan bulat, sedangan persamaan (4) basanya buan blangan bulat, maa tt terdeat dengan K dapat dtentuan dengan mendefnsan j sebaga berut:, j
Ten Estrapolas Rchardson Berulang Pada Model Bnomal Flesbel 43 dengan [] menyataan blangan bulat terdeat dengan argumennya Untu menentuan bahwa N, j secara bertepatan sama dengan harga ontra K, maa suatu nla λ dplh sedeman sehngga: j N j Su d K Sehngga dperoleh rumusan untu λ yatu: K log j N t S (5) tn Dengan pemlhan husus λ, harga ontra selalu terleta pada pada tt N, j Rumusan untu λ dperoleh secara trval yatu: j t (6) T Persamaan (6) merupaan rumusan untu pemlhan nla λ, dmana oleh defns j 5, serng t Dengan onds tersebut probabltas non-negatf terpenuh pada nla t yang cuup ecl Estrapolas Rchardson Dalam analss numer, uanttas yang belum detahu P dapat ddeat dengan uanttas yang terhtung Ph ( ) yang bergantung pada parameter stepsze h sedeman sehngga lm P h P P D bawah asums bahwa h Ph merupaan fungs mulus yang dapat dtulsan: P h a a h a h a h O h, (7) dengan adalah nla yang dasumsan harus detahu, sedangan parameter a, a,, tda perlu detahu dan h Secara husus dperoleh a P Menurut Schmdt [], algortma lanjut untu estrapolas dapat dbangun eta j j, j,, Gagasan dar estrapolas Rchardson adalah melauan elmnsas h dar persamaan (7) sehngga mendapatan pendeatan baru dengan order yang lebh tngg, ataanlah P h yang P h P O h, h meml error P yang lebh ba darpada Jelas bahwa P h merupaan pendeatan untu Ph arena untu h yang cuup ecl h h Untu menjalanan gagasan tersebut dlauan perhtungan beberapa al secara berturut-turut dengan stepsze yang seman ecl yatu:
44 Arum Handn Prmandar, Abdurahman h h, sedeman sehngga dperoleh barsan pendeatan, P h, P h, Ja dambl stepsze h untu melauan pendeatan, maa persamaan (7) dapat dtuls: Andaan h h, maa P h a a h O h P h a a h O h (8) Selanjutnya, dengan menentuan h h h deperoleh Dengan mengalan (8) dengan, untu, dan memenuh hh, P h a a h O h (9), dperoleh t t t t t P h a a h O h () Mengurangan (9) dengan () dperoleh, Ph Ph a ah Oh Selanjutnya, ddefnsan: P h, h Dperoleh pendeatan baru untu nla P h a Ph P yatu t t t t Ph, h a a t h Oh () Persamaan () menunjuan bahwa Ph, h P Oh mengelmnas h3 h h Perhtungan dlanjutan untu h dengan menggunaan Ph, h dan, Menganalogan proses sebelumnya, dperoleh, 3 Ph, h a P h h serta mengambl 3 P h h t ah O h
Ten Estrapolas Rchardson Berulang Pada Model Bnomal Flesbel 45 Secara berulang ddefnsan P h h Ph, h, h3 Ddapatan pendeatan baru untu a P yatu,, P h, h 3 Ph, h, h3 a a h Oh 3 Deman dperoleh Ph, h, h3 a Oh Proses tersebut merupaan proses estrapolas 3 4 Rchardson, yang dapat dulang untu mengelmnas h, h, Pada mulanya Rchardson mendsrpsan prosedur estrapolas tersebut untu ;,, yang dsebut dengan deferred approach to the lmt [], Estrapolas Rchardson berulang dlauan dengan cara memlh onstanta,, serta memsalan h h ;,, dan h b Abatnya dalam,b dan lmh Algortma reursnya adalah sebaga berut: ( j) a Tetapan j P P h, j,,, h merupaan barsan turun n b Tetapan dan htung reurs: c n P untu j,,, dan n,, dengan ( j ) n P c P ( j) ( j) ( j) n n n n cn P P P P c ( j) ( j) ( j) n n n n () Untu menentuan nla dar, dgunaan deret Taylor Ph ( ) d setar P () sehngga dperoleh n n untu n,,, Setelah dperoleh nla maa dapat dbangun tabel estrapolas yatu: T dan ddapat,,3,, T, T,, T T T 3, 3, 3,3
46 Arum Handn Prmandar, Abdurahman Algortma reurs pada persamaan () dapat dgeneralsas menggunaan aturan segtga pada tabel estrapolas menjad: a Tetapan T, Ph ;,, b Untu dan j,3,, htung T, j T, j T, j T, j hj (3) h Algortma pada persamaan (3) denal juga sebaga algortma Aten-Nevlle Andaan dambl dan h H Selanjutnya H dsebut dengan langah dasar (basc step) Abatnya H dperoleh barsan h ;,, dengan n,4,8,6,3, Barsan tersebut n dsebut dengan barsan Romberg 3 Estrapolas Rchardson Berulang pada Model Bnomal Flesbel Estrapolas Rchardson dterapan salah satunya untu mempercepat onvergens suatu barsan [4] Oleh arena harga ops yang dperoleh dar model bnomal meml onvergens lambat maa estrapolas dapat dterapan untu mempercepat eonvergenannya Prosedur untu mengaplasan estrapolas Rchardson berulang pada model bnomal Flesbel adalah sebaga berut: a Menentuan langah dasar dan banyanya perulangan Langah dasar (H) dgunaan untu menentuan barsan langah pendeatan: H; h, H; h, H; h3,, untu barsan stepsze h h Stepsze h dapat dtentuan dengan menggunaan langah dasar H, yatu: H h untu,, n Dengan deman barsan h dapat darateran menggunaan barsan blangan bulat n Dalam asus n n adalah barsan Romberg, :,4,8,6,3, F R Dalam penerapan ten estrapolas pada model bnomal, langah dasar (basc step) dperoleh dar H, N
Ten Estrapolas Rchardson Berulang Pada Model Bnomal Flesbel 47 dengan τ adalah umur ops, sedangan N adalah banya langah awal b Menentuan barsan nla ops Nla ops pada olom pertama estrapolas dtentuan dengan model bnomal flesbel c Melauan estrapolas Estrapolas dlauan dengan menggunaan algortma Aten-Nevlle Keauratan ten estrapolas Rchardson dapat duur juga dar nla RMS (Root Mean Square) error relatf yang dformulasan sebaga berut: dengan P P *, P j j RMS, * P adalah nla ops hasl estmas, sedangan P adalah nla ops sebenarnya Dalam asus n, P dambl dar harga ops pembandng yang dperoleh tanpa menggunaan estrapolas Harga ops tersebut dasumsan sebaga harga ops yang sudah onvergen 3 Hasl dan Pembahasan Data saham yang dgunaan sebaga stud asus adalah saham ml Ctgroup, Inc (C) Saham hstors dambl dar tanggal 7 September hngga 6 September 3 Sebelum data dgunaan untu mengestmas volatltas, dlauan uj normaltas pada log return data saham Ctgroup Hasl uj normaltas menggunaan uj llefors, data log return Ctgruop berasal dar populas berdstrbus normal Dar pasar dperoleh nformas harga saham pada tanggal 6 September (S ) sebesar $4893, harga ontra (K) dambl sebesar $49, suu bunga bebas reso (r) d USA adalah 5%, jatuh tempo ops adalah tanggal 5 Otober 3, tngat dvden (δ) sebesar %, dan harga ops put pasar sebesar $67 Perhtungan harga ops menggunaan model bnomal dlauan dengan mengambl langah sebanya 5, sedangan perhtungan harga ops dengan menerapan ten estrapolas Rchardson dlauan dengan 5 al perulangan dan banya langah awal sebanya Estmas volatltas yang dgunaan dalam perhtungan adalah estmas hstors maupun mpled Hasl perhtungan adalah sebaga berut:
48 Arum Handn Prmandar, Abdurahman Model Tabel Harga ops put Amera Ctgroup Harga Ops Put Volatltas Hstors Watu yang dbutuhan (det) Impled Volatltas Harga Ops Put Watu yang dbutuhan (det) Bnomal CRR,777 86,996,64478 864,4 Bnomal Flesbel,776 859,995,64478 857,57 Bnomal Flesbel dengan estrapolas Rchardson berulang Blac-Scholes,7 Harga pasar,67,777 8,899,64479 9,67 Dar Tabel d atas, dperoleh bahwa etga model menghaslan harga ops put yang sama pada tngat ores -4 D antara etga model, model bnomal flesbel dengan estrapolas Rchardson berulang memerluan watu palng sedt untu menyelesaan htungan yatu urang dar det, sedangan model bnomal memerluan watu lebh dar 4 ment RMS error relatf harga ops menggunaan model tersebut pada setap perulangan dbandng dengan harga yang dperoleh dar model bnomal flesbel tanpa estrapolas adalah sebaga berut: Tabel RMS Model bnomal flesbel dengan ten estrapolas Rchardson berulang Perulangan n() Volatltas Volatltas Hstors Impled Volatltas,79-3,766-3 4 6,7839-4 6,7688-4 3 8 4,57-4 4,56-4 4 6 3,39-4 3,3845-4 5 3,773-4,7-4 Berdasaran hasl RMS error relatf (pada dagonal tabel estrapolas) yang seman mengecl, maa seman banya ulangan yang dambl, seman aurat pula harga ops yang dperoleh
Ten Estrapolas Rchardson Berulang Pada Model Bnomal Flesbel 49 4 Kesmpulan Ten estrapolas Rchardson dapat dterapan pada model bnomal flesbel arena model n meml onvergens yang monoton (relatf tda berflutuatf) Penggunaan ten n pada model bnomal flesbel membuat jumlah langah watu yang dgunaan lebh sedt dbandngan tanpa penggunaan estrapolas Serng jumlah langah watu yang sedt dan onvergens yang seman cepat, watu yang dbutuhan untu perhtungan juga seman sngat Daftar Pustaa [] Avram, S, 3, Practcal Extrapolaton Methods: Theory and Applcatons, Cambrdge Unversty Press, USA [] Chuang-Chang, C, San-Ln, C, and Rchard, CS,, Rchardson Extrapolaton Technque for Prcng Amercan-Style Optons, Worng Paper, Management School, Natonal Central Unversty, Tawan [3] Cox, J, Ross, S, and Rubnsten, M, 979, Opton Prcng: A Smplfed Approach, Journal of Fnancal Economcs 7, 9-63 [4] Joyce, DC, 97, Survey Of Extrapolaton Processes In Numercal Analyss, SIAM Revew 3, no 4, 435-483 [5] Tan, YS, 999, A Flexble Bnomal Opton Prcng Model, Journal of Futures Marets 9-7, 87-843
5 Arum Handn Prmandar, Abdurahman