RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt
RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field F dengn, b F. Antr nggot-nggot F dn nggotnggot V berlku opersi (x). () Himpunn V disebut rung vektor ts field F jik berlku : 8/0/009 budi murtiys ums surkrt
RUANG VEKTOR (lnjut..) Untuk opersi (+) pd nggot-nggot V memenuhi sift :. tertutup; u + v V. sositif; (u + v) + w = u + (v + w) 3. mempunyi elemen identits 0; sedemikin hingg u + 0 = u 4. setip unsurny mempunyi invers; setip u d (-u) sehingg u + (- u) = 0 5. komuttif; u + v = v + u 8/0/009 budi murtiys ums surkrt 3
RUANG VEKTOR (lnjut..) Antr nggot-nggot F dengn nggotnggot V memenuhi sift : 6. tertutup; u V 7. distributif; ( u + v) = u + v 8. distributif; ( + b) u = u + b u 9. sositif; (b u) = ( b) u 0. identits perklin; d F, sehingg u=u u 8/0/009 budi murtiys ums surkrt 4
Cttn :.Jik V merupkn rung vektor, nggotnggot V disebut vektor..opersi penjumlhn pd V selnjutny disebut opersi penjumlhn vektor 3.Opersi perklin ntr nggot F dengn nggot V disebut perklin sklr 4. Vektor 0 V yg merupkn elemen identits penjumlhn vektor, disebut Vektor nol. 5. Vektor (-u) yng merupkn invers dri vektor u dlh lwn tu negtif dri u. 8/0/009 budi murtiys ums surkrt 5
Berdsrkn definisi rung vektor tersebut, semu himpunn yng memenuhi ke 0 sift tersebut dinmkn rung vektor; dn nggot- nggotny dpt disebut sebgi vektor. Contoh : M = { semu mtriks berdimensi 3x}. Opersi penjumlhn pd M dlh opersi penjumlhn mtriks. Opersi perklinny dlh perklin sklr dri F dengn nggot-nggot M. Apkh M merupkn rung vektor? 8/0/009 budi murtiys ums surkrt 6
Solusi : Ambil A 3x, B 3x, C 3x M. Tertutup dipenuhi, sebb A + B = D 3x M. sositif dipenuhi, sebb (A + B) + C = A + (B + C) 3. Mempunnyi identits, 4. Untuk setip A = O 0 0 = 0 0 0 0 d sehingg A + 0 = A A = sehingg A + - A = 0 3 3 3 3 5. Komuttif dipenuhi ; A + B = B + A 6. Untuk k, m F ; mk ka M 7. distributif; k(a + B) = k A + k B 8. distributif; (k + m) A = k A + m A 9. sositif; if k (m A) = (k m) )A 0. identits perklin; d F, sehingg A = A Kren 0 sift dipenuhi, mk M dlh rung vektor. 8/0/009 budi murtiys ums surkrt 7
Mnkh yng merupkn rung vektor?. P = {semu polinom berderjt }, dengn opersi penjumlhn ntr polinom dn perklin sklr dengn polinom.. Himpunn -tuple, dengn opersi penjumlhn dlh sbb : b + b k k = k + = b b dengn opersi perklin didefinisikn 3. Himpunn -tuple, dengn opersi penjumlhn dlh sbb : k b b + = k + b + b = 8/0/009 budi murtiys ums surkrt 8
Himpunn psngn berurutn dri n bilngn rel (n tuple) : =... n.. ȧ n k... n dengn opersi penjumlhn yg didefinisikn dengn : + = b b.. ḃ b n k k kn = + b + b... n + b dengn opersi perklin + n Didefinisikn : Himpunn n-tuple tersebut memenuhi 0 sift rung vektor. Jdi himpunn n-tuple dri bilngn rel dlh... rung vektor. Secr umum dinytkn dengn R n. 8/0/009 budi murtiys ums surkrt 9
Teorem : Andikn V dlh rung vektor dengn u V dn k F, mk (i) Untuk 0 F, berlku 0 u = O (ii) Untuk O V, berlku k O = O (iii) Untuk - F, berlku (-) u = - u (iv) Jik k u = 0, mk k = 0 tu u = O (v) (k u) = (-k) u = k(- u) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt 0
0 F, berlku 0 u = O Bukti : 0 + 0 = 0 sift field (0 + 0) u = 0 u 0u + 0u = 0u sift RV ke 7 0u + 0u + (- 0u) = 0u + (-0u) 0u + 0 = 0 sift RV ke 4 0u = 0 sift RV ke 3 (terbukti). 8/0/009 budi murtiys ums surkrt
RUANG VEKTOR BAGIAN
v Rung vektor W M W M V V Jik W memenuhi 0 ksiom rung vektor Jik W memenuhi 0 ksiom rung vektor, mk W disebut Rung Bgin (Subspce) V
Rung Vektor Bgin (Subspce) Teorem : W dlh subspce dri rung vektor V jik dn hny jik W tidk kosong Tertutup t terhdp penjumhn; u, v W; u + v W Tertutup terhdp perklin; u W, u W; dengn dlh sklr.
Akibt Teorem : W subspce dri rung vektor V jik dn hny jik : O W Untuk u, v W, mk ku +lv W; dengn k, l dlh sklr. Contoh : Andikn V = R 3. b c Apkh W = { b = c;, b, c R }. Selidiki pkh W subspce dri V?.
0 0 0 (i)0 = nggot W sebb 0 =.0 (ii) Misl u = b dengn syrt b = c c v = dengn syrt b = c b c k kb kc ku + lv = + = l lb lc k kb + kc + + l kb + lb = kc + lc = (kc + lc ) Jdi ku + lv dlh nggot W. Jdi W subspce V lb lc
Teorem : Andikn U dn W dlh subspce dri V, mk U W jug subspce dri V
Bukti : Kren U dn W dlh subspce,, mk O U dn O W, berrti O (U W). Ambil u, v (U W), berrti : u, v U u + bv U u, v W u + bv W u + bv (U W). Jdi U W dlh subspce dri V.
Contoh : Andikn V = R 3. Jik U dn W dlh subspce V dengn : b c b c U = { + b = 0;, b, c R} }, dn W = { = c;, b, c R }, mk : b c U W = { + b = 0; = c; dng,b, c R R }. Tunjukkn bhw U W jug subspce dri V.