DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C. PERUMUSAN MASALAH... 2 D. TUJUAN PENULISAN... 3 BAB II PEMBAHASAN... 4 v 1. MATERI PENDUKUNG... 4 1.1 Group Siklik... 4 1.2 Gelanggang... 8 1.3 Lapangan... 16 1.4 Ruang Vektor... 21 1.5 Perluasan Lapangan... 23 1.6 Suku Banyak (Polinomial)... 26 2. PEMBAHASAN... 33 2.1 Pengertian Lapangan Berhingga... 33 2.2. Sifat Sifat Lapangan Berhingga... 34 2.3. Sublapangan... 38 2.4 Cara Mengkonstruksi Lapangan Berhingga... 39 2.5 Ketunggalan dari Lapangan Berhingga Berorder Sama (up to Isomorphisma)... 43

vi BAB III PENUTUP... 51 A. KESIMPULAN... 51 B. SARAN... 51 LAMPIRAN... 52 DAFTAR PUSTAKA... 56

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Lapangan adalah salah satu objek yang dipelajari dalam aljabar abstrak, salah satu cabang ilmu matematika. Dalam disiplin ilmu matematika sendiri, lapangan memegang peranan yang sangat penting. Bahkan dalam perkuliahan pun lapangan memegang peranan penting. Sebagai contoh, ketika belajar kalkulus, teori bilangan, analisis riil maupun analisis kompleks, lapangan berperan penting di dalamnya. Mengapa bisa dikatakan demikian. Sebab objek seperti himpunan bilangan riil ( ), himpunan bilangan kompleks ( ), himpunan bilangan rasional ( ) serta himpunan bilangan bulat modulo p ( ) dengan operasi penjumlahan dan perkalian adalah contoh dari lapangan. Dalam perkuliahan Struktur Aljabar telah dipelajari pengertian awal tentang lapangan dan beberapa sifatnya. Salah satu objek yang dipelajari di lapangan yaitu lapangan berhingga. Lapangan berhingga ternyata memiliki sifatsifat yang menarik untuk dipelajari, pun lapangan berhingga sendiri memiliki aplikasi yang cukup luas misalnya di criptografi atau di teorema coding. 1 Salah satu yang menarik dari lapangan berhingga adalah bahwa dapat dibuktikan setiap lapangan berhingga memiliki elemen sebanyak p n dengan p bilangan prima dan n bilangan bulat positif. Selain itu hal yang menarik penulis adalah bagaimana mengkonstruksi suatu lapangan berhingga, serta apa saja sifat - sifat dari lapangan berhingga itu sendiri. Oleh karena itu, berdasarkan latar belakang tersebut di atas, dalam makalah ini akan dibahas tentang pengertian lapangan berhingga, sifat - sifat serta cara mengkonstruksinya.

2 B. Pembatasan Masalah Pada makalah ini, pembahasan mengenai materi lapangan berhingga lebih ditekankan pada teori teori dasar yaitu tentang pengertian dan sifat sifatnya. Sedangkan untuk terapannya termasuk mengenai Galois Field tidak dibahas pada makalah ini. Selain itu, cara mengkonstruksi lapangan berhingga yang diperkenalkan hanya satu yaitu dengan memanfaatkan gelanggang polinomial P x dan polinomial tak tereduksi px P x. Demikian pula bagaimana cara mencari polinomial tak tereduksi tersebut tidak dibahas pada makalah ini. C. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang dan pembatasan masalah di atas, penulis merumuskan permasalahan sebagai berikut : 1. Apakah pengertian lapangan berhingga? 2. Apasaja sifat sifat yang dimiliki oleh lapangan berhingga? 3. Bagaimana sifat sublapangan dari lapangan berhingga? 4. Bagaimana cara mengkonstruksi lapangan berhingga sesuai dengan banyak elemen yang dimuatnya?

3 D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan makalah ini adalah : 1. Mengetahui pengertian lapangan berhingga. 2. Mengetahui sifat sifat lapangan berhingga. 3. Mengetahui sifat sublapangan dari lapangan berhingga. 4. Dapat mengkonstruksi lapangan berhingga sesuai dengan banyak elemen yang dimuatnya.

BAB II PEMBAHASAN Sebelum memulai pembahasan tentang lapangan berhingga terlebih dahulu disajikan materi- materi terkait yang menjadi pendukung, sebagai berikut : 1. Materi Pendukung 1.1 Group Siklik Definisi 1.1.1 ( Definisi group ) Himpunan tak kosong G disebut group jika di dalam G terdefinisi satu operasi biner ( operasi biner yaitu fungsi dari ke ) dan dipenuhi sifat sifat berikut : 1. Untuk setiap,, berlaku ( Berlaku sifat assosiatif ) 2. Terdapat elemen sedemikian sehingga berlaku ( e disebut elemen identitas di G ) 3. Untuk setiap terdapat elemen sedemikian sehingga ( disebut invers dari ) (Grillet, 2000 : 8) Contoh : Himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan ( + ) yang telah kita kenal membentuk group. 4 Definisi 1.1.2 ( Definisi group siklik ) Suatu group G disebut group siklik jika terdapat elemen sedemikian sehingga.

5 Elemen yang demikian disebut generator dari G. Selanjutnya group siklik G yang dibangun oleh dinotasikan. (J.A. Galian, 1990 : 66) Contoh : 0 1, 2, 3, 4 terhadap operasi perkalian di adalah contoh group siklik yang dibangun oleh 3 sebab, 3 3, 3 9 4, 3 27 2, 3 81 1. Definisi 1.1.3 ( Definisi Order ) Misalkan G suatu group, order dari suatu elemen yaitu bilangan bulat positif terkecil t sedemikian sehingga 1 (elemen identitas di G). Order dari elemen dinotasikan. Sedangkan order dari group menyatakan banyaknya elemen yang ada di, dinotasikan. (Fraleigh, 2000 : 408) Contoh : Mengacu contoh dari definisi 1.1.2, diperoleh 4 dan 1 1 sebab 1 1 sedangkan 2 4 karena 2 16 1. Teorema 1.1.4 Misalkan adalah group siklik dengan order n. Maka jika dan hanya jika, 1. (J.A. Galian, 1990 : 69) Untuk membuktikan teorema di atas harus dibuktikan dua pernyataan yaitu: 1. Jika maka, 1

6 2. Jika, 1 maka Untuk membuktikan pernyataan 1) digunakan kontradiksi. Andaikan, 1. Diperoleh n = pt dengan t < n dan k = pw dengan w < k. Maka. Jadi,. Karena,,, berakibat. Dengan kata lain, sehingga bukan generator dari G. Timbul kontradiksi karena diketahui. Jadi, haruslah, 1. Untuk membuktikan pernyataan 2) digunakan cara langsung. Diketahui, 1 berakibat terdapat, sehingga 1. Oleh karena itu.. maka. Karena G dibangun oleh a berakibat. Diketahui pula bahwa. Contoh :. Jadi, Group 0 1, 2, 3, 4. Telah diketahui bahwa 3 adalah generator dari G. Berdasarkan teorema 1.1.4 diatas, generator dari G yang lain adalah 3 27 2. Hal ini benar karena, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2 Teorema 1.1.5 Misalkan G adalah group berhingga dengan order n, dengan sifat setiap bilangan bulat positif d yang membagi habis n, terdapat paling banyak d solusi dari persamaan di G. Maka G adalah group siklik. (e elemen identitas di G) (Herstein, 1996 : 222) Misalkan adalah banyaknya elemen di G yang memiliki order d. Ambil sebarang d bilangan bulat positif yang membagi habis n. Jika terdapat

7 dimana ord(a) = d maka himpunan penyelesaian dari persamaan adalah,,,,,. Sehingga setiap elemen di G yang berorder d mempunyai bentuk salah satu dari,,,,,. Berdasarkan teorema 1.1.4 diperoleh. ( adalah fungsi Euler *). Sedangkan bila tidak terdapat elemen di G yang berorder d maka 0. Oleh karena itu, untuk setiap d yang membagi habis n berlaku. Karena order dari setiap elemen di G membagi = n maka diperoleh. Dari teori bilangan didapat. Sehingga tetapi karena, yang membagi habis n berakibat. Karena n membagi n maka 1, ini berarti terdapat elemen yang berorder n. Oleh karena itu, elemen elemen,,,,, semuanya berbeda dan ada di G. Dengan kata lain,,,,, adalah group siklik dengan generator t. Contoh : 0 1, 2, 3, 4 terhadap operasi perkalian di membentuk group. Jelas pula bahwa 4. Perhatikan 1, 2 dan 4 membagi habis 4 dan persamaan 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1 } 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1, 4 } 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1, 2, 3, 4 } = G Jadi, G memenuhi kondisi pada teorema 1.1.5 sehingga G merupakan group siklik ( telah dibuktikan pada contoh 1 ). *penjelasan tentang fungsi Euler terdapat di lampiran.

8 1.2 Gelanggang Definisi 1.2.1( Definisi Gelanggang ) Himpunan R tak kosong disebut gelanggang jika di dalam R terdapat dua operasi ( umumnya disimbolkan ( + ) dan (. )) sedemikian sehingga berlaku : 1. jika, maka (. 2.,,. 3.,,,. 4. Terdapat elemen 0 R R sehingga 0 R +,. Selanjutnya 0 R disebut elemen netral dari R. 5., terdapat 0. Selanjutnya b disebut invers dari terhadap penjumlahan di R, biasa ditulis. 6., maka.. 7.....,,, 8.... dan...,,,. Jika terdapat 1 R R, sehingga 1 R.. 1,. R disebut gelanggang dengan elemen satuan dan 1 R disebut elemen satuan di R. Apabila di R juga berlaku..,, maka R dinamakan gelanggang komutatif. ( Herstein, 1996 : 126 ) Contoh : Himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (.) yang sudah dikenal membentuk gelanggang. Definisi 1.2.2 ( Definisi daerah integral ) Misalkan R gelanggang komutatif, R disebut daerah integral jika untuk setiap, sedemikian sehingga. 0 mengakibatkan 0 atau 0. ( Herstein, 1996 : 127 )

9 Contoh : Himpunan bilangan real adalah gelanggang komutatif yang juga merupakan daerah integral. Definisi 1.2.3 ( Definisi ideal ) Misalkan R suatu gelanggang. Himpunan tak kosong I disebut ideal jika berlaku : 1. I subgroup penjumlahan dari R. 2., berlaku dan. ( Herstein, 1996 : 140) Contoh : Himpunan, 4, 2, 0, 2, 4, 2 adalah ideal dari gelanggang. Definisi 1.2.4 ( Definisi ideal maksimal ) Misalkan M ideal dari gelanggang R. M disebut ideal maksimal jika ideal lain di R yang memuat M hanyalah M sendiri atau R. (Herstein, 1996 : 148) Contoh : Himpunan, 6, 3, 0, 3, 6, 3 adalah ideal maksimal dari gelanggang.

10 Lemma 1.2.5 Misalkan R gelanggang dan I ideal dari R, maka merupakan gelanggang terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut : untuk setiap, dan (Herstein, 1990 : 135) Pertama dibuktikan operasi (+) dan (*) yang didefinisikan di atas well defined. Yaitu harus ditunjukkan untuk setiap,,, jika dan maka serta,. Untuk keperluan di atas terlebih dahulu dibuktikan pernyataan berikut : Untuk setiap, jika dan hanya jika. Jika berakibat untuk terdapat dengan,, sehingga berlaku atau. Jika berakibat,. Sehingga diperoleh dan berikutnya diperoleh atau. Sekarang kembali kepermasalahan, jika berakibat demikian pula jika berakibat sehingga diperoleh,. Akibatnya.

11 Sekarang perhatikan,..1)..2) karena I ideal dari 1) dan 2) didapat. Jadi,. Terbukti, operasi (+) dan (*) yang didefinisikan di atas well defined. Kedua, dibuktikan adalah gelanggang (dengan memanfaatkan definisi gelanggang). Ambil sebarang,,, misalkan pula, dan dengan,,. Selanjutnya perhatikan, 1. karena R gelanggang maka. Jadi,. 2.. 3. 1 2 4. Misalkan 0 elemen netral di R, maka pilih 0 dan untuk setiap berlaku 0 0. Jadi, e elemen netral di. 5. Untuk setiap pilih sedemikian hingga berlaku 0. 6. karena R gelanggang maka. Jadi,. 7. 1 2

12 8. 1 2 I dan 2 3 I Berdasarkan sifat sifat 1 sampai 8, terbukti bahwa adalah gelanggang. Contoh : Telah diketahui bahwa adalah gelanggang dan 2 merupakan ideal dari. Berdasarkan lemma 1.2.5 di atas diperoleh 2 suatu gelanggang. 0, 1 merupakan Catatan : adalah himpunan bilangan bulat modulo n. Operasi penjumlahan dan perkalian di seperti yang telah dipelajari di teori bilangan. Definisi 1.2.6 ( Definisi homomorphisma ) Misalkan R dan R suatu gelanggang, pemetaan dari R ke R disebut homomorphisma jika berlaku : 1. 2. untuk setiap,. (Herstein, 1990 : 131)

13 Didefinisikan pula Kernel dari dinotasikan, yaitu 0. Sedangkan bayangan dari dinotasikan didefinisikan. Apabila suatu homomorphisma dan sekaligus injektif, disebut isomorphisma. Selanjutnya gelanggang R dan R disebut isomorphic jika terdapat isomorphisma dari R onto R. Gelanggang R isomorphic dengan R disimbolkan. Lemma 1.2.7 Misalkan R gelanggang dan M ideal dari R, didefinisikan pemetaan yaitu, maka suatu homomorphisma dari R onto. (Herstein 1990 :135 ) Pertama, dibuktikan well defined. Untuk itu, ambil sebarang, dengan akan ditunjukkan. Perhatikan, karena 0 (elemen netral di R) dan M ideal di R berakibat sehingga. Jadi, well defined. Untuk membuktikan suatu homomorphisma ambil sebarang,. Perhatikan,, serta. Terbukti homomorphisma. Untuk membuktikan surjektif, ambil sebarang berarti c dapat dinyatakan c = r + M untuk suatu. Dengan kata lain. Jadi, surjektif. Jadi, terbukti homomorphisma dari R onto.

14 Teorema 1.2.8 Misalkan R dan R gelanggang. Jika pemetaan adalah suatu homomorphisma, maka dengan. (Herstein,1990 :135 ) Untuk menunjukkan berarti harus ditunjukkan terdapat isomorphisma dari onto. Terlebih dahulu dibuktikan bahwa ideal dari R. Berdasarkan definisi kernel, didapat dan karena homomorphisma berlaku 0 0 jadi. Selanjutnya ambil sebarang, dan sebarang maka berlaku, 0 0 0 Jadi,. 0 0 0 serta berlaku pula 0 0 0 Sehingga,. Oleh karena itu, terbukti I ideal dari R. Dari lemma 1.2.7 diperoleh, terdapat homomorphisma dari R onto yaitu. Selanjutnya didefinisikan pemetaan yaitu untuk setiap dan suatu. Akan dibuktikan bahwa adalah isomorphisma dari onto. Pertama, dibuktikan bahwa pemetaan well defined. Untuk itu ambil sebarang, dengan. Karena surjektif, berarti dan untuk suatu,. Sehingga berakibat atau untuk suatu. Oleh karena itu diperoleh, 0.

15 Jadi,. Sehingga terbukti well defined. Kedua, ditunjukkan suatu homomorphisma. Untuk itu ambil sebarang, sehingga dapat dinyatakan dan untuk suatu,. Diperoleh pula dan Perhatikan, serta. Terbukti, homomorphisma. Terakhir, tinggal ditunjukkan injektif sekaligus surjektif. Untuk menunjukkan injektif, ambil sebarang, sehingga dapat dinyatakan dan untuk suatu,. Jika harus ditunjukkan. Karena dan serta berakibat. Sehingga 0. Oleh karena itu,. Hal ini berakibat yang berarti. Jadi, terbukti injektif. Untuk menunjukkan surjektif, ambil sebarang akan ditunjukkan terdapat sedemikian hingga. Perhatikan, karena berarti sedemikian hingga berlaku. Demikian pula dengan memanfaatkan homomorphisma, sehingga. Oleh karena itu pilih, sehingga berlaku. Terbukti surjektif. Oleh karena itu, adalah isomorphisma dari onto yang berarti.

16 1.3 Lapangan Definisi 1.3.1( Definisi Lapangan ) Gelanggang F disebut lapangan jika berlaku sifat sifat sebagai berikut : 1. F gelanggang komutatif dan F memiliki elemen satuan. 2. Setiap elemen tak nol di F memiliki invers terhadap operasi perkalian di F. (Grillet, 2000:116) Contoh : Himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian yang telah dikenal membentuk lapangan. Definisi 1.3.2( Definisi Sublapangan ) Misalkan F suatu lapangan dan. T disebut sublapangan dari F jika T sendiri membentuk lapangan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang ada di F. (Grillet, 2000:118) Contoh : Himpunan adalah sublapangan dari lapangan. Teorema 1.3.3 Misalkan R gelanggang komutatif dengan elemen satuan, dan M ideal maksimal dari R, maka = {r + M r } adalah lapangan. (Herstein, 1996 : 149) Untuk menunjukkan lapangan, harus dibuktikan adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan serta setiap elemen tak nol di memiliki invers terhadap operasi perkalian di.

17 Apabila (+) dan (*) menyatakan operasi seperti pada lemma 1.2.5 maka telah dibuktikan,, adalah gelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan komutatif dan memiliki elemen satuan. Perhatikan, untuk setiap,,, berlaku,. Misalkan pula, 1 elemen satuan di R. Sehingga 1 dan untuk setiap berlaku 1 1 1. Berarti 1 adalah elemen satuan di. Jadi, terbukti gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Oleh karena itu, tinggal dibuktikan untuk setiap elemen tak nol di memiliki invers. Untuk keperluan ini, sebelumnya dibuktikan terlebih dahulu ideal di hanya { M } dan. Untuk membuktikannya andaikan terdapat ideal lain misal N di harus ditunjukkan N = { M } atau N =. Ambil sebarang N ideal di. Apabila N = { M } maka terbukti, oleh karena itu andaikan. Ini berarti terdapat elemen dengan tetapi. Berdasarkan lemma 1.2.7 terdapat homomorphisma yaitu,. Selanjutnya misalkan berarti dan. Akan dibuktikan T ideal dari R. Jelas T tak kosong dan. Demikian pula untuk sebarang, diperoleh. Karena N ideal, berakibat sehingga. Selanjutnya, ambil sebarang dan diperoleh, karena N ideal dan serta berakibat.

18 Jadi,. Terbukti T ideal di R. Karena dan M ideal maksimal serta berakibat. Sekarang ambil sebarang berarti dapat ditulis, untuk suatu. Jadi,. Sehingga pula. Jadi, terbukti { M } dan., padahal diketahui. Oleh karena itu, ideal di hanya Sekarang kembali ke tujuan awal yaitu membuktikan setiap elemen tak nol di memiliki invers. Oleh karena itu, ambil sebarang tetapi. ( Perhatikan, elemen nol atau elemen netral di adalah M ). Mudah dibuktikan bahwa adalah ideal di. Perhatikan pula bahwa, 1. Jadi,, berarti. Karena 1 kata lain, invers dari a. berarti 1 untuk suatu. Dengan Jadi, terbukti setiap elemen tak nol di memiliki invers. Sebelumnya juga telah dibuktikan adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Sehingga terbukti adalah lapangan. Contoh : Pada contoh dari lemma1.2.5, 2 adalah suatu gelanggang. Tetapi karena 2 adalah ideal maksimal dari diperoleh 2 merupakan lapangan. Teorema 1.3.4 Daerah integral berhingga adalah lapangan. (Herstein, 1990 : 127 )

19 Misalkan D adalah daerah integral berhingga dan. Misalkan pula D ={d 1, d 2, d 3,...,d n } dimana d i = d j jika dan hanya jika i = j. Untuk membuktikan D suatu lapangan harus ditunjukkan bahwa D memiliki elemen satuan dan setiap elemen tak nol di D memiliki invers. Ambil elemen x 0 D.Perhatikan bahwa xd 1, xd 2, xd 3,...., xd n semuanya ada di D dan klaim bahwa semuanya berbeda. Andaikan,,, dengan diperoleh, 0 sehingga 0. Karena D daerah integral dan 0 D, maka haruslah d i d j = 0 D atau d i = d j. Timbul kontradiksi karena i, sehingga terbukti xd 1, xd 2, xd 3,...., xd n semuanya berbeda. Dengan kata lain, dapat ditulis D = { xd 1, xd 2, xd 3,...., xd n }. Padahal, sehingga untuk suatu. Klaim bahwa adalah elemen identitas dari D. Ambil sebarang elemen, dapat ditulis, untuk suatu. Perhatikan, Karena D komutatif, diperoleh. Berarti adalah elemen satuan di D. Selanjutnya ditunjukkan setiap elemen taknol di D memiliki invers. Perhatikan kembali bahwa sehingga, untuk suatu. Jadi, adalah invers dari x. Terbukti bahwa D adalah lapangan. Definisi 1.3.5 ( Definisi Sublapangan Prima ) Sublapangan terkecil dari lapangan F disebut sublapangan prima. (Robinson, 2003 : 185) Dengan kata lain sublapangan prima adalah irisan dari seluruh sublapangan yang ada di F. Lapangan yang sama dengan sublapangan primanya disebut lapangan prima.

20 Definisi 1.3.6 ( Definisi karakteristik gelanggang ) Misal R gelanggang, dan n adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga 0,. Bilangan terkecil n yang memenuhi sifat tersebut dinamakan karakteristik dari R, dan R dikatakan memiliki karakteristik n. Apabila bilangan bulat positif yang demikian tidak ada, dikatakan R memiliki karakteristik 0. (Rudolf Lidl, 1994 : 16) Contoh : adalah contoh gelanggang dengan karakteristik 0, sedangkan adalah contoh gelanggang dengan karakteristik 2. Lemma 1.3.7 Jika R adalah gelanggang dengan karakteristik p, p bilangan prima. Maka untuk setiap,. Berdasarkan Binomial Newton didapat, Perhatikan, adalah bilangan bulat serta. 1. 2 1. 1. 2 2.1 (Rudolf Lidl, 1994 : 16) Karena p bilangan prima dan 1 maka faktor p pada pembilang tidak dapat dihilangkan. Dengan kata lain merupakan kelipatan p.

21 Hal ini berakibat merupakan kelipatan p. Karena p karakteristik dari R diperoleh 0. Oleh karena itu,. Contoh : Di diperoleh, 1 3 3 1 1. Teorema 1.3.8 Lapangan prima dengan karakteristik p 0 isomorphic dengan. Ambil sebarang lapangan prima F dengan karakteristik p 0. Konstruksi homomorphisma, dengan definisi 1,. (Robinson, 2003 : 186) Perhatikan bahwa 0, jika dan hanya jika adalah kelipatan p. Sehingga Ker() = p, berdasarkan teorema 1.2.8 diperoleh Im( Jadi, isomorphic dengan Im( sublapangan dari F. Tetapi F lapangan prima sehingga terbukti F = Im(. 1.4 Ruang Vektor Definisi 1.4.1( Definisi bergantung linier dan bebas linier ) Diberikan ruang vektor V. Himpunan S = { v 1, v 2,....v n } subset V disebut bergantung linier jika terdapat scalar,,., yang tidak semuanya nol, sedemikian sehingga.... 0

22 Apabila himpunan S = { v 1, v 2,....v n } tidak bergantung linier, maka himpunan S = { v 1, v 2,....v n } disebut bebas linier. (Herstein, 1990 : 178) Definisi 1.4.2 ( Definisi merentang / spanning ) Himpunan S = {v 1, v 2,....v n } subset ruang vektor V disebut merentang V, dinotasikan V = span( S ) jika untuk setiap dapat dinyatakan dalam bentuk...., dengan,,., suatu scalar. (Herstein, 1990 : 179) Definisi 1.4.3( Definisi basis ) Himpunan S = {v 1,v 2,....v n } subset ruang vektor V disebut basis dari V jika S bebas linier dan S merentang V. (Herstein, 1990 : 180) Lemma 1.4.4 Apabila {v 1, v 2,...,v n } adalah basis dari V maka untuk setiap, penyajian.... adalah tunggal (unik). (Herstein, 1990 : 178) Andaikan, dimana penyajian.... tidak tunggal. Katakanlah.... dan...., dimana terdapat 1, 2,,, sehingga. Selanjutnya diperoleh 0............

23 Padahal terdapat 1,2,,, sehingga 0, hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa {v 1, v 2,....v n } basis dari V. Jadi, terbukti penyajian.... tunggal. Definisi 1.4.5( Definisi dimensi ) Dimensi ruang vektor V adalah cacah banyaknya elemen himpunan basisnya. Dimensi ruang vektor V dinotasikan. (Herstein. 1990 : 181) Contoh : Misal ruang vektor V dengan basis,, maka diperoleh 3. 1.5 Perluasan Lapangan Definisi 1.5.1( Definisi perluasan lapangan ) Misalkan F dan E suatu lapangan dengan operasi yang sama. E disebut perluasan lapangan dari F jika. (Robinson, 2003 : 186) Cara pandang lain yang berguna dalam belajar teori lapangan yaitu andaikan terdapat suatu homomorphisma yang injektif dari lapangan A ke lapangan B, katakanlah diperoleh. Untuk selanjutnya dapat diasumsikan A sublapangan dari B, anggapan ini muncul dikarenakan A dapat digantikan oleh. Sehingga dapat dianggap B perluasan lapangan dari A. Dengan demikian, berdasarkan bukti teorema 1.3.8 diperoleh setiap lapangan dengan karakteristik 0 merupakan perluasan

24 lapangan dari. Untuk keperluan analisis, lapangan B dapat pula dipandang sebagai ruang vektor atas A dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang ada di B. Definisi 1.5.2 ( Derajat perluasan lapangan ) Misalkan E perluasan lapangan dari F. Derajat E atas F adalah dimensi dari E sebagai ruang vektor atas F. Derajat E atas F dinotasikan dengan [E: F]. Apabila [E: F] berhingga, maka E disebut perluasan berhingga dari F. (Herstein, 1996 :191) Teorema 1.5.3 Jika K adalah perluasan berhingga dari lapangan L dan L adalah perluasan berhingga dari lapangan F, maka K adalah perluasan berhingga dari lapangan F dan : : : (Fraleigh, 2000 : 389) Misalkan 1, 2,, adalah basis dari ruang vektor K atas L dan 1,2,3,, adalah basis dari ruang vektor L atas F. Apabila bisa ditunjukkan bahwa 1,2,3,, dan 1,2,3,, adalah basis dari ruang vektor K atas F maka bukti selesai. Untuk itu ambil sebarang, dapat dinyatakan dengan Akan tetapi dapat dinyatakan dengan. Sehingga dapat dinyatakan,

25 Jadi, 1,2,3,, dan 1,2,3,, merentang K. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 1,2,3,, dan 1,2,3,, bebas linier. Andaikan 0. Dalam penyajian lain, 0 Karena 1, 2,, basis dari K atas L, dan maka berakibat untuk setiap i, berlaku 0 Dengan argumentasi yang sama, karena 1,2,3,, adalah basis dari ruang vektor L atas F maka berakibat 0 untuk setiap i = 1,2,, n dan j = 1,2,, m. Jadi, 1,2,3,, dan 1,2,3,, bebas linier. Oleh karena itu, 1,2,3,, dan 1,2,3,, membentuk basis dari ruang vektor K atas F. Sehingga K lapangan F. Dan merupakan perluasan berhingga dari Teorema terbukti.

26 1.6 Suku Banyak (Polinomial) Untuk selanjutnya, simbol menyatakan gelanggang polinomial atas lapangan, kecuali apabila dikatakan lain. Definisi 1.6.1( Definisi polinomial monic ) disebut polinomial monic jika koefisien tak nol dari pangkat tertinggi dari x adalah 1. (Herstein, 1996 : 157) Contoh : 8 9 merupakan polinomial monic, sedangkan 3 8 9 bukan polinomial monic. Definisi 1.6.2( Definisi daerah integral utama ) Misalkan suatu gelanggang. disebut daerah integral utama jika untuk setiap ideal I di berlaku, untuk suatu. (Fraleigh, 2000 : 332) Teorema 1.6.3 merupakan daerah integral utama. (Herstein, 1990 :156 ) Ambil sebarang ideal di. Akan ditunjukkan bahwa untuk suatu. Jika 0 maka jelas 0. Oleh karena itu andaikan 0. Selanjutnya, ambil sebarang dan pilih polinomial taknol sedemikian

27 hingga deg deg,. Berdasarkan algoritma pembagian Euclid diperoleh,. dengan, dan deg deg atau 0. Perhatikan pula,. karena ideal di berakibat. Selain itu karena deg deg, berakibat 0 yang berarti.. Jadi, adalah pembangun dari I atau. Terbukti adalah daerah integral utama. Definisi 1.6.4 ( Definisi polinomial tak tereduksi ) Polinomial disebut tak tereduksi (irreducible) jika p(x) berderajat positif dan tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian antara dua polinomial berderajat positif. Dengan kata lain, jika maka konstan atau konstan. (Herstein, 1996 : 159 ) Contoh : 1 merupakan polinomial tak tereduksi di tetapi tereduksi di. Teorema 1.6.5 Jika, tak tereduksi maka ideal yaitu ideal yang dibangun oleh adalah ideal maksimal dari. (Herstein, 1996 : 160 ) Misalkan M =. Untuk menunjukkan M ideal maksimal dari, harus ditunjukkan jika N ideal dari sedemikian sehingga maka atau.

28 Karena adalah daerah integral utama, maka, untuk suatu. Perhatikan pula bahwa, sehingga,. Karena tak tereduksi berakibat konstan atau konstan. Jika konstan maka, untuk suatu. Berarti. atau.. Berarti, berakibat. Karena serta maka. Jika konstan maka, untuk suatu. Sehingga. 1 Oleh karena itu, untuk setiap berlaku 1.. ( Karena N ideal dari F [x] ). Jadi, N = F[x]. Terbukti bahwa M = ideal maksimal dari. Teorema 1.6.6 Misalkan polinomial berderajat n. Maka memiliki paling banyak n akar di sebarang perluasan lapangan dari F. (Herstein, 1996 : 209) Akan dibuktikan teorema ini dengan induksi matematika. Untuk n = 1, maka dapat ditulis, dengan, dan 0. Sehingga satu satunya akar dari adalah. Asumsikan pernyataan benar untuk. Akan ditunjukkan pernyataan juga benar untuk 1. Ambil polinomial berderajat k +1. Apabila tidak memiliki akar di sebarang perluasan lapangan dari maka pernyataan terbukti. Oleh karena itu, andaikan memiliki akar. Katakanlah adalah akar dari. Sehingga dapat ditulis, dengan dan.

29 Perhatikan bahwa untuk sebarang akar dari maka atau akar dari karena 0. Padahal berdasarkan assumsi memiliki paling banyak k akar. Jadi, memiliki paling banyak k +1 akar. Dengan kata lain pernyataan benar untuk 1. Berdasarkan prinsip induksi matematika teorema terbukti. Teorema 1.6.7 Misalkan F suatu lapangan dan f (x) adalah polinomial berderajat n di F[x]. Maka terdapat perluasan lapangan K atas F dimana f (x) memiliki akar dan. (Herstein, 1996 : 211) Perhatikan bahwa f (x) dapat dinyatakan. dengan polinomial tak tereduksi di F [x] dan. Jika a adalah akar dari p(x) di suatu perluasan lapangan F maka a juga akar dari f (x), karena. 0. 0. Jadi untuk membuktikan teorema ini, cukup dengan mencari suatu perluasan lapangan dari F dimana p(x) memiliki akar. Karena p(x) tak tereduksi maka adalah ideal maksimal dari F [x], sehingga adalah lapangan. Kita klaim bahwa adalah perluasan lapangan yang dicari. Tetapi,. Untuk itu konstruksi homomorphisma dari F [x] ke K sebagai berikut : yaitu Sehingga didapat, 0 0

30 Perhatikan bahwa M adalah ideal yang dibangun oleh p(x), sehingga setiap elemen tak nol di M pasti memiliki derajat lebih besar atau sama dengan p(x), sehingga 0. Dari sini lebih jauh bisa diperoleh apabila homomorphisma di atas dibatasi dari F ke di saja maka akan menjadi suatu isomorphisma. Maka. Sehingga dengan relasi isomorphisma ini, bisa dikatakan bahwa K adalah perluasan lapangan dari F. Misalkan,. Dengan sifat homomorphisma dari, bisa diperoleh untuk setiap, berlaku. Karena, maka padahal sehingga 0. Dengan kata lain adalah akar dari p(x). Jadi, adalah lapangan yang kita cari. Selanjutnya tinggal dibuktikan bahwa K terbatas. Perhatikan untuk setiap dengan algoritma pembagian diperoleh,., dengan, dan 0 atau sehingga,. Ambil sebarang, maka terdapat, sehingga. Jika dimisalkan, karena 0 atau maka 1,,,,.., merentang K. Akan dibuktikan bahwa 1,,,,.., bebas linier. Andaikan 1.. 0 dengan, misalkan pula 1.. 0. Maka diperoleh 0. Jadi,. Karena sedang elemen tak nol di M memiliki derajat lebih besar atau sama dengan derajat maka diperoleh

31. 1.... 0, sehingga.. 0 F. Jadi, 1,,,,.., bebas linier yang berarti menjadi basis dari K. Sehingga terbukti :. Teorema 1.6.8 Diketahui polinomial berderajat n. Maka terdapat perluasan lapangan K atas F dengan derajat paling besar n! dimana f (x) memiliki n akar. (Herstein, 1996 : 212) Akan dibuktikan teorema ini dengan cara induksi. Untuk n = 1, bisa dimisalkan, dengan, dan 0 sehingga akar dari adalah. Jadi, pilih K = F sehingga [K : F] = 1 = 1! Andaikan pernyataan benar untuk akan ditunjukkan pernyataan juga benar untuk 1. Oleh karena itu, ambil sebarang polinomial berderajat k +1. Berdasarkan teorema 1.6.7 terdapat perluasan lapangan K 1 atas F dengan 1 sehingga f memiliki akar, katakanlah a adalah akar dari f di K 1. Berarti dapat ditulis, dengan. dan. Berdasarkan asumsi, terdapat perluasan lapangan K atas K 1 sehingga q(x) memiliki k akar dan 1! Jadi, f (x) memiliki k + 1 akar di K dan.! 1 1!. Sehingga teorema terbukti. Lemma 1.6.9 Jika memiliki akar ganda ( multiple root ) maka memiliki faktor yang sama. ( f merupakan turunan pertama dari f ).

32 (Herstein, 1990 : 233) Andaikan a adalah akar ganda dari f, maka diperoleh, dimana 1. Sehingga,, Jadi, f dan f bersama sama memiliki faktor (x a). Lemma terbukti. Akibat. Jika F adalah lapangan dengan karakteristik 0 maka polinomial, 1 semua akarnya berbeda. (Herstein, 1990 : 234) Misalkan, maka 1 1 sehingga dan saling prima. Berdasarkan kontraposisi dari lemma 1.6.9 tidak memiliki akar ganda atau dengan kata lain semua akarnya berbeda.

33 2. Pembahasan 2.1 Pengertian Lapangan Berhingga Definisi 2.1.1 Suatu lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga disebut lapangan berhingga. (Herstein, 1996 : 221 ) Sebelum pembahasan lebih jauh tentang lapangan berhingga, berikut diberikan contoh lapangan berhingga yang paling sederhana dan sudah cukup dikenal. Teorema 2.1.2 Himpunan merupakan lapangan jika dan hanya jika n adalah bilangan prima. (Rudolf Lidl, 1994 : 14) Andaikan n bukan bilangan prima, maka n = a. b dengan 1 < a, b < n. Karena suatu lapangan maka setiap elemen tak nol di memiliki invers. Padahal [b] elemen di berarti terdapat [c] di sehingga [b][c] = [1] atau. 1. Lebih lanjut diperoleh bahwa.. Karena n = a.b, berarti. 0 sehingga 0. Padahal 1 < a < n. Timbul kontradiksi, sehingga haruslah n bilangan prima. Diketahui bahwa n bilangan prima. sendiri merupakan gelanggang komutatif. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa daerah integral. Untuk setiap [a], [b] anggota andaikan [a][b] = [ab] = [0] berarti ab = nk, untuk suatu bilangan bulat k. Karena n prima maka n membagi a atau n membagi b. Jadi, [a] = [0] atau [b] = [0]. Sehingga terbukti daerah integral. Berdasarkan teorema 1.3.3, adalah lapangan. Dalam kasus ini karena elemen berhingga maka suatu lapangan berhingga.

34 2.2. Sifat Sifat Lapangan Berhingga Teorema 2.2.1 Karakteristik dari lapangan berhingga adalah berupa bilangan prima. (Rudolf Lidl, 1994 : 16) Ambil sebarang lapangan berhingga F. Misalkan F = n. Perhatikan himpunan { 1 F, 2.1 F, 3.1 F,...., (n + 1).1 F } kelipatan dari 1 F yang semuanya termuat di F. Karena F hanya terdiri dari n elemen, berarti terdapat bilangan bulat k, m dimana 1 k < m (n +1) sedemikian sehingga k.1 F = m.1 F atau (m k ).1 F = 0 F. Selanjutnya, untuk sebarang berlaku (m- k). = (m k ).1 F. = 0 F. = 0 F. Karena m k > 0, maka F memiliki karakteristik berupa bilangan bulat positif. Katakanlah karakteristik dari F adalah p, karena F memuat elemen tak nol maka p 2. Andaikan p bukan prima, berarti p = x.y dengan 1 < x, y < p. Perhatikan bahwa, 0 F = p.1 F = (x.y).1 F = (x.1 F ).(y.1 F ). Padahal, F adalah lapangan yang berarti juga suatu daerah integral. Sehingga haruslah x.1 F = 0 F atau y.1 F = 0 F. Selanjutnya, untuk sebarang berlaku x. = x.1 F. = 0 F. = 0 F atau y. = y.1 F. = 0 F. = 0 F. Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa p karakteristik dari F. Sehingga terbukti p prima. Teorema 2.2.2 Jika F adalah lapangan berhingga dengan karakteristik p, maka F memuat p n elemen dengan n suatu bilangan bulat positif. (J.A. Gallian, 1990 : 309) Karena F merupakan lapangan berhingga dengan karakteristik p maka F merupakan perluasan lapangan dari. Jadi, pandang F sebagai ruang vektor atas. Karena F berhingga maka dimensi F juga hingga, katakanlah. Misalkan pula,,, basis dari F. Perhatikan pula bahwa setiap, dapat dinyatakan sebagai

35,, dan penyajian ini tunggal. Jadi, banyak elemen dari F adalah. Teorema di atas menyatakan bahwa banyaknya elemen dari lapangan berhingga berupa bilangan prima atau pangkat dari bilangan prima. Akan tetapi, untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat positif n belum ada jaminan ditemukan lapangan berhingga F yang banyak elemennya p n. Namun, teorema berikut memberikan jaminan lapangan berhingga tersebut ada. Teorema 2.2.3 Untuk setiap p dan n, dengan p bilangan prima dan n bilangan bulat positif terdapat lapangan berhingga yang memuat elemen sebanyak p n. (Herstein, 1996 : 226) Perhatikan polinomial, dengan. Berdasarkan teorema 1.6.8 terdapat perluasan lapangan K dimana memiliki m akar, atau dengan kata lain dapat difaktorkan menjadi Sehingga,,,, adalah akar- akar dari dan semuanya di K. Berdasarkan akibat lemma 1.6.9 semua akar tersebut berbeda. Jadi. Selanjutnya perhatikan himpunan yaitu himpunan akar akar dari. Akan ditunjukkan bahwa A adalah lapangan. Perhatikan bahwa 0 0, serta 1 1. Jadi, 0 dan 1 anggota A. Berarti. Berikutnya ambil sebarang,, diperoleh : 0 0. Jadi,. sehingga diperoleh pula Jadi,.

36 Demikian pula,. Sehingga. Sampai sejauh ini, telah dibuktikan bahwa A suatu gelanggang. Karena K lapangan maka adalah gelanggang komutatif. Selain itu 1 juga anggota A. Jadi, tinggal ditunjukkan bahwa setiap invers perkalian dari elemen tak nol di A juga ada di A. Perhatikan, 1 1.. Jadi, 1 atau. Sehingga,. Terbukti bahwa A adalah lapangan dengan p n elemen. Teorema terbukti. Teorema 2.2.3 di atas memberikan jaminan adanya lapangan berhingga untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat positif n yang kita ambil. Untuk selanjutnya, lapangan berhingga F yang memuat q elemen dapat pula dinotasikan dengan GF(q) yaitu Galois Field yang memuat q elemen. Khususnya untuk dapat dinotasikan dengan. Definisi 2.2.4 Diketahui lapangan berhingga GF(q) dan didefinisikan GF(q) * yaitu himpunan elemen elemen tak nol di GF(q), \0. Elemen disebut elemen primitive apabila membangun GF(q)* yaitu (Fraleigh, 2000 : 408) Teorema 2.2.5 Untuk setiap lapangan berhingga, terhadap operasi perkalian di merupakan group siklik. (Herstein, 1996 : 223)

37 Berdasarkan teorema 1.6.6 diperoleh untuk setiap persamaan 1 di terdapat paling banyak d solusi, dengan d sebarang bilangan bulat positif. Demikian pula karena maka persamaan 1 juga memiliki paling banyak d solusi di, hal ini juga berlaku khususnya bagi d yang membagi habis GF(q)*. Jadi, berdasarkan teorema 1.1.5 dapat disimpulkan bahwa adalah group siklik. Lemma 2.2.6 Misalkan F perluasan lapangan dari dan. Maka jika dan hanya jika. (Fraleigh, 2000 : 408) Misalkan,,,, merupakan elemen elemen di yang semuanya berbeda. Ambil sebarang elemen maka diperoleh,,,, dan klaim semuanya berbeda. Andaikan terdapat, untuk 1, 1 dengan sedemikian sehingga. Apabila kedua ruas kita kalikan dengan diperolah. Kontradiksi dengan fakta bahwa,,,, semuanya berbeda. Klaim terbukti. Dari sini diperoleh,,,,,,,,, yang berakibat................ 1

38 Jadi,untuk setiap elemen tak nol di GF(q) belaku. Sedangkan untuk elemen 0 sendiri juga pasti berlaku 0 0. Sehingga untuk setiap elemen berlaku. Berdasarkan bukti di atas diperoleh bahwa setiap elemen merupakan penyelesaian dari persamaan. Padahal persamaan memiliki solusi paling banyak sejumlah q. Jadi, untuk setiap elemen yang memenuhi kesamaan pasti merupakan anggota. 2.3. Sublapangan Teorema 2.3.1 Diketahui lapangan berhingga. Untuk setiap bilangan bulat m yang membagi n terdapat tepat satu sublapangan dari yang berorder. (Gallian, 1990 : 313) Karena m membagi n diperoleh, 1 1 1 Dengan kata lain, 1 membagi 1. Dengan assumsi yang sama diperoleh polinomial 1 membagi polinomial 1. Ini berarti setiap akar dari 1 juga merupakan akar dari 1. Padahal berdasarkan lemma 2.2.6 himpunan semua akar dari adalah, demikian pula himpunan semua akar dari adalah. Jadi, merupakan sublapangan dari. Selanjutnya hanya tinggal ditunjukkan ketunggalan dari. Andaikan terdapat dua sublapangan berbeda dari, katakanlah A dan B yang berorder. Hal ini berakibat polinomial memiliki akar lebih dari yang

39 kontradiksi dengan fakta bahwa memiliki paling banyak akar. Jadi, haruslah A = B. Berdasarkan teorema di atas, lapangan berhingga. memiliki sublapangan yaitu,,..., dengan syarat membagi habis. Sebagai contoh dapat diperhatikan diagram berikut, 2 2 2 2 : memiliki sublapangan Berdasar teorema 2.3.1 dan contoh diagram di atas, secara natural akan muncul pertanyaan apakah tidak ada sublapangan lain dari selain,,...,. Untuk menjawab pertanyaan tersebut diperlukan sifat isomorphisma di lapangan berhingga dan akan dibahas kemudian. 2.4 Cara Mengkonstruksi Lapangan Berhingga Sejauh ini telah dipelajari beberapa sifat dari lapangan berhingga. Berikutnya akan diberikan salah satu alternatif mengkonstruksi lapangan berhingga berdasarkan teorema 1.6.8 dan 2.2.3 yang telah dipelajari sebelumnya. Pertama, diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang modulo dan kongruensi di F[x].

40 Definisi 2.4.1 Polinomial disebut kongruen dengan modulo jika dan hanya jika terdapat polinomial sedemikian hingga Ditulis. (http://zaki.math.web.id) Berdasarkan definisi di atas, dan dikatakan kongruen modulo jika dan mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh. Sama seperti pengertian kongruensi pada bilangan bulat, dengan relasi modulo ini dapat dibentuk klas- klas ekuivalensi sebagai berikut, Definisi 2.4.2 Untuk suatu polinomial, klas ekuivalensi yang memuat ialah yaitu himpunan semua polinomial yang kongruen dengan modulo. Operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut, dan.. (http://zaki.math.web.id) Akhirnya, untuk mengkonstruksi bisa memanfaatkan gelanggang dan polinomial tak tereduksi berderajat n, yaitu yaitu himpunan semua polinomial di yang berderajat kurang dari n.

41 Sebagai contoh, Untuk membangun 4 2, dapat memanfaatkan gelanggang dan polinomial tak tereduksi 1. Sehingga, 4 0, 1,, 1 Seperti telah dijelaskan di atas, untuk mengkonstruksi bisa memanfaatkan gelanggang dan polinomial tak tereduksi berderajat n. Lalu pertanyaan yang muncul, apakah untuk sebarang bilangan asli n selalu terdapat polinomial tak tereduksi berderajat n di. Teorema berikut memberi jawaban pertanyaan tersebut, Teorema 2.4.3 Untuk sebarang lapangan berhingga dan sebarang bilangan asli n, terdapat polinomial tak tereduksi berderajat n. (Fraleigh, 2000 :410) Berdasarkan teorema 2.2.3 terdapat lapangan berhingga K yang memuat elemen. Karena t membagi tn maka F merupakan sublapangan dari K. Dengan kata lain, K adalah perluasan lapangan dari F. Apabila K dipandang sebagai ruang vektor atas F, sedangkan K memiliki elemen dan F memiliki elemen maka. Selain itu K* merupakan group siklik, katakanlah merupakan elemen primitive dari K. Selanjutnya didefinisikan homomorphisma yaitu Akan dibuktikan. Ambil sebarang maka t dapat dinyatakan

42 dengan dan basis dari. Karena a adalah elemen primitive dari K* maka untuk setiap i berlaku. Jadi, untuk suatu. Sehingga atau. Karena dan diperoleh. Perhatikan pula bahwa merupakan ideal dari F [x]. Padahal F [x] merupakan daerah integral utama, sehingga terdapat polinomial tak nol sedemikian sehingga. Dari sini diperoleh merupakan polinomial berderajat minimal di F [x] sedemikian hingga 0. Klaim bahwa merupakan polinomial tak tereduksi berderajat n yang dicari. Pertama, dibuktikan bahwa merupakan polinomial tak tereduksi. Andaikan dapat direduksi, misalkan dengan, dan 0 deg, deg deg. Diperoleh 0. Karena F [x] daerah integral berakibat 0 atau 0. Kontradiksi dengan fakta bahwa merupakan polinomial berderajat minimal di F [x] sedemikian hingga 0. Jadi, terbukti adalah polinomial tak tereduksi di F [x]. Kedua, ditunjukkan bahwa deg. Untuk itu perhatikan himpunan 1,,,,..,, karena K berdimensi n berakibat T tidak bebas linier. Berarti terdapat 0 sedemikian hingga 0. Jadi, terdapat polinomial taknol di F [x] dimana 0. Karena merupakan polinomial berderajat minimal di F [x] sedemikian hingga 0 maka diperoleh. Andaikan. Karena maka diperoleh. Diketahui pula sehingga.

43 Perhatikan pula bahwa anggota dari adalah polinomial berderajat kurang dari w di F [x]. Jadi,untuk setiap dapat di sajikan dengan. Karena maka kemungkinan banyaknya elemen di yaitu Timbul kontradiksi karena diketahui. Jadi, tidak mungkin. Oleh karena itu, diperoleh. Sehingga terbukti, merupakan polinomial tak tereduksi berderajat n. Dengan adanya teorema di atas memberikan jaminan yang pasti bahwa cara mengkonstruksi lapangan berhingga yang dikemukan di depan dapat diterapkan untuk membangun sebarang lapangan berhingga berorder yang diminta. Sedangkan bagaimana cara menemukan polinomial tak tereduksi tersebut tidak dikemukan pada makalah ini. Pembaca dapat mencari referensi lain untuk keperluan tersebut. 2.5 Ketunggalan dari Lapangan Berhingga Berorder Sama (up to Isomorphisma) Teorema berikut akan menunjukkan bahwa setiap lapangan berhingga yang berorder sama saling isomorphic.

44 Teorema 2.5.1 Jika K dan L adalah lapangan berhingga yang berorder sama maka K dan L isomorphic. (Herstein, 1996 : 228) Misalkan. Telah diketahui bahwa merupakan sublapangan dari K dan L. Sehingga K dan L adalah perluasan lapangan dari. Misalkan pula merupakan elemen primitive dari K* dan adalah elemen primitive dari L*. Konstruksi homomorphisma yaitu : dengan definisi,, untuk setiap serta, : dengan definisi,, untuk setiap. Analog dengan bukti teorema 2.4.3, diperoleh dan serta dengan adalah polinomial tak tereduksi berderajat n di. Juga diperoleh dengan adalah polinomial tak tereduksi berderajat n di. Jadi, serta. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa. Perhatikan bahwa, dan

45 dan dan Konstruksi pemetaan dengan definisi,. Perhatikan, untuk sebarang, berlaku, serta,..... Sehingga merupakan suatu homomorphisma. Selanjutnya perlu dibuktikan bahwa bijektif, Ambil sebarang maka pasti terdapat sedemikian sehingga. Terbukti surjektif.

46 Untuk sebarang,, dapat dinyatakan sebagai berikut dan andaikan akan ditunjukkan. Perhatikan, berakibat tetapi diketahui pula bahwa sehingga didapat 0 yang berakibat. Sehingga jelas bahwa. Jadi, injektif. Karena injektif sekaligus surjektif maka bijektif. Dengan kata lain, adalah suatu isomorphisma. Jadi, terbukti bahwa. Oleh karena itu, berarti. Teorema terbukti. Teorema di atas memberikan bukti bahwa sebarang lapangan berhingga yang berorder sama saling isomorphic. Dengan kata lain, dengan memanfaatkan relasi isomorphima ini kita dapat mengambil satu lapangan berhingga saja sebagai representasi lapangan berhingga lain yang berorder sama. Oleh karena itu, penulisan lapangan berhingga berorder dengan simbol cukup beralasan.

47 Berikut dengan memanfaatkan fakta di atas akan dibuktikan jika H sublapangan berorder dari lapangan berhingga maka m membagi n. Berdasarkan teorema 2.5.1, H isomorphic dengan, sehingga : : : :. karena : merupakan dimensi dari sebagai ruang vektor atas maka :. Jadi, terbukti m membagi n. Pada bagian akhir dari makalah ini, diberikan contoh lapangan berhingga dan pembahasan mengenai elemen primitive dan sublapangannya. Contoh 1. Lapangan berhingga berorder 9 ( ) Untuk mengkonstruksi 9 kita memanfaatkan gelanggang dan polinomial tak tereduksi 1. Jadi, 9 1 0, 1, 2,, 1, 2, 2, 2 1, 2 2 Catatan: tanpa mengurangi arti dan untuk menyederhanakan penulisan, tanda [ ] pada tiap elemen anggota 9 dihilangkan. Untuk operasi penjumlahan pada 9 menggunakan modulo 3 sedangkan operasi perkaliannya menggunakan modulo 1. Contoh: 2 2 1 4 1 1 12 2 2 4 2 4 2 1 4 Kita juga bisa menggunakan hubungan 1 2. Sebagai contoh, 12 2 2 4 2 4 4 2 6 4 4 Selanjutnya akan dicari elemen primitive dari 9. Perhatikan bahwa, 9* membentuk group siklik berorder 8. Karena order dari tiap elemen di 9* membagi 8 maka untuk mencari elemen primitive dari 9* cukup mencari elemen 9* dengan sifat 1 dan 1.

48 Kita mulai dengan x, diperoleh 1 2 dan. 2.2 4 1. Jadi, x bukan elemen primitive dari 9. Sekarang dicoba untuk 1, diperoleh 1 2 1 2 2 1 2 1 dan 1 1 1 2. 2 4 1 Jadi, 1 adalah elemen primitive dari 9*. Perhatikan tabel dibawah ini! Bentuk Perkalian Bentuk Penjumlahan 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 Berdasarkan teorema 1.1.4 selain 1 elemen primitive dari 9* yaitu 1 3 2 1, 1 5 2 2 dan 1 7 2 Sublapangan dari 9 yaitu 9 sendiri dan 3 0 1 02 0, 1, 2 Contoh 2. Lapangan berhingga berorder 16 ( ) Untuk mengkonstruksi 16 dapat memanfaatkan gelanggang dan polinomial tak tereduksi 1. Jadi, 16 1 Atau tanpa mengurangi arti dapat ditulis, 16,,, 1 dengan,,,

49 Analog dengan contoh 1, akan dicari elemen primitive dari 16*. Karena 16 15 berakibat elemen primitive di 16* yaitu 16* memiliki sifat 1 dan 1. Kita coba untuk elemen 16*. Jelas bahwa 1 sedangkan. 1 1 Jadi, x merupakan elemen primitive dari 16*. Perhatikan tabel di bawah ini! Bentuk Perkalian Bentuk Penjumlahan 1 1 1 1 1 1 1 1 Sublapangan dari 16 selain 16 sendiri ada dua yaitu 2 0 0, 1 dan 4 0 0,, 1 0,1,, 1

50 Sedangkan elemen primitive dari 16* selain x yaitu a. b. 1 c. 1 d. 1 e. f. 1 g. 1 Demikian pembahasan tentang lapangan berhingga yang penulis kemukakan pada makalah kali ini. Apabila pembaca tertarik terhadap materi ini, dapat mencari referensi lain yang lebih lengkap dari buku buku tentang aljabar abstrak.

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan 1. Lapangan berhingga ialah lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga. 2. Lapangan berhingga memiliki sifat- sifat sebagai berikut : a. Karakteristik dari lapangan berhingga berupa bilangan prima. b. Untuk sebarang lapangan berhingga F, berlaku dengan p adalah bilangan prima dan n berupa bilangan bulat positif. c. Untuk sebarang bilangan prima p dan sebarang bilangan bulat positif n terdapat lapangan berhingga F sedemikian sehingga. d. Himpunan elemen elemen taknol dari suatu lapangan berhingga F membentuk group siklik, terhadap operasi perkalian di F. e. Jika A dan B adalah sebarang lapangan berhingga yang berorder sama, yaitu maka. 3. Lapangan berhingga merupakan sublapangan dari jika dan hanya jika m membagi habis n. 4. Untuk mengkonstruksi lapangan berhingga dapat memanfaatkan gelanggang dan polinomial tak tereduksi berderajat n, yaitu. 51 B. Saran Bagi pembaca maupun teman teman Pendidikan Matematika UNS yang tertarik dengan materi yang dibahas pada makalah ini serta berminat untuk dijadikan bahan seminar, bisa mempelajari lebih lanjut mengenai Galois Field dan terapannya. Selain itu dapat pula belajar lebih jauh tentang polinomial tak tereduksi terutama mengenai cara pengujiannya.

LAMPIRAN Pada bagian pembahasan disebutkan mengenai Fungsi Euler. Berikut akan dijelaskan tentang fungsi tersebut. Definisi Fungsi Euler. Misalkan n bilangan bulat positif. Banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n serta relatif prima terhadap n dilambangkan dengan. Fungsi selanjutnya disebut Fungsi Euler. Contoh, Bilangan bilangan 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 relatif prima terhadap 20. Jadi, 20 8. Teorema. Untuk setiap bilangan bulat positif d yang membagi habis n berlaku. Perhatikan barisan bilangan rasional berikut, 1, 2, 3,, Jelas barisan tersebut terdiri dari n suku. Selanjutnya buat barisan baru dengan cara mereduksi masing- masing suku barisan di atas menjadi bentuk paling sederhana ( tiap suku barisan baru berbentuk dengan FPB(a, b) = 1). Dengan demikian, barisan baru tersebut tetap terdiri dari n suku dan penyebut dari tiap sukunya merupakan pembagi n. Pehatikan pula, untuk setiap d yang membagi n terdapat suku yang penyebutnya adalah d. Jadi untuk setiap d yang membagi n, adalah banyaknya suku di barisan baru yang penyebutnya adalah d. Oleh karena itu, jika kita menghitung 52

53 berarti menghitung seluruh suku dari barisan tersebut. Jadi,. Berikutnya akan diberikan bukti dari beberapa fungsi yang diklaim sebagai homomorphisma tetapi pembuktiannya belum diberikan di pembahasan. Fungsi pada halaman 20. Jika F suatu lapangan maka fungsi yang didefinisikan. 1, adalah suatu homomorphisma Pertama dibuktikan bahwa well defined. Ambil sebarang,. Jika akan dibuktikan. 1. 1. Terbukti well defined. Perhatikan,. 1 1 1 Kedua dibuktikan adalah homomorphisma. Untuk itu ambil sebarang,. Diperoleh,. 1. 1 1 1 1 1 sebanyak n + m 1 1 1 1 1 1 1 sebanyak n 1 sebanyak m. 1. 1 1 1 1 1 1 1 sebanyak nm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sebanyak n 1 sebanyak n blok (1 sebanyak n) sebanyak m 1 sebanyak n

54. 1. 1. 1. 1 sebanyak m. 1 1 1 1. 1.. 1. Terbukti bahwa adalah homomorphisma. Fungsi pada halaman 29. Jika F adalah lapangan dan M ideal maksimal dari serta maka fungsi yang didefinisikan, adalah homomorphisma. Terlebih dahulu, dibuktikan bahwa well defined. Ambil sebarang, dengan akan ditunjukkan. Perhatikan, 0, hal ini berakibat. Jadi. Terbukti well defined. Selanjutnya ditunjukkan bahwa homomorphisma. Ambil sebarang,, diperoleh.. Jadi, terbukti adalah homomorphisma.

55 Fungsi pada halaman 41. Jika F dan K adalah lapangan, dan maka fungsi : yang didefinisikan adalah suatu homomorphisma. Pertama, dibuktikan bahwa fungsi well defined. Ambil sebarang, dengan akan ditunjukkan. Perhatikan, jika diperoleh,. Sehingga,. Terbukti, well defined. Kedua, ditunjukkan bahwa homomorphisma. Ambil sebarang,, diperoleh.... Jadi, terbukti adalah homomorphisma.

DAFTAR PUSTAKA Fraleigh,John B. 2000. A First Course in Abstract Algebra, 4 th Edition. New York: Addison-Wesley Publising Company. Gallian, J.A. 1990. Contemporary Abstract Algebra, 2 nd Edition. Massachussets : D.C. Heath and Company. Grillet, P. Antoine. 2007. Abstract Algebra, 2 nd Edition. New York : Spgelangganger Science and Business Media, LLC. Herstein, I. N. 1990. Topics in Algebra, 2 nd Edition. New York :John Willey and Sons.. 1996. Abstract Algebra, 3 rd Edition. New Jersey : Prentice Hall International,Inc. Lidl, Rudolf and Harald Niederreiter. 1994. Introduction to Finite fields and Their Applications. United Kingdom : Cambridge University Press. Robinson, D.J.S. 2003. An Introduction to Abstract Algebra. Berlin : Walter de Gruyter. http://zaki.math.web.id 56