BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x 1 +a 2 x 2 +b=0 x 1 Persamaan diatas disebut persamaan linier karena pangkat-pangkat dari x1 dan x2 paling besar adalah 1, sedangkan persamaan x 1 2 +x 2-3=0 bukan persamaan linier. Dalam ruang dimensi 3, persamaan linier dalam x1, x2, dan x3 berbentuk a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +b=0. Oleh karena itu persamaan linier dalam ruang dimensi n dapat dinyatakan dalam bentuk a 1 x 1 + a 2 x 2.+a n x n +b=b n. Pandang contoh sederhana : 1. Persamaan x1+x2=1 x 2 (0,1) x 1+x 2=1 (1,0) x 2 Titik x 1 =1 dan x 2 =0 adalah penyelesaian persamaan garis di atas karena nilai x 1 dan x 2 jika kita subtitusikan ke dalam persamaan x 1 +x 2 =1 akan diperoleh 1+0=1. Demikian juga jika nilai x 1 dan x 2 kita ubah menjadi x 1 =0 dan x 2 =1 juga merupakan penyelesaian dari persamaan diatas. 2. Diketahui garis -x 1+x 2=1 (0,1) x 1+x 2=1 (-1,0) (1,0) Maka penyelesaian persamaan dari persamaan garis diatas menjadi x 1 +x 2 =1 Subtitusi x 2 =1 ke salah satu persamaan, misal x 1 +x 2 =1 -x 1 +x 2 =1 + x 1 +1=1, maka x 1 =0 0+2x 2 =2 x 2 =1 Perhatikan bahwa x 1 =0 dan x 2 =1 adalah satu-satunya penyelesaian.
3. Misalnya diketahui persamaan 2x+3y+z=5 maka solusi persamaannya bisa x=0, y=1, dan z=2 karena nilai-nilai tersebut jika disubtitusikan ke persamaan 2x+3y+z=5 menjadi 2.0+3.1+2=5. Tetapi nilai-nilai tersebut bukan satu-satunya solusi. Misalnya saja kita ambil x=0, y=0, dan z=5 sehingga 2.0+3.0+5=5 juga merupakan solusi dari persamaan 2x+3y+z=5 dan masih ada solusi yang lain. Ini berarti sistem persamaan tersebut mempunyai tidak terhingga banyak penyelesaian. 4. Jika terdapat 2 persamaan yaitu x 1 +x 2 =1 dan x 1 +x 2 =2, maka untuk mencari nilai x 1 dan x 2 x 1 +x 2 =1 x 1 +x 2 =2 0+0 = -1 tidak mungkin berarti tidak ada x 1 dan x 2 yang memenuhi penyelesaian sistem persamaan linier tersebut. Dari contoh-contoh diatas dapat kita lihat bahwa sistem persamaan linier dalam dimensi 2 mempunyai beberapa alternatif penyelesaian, yaitu: 1. Mempunyai penyelesaian tunggal. 2. Mempunyai banyak penyelesaian. 3. Tidak mempunyai penyelesaian. 4.2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Bentuk umum persamaan linier a 11 x 1 + a 12 x 2.+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2.+a 2n x n =b 2 a 21 x 1 + a 32 x 2.+a 3n x n =b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2.+a mn x n =b m a ij dan b i masing-masing merupakan koefisien-koefisien dan konstanta persamaan linier tersebut. Persamaan-persamaan linier di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matriks AUGMENTED yaitu matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien x. a 11 a 12.a 1n x 1 b 1 a 21 a 22.a 2n.. x 2 = b 2 a m1 a m2...a mn x n b m [A] [x] [b] [A] adalah matriks berorde (m,n), [x] adalah matriks berorde (n,1), dan [b] adalah matriks berorde (m,1). Bentuk matriks lengkapnya : a 11 a 12.a 1n b 1 a 21 a 22.a 2n b 2.... a m1 a m2...a mn b m
Ada 2 yang dapat dijumpai pada persamaan di atas 1. m n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan tidak sama). 2. m=n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan sama). Pada pembahasan kali ini akan dibicarakan hal yang kedua saja yaitu jika m=n yaitu persamaan yang berbentuk matriks bujursangkar. Penyelesaian persamaan linier tidak lain adalah mencari harga variabelvariabelnya. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL antara lain : 1. Aturan Cramer 2. Metode Invers Matriks 3. Eliminasi Gauss 4. Metode Eliminasi Gauss Jordan 5. Metode Faktorisasi LU 4.2.1 ATURAN CRAMER Apabila [A][X]=[B] maka nilai x dapat dicari dengan x k = A k A Dimana A k adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujursangkar [A] dengan kolom ke k diganti unsur-unsurnya oleh unsur-unsur [B]. A adalah harga determinan matriks-matriks bujursangkar [A]. Misal diketahui persamaan a 11 x 1 + a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 a 21 x 1 + a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 Untuk mencari nilai x1, x2, x3 maka terlebih dahulu dicari A dan A k. a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 A = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 13 a 22 a 31 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 -a 11 a 23 a 32 -a 12 a 21 a 33 A k yaitu mencari determinan kolom ke k=(1,2,3) b 1 a 12 a 13 a 11 b 1 a 13 a 11 a 12 b 1 b 2 a 22 a 23 A 1 = A 2 = A 3 = b 3 a 32 a 33 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 Sehingga x 1 = A 1 A x 2 = A 2 A x 3 = A 3 A Contoh : 1. Diketahui persamaan 3x+2y=5 dan x+y=2. Carilah nilai x dan y.
Penyelesaian Persamaan diatas jika diubah dalam bentuk matriks menjadi 3 2 x 1 1 y = Mencari determinan matriks A 3 2 A = = 3.1-2.1=1 1 1 Mencari determinan matriks A k 5 2 A 1 = = 5.1-2.2=1 2 1 3 5 A 2 = = 3.2-5.1=1 1 2 5 2 Mencari nilai x dan y A 1 1 x 1 = = = 1 A 1 A 2 1 x 2 = = = 1 A 1 2. Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui persamaan sebagai berikut. 2x+y+z=4 x-2y-z=-4 x+y+2z=4 Sebelum dilanjutkan pembahasan penyelesaian persamaan linier terlebih dahulu akan dibicarakan sekilas tentang OPERASI BARIS ELEMENTER. Meskipun dalam pembahasan lalu telah disinggung sedikit penggunaannya untuk menghitung invers matriks dengan transformasi elementer. OPERASI BARIS ELEMENTER Terdapat tiga buah operasi yang dapat dilakukan terhadap suatu sistem persamaan linier tanpa mengubah penyelesaian yang sebenarnya yaitu : 1. Menukar urutan persamaan. 2. Perkalian suatu persamaan dengan bilangan tidak nol 3. Mengganti suatu persamaan dengan menjumlahkan persamaan tersebut dengan kelipatan persamaan lainnya. Ketiga operasi tersebut dapat dikenakan pada matriks-matriks lengkap dan disebut dengan OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE). Operasi Baris Elementer pada suatu matriks OPERASI 1. Menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j. 2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta c ( 0) 3. Penggantian baris ke-i tersebut dengan kelipatan baris yang lain. NOTASI R i R j cr j R i + cr j
Dengan menggunakan OBE, matriks lengkap diubah menjadi suatu matriks dari suatu sistem persamaan linier yang mudah dicari penyelesaiannya. Matriks yang memenuhi sifat demikian dinamakan MATRIKS ESELON. Suatu matriks disebut matriks eselon jika memenuhi 2 sifat berikut : 1. Jika terdapat baris yang seluruh elemennya nol, maka baris tersebut harus diletakkan di bawah baris yang memuat elemen tidak nol. 2. Pada baris yang memuat elemen tak nol, elemen tak nol pertama harus terletak pada sebelah kanan elemen tak nol pertama baris sebelumnya (Elemen tak nol pertama ini disebut dengan ELEMEN UTAMA). 4.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat matriks berorde (n, n+1) dimana matriks baru tersebut dikenai transformasi elementer berdasarkan baris secara berkalikali sehingga diperoleh matriks [A] menjadi matriks segitiga atas yang diagonal utama elemennya bernilai 1. Metode penyelesain SPL dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss. 1. Membentuk matriks lengkap SPL. 2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon denagn sejumlah OBE. 3. Mendapat jawaban SPL. Misalnya diketahui sebuah persamaan a 11 x 1 + a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 a 21 x 1 + a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 Matriks awal a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 x 1 x 2 = b 1 b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 Matriks lengkap SPL a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 Matriks lengkap tsb dikenai OBE sehingga membentuk matriks eselon. 1 a 12 a 13 b 1 Nilai 1 pada diagonal utama adalah variabel x-nya 0 1 a sehingga diperoleh x 3 = b 3 23 b 2 x 2 + a 23 x 3 =b 2 x 2 =b 2 - a 23 x 3 0 0 1 b 3 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 =b 1 x 1 = b 1 -a 12 x 2 - a 13 x 3
Contoh : Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : x 1 +x 2 +x 3 =6 x 1 +2x 2 -x 3 =2 2x 1 +x 2 +2x 3 =10 Akan dicari solusi untuk x 1, x 2, dan x 3 Penyelesaian 1. Matriks lengkap SPL nya 1 2-1 2 2 0 2 10 2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE Mengubah elemen a 11 =1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a 21 dan a 31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer. basis 1 2-1 2 b( )+b2 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(-2)+2=0 2 1 2 10 1(-1)+2=1 1(-2)+1=-1 1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0 6(-1)+2=-4 6(-2)+10=-2 0-1 0-2 Mengubah a 22 =1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a 32 =-1 menjadi 0. Baris 2 menjadi basis, baris 3 dikenai transformasi elementer. 0-1 0-2 0 0-2 -6 basis b( )+b3 1(1)+(-1)=0-2(1)+0=-2-4(1)+(-2)=-6 Mengubah a 33 =2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a 13 =-6 juga dikalikan -½ 0 0 1 3
Mendapat jawaban SPL Maka x 3 =3 x 2 =b 2 - a 23 x 3 x 2 = -4 2.(3)=2 x 1 = b 1 -a 12 x 2 - a 13 x 3 x1= 6-1.2-1.(3) = 1 4.2.3 METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN Metode ini merupakan perluasan dari metode Gauss, hanya saja matriks baru dikenai OBE berkali-kali sehingga matriks A menjadi matriks satuan I. Bentuk umumnya : a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 1 0 0 b 1 x 3 = b 3 0 1 0 b 2 x 2 = b 2 0 0 1 b 3 x 1 = b 1 Contoh : Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : x 1 +x 2 +x 3 =6 x 1 +2x 2 -x 3 =2 2x 1 +x 2 +2x 3 =10 Akan dicari solusi untuk x 1, x 2, dan x 3 Penyelesaian 1. Matriks lengkap SPL nya 1 2-1 2 2 0 2 10 2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE Mengubah elemen a 11 =1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a 21 dan a 31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer. basis 1 2-1 2 b( )+b2 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(-2)+2=0 2 1 2 10 1(-1)+2=1 1(-2)+1=-1 1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0 6(-1)+2=-4 6(-2)+10=-2 0-1 0-2 Mengubah a 12 =1 dan a 32 =-1 menjadi 0, baris 2 menjadi basis. b( )+b1 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(1)+(-1)=0 basis -2(-1)+1=3-2(1)+0=-2 0-1 0-2 -4(-1)+6=10-4(1)+(-2)=-6
1 0 3 10 0 0-2 -6 Mengubah a 33 =-2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a 13 =-6 juga dikalikan -½ 1 0 3 10 0 0 1 3 Mengubah a 13 =3 dan a 23 =-2 menjadi 0, baris 3 menjadi basis. 1 0 3 10 b( )+b1 b( )+b2 1(-3)+3=0 1(2)+(-2)=0 3(-3)+10=1 3(2)+(-4)=2 0 0 1 3 basis 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 Mendapat jawaban SPL Maka x 3 =3 x 2 = 2 x 1 = 1 4.2.4 METODE FAKTORISASI LU Dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan, suatu SPL dapat dipecahkan dengan mengoperasikan matriks yang diperbesar secara sistematis. Pendekatan yang dipakai pada metode LU didasarkan atas pemfaktoran matriks koefisien ke dalam hasil kali matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Metode ini sangat bermanfaat untuk komputer digital dan merupakan basis untuk banyak pemrograman komputer praktis. SPL dapat dipecahkan sebagai berikut : 1. Tulis kembali sistem [A][x]=[b] sebagai Lux=b dimana L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas. 2. Definisikan matriks baru y yang berukuran nx1 dengan Ux=y. 3. Gunakan Ux=y untuk menulis kembali Lux=b dan pecahkan ini untuk mencari y. 4. Subtitusikan y dan pecahkan untuk mencari nilai x. [A][x]=[b] Ly=b, Ux=y
Langkah-langkah pemfaktoran A=LU 1. Reduksi A dengan transformasi elemnter ke dalam bentuk U matriks segitiga atas dan mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama dan 0 di bawah diagonal utama 1. 2. Kedudukan sepanjang diagonal utm matriks L, tempatkan bilangan pengali yang saling berkebalikan dari hasil pembentukan matriks U. 3. Kedudukan di bawah diagonal utama matriks L, tempatkan bilangn negatif pengali yang digunakan untuk menge-nol-kan matriks U. 4. Bentuk dekomposisi A=LU Contoh : Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : 2x 1 +6x 2 +2x 3 =2-3x 1-8x 2 =2 4x 1 +9x 2 +2x 3 =3 Carilah solusi untuk x 1, x 2, dan x 3 dengan menggunakan faktorisasi LU Penyelesaian 1. Matriks SPL nya 2 6 2-3 -8 0 4 9 2 2. Menyusun matriks U yaitu matriks segitiga atas Mengubah a 11 =2 menjadi 1 (dikali ½). Semua baris 1 dikali ½ (dikali ½) menjadi 2 6 2-3 -8 0 4 9 2-3 -8 0 4 9 2 Mengubah a 21 =-3 dan a 41 =4 menjadi 0. Baris 1 menjadi basis. Baris 2 dan 3 dikenai OBE. Basis -3-8 0 b( )+b2 b( )+b2 1(3)+(-3)=0 1(-4)+4=0 4 9 2 3(3)+(-8)=1 3(-4)+9=-3 1(3)+0=3 1(-4)+2=-2 0 1 3 0-3 -2 Mengubah a 22 =1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a 32 =-3 menjadi 0. Baris 2 jadi basis dan baris 3 dikenai OBE 0 1 3 0-3 -2 Basis b( )+b3 1(3)+(-3)=0 3(3)+(-2)=7 0 1 3 0 0 7
Mengubah a 33 =7 menjadi 1 (dikali 1/7). 3. Menyusun matriks L yaitu matriks segitiga bawah Mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu Pengali untuk a 11 adalah ½ Pengali untuk a 22 adalah 1 Pengali untuk a 33 adalah 1/7 Mencari jejak pengali untuk nilai 0 di bawah diagonal utama 1. Pengali untuk a 21 adalah 3 Pengali untuk a 31 adalah -4 Pengali untuk a 32 adalah 3 Tempatkan jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu ½, 1, dan 1/7 sepanjang diagonal utama matriks segitiga bawah L tetapi nilainya berkebalikan. 0 1 3 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 7 Tempatkan jejak pengali untuk nilai 0 yaitu 3, -4, dan 3 dibawah diagonal utama matriks segitiga bawah L dan kalikan dengan (-1). 2 0 0-3 1 0 4-3 7 4. Mencari nilai x dan y, terlebih dahulu mencari nilai y karena [U][x]=[y] sedangkan [L][y]=[b] Mencari nilai y [L][y]=[b] 2 0 0 y 1 2 2y 1 =2 y 1 =1-3 4 1-3 0 7 y 2 y 3 = 2 3-3y 1 +1y 2 =2-3.1+y 2 =2 y 2 =5 4y 1 +(-3)y 2 +7y 3 =3 4.1+(-3).5+7.y 3 =3 7y 3 =14 y 3 =2 Mencari nilai x [U][x]=[y] 0 1 3 0 0 1 x 1 x 2 x 3 1 x 3 =2 = 5 2 x 2 +3x 3 =5 x 2 +3.2=5 x 2 =-1 1x 1 +3x 2 +1x 3 =1 x 1 +3.(-1)+2=1 x 1 =2 4.3 PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier [A][x]=[b] dengan koefisien matriks A yang sama tetapi matriks kolom b berbeda. Misalnya suatu SPL mempunyai persamaan sebagai berikut :
[A][x]=[p], [A][x]=[q] dan [A][x]=[r] maka untuk lebih efisien penyelesaiannya dengan satu matriks A augmented dan 3 vektor kolom b atau diselesaikan secara simultan dengan menggunakan eliminasi Gauss- Jordan. [A p q r] menjadi [I p q r ] maka [x]=[p ], [y]=[q ], dan [z]=[r ] Contoh :Diketahui persamaan 2x 1-4x 2 =10 2y 1-4y 2 =10 x 1-3x 2 + x 4 =-4 Dan y 1-3y 2 + y 4 =-4 x 1 -x 3 +2x 4 = 4 y 1 -y 3 +2y 4 = 4 3x 1-4x 2 +3x 3 - x 4 =-11 3y 1-4y 2 +3y 3 - y 4 =-11 4.4 PERSAMAAN LINIER HOMOGEN Suatu persamaan linier dikatakan homogen jika koefisien matriks b adalah 0 yaitu jika mempunyai bentuk umum : a 11 x 1 + a 12 x 2.+a 1n x n =0 a 21 x 1 + a 22 x 2.+a 2n x n =0 a 21 x 1 + a 32 x 2.+a 3n x n =0 a m1 x 1 + a m2 x 2.+a mn x n =0 mempelajari sistem yang homogen mempunyai banyak keuntungan dalam mempelajari sistem yang aslinya. Istem non homogen dimungkinkan tidak konsisten, namun sistem yang homogen selalu konsisten karena selalu mempunyai penyelesaian minimal satu yaitu vektor nol, yang bisa disebut dengan penyelesaian TRIVIAL (TRIVIAL SOLUTION), yaitu penyelesaian berbentuk x1=0, x2=0,.., xn=0. sedangkan jika ada penyelesaian lain dinamakan dengan penyelesaian NON TRIVIAL. Jadi sistem persamaan linier homogen mempunyai dua kemungkinan yaitu : 1. Mempunyai penyelesaian TRIVIAL 2. Mempunyai penyelesaian BANYAK