Bab 8 TEORI PENAKSIRAN Kompetesi Mampu mejelaska da megaalisis teori peaksira Idikator 1. Mejelaska da megaalisis data dega megguaka peaksira titik 2. Mejelaska da megaalisis data dega megguaka peaksira iterval A. Pedahulua Dalam membuat taksira (pedugaa) sagat diperluka kosep probabilitas karea sagat bergua dalam pembuata keputusa pada kodisi ketidakpastia. Setiap orag selalu perah membuat suatu dugaa, cotoh hari ii cuaca medug, maka dugaa kita bahwa hari ii aka huja. Seorag Maajer juga harus melakuka dugaa-dugaa. Serigkali mereka ditutut utuk membuat dugaa yag rasioal dalam kodisi yag peuh ketidakpastia tapa iformasi yag legkap. Agar dugaa yag dilakuka dapat meghasilka suatu dugaa yag baik, maka mereka harus meguasai kosep pedugaa secara statistik, cotoh: maajeme memutuska utuk memproduksi barag pada tigkat tertetu berdasarka kemugkia permitaa yag aka terjadi terhadap barag tersebut. Pertimbaga yag dilakuka dapat berdasarka pegalama yag lalu (data histories), kodisi alam (musim huja, musim kemarau), pesaig, da lai sebagaiya. Dalam aalisis statistik, pearika kesimpula merupaka bagia yag sagat petig. Kesimpula yag diambil megeai sekelompok sampel aka 126
digeeralisasika terhadap populasiya. Geeralisasi kesimpula tersebut megadug risiko bahwa aka terdapat kekelirua atau ketidaktepata. Kriteria taksira (pedugaa) yag baik, yaitu: 1. Tidak bias (Ubiasedess), Artiya statistik sampel yag diguaka sebagai peduga harus sama atau medekati parameter populasi peduga 2. Efisiesi (Efficiecy), Artiya statistik sampel memiliki deviasi stadar yag kecil 3. Kosistesi (Cosistecy), Artiya jika ukura sampel meigkat maka statistik sampel aka semaki medekati parameter populasiya. 4. Kecukupa (Sufficiecy), Artiya suatu taksira dikataka memiliki kecukupa jika taksira tersebut dapat memberika iformasi yag cukup megeai sifat populasiya. Ada dua jeis taksira (pedugaa) yag dilakuka terhadap populasi, yaitu: 1. Pedugaa titik (Poit Estimatio) 2. Pedugaa iterval (Iterval Estimatio) B. Peaksira Titik (Poit Estimatio) Peaksira titik megadug pegertia bahwa suatu parameter (misal µ) aka ditaksir haya dega megguaka satu bilaga saja (misalya dega X). Peaksira titik serig megalami kekelirua, sehigga probabilitas suatu peaksira titik tersebut tepat adalah sagat kecil atau medekati ol. Sehigga peaksira titik jarag diguaka. Taksira titik utuk rata-rata populasi (µ) da proporsi populasi (π) megguaka rata-rata sample ( X ) da proporsi sample (p) yag dapat dihitug dega megguaka rumus: 127
X = ΣX (1) p = X (2) Cotoh: Seorag peeliti igi megetahui rata-rata TOEFL mahasiswa Prodi Maajeme Fakultas Ekoomi UMY yag aka meempuh pedadara periode bula Jauari. Dega megguaka sample sebayak 10 orag da data TOEFL masig-masig mahasiswa sebagai berikut: Tabel 8.1 Score TOEFL Mahasiswa No Mahasiswa TOEFL 1 Tii 375 2 Badu 425 3 Joo 425 4 Ruli 500 5 Meri 475 6 Didi 385 7 Badu 400 8 Tuti 400 9 Susi 350 10 Dedi 385 Berdasarka data tersebut, maka rata-rata TOEFLya adalah: Jawab: Diketahui ΣX = 4120 = 10 maka X = ΣX = 4120 10 = 412 Jadi dapat disimpulka rata-rata TOEFL mahasiswa Prodi Maajeme FE UMY yag aka megambil pedadara periode bula Jauari 2007 adalah 412. 128
C. Peaksira Iterval (Iterval Estimatio) Peaksira iterval merupaka iterval ilai (rage) yag ilai parameter populasi berada di dalamya.tujua membuat peaksira iterval adalah meguragi kesalaha peaksira. Peaksira iterval memiliki batas-batas tertetu sehigga peaksira aka berada di ataraya. Batas-batas tersebut adalah batas bawah taksira (lower limit estimate) yag merupaka ilai taksira parameter populasi teredah da batas atas taksira (upper limit estimate) merupaka ilai taksira parameter populasi tertiggi.. Batas-batas dalam peaksira dega iterval harus ditujag dega adaya derajat keyakia/kepastia yag biasaya diyataka dega prosetase. Derajat keyakia tersebut disebut dega Cofidece Coefficiet, besarya derajat keyakia sama dega 1 - α (α = tigkat kesalaha duga), misalya: derajat keyakia 90% maka α= 10%; derajat keyakia 95% maka α= 5%. Sedagka batas-batasya diamaka Cofidece Iterval. Peaksira iterval dibedaka mejadi 2 yaitu: 1. Peaksira rata-rata utuk data yag bersifat kotiu 2. Peaksira proporsi utuk data yag bersifat diskrit Peaksira dilakuka terhadap agka-agka statistic atau agka-agka yag diperoleh dari sample. Sampel yag diguaka utuk perhituga dibedaka atara sample kecil (< 30) da sample besar (>=30), pembedaa sample tersebut diguaka utuk pemiliha tabel distribusi yag aka diguaka dalam perhituga. Apabila sample kecil maka diguaka tabel Distribusi Studet t dega degree of freedom (df) atau derajat kebebasa = -1. t 1/2 (α).-1 (uji dua sisi) atau t α. -1 (uji satu sisi) dimaa: 129
α = tigkat kesalaha duga = jumlah sample (observasi) Cotoh: Apabila jumlah sample 15 dega α=5% (0,05), uji dua sisi maka: t 1/2 (α).-1 = t 1/2 (0,05). 15-1 t 0,025. 14 = 2,145 (lihat tabel distribusi studet t ) Cara membaca tabel Tabel 8.2 Tabel distribusi studet t α df 0.4.25.1.05.025.01.005.0025 dst 1 2.. 14 2.145 d s t Apabila sample besar maka diguaka Tabel Distribusi Normal Stadart. Tidak megguaka degree of freedom (df) Z 1/2 α (uji dua sisi) atau Z α (uji satu sisi) dimaa: α = tigkat kesalaha duga Cotoh: Apabila jumlah sample 35 dega α=5% (0,05), uji dua sisi maka: Z 1/2 (α) = Z ½ (0,05) Z 0,025 maka (1:2) 0,025= 0,4750 Z 0,025 = 1,96 (lihat tabel distribusi Normal Stadart) 130
Cara membaca tabel Tabel 8.3 Tabel distribusi Stadar Normal z 0 1 2 3 4 5 6 7 dst 0.0 0.1 dst 1.,1 1.2 dst 1.9 4750 2.0 dst D. Peaksira Rata-Rata 1. Peaksira rata-rata utuk parameter yag rata-rata da stadar deviasiya diketahui dega populasi tidak terbatas a. Sampel kecil ( < 30) Peaksira rata-rata dega sampel kecil megguaka tabel distribusi studet t, dega derajat kebebasa (degree of freedom/d.f) adalah 1 SD µ = Χ ± t 1 2α. 1 di maa: µ = rata-rata parameter yag ditaksir X = rata-rata statistik SD = stadar deviasi statistik = jumlah sampel yag diguaka t 1/2 α.-1 = batas keyakia yag diguaka Cotoh: Sebuah LSM igi megetahui rata-rata peghasila pegame yag ada di Yogyakarta. Utuk peelitia tersebut diambil sampel 29 pegame, da diperoleh data bahwa rata-rata peghasila pegame per hari adalah Rp. 19.500,- dega stadar deviasi Rp. 4.200,-. 131
Dega megguaka iterval keyakia 95%, tetuka peaksira rata-rata peghasila pegame di Yogyakarta tersebut? Diketahui: = 29 X = 19.500 SD = 4.200 α = 5% (0,05) t 1/2 α. -1 = t 1/2 (0,05). 29-1 = t 0,025. 28 = 2,048 Jawab: µ = Χ ± t1 2α. 1 SD µ = 19.500 ± 2,048 4200 29 µ = 19.500 ± 2,048 4200 29 µ = 19.500 ± 2,048 4.200 5,385 µ = 19.500 ± 2,048 µ =19.500 ± 1.559,84 (779,92 ) µ = 19.500 ± 1.560 ( dibulatka) µ = 19.500+ 1.560 = 21.060 µ = 19.500 1.560 = 17.940 Atas dasar perhituga tersebut dapat disimpulka bahwa rata-rata peghasila pegame yag ada di Yogyakarta palig besar adalah Rp Rp21.060 da yag palig kecil adalah Rp 17.940. b. Sampel besar ( 30) Pada peaksira rata-rata dega sampel besar aka diguaka tabel Z (tabel kurva ormal stadar) dega rumus: 132
SD µ = Χ ± Ζ 1 2 α di maa: µ = rata-rata parameter yag ditaksir X SD = rata-rata statistik = stadar deviasi statistik = jumlah sampel yag diguaka Z 1/2 α.-1 = batas keyakia yag diguaka Cotoh: Seseorag melakuka pegamata megeai lama usia bola lampu OHP. Berdasarka pegamata pada 64 buah bola lampu OHP da teryata mempuyai rata-rata masa pakai 50 jam dega SD selama 4 jam. Dega megguaka α = 5%, tetuka rata-rata usia pakai yag sebearya dari bola lampu OHP tersebut megguaka peaksira rata-rata iterval. Jawab: Diketahui: = 64 X = 50 jam SD = 4 jam α = 5% (0,05) Z 1/2 (0,05). = t 0,025 = 1,96 maka µ = Χ ± Ζ 1 2 α SD = 50 ± 1,96 4 64 = 50 ± 1,96 4 8 = 50 ± 1,96 (0,5 ) 133
= 50 ± 0,98 Dapat disimpulka rata-rata usia pakai bola lampu OHP palig lama 50,98 jam (50+0,98) da palig cepat 49,02 jam (50-0,98). 2. Peaksira rata-rata utuk parameter yag rata-rata da stadar deviasiya diketahui dega populasi terbatas. a. Sampel kecil ( < 30) SD µ = Χ ± t 1 2α. 1 N N 1 Cotoh: Suatu perusahaa alat elektroik igi meeliti waktu yag diperluka karyawaya dalam memasag kompoe X. Utuk itu diambil sampel 10 karyawa da diperoleh data waktu rata-rata 55 meit dega varia 100 meit. Bila jumlah karyawa seluruhya adalah 100 orag, hituglah berapa rata-rata waktu pemasaga utuk seluruh karyawa tersebut, guaka α = 5%. b. Utuk sampel besar ( 30) SD µ = Χ ± Ζ1 2α N N 1 µ = rata-rata parameter X = rata-rata statistik t 1/2 α.-1 = batas keyakia yag diguaka Z 1/2α = batas keyakia yag diguaka N = jumlah populasi = jumlah sampel 134
SD = stadar deviasi statistik. Cotoh: Sebuah populasi peggua mobil A berjumlah 1000 orag. Utuk megetahui pedapata rata-rata peggua mobil tersebut diambil sampel radom sebayak 50 orag. Hasil peelitia meujukka bahwa pedapata rata-rata per bula adalah Rp. 4 juta dega SD Rp. 1 juta. Dega taraf sigifikasi 4% tetuka iterval rata-rata pedapata peggua mobil tersebut? 3. Peaksira Proporsi Peaksira proporsi aka diguaka apabila data yag ada bersifat diskrit. Peaksira proporsi ii sebaikya diguaka utuk sampel besar. Terdapat dua rumus: a. Peaksira proporsi dega populasi yag tidak diketahui: p. q P = p ± Ζ1 2α dimaa: P = proporsi dari parameter p = proporsi statistik, yag besarya dapat diduga dega p = x/ X = ilai dari sample = jumlah sampel yag diguaka N = jumlah seluruh populasi q = 1 p Z 1/2 α = batas iterval keyakia Cotoh: Seorag deka dari salah satu fakultas di UMY igi megetahui besarya proporsi mahasiswa yag merasa kurag puas dega pelayaa yag diberika kepada mahasiswa. Utuk maksud tersebut 135
diambil sampel radom sebayak 100 mahasiswa da dari kuesioer yag diisi diketahui bahwa 10 orag meyataka kurag puas dega pelayaa fakultas tersebut. Bila deka tersebut megguaka tigkat keyakia 97%, maka berapa besar proporsi seluruh mahasiswa tersebut yag merasa kurag puas dega pelayaa yag diberika? Jawab: Diketahui: = 100 X = 10 p = 10/100 = 0,1 q = 1 0,1 = 0,9 α = 100% - 97% = 3% (0,03) Z 1/2 α = Z 1/2 (0,03) = Z 0,015 = (100%- 3%)/2 = 48,5% (0,4850) = 2,17 (lihat tabel distribusi Normal Stadart) maka: P = p ± Ζ 1 2 α p. q = 0,1 ± 2,17 0,1.0,9 100 P = 0,1 ± 2,17(0,03) P = 0,1 ± 0,0651 Dapat disimpulka bahwa proporsi mahasiswa yag kurag puas dega pelayaa yag diberika oleh fakultas palig sedikit 3,49% (0,1 0,0651) da palig bayak 16,51% (0,1 + 0,0651) b. Peaksira proporsi dega populasi terbatas: p. q N P = p ± Ζ1 2α N 1 dimaa: P = proporsi dari parameter 136
p = proporsi statistik, yag besarya dapat diduga dega p = x/ X = ilai dari sample = jumlah sampel yag diguaka N = jumlah seluruh populasi q = 1 p Z 1/2 α = batas iterval keyakia Cotoh: Seorag ketua RT igi megetahui berapa proporsi peduduk di desaya yag memiliki aak lebih dari 3 orag. Dari seluruh peduduk di desaya yag berjumlah 300 orag diambil sampel 80 orag da teryata yag memiliki aak lebih dari 3 orag sebayak 20 orag. Dega iterval keyakia 95%, batulah ketua RT tersebut meghitug proporsi peduduk desa yag memiliki aak lebih dari 3 orag. E. RANGKUMAN 1. Dalam membuat taksira (pedugaa) sagat diperluka kosep probabilitas karea sagat bergua dalam pembuata keputusa pada kodisi ketidakpastia, Ada jeis peaksira yaitu peaksira titik (Poit Estimatio) da peaksira iterval (Iterval Estimatio). 2. Peaksira titik megadug pegertia bahwa suatu parameter (misal µ) aka ditaksir haya dega megguaka satu bilaga saja (misalya dega X ). Peaksira titik serig megalami kekelirua, sehigga probabilitas suatu peaksira titik tersebut tepat adalah sagat kecil atau medekati ol. Sehigga peaksira titik jarag diguaka. 3. Peaksira iterval merupaka iterval ilai (rage) yag ilai parameter populasi berada di dalamya.tujua membuat peaksira iterval adalah meguragi kesalaha peaksira da ada dua batas yaitu batas bawah 137
taksira (lower limit estimate) da batas atas taksira (upper limit estimate). Batas-batas dalam peaksira dega iterval harus ditujag dega adaya derajat keyakia/kepastia disebut dega Cofidece Coefficiet, sedagka batas-batasya diamaka Cofidece Iterval. 4. Utuk meetuka rata-rata dalam peaksira, digologka atara populasi terbatas da populasi tidak terbatas da sample juga digologka atara sample kecil da sample besar. 5. Peaksira proporsi aka diguaka apabila data yag ada bersifat diskrit. Peaksira proporsi ii sebaikya diguaka utuk sampel besar yag terdiri dari populasi terbatas da populasi tidak terbatas. F. LATIHAN 1. Apakah yag dimaksud dega peaksira? 2. Jelaska secara terperici tetag peaksira titik, peaksira iterval da peaksira proporsi! 3. Suatu biro riset igi megestimasi rata-rata pegeluara utuk pembelia baha makaa per miggu dari ibu-ibu rumah tagga. Sebuah sampel radom yag terdiri dari 100 orag ibu rumah tagga telah dipilih dari populasi ibu rumah tagga. Dari data tersebut diketahui bahwa rata-rata pegeluara per miggu adalah Rp. 30.000,- dega stadar deviasi Rp. 2.000,-. Hitug dega iterval keyakia 98% utuk meaksir pegeluara rata-rata pembelia baha makaa per miggu? 4. Rektor suatu pergurua tiggi diyogyakarta igi megetahui rata-rata IPK utuk setiap Fakultas. Sampel yag diguaka utuk setiap fakultas adalah sebagai berikut: 138
No Fakultas Jumlah Jumlah IPK ratarata Stadar α Populasi Sampel Deviasi 1 Ekoomi - 465 3,20 2 10% 2 Hukum - 176 2,95 2 5% 3 Isipol - 550 3,10 3 8% 4 Tekik 75 47 2,40 2 2% 5 Pertaia 60 35 2,25 3 4% 6 Kedoktera - 225 2,60 2 1% 7 Agama Islam 45 22 3,30 2 4% Dega taraf sigifika berbeda masig-masig fakultas, maka tetuka taksira rata-rata IPK mahasiswa masig-masig fakultas! 5. Suatu biro Travel igi meetuka waktu yag diperluka utuk meempuh perjalaa dari Yogyakarta ke Bali. Dari 12 kali perjalaa diperoleh iformasi sebagai berikut: Perjalaa ke Waktu (jam) 1 23 2 21 3 24 4 20 5 25 6 20 7 22 8 22 9 25 10 20 11 19 12 20 139
Buatlah taksira lama perjalaa dari Yogyakarta ke Bali yag sesugguhya dega taraf sigifikasi 10%! 6. Seorag pejual alat tulis igi megetahui merk bolpoit yag diguaka oleh pelajar SMP da SMA di Semarag. Pejual tersebut megambil sample sebayak 225 pelajar SMP maupu SMA da teryata 60% megguaka bolpoit pilot. Apabila iterval keyakia 96%, tetuka proporsi pelajar SMP da SMA di Semarag yag megguaka bolpoit tersebut! 7. Utuk megetahui tigkat kecerdasa aak suatu Sekolah Dasar di Yogyakarta, maka diambil secara radom aak SD tersebut sebayak 50 orag sebagai sample. Dari hasil tes IQ yag dilakuka diperoleh rata-rata IQ sebesar 115 dega varias sebesar 81. apabila diguaka taraf sigifika sebesar 4%, maka hituglah perkiraa rata-rata IQ aak SD tersebut! 140