Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR

Ortogonal

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR

Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika : v i. v j = 0 ketika i j untuk i, j =,,.., k Basis standar {e, e,.., e n } dalam R n adalah himpunan ortogonal.

Contoh : Tunjukkan bahwa {v, v, v 3 } adalah himpunan ortogonal dalam R 3 jika : Jawab : 0 v, v, v - 3 - Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal v. v = (0) + () + (-)() = 0 v. v 3 = 0() + (-) +()() = 0 v. v = () + (-) +(-)()= 0 Kesimpulan : {v, v, v 3 } adalah himpunan ortogonal

Teori. Jika {v, v,.., v k } adalah himpunan vektor bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor tersebut adalah bebas linier. Bukti : Jika c, c,., c k adalah skalar sehingga : c v + + c k v k =0 kemudian (c v + + c k v k ). v i = 0. v i = 0 Atau hal yang sama : c (v. v i )+.. +c i (v i. v i )+ + c k (v k. v i ) = 0 Karena {v, v,.., v k } adalah himpunan ortogonal, semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol kecuali (v i. v i ), sehingga persamaan dapat diringkas menjadi : c i (v i. v i ) = 0

Dengan hipotesa : v i 0 sehingga v i. v i 0, oleh karena itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah c i. Hal ini juga berlaku untuk semua i =,.. k, sehingga disimpulkan bahwa {v, v,.., v k } adalah bebas linier. Basis Ortogonal Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari R n adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal. Contoh soal : Cari basis ortogonal dari subruang W dari R 3 yaitu : x W y : x y z 0 z

Jawab : Subruang W adalah bidang yang berada pada R 3, dari persamaan bidang diperoleh : x = y z. Maka W terdiri dari vektor dengan bentuk : y z - Jadi vektor u = y y z 0 z 0 dan v = 0-0 adalah basis W, namun tidak ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah satu vektor tersebut.

x Anggap w y adalah vektor dalam W yang ortogonal z dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+z = 0, maka u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0. Dengan menyelesaikan SPL : x-y+z = 0 x+y = 0 Didapatkan : x = -z dan y = z Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk : w -z z z

- Jika diambil w dengan mudah dapat dibuktikan bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W, sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W=. Teori. Jika {v, v,.., v k } adalah basis ortogonal dari subruang W dari R n dan w merupakan vektor dalam W, maka skalar unik c,., c k dapat ditulis : w = c v + + c k v k Menghasilkan : c i wv. vv. i i i untuk i =,, k

Contoh soal : Carilah koordinat w yang menjadi basis ortogonal 3 dari B = {v, v, v 3 } dengan Jawab : c wv. 3 vv. 4 6 0 v, v, v - 3 - c c 3 wv. 0 3 5 v. v 0 wv. 3 3 vv. 3 3 3

Jadi : w = c v + c v + c 3 v 3 = /6 v + 5/ v + /3 v 3 Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B adalah : 6 w B 5 3

Ortonormal Definisi : himpunan vektor dalam R n adalah himpunan ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari R n adalah basis dari W dan merupakan himpunan ortonormal. Catatan : Jika S= {q,.., q k } adalah himpunan vektor ortonormal, kemudian q. q = 0 untuk i j dan Kenyataannya bahwa setiap q i merupakan vektor satuan dengan kata lain : q i. q i =. Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika : 0 jika i j qq i. j jika i j q i

Contoh soal :. Tunjukkan bahwa S = {q,q } adalah himpunan ortonormal dalam R 3 jika : Jawab : qq. 0 q 8 8 8 qq. 3 3 3 q. q 4 6 6 6 3 6 - dan 3 6 3 6 Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap vektor himpunan ortogonal tersebut. q ortonormal

. Bangun basis ortonormal untuk R 3 dari vektor-vektor : 0 v, v, v - 3 - Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v, v, dan v 3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi setiap vektor diperoleh : q q v Jadi {q, q, q 3 } merupakan basis ortonormal untuk R 3 6 6 v 6 - - 6 v - - 3 3 3 3 v3 3 3, q v 0 0 v

Teori 3. Jika {q, q..., q k } basis ortonormal dari subruang W dari R n dan w adalah vektor dalam W, maka : w = (w. q )q + (w. q )q + + (w. q k ) q k Matrik ortogonal Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom berbentuk himpunan ortonormal disebut: matrik ortogonal. Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentuk himpunan ortonormal jika dan hanya jika Q T Q = I n Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan hanya jika Q - = Q T

Contoh soal : Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah ortogonal dan carilah matrik inversnya! A Jawab : 0 0 0 0 dan 0 0 cos Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar dari R 3 jelas merupakan ortonormal, sehingga A adalah ortogonal dan A B A T sin sin cos 0 0 0 0 0 0

Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut : T BB cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos 0 0 Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan B T cos sin B sin cos

Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut ini memiliki arti yang sama : a. Q adalah ortogonal. b. c. Qx x untuk setiap x dalam R Qx. Qy x. y untuk setiap x dan y dalam R Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen baris merupakan himpunan ortonormal. Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal. a. Q - adalah ortogonal b. det Q = c. Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka d. Jika Q dan Q adalah matrik ortogonal nxn, maka demikian juga untuk Q Q n n

Komplemen ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari R n. Sebuah vektor v dalam R n ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang ortogonal dengan W disebut komplemen ortogonal dari W ditulis sebagai: W W = {v dalam R n : v.w = 0 untuk semua w dalam W} v w W W dan W = l

Teori 9. Ambil W subruang dari R n. a. b. W adalah subruang dari R n. ( W ) W W c. W = {0} d. Jika W = span (w,, w k ), maka v berada dalamw jika dan hanya jika v. w i = 0 untuk semua i=,.,k Teori 0. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal dari ruang kolom A adalah ruang null A T T ( baris( A)) null( A) dan ( kolom( A)) null( A )

Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang : baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari R n kolom (A) dan null (A T ): komplemen ortogonal dari R m Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n null (A) null (A T ) 0 0 T A baris (A) R n kolom (A) R m

Contoh soal :. Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari : 3 6 A - 0 - -3 - dan buktikan bahwa : Jawab : 4 6 3 T ( baris( A)) null( A) dan ( kolom( A)) null( A ) Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :

R 0 0-0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 0 0 baris (A) = baris (R) Baris (A) = span (r, r, r 3 ) dengan : r = { 0 0 -}, r = {0 0 3}, r 3 = {0 0 0 4} Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0 diperoleh : x x 3 4 5 - s t - -s-3t - -3 x x s s t 0 su tv x x -4t 0-4 t 0

Null (A) = span (u, v) dengan : - u = - dan v = -3 0 0-4 0 Untuk menunjukkan ( baris( A)) null( A) cukup dengan menunjukkan bahwa setiap vektor r ortogonal dengan u dan v. Selanjutnya, dapat dilihat bahwa : r 3 = r + r dan r 5 = -r + 3r + 4r 4

Dengan demikian r 3 dan r 5 tidak memberikan kontribusi apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r, r dan r 4 adalah bebas linier dan merupakan vektor satuan. Jadi basis kolom A = span{a, a, a 3 } dengan : - a, a, a4-3 - 4 Perhitungan null(a T ) dilakukan dengan reduksi baris : T A -3 4 0 0 0 0-0 0 0 6 0 0 3 0 6 0 0 0 3 0-0 0 0 0 0 0 6-3 0 0 0 0 0 0

Jika y didalam null(a T ) dengan y = - y 4, y = -6 y 4 dan y 3 = -3y 4, maka dapat diperoleh hasil : null(a T ) = - y 4-6y4 6 span -3y 3 y 4 4 Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut ortogonal dengan a, a, a 3 sehingga terbukti bahwa : T ( kolom( A)) null( A )

. Ambil W adalah subruang R 5 yang dibangun oleh : - 0-3 - w 5, w, w 4 3 0 - - 5 3 5 Tentukan basis dari W Jawab : subruang W dibangun oleh w,w dan w 3 sama dengan ruang kolom dari : - 0-3 - A 5 4 0 - - 5 3 5

Teori 0 menyatakan Sehingga dapat dihitung : T A y didalam y = 3 y 4 4 y 5, y = y 4 3 y 5 dan y 3 = y 5 Sehingga diperoleh : Ada vektor basis untuk T W ( kolom( A)) null( A ) -3 5 0 5 0 0 0 3 4 0 0 - - 3 0 0 0 3 0 0-4 - 5 0 0 0 0 0 W jika dan hanya jika : -3y - 4y -3-4 4 5 - y - 3y - -3 4 5 W - y span 0 - W y y 5 4 5 0 0

Proyeksi ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari R n dan {u, u..., u k } merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v dalam R n, maka proyeksi ortogonal v pada W didefinisikan sebagai : uv. uk. v proy v u u. u. u w( )... uu Komponen v ortogonal ke W adalah vektor : v perp ( v) v proy ( v) w w k k k u perp u (v) u v p proy u (v) p p W u

Contoh soal : Jika W bidang dalam R 3 dengan persamaan x-y+z=0 dan 3 v - Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan komponen v yang ortogonal ke W! Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk : y z - y y z 0 z 0

Diperoleh vektor basis W : u = 0 dan u = - Proyeksi ortogonal v pada W adalah : u. v u. v proyw() v u u u u. u. u - 3 0-5 3 3 3 v proy w (v) perp w (v) W

Dan komponen v ortogonal pada W adalah : perp w (v) = v proj w (v)= 3 5 4 3 3 - - - 4 3 3 8 3 3 Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa proj w (v) berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan bidang. Demikian pula halnya dengan perp w (v) adalah ortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari vektor normal terhadap W. -

Dekomposisi ortogonal Teori. Jika W merupakan subruang dari R n dan v adalah vektor dalam R n, maka ada vektor-vektor unik w dalam W dan w dalam W dapat dituliskan : v = w + w Teori. Jika W merupakan subruang dari R n, maka : dim W + dim W = n

Faktorisasi QR Teori 3. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagai QR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang invertible. Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a,,a n adalah kolom bebas linier dari matrik A dan q,,q n adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan menggunakan metode Gramm-Schmidt. Untuk setiap i =,..,n : W i = span (a,,a i ) = span (q,,q i ) Sehingga jika terdapat skalar r i,r i,r ii dapat dituliskan : a i = r i q + r i q +..+r ii q i untuk i=,, n

Diperoleh hasil : a = r q a = r q + r q a n = r n q + r n q +..+r nn q n Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut : r r... r n 0 r... r n A a a... an q q... qn QR 0 0... r nn

Contoh soal : Cari faktorisasi QR dari : Jawab : - - 0 Subruang W dibangun oleh x,x dan x 3 sama dengan ruang kolom dari matrik A. {x,x, x 3 } adalah himpuan bebas linier, sehingga merupakan basis dari W. Ambil v = x, selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt dihitung komponen x yang ortogonal pada W = span (v ) v perp ( x ) x v A v. x - vv. 0 4 - w 3 3

Untuk menghilangkan pecahan pada v dilakukan perkalian skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian v dirubah menjadi : 3 Selanjutnya dihitung komponen x 3 ortogonal pada W = span (x,x ) = span (v,v )= span ( v, v ) menggunakan basis ortogonal v ( v, v) v 3 3 v perp ( x ) x v v 3 3 v. x v. x - 5 3 0 v. v v. v 4-0 3 w 3 3 -

Kembali dilakukan penskalaan ulang : v v 3 3 - Akhirnya diperoleh basis ortogonal 0 v, v, v3 Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan normalisasi setiap vektor q v v - - - - untuk W

q 3 5 0 3 3 5 3 0 v 5 5 0 5 0 v q v 6 3 3 v3-0 - 6 6 0 6 6 6 3

Jadi Q q q q 3 3 5 6 0 6 3 5 0 - - 0-5 6 0 6 5 6 0 6 A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga Q T Q = I. Oleh karena itu : Q T A=Q T QR = IR=R Diperoleh hasil akhir : R T Q A - - - 0 5-0 - 0 0 0 3 5 3 5 5 5 3 5 0 0 0 0 6 6 6 6 6 6 3

Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrik diagonal D sehingga diperoleh : Q T AQ = D Teori 4. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal, maka A adalah matrik simetri Bukti : Karena Q - = Q T diperoleh Q T Q = I = QQ T sehingga : QDQ T = QQ T AQQ T = IAI = A Tetapi juga : A T = (QDQ T ) T = (Q T ) T D T Q T = QDQ T = A Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri.

Latihan soal :. V=R 3 dengan perkalian skalar <a,b>= a b + a b + 3a 3 b 3 Tentukan proyeksi ortogonal a= (,,), b= (,,). V=R 3 dengan perkalian skalar <a,b>= a b + a b + a 3 b 3 W subruang linier yang dibangun oleh {(-,,), (,,)} dan v = (,,3) Tentukan proyeksi ortogonal v pada W