BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian derivatif fungsi f : [a, b] R di titik c [a, b] R dapat dijelaskan dalam definisi berikut. Definisi. Diberikan interval [a, b] R, fungsi f : [a, b] R, dan c [a, b]. Bilangan real L disebut derivatif fungsi f di titik c, jika diberikan sembarang bilangan 0 terdapat bilangan 0 sehingga untuk setiap x [a, b] dengan sifat 0 x c berlaku f x f(c) L < ε. Dalam hal ini fungsi f dikatakan terdiferensial (diferensiabel) di titik c dan ditulis f c L. Dengan kata lain, derivatif fungsi f di titik c dapat dinyatakan sebagai it: f f x f(c) x jika itnya ada. Catatan: Secara umum konsep derivatif dikenakan pada suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu interval. Jika derivatif fungsi f : [a, b] R ada di titik c [a, b], maka nilainya dinotasikan dengan f c. Dalam kasus fungsi f, sudah terbiasa untuk memandang f sebagai fungsi dari x. perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan f x x 2, x R Untuk sembarang c R, diperoleh f f x f(c) x x 2 c 2 (x + c) 2c Jadi dalam kasus ini, fungsi f terdefinisi pada R dan f x 2x, x R. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa keterdiferensialan fungsi f di titik c mengakibatkan fungsi tersebut kontinu di titik c, hal tersebut diberikan pada teorema berikut. Thobirin Herawan, Analisis Real II

Teorema.2 Derivatif (Turunan) Diberikan interval [a, b] R. Jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial (mempunyai derivatif) di titik c [a, b], maka fungsi f kontinu di titik c. Bukti: Ambil sembarang x [a, b], dengan x c. Perhatikan bahwa. Berdasarkan hipotesis bahwa fungsi f terdiferensial atau f ada, maka dengan menerapkan operator dan sifat aljabar it fungsi diperoleh f x f x f c. 0 f x f c Oleh karena f x f c maka terbukti f kontinu di c. Kekontinuan fungsi f : [a, b] R di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Contoh berikut memberikan penjelasan tentang hal ini. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan f x x, x R Tunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu di 0. Selanjutnya tunjukkan bahwa f 0 tidak ada. Jadi kekontinuan fungsi di suatu titik tidaklah menjadi syarat cukup eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Selanjutnya diberikan sifat-sifat dasar dari derivatif yang sangat berguna dalam kalkulasi derivatif dari beberapa kombinasi fungsi-fungsi terdiferensial. B. Sifat-sifat Aljabar Derivatif Fungsi Teorema.3 Diberikan interval [a, b] R, c [a, b], serta fungsi f : [a, b] R dan fungsi g : [a, b] R keduanya terdiferensial di titik c. a. Untuk setiap R, fungsi f terdiferensial di titik c, dan αf c α f (c) b. Fungsi f + g terdiferensial di titik c, dan f + g (c) f c + g c c. Fungsi f g terdiferensial di titik c, dan fg (c) f c g(c) + f(c)g c d. Jika g(c) 0 maka fungsi f g terdiferensial di titik c, dan f g (c) f c g c f(c)g c g(c) 2 Bukti: Pada buku ini dibuktikan bagian a, c, dan d. Sedangkan bagian b yang cukup mudah buktinya diserahkan kepada pembaca. 2 Thobirin Herawan, Analisis Real II

Ambil sembarang interval [a, b] R, dan c [a, b]. Diketahui fungsi f : [a, b] R dan fungsi g : [a, b] R keduanya terdiferensial di titik c. a. Misalkan h f, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh x c αf x αf c x c αf x αf c f x f c x α x c α f (c) Karena h f, maka diperoleh αf c α f (c). c. Misalkan h fg, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh x c fg x fg c f(x)g x f(c)g c f x g x f c g x + f(c)g x f(c)g c g x + f(c) x c g x + f(c) x g x f c g(c) + f c g (c) + g(x) + Karena h fg, maka diperoleh fg (c) f c g(c) + f c g (c) f c f c d. Misalkan f dan g 0, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh g f x c g x f g c f(x) g(x) f(c) g(c) f(x) f c g x g(c) g(x) g c ()g x g(c) f x g c f(c)g x ()g x g(c) f x g c f c g c + f(c)g c f(c)g x ()g x g(c) 3 Thobirin Herawan, Analisis Real II

g c f(c) g x g(c) x c (c) f (c)g c f c g (c) g c f(c) g c g(c) g x g(c) Karena f, maka diperoleh g f g (c) f c g c f(c)g c g(c) 2 Dengan menggunakan induksi matematika, pembaca dapat memperluas aturan-aturan pendiferensialan yang secara ringkas diberikan pada akibat berikut. Akibat.4 Jika f, f 2, f 3,, f n masing-masing fungsi dari [a, b] R ke R dan terdiferensial di c [a, b], maka a. fungsi f + f 2 + f 3 + + f n terdiferensial di titik c, dan f + f 2 + f 3 + + f n c f (c) + f 2 (c) + f 3 (c) + + f n (c) b. fungsi f f 2 f 3 f n terdiferensial di titik c, dan f f 2 f 3 f n (c) f c f 2 c f 3 c f n (c) + f c f 2 c f 3 c f n (c) + f c f 2 c f 3 (c) f n c + + f c f 2 c f 3 c f n (c) (.) Jika pada (.) fungsi-fungsinya sama, yaitu f f 2 f 3 f n f maka pada (.) berlaku f n c nf (c) f(c) n (.2) Catatan: Jika [a, b] R suatu interval dan f : [a, b] R fungsi, maka terdapat notasi lain yang sering digunakan untuk menyatakan derivatif fungsi f, sebagai contoh Df atau f atau df (jika x variabel bebas atau f bukan fungsi implisit). Demikian halnya pada Teorema.3 bagian b dan c dapat pula ditulis sebagai D(f + g) Df + Dg dan D(f g) (Df)g + f(dg). C. Aturan Rantai (Chain Rule) Pada bagian ini diberikan suatu aturan pendiferensialan fungsi-fungsi komposisi yang dikenal dengan aturan rantai (chain rule). Aturan rantai memberikan suatu cara untuk mencari derivatif dari fungsi komposisi g o f. Jika fungsi f terdiferensial di titik c dan fungsi g terdiferensial di f(c), maka derivatif dari fungsi g o f di titik c adalah atau g o f c g f c f (c) g o f g o f f. 4 Thobirin Herawan, Analisis Real II dx

Teorema.5 (Aturan Rantai) Diberikan interval [a, b] dan[c, d] keduanya interval di dalam R, g : [c, d] R dan Derivatif (Turunan) f : [a, b] R keduanya fungsi dengan sifat f([a, b]) [c, d] dan c * [a, b]. Jika fungsi f terdiferensial di titik c * dan fungsi g terdiferensial di f(c * ), maka fungsi komposisi g o f terdiferensial di titik c *, dan g o f c g f c f c. Bukti: Misalkan e f(c * ), oleh karena g terdiferensial di f(c * ) maka g e ada. Selanjutnya didefiniskan fungsi bernilai real G yang well-defined pada [c, d] dengan g y g(e), y e y e G y g (e), y e Oleh karena fungsi g terdiferensial di e f(c * ), maka g y g e G(y) g e G e. y e y e y e Hal ini menunjukkan bahwa fungsi G kontinu di e f(c * ). Selanjutnya karena fungsi G kontinu di e f(c * ), fungsi f kontinu di c * dan f([a, b]) [c, d], maka berdasarkan teorema kekontinuan komposisi fungsi-fungsi kontinu, diperoleh G o f kontinu di c *, sehingga G o f x G f(x) G f(c ) G e g e g f(c ) Dari definisi fungsi G, dapat ditulis g y g e G y y e, y [c, d] Oleh karenanya, jika x [a, b] dengan x c *, dan f(x) y, diperoleh g o f x g o f c g f(x) g f(c ) g y g e G y y e G f(x) f x f(c ) (G o f) x f x f(c ) g o f x g o f c (G o f) x f x f(c ) Selanjutnya untuk x c * dan dengan menerapkan operator it, diperoleh g o f x g o f c f x f(c ) (G o f) x Dengan demikian bukti telah lengkap. g o f c g f(c ) f c. Sering kita jumpai dalam kuliah kalkulus integral, notasi Df f. Oleh karenanya aturan rantai dapat pula ditulis g o f c g f c f c D g o f D g o f Df. 5 Thobirin Herawan, Analisis Real II

Contoh.6. Diberikan interval [a, b] R, jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada [a, b] dan g(y) y n y R, n N g o f x g f x f x n. Oleh karenanya berdasarkan Teorema.5 diperoleh g o f x g f x f x, x [a, b] D f x n g f x f x (.3) Dapat dimengerti bahwa, jika g(y) y n maka g y ny n, oleh karenanya dari (.3) diperoleh D f x n n f x n f x. Misalkan f(x) 2x, maka D (2x) n 2n(2x) n. Dipersilakan pembaca untuk memberikan contoh lain. 2. Diberikan interval [a, b] R, jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada [a, b] dengan sifat f(x) 0 dan f (x) 0 untuk setiap x [a, b]. Jika y y bahwa y y 2, y 0. Oleh karenanya diperoleh f x o f x f x f x f (x) f(x) 2. 3. Tugas bagi pembaca untuk menunjukkan Jika f x sin x, maka f x cos x untuk setiap x R dan jika g x cos x, maka g x sin x untuk setiap x R., y 0, dapat dimengerti Dengan menggunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan pembagian untuk setiap x R dengan x Jadi 2k+ π 2 untuk k bilangan bulat, selanjutnya diperoleh x D tan x x f(x) sin x tan x g(x) cos x D tan x cos2 x + sin 2 x cos 2 x Demikian halnya untuk setiap x R dengan x D sec x D cos x 0. cos x. ( sin x) cos 2 x D cot x D cos x sin x cos x cos x (sin x)( sin x) cos 2 x cos 2 x sec2 x. 2k+ π 2 untuk k bilangan bulat, diperoleh sin x cos 2 x sin x. sec x tan x cos x cos x sin x sin os x cos x sin 2 x (sin2 x + cos 2 x) sin 2 x sin 2 x csc2 x 6 Thobirin Herawan, Analisis Real II

D csc x D sin x 0. sin x. cos os x sin 2 x sin 2 x cos x. csc x cot x sin x sin x 4. Diberikan suatu fungsi f yang didefinisikan sebagai berikut. f x x 2 sin x, x 0 0, x 0 Jika digunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan perkalian titik (dot product) pada Teorema.3 bagian c dan aturan rantai (Teorema.5) diperoleh f x 2x sin os, x 0. x Jika x 0 tak satu pun dari aturan kalkulasi dapat digunakan. Konsekuensinya untuk mencari derivatif di titik 0 digunakan definisi, sehingga diperoleh f f x f(0) 0 x 0 x 0 x 2 sin x x 0 x x 0 x sin x 0 Jadi derivatif f, yaitu f ada di mana-mana. Namun fungsi f tidak punya it di x 0, oleh karenanya f diskontinu di titik 0. Dengan demikian, suatu fungsi yang terdiferensial di mana-mana, tidaklah selalu mempunyai fungsi turunan yang kontinu. C. Derivatif Fungsi Invers Pada bagian ini dipaparkan hubungan derivatif suatu fungsi dengan derivatif inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton tegas. Teorema.7 Diberikan interval [a, b] R, dan f : [a, b] R fungsi monoton tegas (stricly monotone) dan kontinu pada [a, b]. Diberikan [c, d] f([a, b]) dan g : [c, d] R invers fungsi f yang monoton tegas dan kontinu. Jika fungsi f terdiferensial di titik c [a, b] dan f (c ) 0, maka fungsi g terdiferensial di titik e f(c ), lebih lanjut g e f (c ) f (g e ) Bukti: Ambil sembarang y [c, d] dengan y e, selanjutnya didedifiniskan fungsi H : [c, d] R dengan H y f g y f(g e ) g y g(e) 7 Thobirin Herawan, Analisis Real II

Diketahui g monoton tegas, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap y [c, d] dengan y e, maka g(y) g(e), dengan kata lain H : [c, d] R well-define. Demikian halnya jika y f(g y ) dan e f(g e ) maka berdasarkan definisi fungsi H diperoleh y e H y g y g(e). Mudah dimengerti bahwa untuk setiap y [c, d] dengan y e, maka H(y) 0. dibuktikan bahwa H y y e f c. Selanjutnya Diberikan bilangan 0 dan jika f terdiferensial di c g(e), maka terdapat bilangan 0 sehingga untuk setiap x [a, b] dengan sifat 0 x c berlaku f x f(c ) f (c ) < ε. Diketahui g kontinu di titik e f (c ), artinya untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0 sehingga untuk setiap y [c, d] dengan 0 y e maka berlaku g y g(e) < δ. (.4) Karena g fungsi invers dari f, maka g bijektif, dengan kata lain g injektif dan surjektif. g injektif dan c g(e), maka dari pembahasan sebelumnya dan berdasarkan (.4), diperoleh; jika 0 y e maka g y g(e) g(y) c < δ untuk setiap y [c, d]. Oleh karenanya untuk setiap y [c, d] dengan 0 y e berakibat H y f (c ) untuk sembarang 0. Jadi y e H y f c. Perhatikan bahwa karena y e maka H y f g y f(g e ) f (c ) < ε g y g(e) y e g y g(e) Dapat disimpulkan, untuk setiap y [c, d] dengan y e, berlaku g g y g e e y e y e y e H(y) Terbukti 0, sehingga diperoleh g(y) g(e) y e y e H(y) f (c ). H(y). g e f (c ) f (g e ). Catatan: Persyaratan f (c ) 0 pada Teorema.7 sangat penting. Faktanya, apabila f c 0 maka fungsi invers g tidak terdiferensial di e f(c ). Artinya, jika g terdiferensial di titik e f(c ) dan jika f invers fungsi g, maka dapat diterapkan Teorema.7 pada fungsi g untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi f terdiferensial di titik c g(e) dan diperoleh g e f (c g e f c 0. ) Nampak terjadi kontradiksi, oleh karena itu g tak terdiferensial di titik e f(c ). Perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan f x x 3, x R 8 Thobirin Herawan, Analisis Real II

Dapat dimengerti bahwa f x x 3, x R, f x 3x 2, dan g x f (x) x 3. Ambil titik c 0, diperoleh e f(c ) 0 dan f (c ) 0. Dengan demikian g (e)f (c ) 0. Terjadi kontradiksi, sehingga dapat disimpulkan bahwa f x x 3, x R tak terdiferensial di 0. Teorema.8 Diberikan interval [a, b] R, dan f : [a, b] R fungsi monoton tegas (stricly monotone) pada [a, b]. Diberikan [c, d] f([a, b]) dan g : [c, d] R invers fungsi f. Jika fungsi f terdiferensial pada [a, b] dan f (c ) 0 untuk setiap x [a, b], maka fungsi g terdiferensial pada [c, d], lebih lanjut g y (f y c, d. o g)(y) Bukti teorema diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. 2 3 Contoh.9. Diberikan n N dengan n genap, I [0, ) dan fungsi bernilai real f : I R yang didefinisikan dengan f x x n, x I, dapat dibuktikan bahwa fungsi f naik tegas dan kontinu pada I. Sehingga fungsi inversnya ada pada I, sehingga fungsi inversnya ada, yaitu g y y n, y [0, ). Fungsi g naik tegas dan kontinu pada [0, ). Lebih lanjut diperoleh f x nx n, x I. Oleh karenanya jika y 0, maka g y y n ada, dan g y f o g (y) n y n n n y n. n Dengan kata lain g y n y n n n y n untuk y 0, akan tetapi g tak terdiferensial di titik 0. 2. Diberikan n N, n ganjil dengan sifat n, dan dua fungsi bernilai real F dan G berturut-turut didefinisikan dengan F x x n, x R dan G y y n, y R Dapat dipahami bahwa G merupakan fungsi invers F. Berdasarkan nomor telah ditemukan G y n y n n n y n untuk y 0 dan G tak terdiferensial di titik 0, akan tetapi terdiferensial di titik-titik lain. 3. Diberikan r m bilangan rasional positif, diberikan I [0, )dan fungsi bernilai real h n didefinisikan dengan h(x) x r, x I. Fungsi h dapat dinyatakan sebagai komposisi fungsifungsi f(x) x m, x I dan g(x) x n, x I. Dapat dimengerti bahwa h(x) (f o g)(x) x I. Dengan mengaplikasikan aturan rantai (Teorema.5) dan berdasrakan hasil nomor atau nomor 2, diperoleh 9 Thobirin Herawan, Analisis Real II

x f g x g x m x n m n xm n x n m n xm n n x n m n x n m n xm n rx r untuk setiap x 0 4. Diberikan fungsi sinus, f x sin x yang dibatasi pada pada domain I π, π. Jelas f naik 2 2 tegas pada I. Pembaca tahu bahwa sin π sin π dan sin π. Selanjutnya diberikan 2 2 2 J [, ], perhatikan bahwa f : I J merupakan fungsi bijektif, akibatnya f mempunyai invers yaitu f x arcsin x. Dengan demikian, jika diberikan I π, π 2 2 y sin x x arcsin y. Dapat dimengerti bahwa fungsi sinus terdiferensial pada I dengan d (sin x) cos x, x I. dx dan J [, ], maka Selanjutnya untuk setiap x π, π nilai cos x 0, maka berdasarkan Teorema.7 diperoleh 2 2 d(arcsin y) dy d(sin x) cos x dx cos 2 x sin 2 x y 2 d(arcsin y) Perlu dicatat bahwa tidak ada di titik dan. dy untuk setiap y (, ) LATIHAN. Gunakan definisi derivatif fungsi untuk mencari derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut a. f x x 3, x R b. g x, x R {0} x c. x x, x 0, d. φ x, x 0, x 2. Buktikan bahwa f x x 3, x R tak terdiferensial di titik x 0 3. Buktikan Teorema. bagian b. 0 Thobirin Herawan, Analisis Real II

4. Diberikan fungsi f : R R didefinisikan dengan f x x2, x rasional 0, x irrasional Buktikan bahwa f terdiferensial di titik x 0 dan tentukan f 0. 5. Menggunakan aturan rantai, tentukan derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut a. f x x +x 2, x R b. g x 5 2x + x 2, x R c. x sin x k m, m, k N d. φ x tan x 2, x < π 2 6. Diberikan n N dan fungsi f : R R didefinisikan dengan f x xn, x 0 0, x < 0 Tentukan nilai n agar f kontinu di titik 0 dan f terdiferensial di titik 0. 7. Andaikan f : R R terdiferensial di titik c R dan f c 0. Buktikan bahwa fungsi g x f(x) terdiferensial di titik c jika dan hanya jika f c 0. 8. Diberikan fungsi g : R R didefinisikan dengan g x x2 sin x 2, x 0 0, x 0 Tunjukkan bahwa g terdiferensial pada R dan tunjukkan bahwa g tak terbatas pada [, ]. 9. Jika r > 0 suatu bilangan rasional, fungsi f : R R didefinisikan dengan Tentukan nilai r agar f ada. f x xr sin x, x 0 0, x 0 Thobirin Herawan, Analisis Real II