PELABELAN HARMONIOUS PADA GRAF TANGGA DAN GRAF KIPAS

PELABELAN HARMONIOUS PADA GRAF TANGGA DAN GRAF KIPAS SKRIPSI Oleh Dony Rusdanto NIM 041810101044 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 011

PELABELAN HARMONIOUS PADA GRAF TANGGA DAN GRAF KIPAS SKRIPSI dajukan guna melengkap tugas akhr dan memenuh salah satu syarat untuk menyelesakan Program Stud Matematka (S1) dan mencapa gelar Sarjana Sans oleh Dony Rusdanto NIM 041810101044 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 011

PERSEMBAHAN Segala puj bag Allah SWT, serta sholawat dan salam kepada junjungan Nab Muhammad SAW. Skrps n saya persembahkan untuk: 1. Ibunda Harnank dan Ayahanda Haryono, atas cnta, kash sayang dan do a yang tulus;. Kakak Hardan Wdodo dan adk Agustna Mandasar, serta str Mesaroh dan putra tercnta Muhammad Arya Pratama yang aku sayang untuk kash sayang dan kebersamaan yang telah memberkan banyak pelajaran berharga; 3. Guru-guru yang sejak taman kanak-kanak sampa dengan perguruan tngg yang telah menddk, memberkan lmu, dan membmbng dengan penuh kesabaran; 4. Almamater Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Jember.

MOTTO Anda bertanggung jawab atas kehdupan anda. Anda tdak bsa terus menerus menyalahkan orang lan untuk kesalahan dalam hdup anda. Hdup n sebenarnya adalah tentang melanjutkan hdup tu sendr. Oprah Wnfrey *) *) Metro TV. Amerka Serkat.

PERNYATAAN Saya yang bertanda tangan d bawah n: nama : Dony Rusdanto NIM : 041810101044 menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skrps yang berjudul Pelabelan harmonous pada graf tangga dan graf kpas adalah benar-benar hasl karya sendr, kecual jka dalam pengutpan substans dsebutkan sumbernya, dan belum pernah dajukan pada nsttus manapun, serta bukan karya jplakan. Saya bertanggungjawab atas keabsahan dan kebenaran snya sesua dengan skap lmah yang harus djunjung tngg. Demkan pernyataan n saya buat dengan sebenarnya, tanpa adanya tekanan dan paksaan dar phak manapun serta mendapat sanks akademk jka ternyata d kemudan har pernyataan n tdak benar. Jember, 14 Oktober 011 Yang menyatakan, Dony Rusdanto NIM 041810101044 v

SKRIPSI PELABELAN HARMONIOUS PADA GRAF TANGGA DAN GRAF KIPAS Oleh Dony Rusdanto NIM 041810101044 Pembmbng Dosen Pembmbng Utama : Krstana Wjaya, S.S, M.S. Dosen Pembmbng Anggota : Bagus Julyanto, S.S. v

PENGESAHAN Skrps berjudul Pelabelan Harmonous pada Graf Tangga dan Graf Kpas telah duj dan dsahkan pada: har, tanggal : tempat : Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Jember Tm Penguj: Ketua, Sekretars, Krstana Wjaya, S.S, M.S. NIP 19740813 00003 004 Anggota I, Bagus Julyanto, S.S. NIP 1980070 0031 1 001 Anggota II, Prof. Drs. I. Made Trta, M.Sc, Ph.D. NIP 195910 198503 1 00 Ika Hest Agustn, S.S NIP 19840801 00801 006 Mengesahkan Dekan, Prof. Drs. Kusno, DEA, Ph.D NIP 19610108 19860 1 001 v

RINGKASAN Pelabelan Harmonous Pada Graf Tangga dan Graf Kpas; Dony Rusdanto, 041810101044; 011: 50 halaman; Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Jember. Pelabelan harmonous pada graf G dengan n ttk dan m ss adalah suatu pemetaan satu-satu (njektf) dar hmpunan ttk V(G) ke hmpunan blangan bulat tak negatf {0,1,,3,,m-1} sehngga setap ssnya mendapat label penjumlahan dar label ttk yang berssan pada ss tersebut dalam blangan modulo (m) yang berbeda semua, yatu: f(e)=f(uv)=[f(u)+f(v)] mod (m), dmana u dan v adalah ttk yang berssan pada ss tersebut. Sebuah graf G dkatakan harmonous jka dapat dlabel menurut aturan pelabelan harmonous. Tujuan penulsan skrps n adalah untuk mengetahu apakah graf tangga dan graf kpas merupakan graf harmonous atau bukan. Jka graf tangga dan graf kpas merupakan graf harmonous, maka bagamanakah perumusan pola ttk dan ssnya. Graf tangga merupakan graf hasl kal kartesus dar graf lntasan P n dan graf lntasan P, yatu P n P. Graf kpas f n merupakan graf yang dbentuk dar graf lntasan P n dan satu ttk yang dsebut ttk pusat yang adjacent dengan semua ttk pada graf lntasan P n. Metode yang dgunakan dalam peneltan n adalah metode deskrptf aksomatk yatu pemaparan defns dalam pelabelan harmonous yang dgunakan untuk menyeldk apakah graf tangga dan graf kpas memungknkan untuk dlabel dengan aturan pelabelan harmonous. Selanjutnya jka graf-graf tersebut memungknkan untuk dlabel dengan aturan pelabelan harmonous, maka akan dlanjutkan dengan metode Tral and Error. Metode Tral and Error yatu mencoba kemungknan yang ada dalam melabel ttk pada graf tangga dan graf kpas dengan v

aturan pelabelan harmonous. Selanjutnya jka dtemukan label yang memenuh aturan pelabelan harmonous, maka dlanjutkan dengan metode pendeteksan pola, dmana metode n dgunakan untuk merumuskan pola pelabelannya. Dperoleh hasl bahwa graf tangga L n untuk n 3 merupakan graf harmonous. Rumusan pola ttk u dan v pada graf tangga L n untuk n ganjl dengan n 3 adalah 1 f(u )= n 1 untuk =1,3,5,,n; f(u )= untuk =,4,6,,n-1; f(v )= 3n n untuk =1,3,5,,n; f(v )= untuk =,4,6,,n-1. Rumusan pola ss a, b dan c pada graf tangga L n untuk n ganjl dengan n 3 adalah f(a )= n 1 3( n mod(3n-) untuk =1,,3,...,n-1; f(b )= 1) mod (3n-) untuk 5n 3 =1,,3,...,n; f(c )= mod (3n-) untuk =1,,3,...,n-1. Rumusan pola ttk u dan v pada graf tangga L n untuk n=4 adalah f(u )={0,5,1,9} dan f(v )={,6,3,4}. Rumusan pola ss a, b dan c pada graf tangga L n untuk n=4 adalah f(a )={5,6,0}, f(a )={,1,4,3} dan f(a )={8,9,7}. Rumusan pola ttk ttk u dan v pada graf tangga L n untuk n genap dengan n 6 untuk =1,,3 adalah f(u )= 5n 6 dan f(v )= n 1 3n 4 untuk =1; f(u )= n 1 dan f(v )= untuk =; f(u )= 5n dan f(v )= 3n 3 untuk =3. Rumusan pola ss a, b dan c pada graf tangga L n untuk n genap dengan 7n 8 n 6 untuk =1,,3 adalah f(a )= 7n 6 f(c )= 7n 4 mod(3n-) untuk =1; f(a )= 9n 8 mod(3n-); f(b )= 5n 4 mod(3n-), f(b )= mod(3n-) dan mod(3n-) dan 9n 10 f(c )= 5n mod(3n-) untuk =; f(a )= 11n mod(3n-), f(b )= 8 mod(3n-) 9n 6 dan f(c )= mod(3n-) untuk =3. Rumusan pola ttk ttk u dan v pada graf tangga L n untuk n genap dengan n 6 untuk =4,5,6,,n adalah f(u )= dan v

f(v )= 3n 4 n untuk =4,6,8,,n; f(u )= 1 dan f(v )= ( n 3) 3n 4 untuk =5,7,9,,n-1. Rumusan pola ss a, b dan c pada graf tangga L n untuk n genap n dengan n 6 untuk =4,5,6,,n adalah f(a )= 3 mod (3n-), f(b )= 3n 8 mod 5n (3n-) dan f(c )= 8 mod (3n-). Demkan juga untuk graf kpas f n, dperoleh hasl bahwa graf kpas f n untuk n adalah graf harmonous. Rumusan pola ttk v pada graf kpas f n untuk n ganjl dengan n 3 adalah f(v )=0 untuk =0; f(v )= n 1 1 untuk =1,3,5,,n dan f(v )= n untuk =,4,6,,n-1. Rumusan pola ss a, dan b pada graf kpas f n untuk n ganjl dengan n 3 adalah n f(a )= n mod (n-1) untuk =1,3,5,,n; f(a )= mod (n-1) untuk =,4,6,,n-1 dan f(b )= 3n 3 mod (n-1) untuk =1,,3,,n-1. Rumusan pola ttk v pada graf kpas f n untuk n genap dengan n adalah f(v )=0 untuk =0, n f(v )= 1 untuk =1,3,5,,n-1 dan f(v )= n untuk =,4,6,,n. Rumusan pola ss a, dan b pada graf kpas f n untuk n ganjl dengan n 3 adalah f(a )= n 1 n mod (n-1) untuk =1,3,5,,n-1; f(a )= mod (n-1) untuk =,4,6,,n dan f(b )= 3n mod (n-1) untuk =1,,3,,n-1. x

PRAKATA Puj syukur kehadrat Allah SWT atas segala rahmat, taufk, dan hdayah-nya sehngga penuls dapat menyelesakan skrps yang berjudul Pelabelan Harmonous pada Graf Tangga dan Graf Kpas. Skrps n dsusun untuk memenuh salah satu syarat menyelesakan penddkan strata satu (S1) pada Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Jember. Penyusunan skrps n tdak lepas dar bantuan berbaga phak. Oleh karena tu, penuls menyampakan terma kash kepada: 1. Krstana Wjaya S.S, M.S., selaku Dosen Pembmbng Utama, Bagus Julyanto, S.S., selaku Dosen Pembmbng Anggota I, Prof. Drs. I. Made Trta, M.Sc Ph.D., selaku Dosen Penguj I, dan Ika Hest Agustn, S.S., selaku Dosen Penguj II yang telah meluangkan waktu, pkran, dan perhatan dalam penulsan skrps n;. Drs. Moh. Hasan, MSc., PhD., selaku Dosen Pembmbng Akademk yang telah membmbng selama penuls menjad mahasswa; 3. Bapak/Ibu Haryono dan Bapak/Ibu Sukarto yang telah memberkan dorongan dan do anya dem terselesakannya skrps n; 4. Istr dan putra tercnta yang tak hent-hentnya memberkan dukungan dan semangatnya; 5. semua phak yang tdak bsa dsebutkan satu persatu yang telah memberkan banyak bantuan dan motvas dalam menyelesakan skrps n. Akhrnya penuls berharap semoga skrps n dapat bermanfaat. Jember, Oktober 011 Penuls x

DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSEMBAHAN... HALAMAN MOTTO... HALAMAN PERNYATAAN... v HALAMAN PEMBIMBINGAN... v HALAMAN PENGESAHAN... v RINGKASAN... v PRAKATA... x DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR TABEL... xv BAB 1. PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang... 1 1. Rumusan Masalah... 1.3 Tujuan... 1.4 Manfaat... BAB TINJAUAN PUSTAKA... 3.1 Defns Dasar dan Termnolog Graf... 3. Operas Hasl Kal Kartesus Dua Graf... 7.3 Kelas-kelas Graf... 7.4 Defns Fungs... 9.5 Artmatka Modulo... 10.6 Pelabelan Harmonous... 10 x

BAB 3 METODE PENELITIAN... 1 3.1 Rancangan Peneltan... 1 3.1.1 Penotasan Ttk dan Ss... 1 3.1. Indkator Peneltan... 14 3. Langkah-langkah Peneltan... 14 BAB 4 PEMBAHASAN... 17 4.1 Pelabelan Harmonous pada Graf Tangga (L n )... 17 4.1.1 Pelabelan Harmonous pada Graf Tangga untuk n Ganjl dengan n 3... 17 4.1. Pelabelan Harmonous pada Graf Tangga untuk n Genap dengan n 4... 3 4. Pelabelan Harmonous pada Graf Kpas (f n )... 34 4..1 Graf Kpas f n untuk n Ganjl dengan n 3... 34 4.. Graf Kpas f n untuk n Genap dengan n... 39 BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN... 46 5.1 Kesmpulan... 46 5. Saran... 49 DAFTAR PUSTAKA x

DAFTAR GAMBAR.1 Graf G dengan 6 ttk dan 6 ss... 3. Ilustras graf dengan loop dan ss ganda... 4.3 Graf berhngga dengan order 7 dan sze 7... 4.4 Graf yang memuat walk, tral, path, tral tertutup dan skel... 5.5 (a) Graf tak terhubung dan (b) Graf terhubung... 6.6 Ilustras graf bagan perentang dan graf bagan... 6.7 Ilustras graf hasl kal kartesus... 7.8 Graf lntasan P 8... 8.9 (a) Graf skel C 5 dan (b) Graf skel C 6... 8.10 Graf kpas f 7... 8.11 Graf tangga L 5... 9.1 Ilustras pelabelan harmonous pada graf dengan 5 ttk... 11 3.1 Graf tangga (L n )... 13 3. Graf kpas f 6... 13 3.3 Flowchart aturan pelabelan harmonous pada graf G dengan n ttk dan e ss... 16 4.1 (a) Graf tangga L 3, (b) Graf tangga L 5, (c) Graf tangga L 7... 18 4. Graf tangga L 4... 4 4.3 (a) Graf tangga L 6, (b) Graf tangga L 8... 4 4.4 Graf tangga L 10... 5 4.5 (a) Graf kpas f 3, (b) Graf kpas f 5 dan (c) Graf kpas f 7... 34 4.6 (a) Graf kpas f, (b) Graf kpas f 4 dan (c) Graf kpas f 6... 40 x

DAFTAR TABEL 3.1 Jumlah ttk dan ss pada graf kpas... 14 3. Label ttk pada graf tangga dan graf kpas... 15 3.3 Label ss pada graf tangga dan graf kpas... 15 4.1 Pola label ttk u pada graf tangga L n untuk n ganjl dengan n 3... 18 4. Pola label ttk v pada graf tangga L n untuk n ganjl dengan n 3... 19 4.3 Label ttk u dan v untuk =1,,3... 5 4.4 Label ttk u dan v untuk =4,5,6,...,n... 5 4.5 Label ttk f(u ) untuk genap dan ganjl dengan 4... 7 4.6 Label ttk f(v ) untuk genap dan ganjl dengan 4... 7 4.7 Pola ttk pada graf kpas f n untuk n ganjl dengan n 3... 35 4.8 Pola ttk v pada graf kpas f n untuk n ganjl dengan n 3... 35 4.9 Pola label ttk pada graf kpas f n untuk n genap dengan n... 40 4.10 Pola label ttk v pada graf kpas f n untuk n genap dengan n... 41 xv