BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i

DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III. Kompleks Sekawan... 3 IV. Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks... 3 V. Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks... 5 VI. Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks... 7 VII. Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks... 9 VIII. Akar Bilangan Kompleks... 11 BAB II. FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN... 13 I. Konsep Konsep Topologi pada Fungsi Kompleks... 13 II. Fungsi Kompleks... 16 III. Komposisi Fungsi... 18 IV. Interpretasi Geometris... 19 V. Limit... 20 VI. Kekontinuan fungsi... 24 BAB III. TURUNAN... 26 I. Definisi Turunan... 26 II. Syarat Chauchy Riemann... 27 III. Syarat C R pada Koordinat Kutub... 30 IV. Aturan Pendiferensial... 31 V. Fungsi Analitik... 31 VI. Titik Singular... 32 VII. Fungsi Harmonik... 33 i

1 BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan + 1 = 0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks. I. BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA Definisi 1.1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: + atau +, dan bilangan real dan = 1. Notasi Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf, sedang huruf dan menyatakan bilangan real. Jika = + menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks biasanya dinyatakan dengan Re() dan Im(). II. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS Definisi 2.1 Bilangan kompleks = + dan bilangan kompleks = + dikatakan sama, =, jika dan hanya jika = dan =. Definisi 2.2 Untuk bilangan kompleks = + dan = + jumlah dan hasil kali mereka berturut-turut didefinisikan sbb: + = ( + ) + ( + ) = ( ) + ( + ) 1

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi C Jadi C = { = +, R, R} Jika Im() = 0 maka bilangan kompleks menjadi bilangan real, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga R C. Jika Re() = 0 dan Im() 0, maka menjadi dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni dengan = 0, yakni bilangan, dinamakan satuan imajiner. Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (C, +, ) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z 1,z 2 dan z 3 adalah sebagai berikut: 1. + C dan C (sifat tertutup) 2. + = + dan = (sifat komutatif) 3. ( + )+ = + ( + ) dan ( ) = ( ) (sifat assosiatif) 4. ( + ) = + (sifat distribtif) 5. Ada 0 = 0 + 0 C, sehingga + 0 = (0 elemen netral penjumlahan) 6. Ada 1 = 1 + 0 C, sehingga 1 = (1elemen netral perkalian) 7. Untuk setiap = + C, ada = C, sehingga + ( ) = 0 8. Untuk setiap = + C, ada = sehingga = 1. dengan, = 1 = 1 + = 1. + = = + + + Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 8 menggunakan definsi yang telah diberikan. 2

Contoh 2.1 1. Jika = + dan = +, buktikan bahwa: = x x + i(y y ) 2. Diketahui: = 2 + 3 dan = 5. Tentukan +,,, dan III. KOMPLEKS SEKAWAN Jika = + bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari ditulis, didefinisikan sebagai = (x, y) = x iy. Contoh 3.1 Sekawan dari 3 + 2 adalah 3 2, dan sekawan dari 5 adalah 5. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : Teorema 3.1 a. Jika bilangan kompleks, maka : 1. = 2. + = 2Re() 3. = 2Im() 4. = [Re()] + [Im()] b. Jika, bilangan kompleks, maka: 1. + = + 2. = 3. = 4. =, dengan 0 IV. INTERPRETASI GEOMETRIS BILANGAN KOMPLEKS Karena = + dapat dinyatakan sebagai = (, ), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (, ). Pemberian nama untuk sumbu diubah menjadi sumbu Real dan sumbu diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) 3

dengan titik (, ), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks (, ) dapat dipandang sebagai vektor = + =. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut. 4

Tugas : Diketahui 1 = 2 + 3 dan = 5. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand),, +,,,, +, V. MODULUS (NILAI MUTLAK) DARI BILANGAN KOMPLEKS Definisi 5.1 Jika = + = (, ) bilangan kompleks, maka modulus dari, ditulis = + = + Arti geometri dari modulus adalah merupakan jarak dari titik (0,0) ke = (, ). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks = + dan = + adalah ( ) + ( ). Selanjutnya apabila = + dan real positif, maka = merupakan lingkaran yang berpusat di titik dengan jari-jari. Bagaimanakah dengan < dan >, Gambarkanlah pada bidang. Teorema 5.1 a. Jika bilangan kompleks, maka berlaku : 1. = Re() + Im() 2. = 3. = 4. Re() Re() 5. Im() Im() b. Jika, bilangan kompleks, maka berlaku : 1. = 2. = 3. + + 4. 5. 5

Tugas : Buktikanlah teorema a di atas dengan memisalkan = +, kemudian berdasarkan hasil a, buktikan juga teorema b! 1. Akan dibuktikan = = ( + ) ( + ) = ( ) + ( + ) = ( ) + ( + ) = + 2 + + 2 = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = Jadi, terbukti = 2. Akan dibuktikan = = + +. = + + = + + + + + + = + + 2 + + 2 ( + ) = ( + ). ( + ) ( + ). ( + ) = ( + ) ( + ) = Jadi, terbukti = 6

3. Akan dibuktikan + + 0 ( ) 0 + 2 2 + + + 2 + + + ( + ) ( + )( + ) 2( + ) 2( + )( + ) + 2 + + + 2 + + + 2( + )( + ) + + ( + ) + ( + ) + + + ( + ) + ( + ) + + + + + Jadi, terbukti + + 4. Akan dibuktikan = + + Jadi, terbukti VI. BENTUK KUTUB (POLAR) DAN EKSPONEN DARI BILANGAN KOMPLEKS Selain dinyatakan dalam bentuk = + = (, ), bilangan kompleks dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu = (, ). 7

Adapun hubungan antara keduanya, (, ) dan (, ) adalah: = cos, = sin sehingga = arc tan adalah sudut antara sumbu positif dengan didapat juga = + = Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks adalah = (, ) = (cos + sin ) = cis dan sekawan dari = (, ) = (cos + sin ) Definisi 6.1 Pada bilangan kompleks = (, ) = (cos + sin ), sudut disebut argument dari, ditulis arg. Sudut dengan 0 < 2 atau < disebut argument utama dari, ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6.2 Dua bilangan kompleks = (cos + sin ) dan = (cos + sin ) dikatakan sama, jika =, dan =. Selain penulisan bilangan kompleks = (, ) = (, ) = (cos + sin ) = cis, maka anda dapat menuliskan dalam rumus Euler (eksponen), yaitu =, dan sekawannya adalah =. Tugas: Buktikan bahwa = cos + sin, dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos, sin dan dengan mengganti =. Contoh 6.1 Nyatakan bilangan kompleks = 1 + dalam bentuk polar dan eksponen! Jawab : = 1 +, = 2, tan = 1, sehingga = 45 = Jadi = 2 cos + sin = 2 cis = 2 8

VII. PANGKAT DAN AKAR DARI BILANGAN KOMPLEKS A. Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah = (cos + sin ). Jika = (cos + sin ) dan = (cos + sin ), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut : = [ (cos + sin )][ (cos + sin )] = [(cos cos sin sin ) + (sin cos + cos sin )] = [cos( + ) + sin( + )] Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg( ) = + = arg + arg Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan dan =? Jika diketahui: = (cos + sin ) = (cos + sin ) = (cos + sin ), untuk asli maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian = [cos( + + + ) + sin( + + + )] Akibatnya jika, = = = = = (cos + sin ) maka = (cos + sin ) (1) Khusus untuk = 1, disebut Dalil De-Moivre (cos + sin ) = cos + sin, dengan asli. B. Pembagian Sedangkan pembagian dan adalah sebagai berikut: = (cos + sin ) (cos + sin ) Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu 9

= (cos sin ), maka diperoleh: = [cos( ) + sin( )] Dari rumus di atas diperoleh: arg = = arg arg Akibat lain jika = (cos + sin ). maka, untuk, 1 = 1 [cos( ) + sin( )] 1 = 1 (cos + sin ) setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka diperoleh: 1. (2) = 1 [cos( ) + sin( )] Dari (1) dan (2) diperoleh: = [cos() + sin()], Dalil De-Moivre berlaku untuk semua bilangan bulat. Contoh 7.1 Hitunglah: 3 Jawab: = 3 = = 3 + 1 = 2 tan = 1 3 Karena di kuadran IV, maka dipilih = 30 Jadi, 3 = 2(cos( 30 ) + sin( 30 )) 3 = 2 (cos( 180 ) + sin( 180 )) = 2 ( 1 + 0) = 2 10

= 1 ( 2) = 1 64 VIII. AKAR BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks adalah akar pangkat dari bilangan kompleks, jika =, dan ditulis =. Jika = (cos + sin ) akar pangkat dari bilangan kompleks = (cos + sin ), maka dari = diperoleh: (cos + sin ) = (cos + sin ), sehingga = dan = + 2, bulat. Akibatnya, = dan = + 2 Jadi, akar pangkat dari bilangan kompleks = (cos + sin ) adalah: = cos bulat dan bilangan asli. + sin Dari persamaan =, ada buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih = 0,1,2,3,, ( 1); 0 Contoh 8.1 Hitunglah ( 81) Jawab : < 2, sehingga diperoleh,,, sebagai akar ke- dari. Misalkan = ( 81), berarti harus dicari penyelesaian persamaan = 81 Tulis = (cos + sin ) dan 81 = 81(cos 180 + sin 180 ) sehingga (cos 4 + sin 4) = 81(cos 180 + sin 180 ) diperoleh = 81, atau = 3 dan. Jadi = 3[cos + sin ] Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir. 11

Latihan Soal Bab I 1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan = (, ) = +. 2. Diketahui = 6 + 5 dan = 8. Tentukan +,,, 3. Jika = 1, buktikan + 2 + 2 = 0. 4. Cari bilangan kompleks yang memenuhi sifat: a. = b. = 5. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks berlaku:. =. = 2Re( ) 6. Hitung jarak antara = 2 + 3 dan = 5. 7. Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjad : a. 5 = 6 dan 5 > 6 b. + = c. 1 < < 3 8. Nyatakan bilangan kompleks = 2 2 dalam bentuk polar dan eksponen. 9. Hitunglah ( 2 + 2). 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari: = 0. 12

2 FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsepkonsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks. I. KONSEP-KONSEP TOPOLOGI PADA FUNGSI KOMPLEKS Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya. 1. Lingkungan/persekitaran a. Persekitaran adalah himpunan semua titik yangterletak di dalam lingkaran yang berpusat di, berjari-jari, > 0. Ditulis (, ) atau <. b. Persekitaran tanpa adalah himpunan semua titik yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di, berjari-jari, > 0. Ditulis ( > 0, ) atau 0 < <. Contoh 1.1 a. (, 1) atau < 1, lihat pada gambar 1 b. (, ) atau 0 < <, lihat pada gambar 2 13

2. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari ditulis, merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di. Contoh 1.2 Gambarkan, = { Im() < 1}, maka = { Im()1}. = { 2 < < 4}, maka = { 2 atau 4}. 3. Titik limit Titik z o disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(z o,) maka N*(z o,) S. Jika z o S dan z o bukan titik limit, maka z o disebut titik terasing. 4. Titik batas Titik z o disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(z o,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S. 5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. 6. Interior dan Eksterior Titik z o disebut interior dari himpunan S jika ada N(z o,) sehingga N(z o,) S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S. 14

8. Himpunan Tertutup Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya. 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S. 10. Daerah domain Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain. 11. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya. 12. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya. Contoh 1.3 1. Diberikan = { < 1}, maka: adalah himpunan terbuka dan terhubung. Batas dari adalah { = 1}. Penutup dari adalah = { 1}. 15

2. Diberikan = { < 1} {(0,1)}, maka: B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup. Titik-titik limit dari adalah { 1}. 3. Diberikan = { 2}, maka: Titik-titik interior adalah { < 2}. II. FUNGSI KOMPLEKS Definisi 2.1 Misalkan himpunan titik pada bidang Z. Fungsi kompleks adalah suatu aturan yang memasangkan setiap titik anggota dengan satu dan hanya satu titik pada bidang W, yaitu (, ). Fungsi tersebut ditulis = (). Himpunan disebut daerah asal (domain) dari, ditulis dan () disebut nilai dari atau peta dari oleh. Range atau daerah hasil (jelajah) dari ditulis, yaitu himpunan () untuk setiap anggota. 16

Contoh 2.1 a) = + 1 b) = 4 + 2 c) = 5 d) () = Contoh a), b), c) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z. Contoh d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z, kecuali =. Jika = +, maka fungsi = () dapat diuraikan menjadi = (, ) + (, ) yang berarti Re() dan Im() masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real dan. Apabila = (cos + sin ), maka = (, ) + (, ). Contoh 2.2 1. Tuliskan () = 2 dalam bentuk dan. Jawab : Misal = +, maka fungsi = () = 2 = 2( + ) = 2( + 2 ) 17

= 2( ) + (2 1). Jadi = 2( ) dan = 2 1. 2. Jika = (cos + sin ). Tentukan () = + Jawab: () = + = [(cos + sin )] + = [cos sin + 2 sin cos ] + = (cos sin ) + sin 2 + = (cos sin ) + ( sin 2 + 1) berarti = (cos sin ) dan = sin 2 + 1 III. KOMPOSISI FUNGSI Diberikan fungsi () dengan domain dan fungsi () dengan domain. Jika, maka ada fungsi komposisi ()() = (()), dengan domain. Jika, maka ada fungsi komposisi ()() = (()), dengan domain. 18

Jadi, tidak berlaku hukum komutatif pada ()() dan ()(). Contoh 3.1 Misal: () = 3 dan () = + 1 + Jika, maka ()() = (()) = (3 ) = (3 ) + (3 ) 1 + = 9 6 1 + 3 1 + = 9 3 2 6 Jika, maka ()() = (()) = ( + 1 + ) = 3 + 3 3 + 3 Karena 9 3 2 6 3 + 3 3 + 3 Jadi, ()() ()() atau (tidak komutatif). IV. INTERPRETASI GEOMETRIS Untuk setiap variabel bebas = + anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas = + yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, pada bidang dan pada bidang. Karena pasangan (, ) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari = (). Caranya dengan memandang fungsi tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang ke titik di bidang dengan aturan. Untuk suatu titik maka () disebut peta dari. Contoh 4.1 Diketahui fungsi = 2 1 +. Untuk setiap variabel bebas = + didapat nilai = (2 1) + (2 + 1). Misalnya untuk = 1 +, dan = 2 3, berturut-turut diperoleh: = 1 + 3, dan = 3 5. Gambar dari,,, dan dapat dilihat di bawah ini: 19

Contoh 4.2 Diketahui fungsi =. Dengan menggunakan = (cos + sin ), maka diperoleh = = (cos 2 + sin 2). Jika sebuah lingkaran pusat berjari-jari pada bidang, maka dapat dipetakan ke bidang menjadi sebuah lingkaran pusat berjari-jari. Daerah 0 arg dipetakan menjadi daerah 0 arg 2. Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini. V. LIMIT Diketahui daerah pada bidang dan titik terletak di dalam atau pada batas. Misalkan fungsi = () terdefinisi pada, kecuali di. 20

Apabila titik bergerak mendekati titik melalui setiap lengkungan sebarang dan mengakibatkan nilai () bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitu pada bidang, maka dikatakan limit () adalah untuk mendekati, ditulis: lim () =. Definisi 5.1 Misalkan fungsi = () terdefinisi pada daerah, kecuali di (titik di dalam atau pada batas ). limit () adalah untuk mendekati, jika untuk setiap > 0, terdapat > 0 sedemikian hingga () <, apabila 0 < <, ditulis: lim () = Perlu diperhatikan bahwa : 1. Titik adalah titik limit domain fungsi. 2. Titik menuju melalui sebarang lengkungan, artinya menuju dari segala arah. 3. Apabila menuju melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan () menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi tersebut tidak ada untuk mendekati. Contoh 5.1 Buktikan bahwa: lim Bukti: = 5 Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari > 0 sedemikian, sehingga: 21

0 < < Lihat bagian sebelah kanan Dari persamaan kanan diperoleh: 2 3 2 2 5 <, untuk 2. (2 + 1)( 2) 5 < 5 < 2 (2 + 1 5)( 2) < 2 2( 2) < 2 < 2 Hal ini menunjukkan bahwa = telah diperoleh. Bukti Formal : Jika diberikan > 0, maka terdapat =, sehingga untuk 2, diperoleh: 0 < 2 < 2 3 2 2 Jadi, Terbukti, lim Teorema Limit : Teorema 5.1 5 (2 + 1)( 2) = 5 2 = 2( 2) < 2 = 5 < apabila 0 < 2 < = = 5 Jika fungsi f mempunyai limit untuk menuju, maka nilai limitnya tunggal. Bukti: Misal limitnya dan, maka () = () = 2 () = 2 () + () () + () = 2 + 2 = 22

Sehingga, Jadi, = Teorema 5.2 Misalkan = (, ) = + dan () = (, ) + (, ) dengan domain. Titik = (, ) = + di dalam atau batas. Maka, lim () = + jika dan hanya jika lim (, ) = dan lim (, ) = Teorema 5.3 Misalkan fungsi dan limitnya ada. lim () = dan lim () =, maka 1. lim(() + ()) = + (untuk ) 2. lim((). ()) =. (untuk ) 3. lim( () () ) = (untuk ) Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut! Contoh 5.2 Hitunglah lim Jawab: + 1 ( + )( ) lim = lim = lim ( + ) = 2 Contoh 5.3 Jika () = Bukti : +. Buktikan lim () tidak ada! Kita tunjukkan bahwa untuk menuju 0 di sepanjang garis = 0, maka lim () = lim () = lim (,) (,) = 0 (1) Sedangkan di sepanjang garis =, 23

VI. lim () = lim () = lim 1 + (,) (,) Dari (1) dan (2), terbukti lim () tidak ada. KEKONTINUAN FUNGSI Definisi 6.1 = 1 (1) + 1 Misalkan fungsi () terdefinisi di pada bidang dan titik terletak pada interior, fungsi () dikatakan kontinu di jika untuk menuju, maka lim() = ( ). Jadi, ada tiga syarat fungsi () kontinu di z o, yaitu : 1. ( ) ada 2. lim () ada 3. lim () = ( ) Fungsi () dikatakan kontinu pada suatu daerah, jika () kontinu pada setiap titik pada daerah tersebut. Teorema 6.1 Jika () = (, ) + (, ), () terdefinisi di setiap titik pada daerah, dan = + titik di dalam, maka fungsi () kontinu di jika dan hanya jika (, ) dan (, ) masing-masing kontinu di (, ). Teorema 6.2 Andaikan () dan () kontinu di, maka masing-masing fungsi : 1. ( ) + () 2. (). () 3. () (), () 0 4. (()); kontinu di ( ), kontinu di. Contoh 6.1 Fungsi () =, 2, apakah kontinu di 2? 3 + 4, = 2 24

Jawab : (2) = 3 + 4(2) = 3 + 4, sedangkan untuk mendekati 2, lim () = + 2, sehingga, lim () (2) jadi () diskontinu di = 2. Contoh 6.2 Dimanakah fungsi () = Jawab : kontinu? Coba anda periksa bahwa () diskontinu di = 1 dan = 2. Jadi () kontinu di daerah > 2. 25

3 TURUNAN I. DEFINISI TURUNAN Diberikan fungsi yang didefinisikan pada daerah dan. Jika diketahui bahwa nilai lim ()( ) turunan atau derivatif fungsi di titik. Dinotasikan : ( ). ada, maka nilai limit ini dinamakan Jika ( ) ada, maka dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di. Dengan kata lain : ( ) = lim = lim ( )( ) Jika terdifferensial di semua titik pada, maka terdifferensial pada Contoh 1.1 Buktikan () = terdifferensiasi diseluruh C Bukti : Ditinjau sebarang titik C. ( ) = lim = lim ( + )( ) = 2 Karena sebarang maka () = terdefferensial di seluruh C. Teorema 1.1 Jika fungsi kompleks dan ( ) ada, maka kontinu di Bukti : Diketahui ( ) ada Akan dibuktikan kontinu di atau lim () = ( ) 26

lim () ( ) = lim ()( ). ( ) () ( ) = lim. lim ( ) = (). 0 = 0 Sehingga, lim () =, lim ( ) = ( ) dengan kata lain kontinu di. Contoh 1.2 Buktikan () = kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hanya terdifferensial di = 0 Bukti : () = = + berarti (, ) = + dan (, ) = 0 dan kontinu di, maka () kontinu di. (0) = lim () (0) 0 = lim = lim = 0 Jadi () terdifferensial di = 0. II. SYARAT CHAUCHY-RIEMANN Syarat yang diperlukan agar fungsi terdiferensial di = + adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari. Teorema 2.1 (SYARAT CHAUCHY-RIEMANN) Jika () = (, ) + (, ) terdifferensial di = +, maka (, ) dan (, ) mempunyai derivatif parsial pertama di (, ) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy Riemann. = = 27

derivatif di dapat dinyatakan dengan ( ) = (, ) + (, ) Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di (, ) maka () = (, ) + (, ) tidak terdifferensial di = + Contoh 2.1 Buktikan () = tidak terdifferensiasi di 0 Bukti : () = + sehingga (, ) = + dan (, ) = 0 Persamaan Cauchy Riemann: 0. = 2 dan = 2 = 0 dan = 0 = 2 = 0 (1) = 2 = 0 (2) (1) dan (2) tidak dipenuhi jika 0 atau 0, jadi pasti f tidak terdeferensial di CATATAN : Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan. Contoh 2.2 Buktikan fungsi () = () () dan (0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R. Bukti : = dengan (0,0) = 0 = dengan (0,0) = 0 (, 0) (0,0) (0,0) = lim = 1 28

(, 0) (0,0) (0,0) = lim = 1 (, 0) (0,0) (0,0) = lim = 1 (, 0) (0,0) (0,0) = lim = 1 Jadi persamaan Cauchy Riemann terpenuhi. Tetapi, () (0) (1 + ) (1 ) lim = lim ( + )( + ) Untuk 0 sepanjang garis real = 0 lim () Untuk 0 sepanjang garis real = lim Jadi, lim ()() tidak ada. = 1 + = () Sehingga tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0). Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i) Syarat perlu () = (, ) + (, ), = + () ada maka,,, ada di (, ) berlaku C-R yaitu : = dan = dan ( ) = (, ) + (, ). ii) Syarat cukup (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) kontinu pada kitar = + dan di (, )dipenuhi C-R maka ( ) ada Contoh 2.3 Buktikan () = (cos + sin ) terdiferensial untuk setiap dalam C. Bukti : 29

(, ) = cos (, ) = cos (, ) = sin (, ) = sin (, ) = sin (, ) = cos ada dan kontinu di setiap (x,y) C Berdasarkan persamaan C-R : = dan = dipenuhi di (, )C, dan ada kitar dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (, ). Jadi () ada C. Dan () = (, ) + (, ) = cos + sin III. SYARAT C-R PADA KOORDINAT KUTUB Jika () = (, ) + (, ) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan = cos dan = sin, diperoleh = cos + sin, sehingga () = (, ) + (, ) dalam sistem koordinat kutub. Teorema 3.1 Jika () = (, ) + (, ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (, ) dan jika dalam kitar tersebut,,, ada dan kontinu di (, ) dan dipenuhi C-R yaitu: = 1 dan 1 =, 0 maka () = ada di = dan () = (cos sin ) [ (, ) + (, )] Contoh 3.1 Diketahui () =, tentukan () dalam bentuk kootdinat kutub. Jawab : () = = (cos 3 sin 3), maka : = cos 3, sehingga = 3 cos 3 dan = sin 3 = sin 3, sehingga = 3 sin 3 dan = cos 3 30

keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua 0 Jadi () = terdiferensial untuk 0 Dengan demikian () dalam koordinat kutub adalah : () = (cos sin ) ( 3 cos 3 + 3 sin 3) = cis ( ) ( 3 ) cis( 3) = 3 ( 4) IV. ATURAN PENDIFERENSIALAN Jika (), () dan h() adalah fungsi- fungsi kompleks serta (), () dan h () ada, maka berlaku rumus-rumus: 1. () = 0, = 1 2. [()] 3. 4. 5. = () [() ± ()] = () ± () [()()] = ()() + () () () = ()()() () () [()] 6. = 7. Jika h() = [()] h () = [()] () biasa disebut dengan komposisi (aturan rantai) =. V. FUNGSI ANALITIK Definisi 5.1 Fungsi analitik di, jika ada > 0 sedemikian, hingga () ada untuk setiap (, ) (persekitaran ) Fungsi analitik untuk setiap C dinamakan fungsi utuh 31

Contoh 5.1 1. () = 2. () = + diperoleh : = ; = sehingga = 3 ; = 0 ; = 0; = 3 dengan menggunakan persamaan C-R : 3 = 3 = ± dan = = 0 persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris = ± berarti () ada hanya di = ± Jadi () tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar. Misalnya dan analitik pada, maka : ± merupakan fungsi analitik merupakan fungsi analitik / merupakan fungsi analitik dengan 0 h = merupakan fungsi analitik berlaku aturan L hospital yaitu : () lim () = (), dengan () 0 dan () 0 () VI. TITIK SINGULAR Definisi 6.1 Titik disebut titik singular dari jika tidak analitik di tetapi untuk setiap kitar dari memuat paling sedikit satu titik dimana analitik. Jenis kesingularan () atau titik singular antara lain : 1. Titik singular terisolasi Titik dinamakan titik singular terisolasi dari () jika terdapat > 0 demikian sehingga lingkaran = hanya melingkari titik singular lainnya. Jika seperti itu tidak ada, maka = disebut titik singular tidak terisolasi. 2. Titik Pole (titik kutub) 32

Titik = disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim ( ) () = 0 Jika = 1, disebut sebagai titik pole sederhana. 3. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika lim () ada. 5. Titik Singular Essensial Titik singular = yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial. 6. Titik Singular tak hingga Jika () mempunyai titik singular di =, maka sama dengan menyatakan ( ) mempunyai titik singular di = 0. Contoh 6.1 () = () berarti titik = adalah titik pole tingkat 2 dari () () = tidak merupakan titik singular () = ln( + 2) maka titik cabang adalah = 1 dan = 2 karena ( + 2) = ( 1)( + 2) = 0 VII. FUNGSI HARMONIK () = (, ) + (, ) analitik pada maka dan mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada. Jadi dalam berlaku C-R, = dan =. Karena derifatif-derivatif parsial dari dan kontinue dalam, maka berlaku =. Jika dalam = dan = diderivatifkan parsial terhadap dan maka (, ) berlaku = = 0 dan = = 0. 33

Jika analitik pada maka dan pada memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi. + = 0 dan dimana () = (, ) + (, ) analitik pada suatu domain maka () harmonik pada domain tersebut. Dua fungsi dan sedemikian sehingga () = (, ) + (, ) analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu. Contoh 7.1 Diberikan (, ) harmonik pada dan tentukan fungsi yang harmonik konjugat dengan = 4 12, (, ) C Jawab : Misal diklaim konjugatnya adalah (, ) jadi () = (, ) + (, ) analitik pada C sedemikian sehingga berlaku C-R = dan = = 4 12 = 4 12 = 12 4 = 6 + () karena = maka 12 + () = 12 + 4 sehingga () = 4 diperoleh () = + C Jadi = 6 + + CARA MILNE THOMSON Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik diberikan (, ) harmonik pada andaikan (, ) sehingga () = (, ) + (, ) analitik pada () = (, ) + (, ) sesuai persamaan C-R : () = (, ) (, ) = + 2 = + dan dan = sehingga diperoleh = 2 34

+ () =, 2 2 + 2, 2 Suatu identitas dalam dan, jika diambil = maka () = (, 0) (, 0). Jadi () adalah fungsi yang derivatifnya (, 0) (, 0) kemudian didapat (, ) Contoh 7.1 Dari Contoh 1 dengan = 4 4, (, ) C, jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson. Jawab : = 4 12 = 12 4 () = (, 0) (, 0) = ( 4 ) = 4 sehingga () = + () = ( + ) + = 4 4 + ( 6 + ) + 35

DAFTAR PUSTAKA Ruel V. Churchill. 1984. Complex variables and applications. New York : McGraw- Hill. Marsden, Jerrold. E. 1999. Basic Complex Analysis. New York: California State University. 36