BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti peluang,peubah acak, bayes, likelihood, dan distribusi weibull. 2.1. Peluang Definisi 1 Eksperimen-eksperimen yang memiliki karakteristik tersebut, selanjutnya disebut eksperimen acak. Kemudian, himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen acak disebut ruang sampel (sample space) dan diberi lambang S. (Djauhari, 1990: 3) Contoh 1: Misalkan kita melakukan eksperimen, melantunkan sebuah dadu, dan setelah jatuh ke tanah, kita amati bagian atasnya. Hasilnya yang mungkin dari eksperimen ini bisa muncul 1,2,3,4,5,ataupun 6. Jika dianggap bahwa eksperimen tersebut dapat dilakukan berulangulang pada kondisi yang sama, maka eksperimen tersebut merupakan eksperimen acak. Ruang sampelnya S = {1,2,3,4,5,6}.
Definisi 2 Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. (Walpole, 1986 : 4) Contoh 2: Misalkan A = {t 0 t < 5} himpunan bagian ruang sampel S = {t t 0}, t menyatakan umur (dalam tahun) suatu komponen mesin tertentu dan A menyatakan kejadian bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun ke lima. Definisi 3 Koleksi himpunan A lapangan. yang tertutup terhadap komplemen dan irisan hingga disebut (Djauhari, 1990: 16) Definisi 4 Koleksi himpunan A lapangan sigma. yang tertutup terhadap komplemen dan irisan terbilang disebut (Djauhari, 1990: 16) Definisi 5 Misalkan S ruang sampel dari suatu eksperimen acak dan A suatu lapangan sigma yang terdiri atas himpunan bagian dari S. Peluang adalah fungsi P dari A pada [0, 1] yang bersifat: i. P(A) 0 untuk setiap A di A ii. P(S) = 1 iii., untuk setiap di A dimana bila i j. (Djauhari, 1990: 17)
Teorema 1 Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah Keterangan: P(A) = peluang kejadian A n(a) = banyaknya harapan muncul A N = banyaknya kejadian (Walpole, 1986: 17) 2.2. Peubah Acak Definisi 6 Diketahui S adalah ruang sampel. Fungsi X dari S ke R dinamakan peubah acak. Jelajah (range) dari X yakni = {x x = X(c), c di S}dinamakan ruang peubah acak X atau ruang dari X. (Djauhari, 1990: 28) 2.2.1 Fungsi Kepadatan Peluang (f.k.p) F.k.p. dari Peubah Acak Diskrit Definisi 7 Misalkan A ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi A terbilang. Fungsi f dari A ke dalam R yang bersifat: i. f(x) 0, untuk setiap x di A
ii. = 1 dinamakan fungsi kepadatan peluang (f.k.p.) dari peubah acak diskrit X. Jika peubah acak X diskrit dengan f.k.p f(x), maka peluang suatu A diberikan oleh: P(X = x) = f(x) (Djauhari, 1990: 41) Definisi 8 Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh F(x) = P(X x) = (Walpole, 1986: 38) 2.2.2 F.k.p. dari Peubah Acak Kontinu Definisi 9 Misalkan A ruang peubah acak kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi: i. f(x) 0, untuk setiap x ii. dinamakan f.k.p. dari peubah acak kontinu X. Jika peubah acak kontinu X memiliki f.k.p. f(x) = 0 maka peluang suatu peristiwa A diberikan oleh P(A) = (Djauhari, 1990: 42) Definisi 10 Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh
F(x) = P(X x) = (Walpole, 1986: 44) 2.3 Ekspektasi Matematik Definisi 11 Misalkan u(x) suatu fungsi dari X. Besaran (jika ada), dinamakan ekspektasi matematik atau nilai harapan dari u(x). (Djauhari, 1990: 66) 2.4 Pendekatan Bayes Untuk Menentukan Estimator Bila dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada informasi sampel, dalam pendekatan Bayes di samping informasi sampel juga diperlukan informasi tentang parameter. Definisi 12 Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini dipandang sebagai distribusi peluang pada ruang parameter yang disebut distribusi prior. (Soejoeti, 1988: 129)
Definisi 13 Distribusi bersyarat θ jika diberikan observasi sampel X disebut distribusi posterior θ dari diberikan X dan dinyatakan dengan ( ). (Soejoeti, 1988) Dalam menentukan distribusi posterior, khususnya untuk kasus kontinu kadang diperlukan perhitungan integral yang tidak mudah, yaitu apabila fungsi matematikanya tidak sederhana, salah satu cara mengatasi kesulitan ini adalah dengan menggunakan distribusi prior sekawan. Definisi 14 Misalkan F adalah klas dari distribusi peluang dengan fkp f(x ; θ). Klas P dari distribusi prior disebut distribusi keluarga sekawan untuk F jika distribusi posterior berada dalam P untuk semua f F, semua prior dalam P dan semua x X. Tiga sifat yang merupakan sifat yang disenangi bagi keluarga prior sekawan adalah : 1. Secara matematik dapat ditelusuri, yaitu cukup mudah untuk menentukan distribusi posterior dari distribusi prior dan fungsi likelihood yang dipunyai, menghasilkan distribusi posterior yang juga anggota sekawan yang sama, sehingga tidak sulit menggunakan teorema Bayes berturut-turut, serta mudah dihitung nilai harapannya. 2. Keluasannya, yaitu keluarga distribusi sekawan meliputi distribusi dengan parameter-parameter yang berbeda, sehingga mewakili berbagai macam informasi prior yang berbeda. 3. Mudah diinterpretasikan, yaitu keluarga distribusi sekawan dapatdengan mudah diinterpretasikan oleh orang yang mempunyai informasi prior tersebut. (Soejoeti, 1988: 4.7)
Definisi 15 Misalkan, sampel random dari fungsi probabilitas f(x;θ). Statistik, dikatakan cukup (sufien) untuk θ apabila untuk semua θ dan semua hasil yang mungkin, fungsi probabilitas, jika diketahui w tidak tergantung pada θ, baik dalam fungsi itu sendiri atau dalam wilayah fungsi itu. Untuk menentukan statistik cukup biasanya tidak menggunakan definisi 15, tetapi lebih mudah mengerjakannya dengan kriteria Fisher-Neyman. (Soejoeti, 1990) Teorema 2 (Kriteria Fisher-Neyman) Misalkan, sampel random dari fungsi probabilitas f(x;θ). Statistik, dikatakan cukup untuk θ jika dan hanya jika fungsi probabilitas bersama, terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas W dan suatu fungsi lain yang hanya tergantung pada θ. Yakni W cukup jika dan hanya jika (Soejoeti, 1990) Teorema 3 Jika T adalah statistik cukup untuk θ dengan fungsi kepadatan peluang g(t;θ) maka (θ x) = (θ t) =, dengan distribusi prior untuk dan m(t) fungsi probabilitas marginal untuk t. (Berger, 1980: 93) 2.5 Konsep Dasar Distribusi Waktu Hidup Fungsi-fungsi pada distribusi waktu hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat pertama kali masuk ke dalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya
interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit atau sampai terjangkitnya suatu penyakit. Variabel random non negatif waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf T, dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh tiga fungsi berikut. 2.6 Fungsi Densitas Peluang (f.d.p.) f(t) Fungsi densitas peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu pada suatu interval yang kecil (t, t + t) persatuan waktu. Fungsi densitas peluang (f.d.p) dinyatakan dengan f(t).... (2.1) Fungsi distribusi kumulatif pada waktu t untuk suatu individu adalah probabilitas bahwa suatu individu mengalami kegagalan sebelum waktu t atau pada interval waktu [0, ]. (2.2) 2.7 Fungsi Survivor S(t) Fungsi survivor adalah peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari waktu t dengan t > 0. Fungsi survivor dinyatakan dengan S(t). (2.3) Mengacu pada ilustrasi di depan: S(t) = P[individu hidup lebih lama dari waktu t]
Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-komponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi reliabilitas. S(t) merupakan fungsi kontinu menurun secara kontinu dengan S(0) = 1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan S( ) = lim S(t) = 0, artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0. 2.8 Fungsi Hazard h(t) Fungsi hazard adalah suatu fungsi yang menunjukkan tingkat kegagalan atau resiko dalam interval (t, t + Dt) dan diketahui bahwa individu tersebut telah bertahan hidup selama waktu t. Fungsi hazard dinyatakan dengan: fungsi hazard dapat pula dinyatakan oleh dua buah fungsi yaitu fungsi survivor dan fungsi densitas peluang (2.4) Teorema 4 Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T f.d.p serta S(t) merupakan fungsi survivor, maka 0, dan f(t) merupakan
Bukti: Dari (2.2) dan (2.3) maka sehingga, Teorema 5 Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T fungsi survivor dan h(r) menyatakan fungsi hazard maka 0 dan S(t) merupakan Bukti. Berdasarkan teorema 4 diketahui bahwa. dan persamaan (2.4) dengan menggunakan salah satu sifat S(t) bahwa S(0) = 1, maka Jadi
Akibat Teorema 5 Berdasarkan teorema 4 dan teorema 5, f(t) dapat dinyatakan dalam h(t) sebagai Bukti: Keterangan: f(t) = fungsi densitas peluang F(t) = fungsi distribusi kumulatif peluang h(t) = fungsi kegagalan (Hazard) S(t) = fungsi kehandalan (Survivor) t = waktu Dari teorema 4 dan teorema 5 serta akibat dari teorema 5 di atas, dapat dilihat bahwa ketiga fungsi pada distribusi waktu hidup yaitu f(t), S(t), dan h(t) saling berhubungan satu dengan yang lainnya. 2.9 Sampel Lengkap Dalam uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji. (Lawless, 1982: 231)
2.10 Distribusi Weibull Definisi 16 F.k.p untuk waktu kegagalan T berdistribusi Weibull dengan parameter θ dinyatakan sebagai (Sinha, 1979: 136) Penerapan distribusi Weibull pada analisis uji hidup antara lain dilakukan oleh Kao (1959) dengan menerapkan distribusi Weibull dalam uji hidup tabung elektron, kemudian Leiblain dan Zeln (1956) melakukan penelitian penerapan distribusi ini dalam bidang rekayasa (Zanzawi, 1996:7). Selanjutnya banyak peneliti yang mengembangkannya antara lain Thomas dan Wilson (1972).(Lawless, 1982:145), Pandey dan Malik (1989). 2.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood Menurut William W. Hines dan Douglas C. Montgomery (1990: 268), sebuah metode yang paling baik untuk memperoleh sebuah estimator yang tunggal adalah metode maksimum likelihood. Karena secara konsep prosedur metode maksimum likelihood sangat sederhana dan metode ini lebih umum digunakan untuk mengestimasi parameterparameter distribusi waktu hidup. Definisi 17 Misalkan x variabel random dengan p.d.f f(x;θ), dimana parameter θ tidak diketahui. Misalkan, menjadi nilai yang diobservasi di dalam suatu sampel random yang besarnya n. Maka fungsi likelihood sampel tersebut adalah L(θ) = f( ;θ). f( ;θ).. f( ;θ) (Hines, 1990: 268)
merupakan nilai maksimum likelihood estimator atau dengan kata lain maksimum likelihood adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood lebih cocok apabila dikerjakan dengan menggunakan natural logaritma dan dinotasikan dengan ln L(θ). 2.12 Fungsi Gamma Definisi 18 Fungsi gamma dengan notasi Γ (n) didefinisikan sebagai berikut: Γ Ekspansikan hanya berlaku untuk n>0, dan integral adalah konvergen. Fungsi gamma banyak membantu dalam memecahkan persoalan-persoalan integral. Teorema 6 Γ Bukti: Γ Γ Γ Γ
2.13 Fungsi Beta Definisi 19 Fungsi beta dengan notasi B(m,n) didefinisikan sebagai: dimana m>0 dan n>0 Fungsi beta banyak membantu dalam memecahkan persoalan-persoalan integral. Teorema 7 Hubungan fungsi gamma dengan fungsi beta. Bukti: Misalkan : θ θ sinθ dθ Untuk