PERANGKAT LUNAK BANTU ANALISIS NUMERIK METODE DETERMINAN CRAMER, ELIMINASI GAUSS DAN LELARAN GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tacbir Hendro Pudjiantoro A B S T R A K Salah satu permasalahan dalam operasi perhitungan matematik adalah proses perhitungan untuk menentukan nilai variabel dari suatu sistem persamaan linear yang mempunyai n variabel. Solusi dari permasalahan tersebut cukup sulit apabila diselesaikan dengan metode analitik. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka penyelesaian dari persoalan tersebut dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah suatu teknik yang digunakana untuk memformulasikan masalah matematik agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetika, dan dalam setiap tahapan komputasinya melibatkan sistem komputer karena operasi hitungannya cukup banyak, rumit dan berulang-ulang. Pencarian nilai-nilai variabel sistem persamaan linear yang dalam hal ini memiliki jumlah variabel maksimal enam dapat diselesaikan dengan menggunakan tiga metode, yakni : Metode Determinan Cramer, Metode Eliminasi Gauss, Metode Lelaran Gauss-Seidel. Kata Kunci : Metoda Numerik, matematik, arirmatik, Metode Determinan Cramer, Metode Eliminasi Gauss, Metode Lelaran Gauss-Seidel. PENDAHULUAN Bahasan yang angkat dalam jurnal ini adalah : 1. Menentukan nilai variabel-variabel yang ada dalam sistem persamaan linear, 2. Variabel dari sistem persamaan linear yang akan dicari hasilnya maksimal enam, 3. Nilai-nilai data a n1, a n2, a n3, a n4, a n5, a n6 yang dapat dimasukkan berupa bilangan real. 4. Teknik yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu dengan menggunakan 3 metode, yakni : Metode Determinan Cramer, Metode Eliminasi Gauss, dan Metode Lelaran Gauss-Seidel, 5. Proses perbandingan yang dilakukan hanya pada waktu eksekusi, jumlah perulangan, ketelitian penghitungan. Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Mempelajari bentuk sistem persamaan linear. 2. Melakukan perbandingan Metode Determinan Cramer, Metode Eliminasi Gauss, dan Metode Lelaran Gauss- Seidel dalam menyelesaikan sistem persamaan linear terhadap waktu eksekusi yang dihabiskan oleh masingmasing metode dan juga jumlah perulangan masing-masing metode serta kekonvergenan atau tidaknya suatu metode yang digunakan. 3. Membangun suatu perangkat lunak Perangkat Lunak Bantu Analisis Numerik (Tacbir H. Pudjiantoro) 1
yang dapat menyelesaikan persoalan dalam solusi sistem persamaan linear dengan menggunakan 3 metode, agar solusi yang diperoleh lebih cepat dan tepat dengan bantuan komputer. 1. Gambaran Umum Sistem Persamaan Linear Persamaan linear simultan dalam masalah rekayasa hampir merupakan bagian yang tidak terpisahkan dari cara analisis atau hitungan rumusan model matematika permasalahan. Diperkirakan 70% penyelesaian rumusan matematika dalam soal rekayasa mengambil bentuk persamaan linear. Kasus yang terpenting adalah jika jumlah besaran atau variabel yang dicari sama jumlahnya dengan jumlah persamaan atau yang lazim disebut persamaan linear yang simultan [NAS01]. Sistem persamaan linear (SPL) dengan n perubah dinyatakan sebagai [MUN03]: (P.2.1) Dengan menggunakan perkalian matriks, kita dapat menulis (P.2.1) sebagai persamaan matriks Ax = b (P.2.2) yang dalam hal ini, A = [a ij ] adalah matriks berukuran n x n x = [x j ] adalah matriks berukuran n x 1 b = [b j ] adalah matriks berukuran n x 1 (disebut juga vektor kolom) yaitu : Solusinya adalah himpunan nilai x 1, x 2,..., x n yang memenuhi n buah persamaan. 2. Teknik Pemecahan Masalah Sistem Persamaan Linear Terdapat tiga metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Cara pertama disebut metode determinan, cara kedua melalui proses eliminasi, dan yang ketiga disebut cara lelaran. Diantaranya adalah : Metode Determinan Cramer, Metode Eliminasi Gauss, serta Metode Lelaran Gauss-Seidel. 2.1. Metode Determinan Cramer Secara umum, aturan Cramer dalam penyelesaian sistem persamaan linear adalah dengan menetapkan determinan dari variabel : A dan kemudian penentuan variabel x i dilakukan dari pembagian A i dengan A dimana A i didapat dengan menukarkan unsur matriks [A] kolom ke-i dengan vektor [b]. Misalkan : pada sistem persamaan linear yang memiliki tiga variabel : ARISTOTELES VOL. 4 NO. 2, APRIL 2007 : 1 11 2
Algoritma dan Flowchart Metode Eliminasi Gauss ` 2.2. Metode Eliminasi Gauss Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas seperti sistem persamaan berikut ini : Perangkat Lunak Bantu Analisis Numerik (Tacbir H. Pudjiantoro) 3
Algoritma dan Flowchart Metode Eliminasi Gauss maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution): dan seterusnya Sekali x n, x n-1, x n-2,..., x k+1 diketahui, maka nilai x i dapat dihitung dengan[mun03] x b i i n a ij j i 1 x n 1, n 2,..., i 1 dan a 0 a ii j, (P.21) Kondisi a ii 0 sangat penting, sebab bila a ii = 0, persamaan (P.2.1) mengerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka sistem persamaan linear tidak mempunyai jawaban. ARISTOTELES VOL. 4 NO. 2, APRIL 2007 : 1 11 4
2.4. Metode Lelaran Gauss-Seidel Jika metode eliminasi Gauss dan variasivariasinya serta metode dekomposisi LU dinamakan metode langsung (direct) karena solusi sistem persamaan linear diperoleh tanpa lelaran maka metode lelaran dinamakan metode tidak langsung (indirect) atau metode iteratif. Perangkat Lunak Bantu Analisis Numerik (Tacbir H. Pudjiantoro) 5
Algoritma dan Flowchart Metode Lelaran Gauss-Seidel HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 3.1. Analisis Kebutuhan Berdasarkan domain masalah, fungsifungsi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode: Eliminasi Gauss Memasukkan nilai matriks [A] dan [b] Membentuk matriks gabungan [G] Mengeliminasi matriks [G] sehingga menjadi matriks segitiga atas o Melakukan pertukaran baris o Mengalikan persamaan dengan konstanta bukan nol o Mengganti persamaan dengan penjumlahannya dengan gandaan persamaan lain Lakukan substitusi mundur Determinan Cramer Memasukkan nilai matriks [A] dan [b] Menghitung determinan matriks [A] o Melakukan dekomposisi matriks [A] Mengeliminasi matriks [A] sehingga menjadi matriks segitiga atas o Mengalikan suku-suku diagonal matriks [A] Membentuk matriks [A i ] (i = 1 sampai jumlah persamaan) ARISTOTELES VOL. 4 NO. 2, APRIL 2007 : 1 11 6
o Menggantikan matriks [A] kolom ke-i dengan matriks [b] Menghitung determinan matriks [A i ] Menghitung X i dengan membagi determinan matriks [A i ] dengan determinan matriks [A] Lelaran Gauss-Seidel a. Memasukkan nilai matriks [A] dan [b] b. Menetapkan nilai awal untuk masingmasing variabel yang dicari (X 0 i ) 1 c. Menghitung harga X i 1 d. Memeriksa apakah X i sudah memenuhi pendekatan galat relative 0 1 e. Menggantikan nilai X i dengan X i f. Mengulangi langkah (c), (d), (e) sampai memenuhi pendekatan galat relative. 3.2. Pemodelan Analisis Context Diagram DFD Level 1 Gambar 1. Context Diagram Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Gambar 2. DFD Level 1 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Perangkat Lunak Bantu Analisis Numerik (Tacbir H. Pudjiantoro) 7
3.3. Perancangan Sistem Setelah melakukan tahap analisa sistem, maka tahap selanjutnya yang dilakukan yaitu tahap perancangan (desain) sistem. Desain digambarkan sebagai proses multilangkah di mana representasi struktur data, struktur program, karakteristik interface, dan detail prosedur, disintesis dari persyaratan informasi. 3.3.1. Perancangan Antarmuka Perancangan antarmuka (interface design) dimaksudkan untuk memperlihatkan bagaimanakah bentuk dari perangkat lunak yang akan dibangun nantinya berdasarkan struktur sistem yang telah dibuat. Perancangan antarmuka ini juga diperlukan agar pengguna merasa nyaman dan bersahabat (comfortable and friendly) dengan perangkat lunak yang sudah jadi. Perancangan antarmuka ini meliputi perancangan menu utama, perancangan input dan perancangan output. a. Perancangan Input Gambar 3. Form Menu Utama Program Gambar 4. Form Masukan Nilai- Nilai Koefisien ARISTOTELES VOL. 4 NO. 2, APRIL 2007 : 1 11 8
b. Perancangan Output c. Perancangan Form Bantuan Gambar 5. Form Keluaran Sistem Persamaan Linear Gambar 6. Form Bantuan dan Informasi 3.3.2. Uji Kualitas Pada pengujian ini kami menggunakan Metode Black box. Metode pengujian Black box difokuskan pada fungsi yang dibutuhkan oleh perangkat lunak.yaitu, pengujian black box memungkinkan perancang perangkat lunak untuk memperoleh masukan-masukan yang akan memenuhi semua kebutuhan fungsional untuk suatu program. Pengujian Black box berusaha untuk menemukan kesalahankesalahan dalam kategori berikut kesalahan atau fungsi yang hilang kesalahan dalam interface kesalahan dalam struktrur data kesalahan tampilan kesalahan peng-inisial-an dan akhiran (dalam tata bahasa). Perangkat Lunak Bantu Analisis Numerik (Tacbir H. Pudjiantoro) 9
Pengujian dirancang untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut: Bagaimana kebenaran fungsi teruji? Kelompok masukan manakah yang akan menghasilkan uji kasus yang benar? Apakah sistem utama peka untuk memastikan nilai masukan? Bagaimana batasan dari kelompok data dipisahkan? Apakah nilai data dan volume data dapat ditolerir system? Apakah pengaruh kombinasi data tertentu terhadap keunggulan sistem operasi? 3.3.3. Uji Kualitas Analisis dan Perancangan Tabel 5.1. Keterangan Penilaian Uji Kualitas Bobot A B C D Keterangan Sangat sesuai Sesuai Cukup Sesuai Kurang Sesuai ARISTOTELES VOL. 4 NO. 2, APRIL 2007 : 1 11 10
KESIMPULAN Setelah melakukan penelitian dan menghasilkan perangkat lunak sebagai alat bantu untuk menyelesaikan permasalahan dalam menemukan nilai-nilai variabel dari suatu sistem persamaan linear yang mempunyai jumlah variabel maksimal enam, maka penulis mengambil kesimpulan sebagai berikut : 1. Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang bersifat konvergen karena selalu menemukan akar. Kecepatan eksekusinya lebih cepat dan juga jumlah perulangannya lebih sedikit daripada Metode Lelaran Gauss-Seidel dan Metode Determinan Cramer. 2. Metode Determinan Cramer memiliki kecepatan eksekusi yang lebih cepat dan jumlah perulangannya lebih sedikit dari Metode Lelaran Gauss-Seidel. Metode ini juga hampir selalu menemukan akar (konvergen). 3. Metode Lelaran Gauss-Seidel bersifat divergen (menjauhi nilai variabel selama komputasi). Akan tetapi, jika metode ini konvergen akan lebih cepat waktu eksekusinya dibandingkan Metode Determinan Cramer. Namun, dilihat dari efisiensi perhitungan metode ini tidak selalu efisien, karena ia memerlukan nilai variabel yang telah didapat pada iterasi sebelumnya. DAFTAR PUSTAKA [1]. [ANT87] Anton, H., Aljabar Linear Elementer (Edisi Kelima), Erlangga, Jakarta, 1987 [2]. [AYR92] Ayres JR, F., Matriks, Erlangga, Jakarta, 1992 [3]. [CHA91] Chapra, S.C. and Raymond P. Canale, Metode Numerik Untuk Teknik, Universitas Indonesia, Jakarta, 1991. [4]. [DEW03] Dewobroto, W., Aplikasi Sain dan Teknik, PT Elex Media Komputindo, Jakarta, 2003. [5]. [DJO00] Djojodihardjo, H., Metode Numerik, PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta, 2000. [6]. [FRE80] Freeman, P., The Context of Design, dalam Software Design Techniques, 3 rd ed., P. Freeman dan A. Wasserman (eds.), IEEE Computer Society Press, h., 2-4. [7]. [KUS00] Kusumo, A.S., Drs., Buku Latihan Microsoft Visual Basic 6.0, PT Elex Media Komputindo, Jakarta, 2000. [8]. [MUN03] Munir, R., Metode Numerik, Informatika, Bandung, 2003. [9]. [MUN03] Munir, R., Algoritma dan Pemrograman, Informatika, Bandung, 2003. [10]. [NAS90] Nasution, A. dan Hasan Iskandar, Turbo Pascal, Erlangga, Jakarta, 1990 [11]. [NAS01] Nasution, A., dan Hasbalah Zakaria, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, ITB, Bandung, 2001. [12]. [PRE02] Pressman, R.S., Ph.D., Rekayasa Perangkat Lunak Pendekatan Praktisi (Buku I), Andi, Yogyakarta, 2002. BIODATA PENULIS : Tacbir Hendro Pudjiantoro, MT. Adalah Dosen Biasa di Program Studi Ilmu Komputer Fakultas MIPA Universitas Jenderal Achmad Yani (UNJANI) --------- oo0oo --------- Perangkat Lunak Bantu Analisis Numerik (Tacbir H. Pudjiantoro) 11
[13]. [TRI92] Triatmodjo, B., Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta, 1992 [14]. [WAS80] Wasserman, A., Principle of Systematic Data Design and Implementation, dalam Software Design Techniques, (P. Freeman and A. Wasserman, eds.), 3 rd ed., IEEE Computer Society Press, 1980, h. 287-293. ARISTOTELES VOL. 4 NO. 2, APRIL 2007 : 1 11 12