Operasi Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Contoh: Diketahui persamaan linear x + 2y + z = 6 x + 3y + 2z = 9 2x + y + 2z = 12 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks: Operasikan Matriks tersebut
B1 x 1,. Untuk merubah a 11 menjadi 1 B2-1.B1,. Untuk merubah a 21 menjadi 0 B3-2.B1,. Untuk merubah a 31 menjadi 0 B2 x 1,. Untuk merubah a 22 menjadi 1 B3 + 3.B2,. Untuk merubah a 32 menjadi 0 B3 x 1/3,. Untuk merubah a 33 menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris) Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu x + 2y + z = 6 y + z = 3
z = 3 Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan: y + z = 3 y + 3 = 3 y = 0 x + 2y + z = 6 x + 0 + 3 = 6 x = 3 Jadi nilai dari x = 3, y = 0,dan z = 3 Operasi Eliminasi Gauss-Jordan Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabelvariabelnya tanpa substitusi balik. Contoh: Diketahui persamaan linear x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3 2x + y + 2z = 5 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks: Operasikan Matriks tersebut Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1 Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1 Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2 Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3 Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3 Baris baris tereduksi) Maka didapatkan nilai dari x = 2, y = 1,dan z = 1 Bentuk Newton interpolasi polinominal p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0 adalah ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselonbentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain. Contohnya, kita mencari interpolasi titik dari data (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),(x 3,y 3 ). Jika kita tuliskan P(x) )=a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 bentuk equivalentnyaa : p(x)=a 3 (x-x 0 ) 3 +p(x)=a 2 (x-x 0 ) 2 +p(x)=a 1 (x-xx 0 )+a 0 dari kondisi interpolasi p(x 0 )=y o maka didapatkan a 0 =y o, sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b 3 (x-x 0 )(x-x 1 )(x-x 2 )+b 2 (x-x 0 )(x-x 1 )+b 1 (x-x 0 )+b 0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi, sehingga kita dapatkan : p(x 0 )=b 0 p(x 1 )=b 1 h 1 +b 0 p(x 2 )=b 2 (h 1 +h 2 )h 2 +b 1 1(h 1 +h 2 )+b 0 p(x 3 )=b 3 (h 1 +h 2 +h 3 )(h 2 +h 3 )h 3 +b 2 (h 1 +h 2 +h 3 )(h 2 +h 3 )+b 1 (h 1 +h 2 +h 3 )+b b 0 sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix: Operator Refleksi Berdasarkan operatorr T:R 2 -> R 2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=t(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah: x 1 = -x = -x + 0y x 2 = y = 0x + y atau dalam bentuk matrik : Secara umum, operator pada R 2 dan R 3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
Operator Proyeksi Berdasarkan operatorr T:R 2 -> R 2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=t(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah: x 1 = x = x + 0y x 2 = 0 = 0x + y atau dalam bentuk matrik : Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah: Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R 2 dan R 3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
Operator Rotasi Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R 2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R 2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=t( (x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w 1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w 2 = r sin (ɵ + ɸ) Menggunakan identitas trigonometri didapat: w 1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ w 2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ kemudian disubtitusi sehingga: w 1 = x cos Θ - y sin Θ w 2 = x sin Θ + y cos Θ Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:
Interpolasi Polinomial Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x 0,y 0 )..., (x n,y n ). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = a m x m + a m-1 x m 1 +... + a 1 x + a 0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi karena x i diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini = Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengann menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):
= (1) Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde. Contoh soal: Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde. Jawab: Bentuk Sistem Vandermonde(1): =
Untuk data di atas, kita mempunyai = Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
Baris ke-3 dikurangi baris ke-2 Baris ke-4 dikurangi baris ke-2 Baris ke-4 dibagi dengan 2 Baris ke-4 dikurangi baris ke-3 Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
Jadi, interpolasinya adalah Eliminasi Gauss-Jordan Thomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh bentuk eselon baris tereduksi yang sama a untuk matriks tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan. Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut: 1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1). 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks. 3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama padaa baris yang lebih tinggi. 4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain. Misal kita punya matriks berikut:
Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya nol. Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1. Baris pertama dipertukarkan dengan baris ke dua (H21) Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada kolom yang kita peroleh pada langkah 1 adalah a, kalikan dengan baris pertama dengan 1/a sehingga membentuk 1 utama. Baris pertama dari matriks sebelumnya dikalikan dengan 1/2 disingkat H2(1/2) Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.
-2 kali baris pertama sebelumnya ditambahkan ke baris ketiga (H21(-2)) Langkah 5. Sekarang tutuplah baris paling atas dari matriks dan mulailah lagi dengan langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruhnya matriks berada dalam bentuk eselon baris. lihat kolom ketiga dari kiri tidak semuanya nol baris kedua dari matriks dikalikan dengan dengan -1/2 untuk memperoleh 1 utama -5 kali baris kedua ditambahkan pada baris ketiga untuk memperoleh nol di bawah 1 utama.
baris paling atas submatriks ditutup kita kembali ke langkah 1 baris ketiga dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan 1 utama berikutnya. Langkah 6. Mulailah dengan baris tak nol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan kelipatan yang sesuai dari tiap-tiap baris ke baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1 utama. kali baris ketiga dari matriks sebelumnya ditambahkan ke baris kedua.
-6 kali baris ketiga ditambahkan ke baris pertama 5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama Langkah 1 5 dinamakan Eliminasi Gauss, jika prosedurnya sampai pada langkah 6 dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan. Dari langkah tersebut kita peroleh persamaan x1 + 2 2 +3 x4 = 2 x3 = 1 x5=2 Dari persamaan tersebut kita dapat memisalkan nilai x1=s dan x2 = t untuk memperoleh nilai x1 = 2s-3t (s dan t adalah parameter dari SPL tersebut). dapat dilihat di sini Eliminasi gauss-jordan Soal terapan eliminasi gauss jordan 1.pabila diketahui suatu rangkaian listrik seperti Gambar 5, maka besar arus untuk masing-masing hambatan dapat dicari menggunakan metoda numerik.
Gambar 5. Rangkaian Listrik untuk Tiga Resistor dan Dua Tegangan Untuk memperoleh tiga buah persamaan tersebut, kita gunakan hukum tegangan Kirchoff pada tiap lup arus. Persamaannya adalah : Apabila kita susun kembali, maka :
Dari tiga persamaan di atas dapat kita buat ke dalam bentuk operator matrik menjadi : Berdasarkan data soal yang ada, maka dapat kita inputkan nilai resistor dan tegangan masing-masing, sehingga : Dari persamaan matrik ini, maka dapat diselesaikan persoalan tersebut dengan menggunakan beberapa metoda numerik. Diantaranya :
1. Metode Eliminasi Gauss Karena diagonal A baris pertama 0, maka ditukar letaknya dengan baris lain. Maka : Matrik augmentasinya menjadi : Langkah selanjutnya menjadikan matrik triangularisasi dengan cara menjadikan baris ketiga kolom kedua bernilai 0. Matrik triangularisasinya menjadi :
Maka arus masing-masing hambatan : 2. Metode Cramer Matrik yang digunakan : Determinan matrik A adalah : Solusi numeriknya adalah :