BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang tertutup, Tidak sederhana, tidak tertutup Sederhana, tidak tertutup Tidak sederhana, tertutup sederhana, tertutup I.1. Menghilangkan Parameter Contoh : Hilangkan parameter dari persamaan.,, 1
Solusi :,. merupakan persamaan parabola dengan puncak di Contoh : Buktikan bahwa,, Adalah persamaan ellips Solusi : 2
1.2. Kalkulus untuk Fungsi yang Ditentukan dalam bentuk parameter Andaikan dan fungsi-fungsi dari yang turunannya kontinu dan pada jelang. Maka persamaan parameter., Mendefinisikan sebagai fungsi dari dan Contoh : Tentukan turunan pertama dan kedua, yaitu dan, untuk fungsi yang ditentukan oleh : 3 Hitung turunan itu untuk Solusi : Bila Sehingga untuk, adalah :, II. VEKTOR PADA BIDANG Scalar : Besaran yang dinyatakan oleh suatu bilangan Vektor : Besaran yang dinyatakan oleh suatu bilangan dan arah digambarkan sebagai anak panah. 3
Vektor dapat ditulis dengan huruf tebal dan atau dan. Besarnya vector ditulis dengan 2.1. Operasi Terhadap Vektor Contoh : Sebuah benda 200 Newton digantungkan pada dua utas kawat. Tentukan besarnya tegangan dalam tiap-tiap kawat. 200 W 4
, Sehingga :, 3. VEKTOR PADA BIDANG : PENDEKATAN SECARA ALJABAR, Vektor dapat dinyatakan secara aljabar dengan pasangan terurut, Operasi Pada Vektor Bilangan dan dinamakan komponen-komponen vector,. Dua vektor, dan, adalah sama, jika dan hanya jika dan. Sehingga :, 5
Untuk mengalikan dengan scalar adalah,,,,,, PANJANG DAN HASILKALI TITIK PANJANG Panjang suatu vektor ditentukan oleh : Misal, jika,, maka Jika dikalikan dengan scalar, maka : nilai mutlak, jarak antara titik asal dan pada garis bilangan 6
panjang, jarak antara titik asal dan ujung pada bidang Contoh : Bila,, tentukan, tentukan pula vektor yang searah dengan tetapi dengan panjang 1. Solusi : dan,,, Perkalian dua vektor dan dinamakan hasil kali titik, yang dilambangkan dengan.... Teorema : Jika, dan vektor dan skalar, maka : 1... 2.... 3.. 4.. 5.. Jika dan adalah vektor tidak nol, maka :. sudut antara dan Dua vektor dan tegak lurus jika dan hanya jika. 7
Contoh : Tentukan sehingga, dan, tegak lurus. Solusi :. Contoh : Tentukan sudut antara, dan, Solusi :.,, VEKTOR BASIS Andaikan, dan, dan perhatikan bahwa vektor-vektor ini tegak lurus dan bahwa panjangnya sama dengan satu. Vektor dan ini dinamakan VEKTOR BASIS, sebab setiap vektor, dapat dinyatakan secara tunggal dengan dan yaitu :,,,, Contoh : Tentukan besarnya sudut ABC, dengan,,,, dan, Solusi :, 8
, ;..,, Andaikan sudut antara dan. Scalar dinamakan Proyeksi Skalar pada. Kerja yang dilakukan oleh gaya konstan yang menggerakkan sebuah benda dari hingga adalah besarnya gaya dalam arah gerak dikalikan dengan jarak yang ditempuh. Jadi apabila adalah vektor dari hingga, besarnya kerja adalah : (Proyeksi scalar pada ) Kerja. Contoh : Sebuah gaya dengan satuan pon memindahkan benda dari, hingga,. Jarak diukur dengan kaki. Berapakah besarnya Solusi : Bila vektor dari, hingga, maka, jadi : Kerja. pon-kaki 4. FUNGSI BERNILAI VEKTOR DAN GERAK SEPANJANG KURVA Sebuah fungsi memadankan setiap anggota dari sebuah himpunan (daerah asal) dengan nilai tunggal anggota himpunan lain. Himpunan nilai-nilai demikian disebut daerah nilai fungsi. Daerah asal Daerah nilai Daerah asal Daerah nilai 9
Suatu fungsi bernilai vektor dengan peubah riil memadankan tiap bilangan riil dengan satu vektor. Jadi :, Missal, KALKULUS FUNGSI VEKTOR berarti bahwa vector menuju ke vektor apabila menuju atau vektor menuju vektor 0 apabila. Definisi : berarti bahwa untuk tiap 0 ada bilangan 0 sedemikian sehingga asal saja dipenuhi, yaitu : Teorema : Andaikan. Maka memiliki limit di c jika dan hanya jika f dan g memiliki limit di c. Apabila, maka, Contoh : jika, tentukan,, dan sudut antara, 10
Solusi : dan, jadi : ;,, Teorema : Andaikan F dan G fungsi vektor yang dapat dideferensialkan, h suatu fungsi bernilai riil yang dapat dideferensialkan dan c sebuah scalar. Maka : 1. 2. 3. 4... 5. aturan rantai Contoh : Jika, tentukan a). ; b). solusi : a). b). 11
GERAK SEPANJANG KURVA Andaikan t menggambarkan waktu dan andaikan koordinat sebuah titik P yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter, Maka vektor : Yang berpangkal dititik asal dinamakan vektor posisi titik P pada saat t. Apabila t berubah ujung vektor bergerak sepanjang lintasan titik P. Lintas ini adalah sebuah kurva dan gerak yang dijalani oleh P dinamakan gerak sepanjang kurva. Sejalan dengan gerak linier, maka kecepatan, dan percepatan titik P adalah 12
Contoh : Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah dan, dengan t menggambarkan waktu (a) Gambarlah grafik lintasan P. (b) Tentukan rumus untuk kecepatan, laju, dan percepatan. (c) Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat manakah nilai itu tercapai. (d) Buktikan bahwa vektor percepatan yang berpangkal di P selalu menuju ke titik asal. Solusi : (a) ellips (b) Vektor posisi (c) Karena laju ditentukan oleh, maka nilai maksimum adalah 3 ; pada. 13
yaitu apabila atau yaitu pada titik, pada ellips. Laju minimum, yaitu 2, dicapai pada saat yang memberikan titik-titik,. (d) bila pangkal kita ambil di P, vektor ini akan mengarah ke ujung akan tepat ada di titik asal. Maka paling besar berada di, dan paling kecil di,. 5. KELENGKUNGAN DAN PERCEPATAN Kelengkungan seberapa tajam sebuah kurva melengkung Andaikan untuk, adalah vektor posisi titik pada bidang. Andaikan ada dan kontinu dan pada selang,. Maka apabila t nilainya naik, P bergerak sepanjang sebuah kurva yang mulus. Panjang lintasan dari ke ditentukan oleh : Laju titik yang bergerak itu adalah : Karena, maka 0 s naik bila t naik 14
Dengan Teorema fungsi balikan, Andaikan T(t) disebut vector singgung satuan di P(t) Contoh : Tentukan kelengkungan dan radius kelengkungan hiposikloid di titik dengan Solusi : untuk. 15