MODUL 12 - : Luas Daerah pada Bidang Datar Tim Matematika TAHAP PERSIAPAN BERSAMA INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA LAMPUNG SELATAN 2018
PENDAHULUAN Modul 12 ini akan diberikan materi Aplikasi Integral dengan subbab tentang Luas Daerah pada Bidang Datar. Perlu diketahui bahwa dalam mempelajari aplikasi integral yang dibutuhkan adalah pemahaman tentang konsep dari modul-modul sebelumnya terutama tentang integral. Berdasarkan penjelasan di atas, tujuan instruksional yang harus dicapai mahasiswa yaitu Mampu menentukan dan menghitung luas suatu daerah bidang datar yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 1
Pada subbab aplikasi integral, materi yang akan dipelajari terkait dengan teori pada modul 10 yaitu integral tentu dan teorema dasar kalkulus 1. Langkah-langkah berikut dapat diterapkan dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan masalah aplikasi integral untuk menentukan luas daerah pada bidang datar. 1 2 Langkah 1: Deskripsikan permasalahan dengan gambar dan dilengkapi dengan definisi variabel. Langkah 2: Bagi (iris) interval menjadi beberapa sub interval (tidak harus sama besar) dan beri label suatu sub-interval tertentu. Membagi interval dapat dilakukan secara tegak (sumbu-x) atau mendatar (sumbu-y). 3 4 Langkah 3: Aproksimasi (hampiri) luas sub-interval tertentu tersebut. Langkah 4: Nyatakan dalam bentuk integral tentu. Kemudian hitung integralnya untuk memperoleh suatu luas daerah. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 2
1. Luas Daerah di Atas dan Bawah Sumbu- Secara geometri, berdasarkan definisi integral tentu (Integral Riemann) dapat diartikan merupakan daerah tertutup yang dibatasi oleh dengan dan kontinu, sumbu- (atau garis ), garis, dan garis. Jumlah luas persegi panjang persegi panjang bagian mendekati Luas Daerah Gambar 1. Transformasi dari bentuk limit penjumlahan menjadi integral Sehingga untuk mencari luas daerah diberikan sebagai berikut: dengan syarat jika limitnya ada sesuai dengan definisi integral tentu yang telah dipelajari pada modul 10. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 3
Contoh 1. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi oleh, garis, dan di atas sumbu-x. Penyelesaian: 1. Gambar daerah a. Gambarkan terlebih dahulu y b. Gambarkan garis 0 Gambar 2. Gambar 3. garis TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 4
c. Gambarkan daerah di atas sumbu-x Gambar 4. daerah di atas sumbu-x 2. Membagi interval secara tegak (sumbu- ) Partisi dengan membagi interval menjadi sub-interval...... Gambar 5. Partisi terhadap sumbu- TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 5
Kemudian beri label pada suatu sub-interval tertentu..... Gambar 6. Perhatikan sub-interval ke-, yaitu Pilih titik Bentuk persegi panjang dengan lebar 3. Aproksimasi luas sub-interval ke- : dan tinggi 4. Nyatakan dalam integral kemudian hitung integralnya untuk mendapatkan luas daerahya:, jika limit ada. Perhatikan bahwa Tanda berubah menjadi Fungsi berubah menjadi Besaran berubah menjadi Sehingga diperoleh bentuk intergralnya sebagai berikut Kemudian hitung integralnya Sehingga diperoleh luas daerah tertutup yang dibatasi oleh, garis, dan di atas sumbu-x adalah 9 satuan luas. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 6
Contoh 2. Hitunglah luas daerah tertutup di kuadran I yang dibatasi kurva, garis, dan sumbu-. Penyelesaian: 1. Gambar daerah a. Gambarkan di kuadran I Gambar 7. di kuadran I b. Gambarkan garis Gambar 8. garis TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 7
c. Gambarkan daerah di kuadran I yang dibatasi sumbu-y Gambar 9. daerah di kuadran I yang dibatasi sumbu-y 2. Membagi interval secara mendatar (sumbu- ) Partisi dengan membagi interval menjadi sub-interval...... Gambar 10. Partisi terhadap sumbu- TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 8
Kemudian beri label pada sub-interval tertentu..... Gambar 11. Perhatikan sub-interval ke-, yaitu. Pilih titik. Bentuk persegi panjang dengan lebar dan panjang. 3. Aproksimasi luas sub-interval ke- : Karena (kuadran I). 4. Nyatakan dalam integral kemudian hitung integralnya untuk mendapatkan luas daerahnya: Bila dinyatakan dalam integral sebagai berikut Kemudian hitung integralnya Sehingga diperoleh luas daerah tertutup di kuadran I yang dibatasi kurva, garis, dan sumbu- adalah satuan luas. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 9
Contoh 3. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi oleh, garis, garis, dan sumbu-. Penyelesaian: 1. Gambar daerah a. Gambarkan b. Gambarkan garis Gambar 12. Gambar 13. garis TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 10
c. Gambarkan daerah yang dibatasi sumbu- Gambar 14. daerah yang dibatasi sumbu- 2. Membagi interval secara tegak (sumbu- ) Dilihat dari Gambar 14, kita dapat membagi daerah tersebut menjadi 2 bagian daerah yaitu daerah yang berwarna kuning dan daerah yang berwarna biru. Daerah yang berwarna kuning dibatasi antara garis dan garis sedangkan daerah yang berwarna biru dibatasi antara garis dan. Sehingga untuk daerah yang berwarna kuning, partisi dengan membagi interval menjadi sub-interval dan untuk daerah yang berwarna biru partisi dengan membagi interval menjadi sub-interval.......... Gambar 15. Partisi terhadap sumbu-x TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 11
Kemudian beri label Gambar 16. Untuk daerah yang berwarna kuning: Perhatikan sub-interval ke-, yaitu. Kemudian pilih titik. Bentuk persegi panjang dengan lebar dan tinggi. Untuk daerah yang berwarna biru: Perhatikan sub-interval ke-, yaitu. Kemudian pilih titik. Bentuk persegi panjang dengan lebar dan tinggi. 3. Aproksimasi luas sub-interval ke- dan ke- : Untuk daerah yang berwarna kuning: Untuk daerah yang berwarna biru: Perlu diperhatikan bahwa untuk daerah yang berwarna biru merupakan daerah yang berada di bawah sumbu-, sehingga bertanda negatif seperti berikut 4. Nyatakan dalam integral dan hitung integralnya : Untuk daerah yang berwarna kuning: TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 12
Untuk daerah yang berwarna biru: Luas daerah keseluruhannya sebagai berikut Sehingga diperoleh luas daerah tertutup yang dibatasi oleh, garis, dan sumbu- adalah satuan luas. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 13
2. Luas Daerah antara Dua Kurva Perhatikan kurva dan dengan, garis dan pada Gambar 16. Dengan menggunakan langkah-langkah yang sama maka kita dapat menentukan luas daerah di antara dua kurva tersebut seperti pada Gambar 17. Gambar 17. Gambar 18. Prinsip dasar: gambarkan sub interval luasnya lalu tentukan lebar dan tinggi dari sub interval tersebut. Aproksimasi luas sub interval ke- : Luas daerah seluruhnya : TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 14
Contoh 4. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan garis. Penyelesaian: 1. Gambar daerah a. Gambarkan b. Gambarkan garis Gambar 19. kurva Gambar 20. garis TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 15
c. Gambarkan daerahnya sebagai berikut Gambar 21. 2. Membagi interval secara tegak (sumbu- ) Tentukan titik potong dari kurva dan garis terlebih dahulu diperoleh dan Sehingga partisi dengan membagi interval menjadi sub-interval. Gambar 22. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 16
Kemudian beri label Gambar 23. Perhatikan sub-interval ke-, yaitu. Kemudian pilih titik. Bentuk persegi panjang dengan lebar dan tinggi dengan dan. 3. Aproksimasi luas sub interval ke- : 4. Nyatakan dalam integral dan hitung integralnya : Sehingga diperoleh luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan garis adalah satuan luas. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 17
Kasus Tertentu Diketahui dan dengan, garis dan seperti pada Gambar 24. Jika kita memilih membagi interval secara tegak (sumbu- ) maka akan terbentuk dua daerah. Daerah I pada interval dan daerah II pada interval. Gambar 24. Akibat kesalahan membagi interval tersebut, diperlukan waktu lebih lama untuk menyelesaikan luas daerah tersebut. Sehingga, Luas Daerah Gambar 25. Pemilihan partisi yang tidak tepat TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 18
Jika daerah tersebut kita bagi intervalnya secara mendatar (sumbu- ) maka akan diperoleh bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut yang lebih sederhana dari sebelumnya. Gambar 26. Pemilihan partisi yang lebih sederhana Sehingga, Luas Daerah. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 19
Contoh 5. Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva, garis, dan di atas sumbu-. Penyelesaian: 1. Gambar daerah a. Gambarkan kurva di kuadran I 6 b. Gambarkan garis Gambar 27. kurva Gambar 28. garis TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 20
c. Gambar daerah di atas sumbu- Gambar 29. 2. Membagi interval secara mendatar (sumbu-y) Menentukan titik potong dari kurva dan garis terlebih dahulu diperoleh dan Sehingga partisi dengan membagi interval menjadi sub-interval. Gambar 30. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 21
Kemudian beri label Gambar 31. Perhatikan sub-interval ke-, yaitu. Kemudian pilih titik. Bentuk persegi panjang dengan lebar dan tinggi dengan dan. 3. Aproksimasi luas sub interval ke- : 4. Nyatakan dalam integral dan hitung integralnya : Perhitungan luas daerah Sehingga diperoleh luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva, garis, dan di atas sumbu- adalah satuan luas. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 22
LATIHAN 1. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi oleh, garis, dan sumbu-. 2. Hitunglah luas daerah tertutup di kuadran I yang batasi oleh, garis, dan sumbu-. 3. Hitunglah luas daerah pada gambar dibawah ini a. b. c. (Hint: carilah titik pemisahnya terlebih dahulu) 4. R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh di antara garis dan garis. a. Gambarkanlah daerah R, b. Hitunglah luas daerah R. 5. S adalah daerah yang dibatasi oleh, di antara dan, dan sumbu-. a. Gambarkanlah daerah S, b. Hitunglah luas daerah S. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 23
6. Tentukan dan hitunglah luas daerah tertutup yang batasi oleh kurva dan garis. 7. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis a. Jika intervalnya dibagi secara tegak (sumbu- ), b. Jika intervalnya dibagi secara mendatar (sumbu- ). 8. Tentukan dan hitunglah luas daerah pada gambar di bawah ini a. b. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 24
DAFTAR PUSTAKA Dale Varberg, Edwin Purcel and Steve Rigdon. Calculus 9th Ed. Prentice Hall. 2007. Neuhauser, Claudia. Calculus for Biology and Medicine 3 rd Ed. Prentince Hall. 2011. TAHAP PERSIAPAN BERSAMA 2018/2019 25