8 June 2011 MATEMATIKA DISKRIT 2

Transkripsi

1

2 MisalkanterdapatDuaoperator biner: + dan Sebuah operator uner:. B: himpunanyang didefinisikanpadaoperator +,, dan dan1 adalahduaelemenyang berbedadarib. Tupel(B, +,, ) disebutaljabarbooleanjika untuksetiapa, b, c Bberlakuaksiomaaksioma atau postulat Huntington berikut: 8 June 211 MATEMATIKA DISKRIT 2

3 1. Closure:(i) a+ b B (ii) a b B 2. Identitas: (i) a+ = a (ii) a 1 = a 3. Komutatif: (i) a+ b= b+ a (ii) a b= b. a

4 4. Distributif: (i) a (b+ c) = (a b) + (a c) (ii) a+ (b c) = (a+ b) (a+ c) 5. Komplemen: (i) a+ a = 1 (ii) a a =

5 Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington.

6 Aljabar Boolean dua-nilai: B= {, 1} operator biner, + dan operator uner, Kaidahuntukoperator binerdanoperator uner: a b a b a b a + b a a

7 Misalkan(B, +,, ) adalahsebuahaljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +,, ) adalah: (i) setiapelemendidalamb, (ii) setiap peubah, (iii) jikae 1 dane 2 adalahekspresiboolean, makae 1 + e 2, e 1 e 2, e 1 adalahekspresi Boolean

8 Contoh: a (b+ c) jikaa=, b= 1, danc=, makahasilevaluasi ekspresinya adalah (1 + ) = 1 1 = 1 Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan = ) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberiannilai-nilaikepadanpeubah.

9 Perlihatkanbahwaa+ a b= a+ b a b a a b a + a b a + b

10 1. Perlihatkanbahwaa(a + b) = ab 2. Perlihatkanbahwa( a+ b) = a b 3. Perlihatkanbahwaa (b +c )=(a b )+(ac )

11 Misalkan S adalah kesamaan(identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +,, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti dengan + + dengan dengan 1 1 dengan dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.

12 (i) (a 1)( + a ) = dualnya (a+ ) + (1 a ) = 1 (ii) a(a + b) = ab dualnyaa+ a b= a+ b

13 1. Hukum identitas: (i) a+ = a (ii) a 1 = a 2. Hukum idempoten: (i) a+ a = a (ii) a a= a 3. Hukum komplemen: (i) a+ a = 1 (ii) aa = 4. Hukum dominansi: (i) a = (ii) a+ 1 = 1 5. Hukum involusi: (i) (a ) = a 6. Hukum penyerapan: (i) a+ ab= a (ii) a(a+ b) = a

14 7. Hukum komutatif: (i) a+ b= b+ a (ii) ab= ba 8. Hukum asosiatif: (i) a+ (b+ c) = (a+ b) + c (ii) a(bc) = (ab) c 9. Hukum distributif: (i)a+(bc) = (a+ b) (a+ c) (ii) a(b+ c) = ab+ ac 1. Hukum De Morgan: (i) (a+ b) = a b (ii)(ab) = a + b 11. Hukum/1 (i) = 1 (ii) 1 =

15 Buktikan(i) a+ a b= a+ b dan (ii) a(a + b) = ab Penyelesaian: (i) a+ a b = (a+ ab) + a b (ii) adalah dual dari(i) (Penyerapan) = a+ (ab+ a b) (Asosiatif) = a+ (a+ a )b (Distributif) = a+ 1 b (Komplemen) = a+ b (Identitas)

16 FungsiBoolean(disebutjugafungsibiner) adalahpemetaandarib n kebmelaluiekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f: B n B yang dalamhalinib n adalahhimpunanyang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) didalamdaerahasalb.

17 Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x y+ y z Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) kehimpunan{, 1}. Contoh (1,, 1) yang berartix= 1, y=, danz= 1 f(1,, 1) = = = 1.

18 Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: f(x) = x f(x, y) = x y+ xy + y f(x, y) = x y f(x, y) = (x+ y) f(x, y, z) = xyz Setiappeubahdidalam fungsiboolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsih(x, y, z) = xyz pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitux, y, danz.

19 DiketahuifungsiBooelanf(x, y, z) = xyz, nyatakan f dalam tabel kebenaran. x y z f(x, y, z) = xy z

20 BilasebuahfungsiBoolean dikomplemenkan, kitamemperolehfungsikomplemen. Fungsi komplemen berguna pada saat penyederhanaanfungsiboolean. Fungsikomplemendarif, yaitu f dapatdicari denganduacara, yaitu:

21 1. Menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah (berlakuuntukn peubah), x 1 danx 2, adalah: (i) (x 1 + x 2 ) = x 1 x 2 (ii) (x 1 x 2 ) = x 1 + x 2 (dual dari(i))

22 Misalkanf(x, y, z) = x(y z + yz), tentukanf! Solusi: f (x, y, z) = (x(y z + yz)) = x + (y z + yz) = x + (y z ) (yz) = x + (y+ z) (y + z )

23 2. Menggunakanprinsipdualitas. Tentukandual dariekspresiboolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. Contoh Misalkanf(x, y, z) = x(y z + yz), maka Dual dari f =x+ (y + z ) (y+ z) Komplemenkantiapliteralnya: x + (y+ z) (y + z ) = f Jadi, f (x, y, z) = x + (y+ z)(y + z )

24 1. DiketahuifungsiBoolean h(x,y,z)=x yz,nyatakan h dalam tabel kebenaran 2. Buktikanbahwaf(x,y,z) = x y z+ x yz+ xy ekivalendengang(x,y,z) = x z+ xy tabel kebenaran 3. Misalkanf(x, y, z) = y ((x+z ) (xy)), tentukanf dengan: a. Hukum D Morgan b. Prinsip Dualitas

25 1. Jaringan Pensaklaran(Switching Network) Saklar: objek yang mempunyai dua buah keadaan: bukadantutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana: 1. a x b Outputbhanyaadajikadanhanyajikax dibuka x

26 2. a x y b Outputbhanyaadajikadanhanyajikaxdany dibuka xy 3. a x b y Outputchanyaadajikadanhanyajikaxatauy dibuka x+ y c

27 Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik: 1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND Sumber tegangan A B Lampu 2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR A Lampu B Sumber Tegangan Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 27

28 2. Rangkaian Logika x xy y Gerbang AND x x+ y y Gerbang OR x x' Gerbang NOT (inverter) Contoh: Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x y ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama x y x y x' xy x'y xy+x'y Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 28

29 Cara Kedua x y xy xy+x'y x' x'y

30 Cara Ketiga x y xy xy+x'y x' x'y

31 x y (xy)' x y x + y Gerbang NAND Gerbang XOR x y (x+y)' x y (x + y)' Gerbang NOR Gerbang XNOR Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 31

32 Gambarkan rangkaian logika dari fungsi berikut: 1. f(x, y, z) = y (xz + z) 2. f(x, y, z)= x y z + xy +z 3. f(x, y, z) = x yz + xy z + xyz + xyz