MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 7 Elastisitas, Biaya Produksi dan Penerimaan, Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi I Komang Adi Aswantara UT Korea Fall 2013

Transkripsi

1 MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 7 Elastisitas, Biaya Produksi dan Penerimaan, Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi I Komang Adi Aswantara UT Korea Fall 2013

2 Elastisitas Elastisitas merupakan ukuran kepekaan jumlah permintaan terhadap perubahan faktor yang mempengaruhinya (harga). εh = %Perubahan jumlah yang diminta % Perubahan harga barang tsb

3 Elastisitas Apabila terjadi perubahan harga dari P 0 menjadi P 1, maka konsumen hanya bersedia membeli sebanyak Q 1. Persentase perubahan harga: P 1 P % P 0 Persentase perubahan jumlah barang: Q 1 Q % Q0

4 Elastisitas ε p = ε h = ΔQ. P 0 ΔP Q 0 Dengan demikian, apabila diambil limit dari ΔQ/ΔP sehingga akan menjadi: ε p = ε h = dq. P 0 dp Q 0

5 Jenis-jenis Elastisitas Nilai elastisitas yang terkecil adalah 0 dan yang terbesar adalah. ε h > 1 permintaan elastis ε h = 1 unitary elastis (elastisitas tunggal) ε h < 1 permintaan inelastis (tidak elastis)

6 Contoh Soal Bila fungsi permintaan seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan P = 50 2Q, berapakah elastisitas permintaannya pada harga (P) = 20? P = 50 2Q dp = -2 dq dq = -1 dp 2 Bila P = 20, maka Q = 15 sehingga elastisitasnya: Ε h = dq. P 0 dp Q 0 Ε h = Ε h = -2/3 Dalam elastisitas tidak diperhatikan apakah nilainya negatif atau positif, sehingga apabila Ε h = -2/3 = 2/3 permintaan inelastis karena < 1

7 Biaya Produksi dan Penerimaan 1. Biaya Produksi: Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) = TFC atau FC adalah jumlah biaya-biaya yang besarnya tetap, berapapun tingkat output yang dihasilkan. Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) = TVC atau VC adalah biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang dihasilkan. Biaya Total (Total Cost) = TC adalah jumlah dari biaya tetap dan biaya variabel. TC = FC + VC

8 Biaya Produksi Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost) = AFC adalah ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output. AFC = TFC / Q Biaya Variabel Rata-Rata (Average Variable Cost) = AVC adalah semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap unit output. AVC = TVC / Q dimana kurva AVC diturunkan dari kurva TVC. Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost) = ATC biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi. ATC = TC / Q Biaya Marjinal (Marginal Cost) = MC tambahan biaya total karena ada tambahan biaya produksi 1 unit output. MC = dtc dq - Jumlah output yang diproduksi pada saat AC atau MC minimum terjadi bila turunan pertama bernilai nol dan turunan kedua bernilai lebih dari 1.

9 Contoh Soal Bila kurva biaya rata-rata ditunjukkan oleh persamaan: AC = 25 8Q + Q 2, tentukan jumlah output yang diproduksi pada saat AC minimum. Turunan pertama AC = Q = 0 Q = 4 Turunan kedua AC = 2 AC > 1, sehingga pada Q = 4, maka AC minimum.

10 Penerimaan Penerimaan (revenue) adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya. a. Penerimaan Total (Total Revenue) = TR penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya. TR = P. Q b. Penerimaan Rata-Rata (Average Revenue) = AR penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual. AR = TR / Q = P c. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) = MR tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output. MR = dtr dq

11 Jenis Pasar 1. Pasar Persaingan Sempurna ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar. 2. Pasar Monopoli ditandai dengan hanya ada satu penjual dalam pasar sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi sehingga produsen dapat mempengaruhi harga di pasar dengan cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi.

12 Penerimaan dan Elastisitas Konsep penerimaan seringkali dihubungkan dengan konsep elastisitas. Sifat-sifatnya adalah: 1. TR menaik selama elastisitas harga ε h dari kurva permintaan D lebih besar dari satu. 2. TR mencapai maksimum pada saat elastisitas harga sama dengan satu. 3. TR menurun pada daerah dimana kurva permintaan mempunyai elastisitas harga lebih kecil dari satu

13 Contoh Soal Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = Q, berapkah penerimaan maksimum yang dapat diperoleh oleh produsen? TR = P. Q = (20 0.4Q) Q = 20Q 0.4Q 2 TR maksimum apabila turunan pertamanya = 0 dan turunan keduanya < 0 TR = MR = Q = 0 Q = 25 Turunan kedua = -0.8 < 0, sehingga pada Q = 25, penerimaan total maksimum sebesar 250. Pada Q = 25, TR = 250 maka P = 10

14 Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi A. Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mengetahui bagian fungsi yang menarik dan bagian yang menurun. Contoh: f(x) = 3x 2 + 7, maka turunan pertama dari fungsi f(x) = f (x) = 6x, sehingga untuk semua nilai x > 0, f(x) merupakan fungsi yang menaik dan untuk setiap x < 0, f(x) merupakan fungsi yang menurun

15 Turunan Pertama Fungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih kecil dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a. Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih besar dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a. Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif. Titik minimum lokal = titik minimum relatif.

16 Turunan Pertama Setiap fungsi f(x) dapat diselidiki apakah mempunyai titik-titik maksimum atau minimum dengan cara: a. Mencari nilai x yang menyebabkan f(x) = 0. Nilai x diperoleh dengan mencari akar persamaan f (x) = 0. b. Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar x. Bila akar dari persamaan f (x) = 0 adalah a, maka perubahan tanda f (x) dari (+) ke (-) menunjukkan titik maksimum lokal, dan apabila tanda f (x) berubah dari (-) ke (+) menunjukkan titik minimum lokal. Dan apabila tandanya tidak berubah pada x = a, maka tidak terdapat titik maksimum dan minimum lokal pada fungsi f(x).

17 Contoh Soal Tentukan titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi y = 2x 3 + 3x 2 36x + 4. y = 6x 2 + 6x 36 = 0 :6 y = x 2 + x 6 = 0 (x + 3)(x 2) = 0 x 1 = -3 dan x 2 = 2 Untuk setiap x < -3 nilai y > 0 (+) dan untuk setiap -3<x<2 nilai y < 0 (-) sehingga fungsi tersebut maksimum pada x = -3. Untuk setiap -3<x<2 nilai y < 0 (-) dan untuk setiap x > 2 nilai y > 0 (+) sehingga fungsi tersebut minimum pada nilai x = 2.

18 Turunan Kedua Turunan kedua dari suatu fungsi merupakan turunan dari turunan pertama suatu fungsi. Turunan kedua dari suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan bagian kurva yang lengkung ke atas dan bagian yang lengkung ke bawah. Jika untuk x = a, turunan kedua f (x) nilainya positif, maka y = f (x) merupakan fungsi yang menaik di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke atas. (d 2 y / dx 2 ) > 0 Jika untuk x = a, turunan kedua f (x) nilainya negatif, maka y = f(x) merupakan fungsi yang menurun di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke bawah.

19 Turunan Kedua Turunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk melakukan tes terhadap suatu fungsi apakah fungsi tersebut mempunyai titik maksimum atau minimum Bila f(x) dan f (x) kontinu pada x = a dan f (a) = 0, maka: Titik x = a maksimum bila f (a) < 0 Titik x = a minimum bila f (a) > 0 Tes tidak dapat dilakukan bila f (a) = 0

20 Contoh Soal Tentukan titik maksimum dan minimum lokal dari y = 1/3 x 3 2x 2 5x +2 y = x 2 4x 5 = 0 (x 5)(x + 1) = 0 X 1 = 5 dan x 2 = -1 Untuk x = -1 y < 0 maksimum pada x = -1 Untuk x = 5 y > 0 minimum pada x = 5

21 Keuntungan Produsen Keuntungan merupakan selisih antara seluruh penerimaan dan ongkos-ongkos yang harus dikeluarkan: π = TR TC Keuntungan yang diperoleh akan maksimum apabia dπ = 0 dan d 2 π < 0 dq dq 2 atau MR = MC dan dmr < dmc dq dq Untuk memperoleh kerugian yang minimum maka P > AC.

22 Contoh Soal π Bila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh TR = 100Q 4Q 2 dan biaya totalnya ditunjukkan oleh TC = Q, maka tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar supaya produsen memperoleh keuntungan yang maksimum. = TR TC = 100Q 4Q Q = 80Q 4Q 2 50 π akan maksimum bila: 1. dπ/dq = Q = 0 Q = d 2 π/dq 2 < 0-8 < 0 syarat terpenuhi Atau MR = MC MR = turunan TR = 100-8Q MC = turunan TC = Q = 20 Q = dmr < dmc dq dq -8 < 0 syarat terpenuhi

23 Contoh Soal 2 Biaya rata-rata yang dikeluarkan oleh produsen ditunjukkan oleh persamaan AC = 1/3 Q 2 25Q /Q. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh bila harga barang per unitnya adalah P = 100? AC = 1/3 Q 2 25Q /Q TC = AC. Q = 1/3 Q 3 25Q Q MC = turunan dari TC = Q 2 50Q MR = P = 100 Keuntungan maksimum didapat apabila: 1. MR = MC 100 = Q 2 50Q Q 2 50Q = 0 (Q 10)(Q 40) = 0 Q1 = 40 dan Q2 = dmr < dmc dq dq untuk Q = 40 dmr < dmc dq dq untuk Q = 10 dmr > dmc tidak memenuhi syarat dq dq TR = 40 x 100 = 4000 TC = 1/3 (40)3 25(40) (40) = /3 π = TR TC = /3

24 Tugas 3 1. Cari hasil dari: a. b. 2. Cari turunan pertama dari: a. y = x 2 +2x-10 b. y = (x+1)(x+2) c. y = 1/(x 2 +5) d. y = log(2x+10)