Penerapan Algoritma Kuhn-Munkres dalam Penyelesaian Masalah Penugasan Multi-objective pada Industri Konveksi Tas DP. SPORTY

Transkripsi

1 PRISMA 1 (2018) PRISMA, Prosidig Semiar Nasioal Matematika Peerapa Algoritma Kuh-Mukres dalam Peyelesaia Masalah Peugasa Multi-objective pada Idustri Koveksi Tas DP. SPORTY Tiara Budi Utami, Isaii Rosyida, Mulyoo Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Negeri Semarag, Kota Semarag ytiarara@gmail.com Abstrak Pada peelitia ii, diberika suatu prosedur utuk meyelesaika masalah peugasa multiobjective (MOAP) dega megguaka Algoritma Kuh-Mukres. Algoritma Kuh- Mukres haya dapat diterapka pada kasus masalah peugasa sederhaa (sigleobjective), sedagka pada masalah peugasa multi-objective membutuhka optimasi secara serempak dari beberapa tujua pegoptimala (biaya, waktu, da kualitas). Utuk meyelesaika masalah tersebut, dilakuka trasformasi fugsi tujua multi-objective ke dalam betuk sigle-objective dega megguaka pedekata vektor bobot. Kemudia, prosedur yag diusulka diilustrasika dega studi kasus masalah peugasa pada idustri koveksi tas DP. Sporty. Hasil peerapa metode pada data studi kasus diperoleh solusi masalah peugasa berupa pasaga pekerja da tugas dega total pemafaata sumber daya yag optimal secara bersamaa. Selai megguaka Algoritma Kuh-Mukres, dilakuka pecaria pasaga peugasa optimal megguaka Solver. Hasil perhituga dega Solver memberika pasaga peugasa yag sama dega hasil perhituga dega Algoritma Kuh-Mukres. Kata Kuci: Matchig, Algoritma Kuh-Mukres, Peugasa Multi-objective PENDAHULUAN Masalah umum peugasa meliputi x tugas yag harus ditetapka kepada y pekerja di maa setiap pekerja memiliki kompetesi yag berbeda dalam meyelesaika setiap tugas (Hillier & Lieberma, 2008). Tujua dari masalah peugasa adalah utuk meetapka tugas yag sesuai pada pekerja sehigga total pegeluara sumber daya utuk meyelesaika semua tugas dapat dioptimalka. Beberapa peelitia telah dikembagka utuk memecahka masalah peugasa. Sebagia besar metode yag dikembagka haya mempertimbagka satu tujua pegoptimala. Masalah peugasa ii yag disebut sebagai masalah peugasa sederhaa (sigle-objective). Kebayaka kasus peugasa yag mugki diigika tidak ditetuka haya berdasar pada satu pertimbaga. Dibutuhka optimasi secara serempak dari beberapa kriteria sehigga diperoleh peugasa yag sesuai. Masalah peugasa yag mempuyai beberapa tujua pegoptimala terhadap beberapa jeis sumber daya yag dimiliki oleh pekerja dalam meyelesaika tugas, baik berupa kuatitatif maupu kualitatif disebut sebagai masalah peugasa multi-objective (Przybylski et al., 2009). Peelitia sebelumya mecoba meyelesaika masalah peugasa multiobjective yag terkait dega biaya da waktu (Geetha et al., 1993). Selajutya, Bao et 65

2 Tiara Budi Utami, Peerapa Algoritma Kuh-Mukres dalam Peyelesaia Masalah al. (200) memberika pedekata baru dalam meyelesaika masalah peugasa multiobjective dega metode pemrograma 0-1 di maa masalah peugasa multi-objective diterjemahka mejadi masalah liier. Garrett et al. (200) meyelesaika masalah peugasa multi-objective pada pelaut (Sailor Assigmet Problem/ SAP) yag dikeai kodisi bahwa bayakya pelaut da tugas tidak sama, yaitu dega Algorima Hibrida. Metode lai utuk meyelesaika masalah peugasa multi-objective adalah dega metode dua fase (Przybylski et al., 2010) da Algoritma Brach & Boud (Belhoul et al., 2014) di maa dalam metode ii seluruh kemugkia solusi diperhitugka sebagai kadidat solusi. Selai metode-metode yag telah disebutka di atas, terdapat beberapa pedekata pada kasus optimasi multi-objective yag dapat diterapka utuk masalah peugasa, di ataraya dega Algoritma Geetika (Deb et al., 2002), Pedekata Pareto (Kowles & Core, 2000), da Algoritma Evolusioer Multi-Objective (Ye & Lu, 2003). Metode yag dapat diterapka utuk meetuka peyelesaia dari masalah peugasa optimal salah satuya melalui pedekata teori graf dega Algoritma Kuh- Mukres yag dikembagka oleh Kuh (1955) da Mukres (195) (Body & Murty, 196). Masalah peugasa diyataka dega graf bipartisi komplit berbobot, kemudia dicari solusi optimalya berupa pejodoha sempura (perfect matchig) dega bobot maksimum (Mills-Tettey et al., 200). Selama ii Algoritma Kuh-Mukres haya diterapka pada kasus masalah peugasa sederhaa (sigle-objective). Pada peelitia ii peulis mecoba meerapka Algoritma Kuh-Mukres dalam meetuka solusi optimal dari cotoh kasus masalah peugasa multi-objective pada idustri koveksi tas DP. Sporty, sehigga melalui lagkah peyelesaia yag diusulka dapat memberika hasil peugasa yag optimal. METODE Pada peelitia ii diguaka metode kajia pustaka. Lagkah-lagkah yag dilakuka yaitu idetifikasi masalah, persiapa peelitia, aalisis da pemecaha masalah, da pearika simpula. Pada tahap idetifikasi masalah, dilakuka pecaria ide dari bidag kajia yag dipilih da dijadika permasalaha utuk dikaji. Masalah utama yag mucul adalah apakah Algoritma Kuh-Mukres dapat diterapka dalam peyelesaia masalah peugasa multi-objective. Lagkah selajutya, utuk mejawab permasalaha yag ditemuka dilakuka pegkajia secara teoritis terhadap sejumlah literatur da sumber pustaka yag releva. Studi pustaka diawali dega megumpulka data da iformasi dari berbagai sumber pustaka yag berkaita dega masalah peugasa optimal (optimal assigmet problem), peugasa multi-objective, pejodoha pada graf (matchig), da Algoritma Kuh-Mukres. Setelah dilakuka pegkajia terhadap teori-teori yag medukug, kemudia membuat racaga metode peyelesaia yag atiya aka mejadi jawaba dari masalah yag ditemuka. Peracaga solusi diawali dega meerapka Algoritma Kuh-Mukres utuk masalah peugasa sederhaa (sigle-objective). Kemudia, mecoba meerapka Algoritma Kuh-Mukres pada cotoh kasus masalah peugasa multi-objective. Dalam proses memperoleh jawaba dari masalah yag diagkat dalam peelitia ii dilakuka aalisis terhadap metode peyelesaia yag telah diracag utuk masalah peugasa multi-objective. Lagkah-lagkah peyelesaiaya adalah sebagai berikut: 1) PRISMA 1,

3 Tiara Budi Utami, Peerapa Algoritma Kuh-Mukres dalam Peyelesaia Masalah Meyusu model matematika; 2) Melakuka ormalisasi data (Grodzevichl & Romako, 2006); 3) Modifikasi fugsi tujua megguaka pedekata vektor bobot, maksimumka (miimumka): z(x) 1 = α 1 c 2 ij x ij + α 2 c p ij x ij + + α p c ij x ij (1) (Bao, et al., 200); 4) Meetuka solusi optimal masalah peugasa multi-objective yag direpresetasika dalam graf bipartisi komplit berbobot dega meerapka Algoritma Kuh-Mukres (Chartrad & Oellerma, 1993). HASIL DAN PEMBAHASAN Fokus utama dari masalah peugasa multi-objective adalah megoptimalka p fugsi tujua secara bersamaa. Tujua pegoptimala yag dimaksud adalah maksimisasi, miimisasi, atau kombiasi dari maksimisasi da miimisasi dari masigmasig p fugsi tujua. Model matematis utuk masalah peugasa multi-objective dega p tujua (pap) dirumuska sebagai berikut: Miimumka (maksimumka): z(x) = {z 1 (X), z 2 (X),, z p (X)} di maa k z k (X) = c ij x i, utuk setiap k = 1,2,, p dega kedala: x ij = 1, utuk setiap i = 1,2,, j=1 x ij = 1, utuk setiap j = 1,2,, i=1 1, jika tugas j ditetapka utuk pekerja i. x ij = { 0, jika tugas j tidak ditetapka utuk pekerja i. (2) Keteraga: z(x) : fugsi tujua yag dicari ilai optimalya (maksimum atau miimum). k : bayakya tujua (obyektif). : bayakya tugas (da pekerja). x ij : peugasa dari pekerja i ke tugas j. k c ij : parameter alokasi (biaya operasi o-egatif) dari pekerja i ke tugas j..dega tujua k. Cotoh Kasus Dalam memahami lagkah peyelesaia masalah peugasa multi-objective, diberika cotoh kasus masalah dalam situasi yata. PRISMA 1,

4 Tiara Budi Utami, Peerapa Algoritma Kuh-Mukres dalam Peyelesaia Masalah Seorag Kabag produksi Koveksi Tas DP Sporty bertugas utuk meetapka tujuh pejahit ke tujuh mesi jahit yag berbeda. Kriteria dalam proses peempata pejahit dilihat dari segi upah pejahit (C), waktu peyelesaia (T), da kualitas jahita (S). Berdasarka data riwayat produksi pada 2 bula sebelumya, jika pejahit P i ditempatka pada mesi T j, bayakya upah yag dibayar per hari (dalam ribua), lamaya waktu peyelesaia per produk (dalam detik), da kualitas jahita (skor 1-100), dari masigmasig pejahit diperlihatka pada Tabel 1. Tabel 1. Riwayat produksi I Mesi Pejahit T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T c P 1 t s c P 2 t s c P 3 t s c P 4 t s c P 5 t s c P 6 t s c P t s (Sumber: Lapora da Evaluasi Produksi DP. Sporty Bula April da Mei 201) di maa c ij adalah upah yag harus dibayarka jika pejahit i ditempatka di mesi j, t ij adalah waktu yag diperluka pejahit i utuk meyelesaika tugas di mesi j, da s ij adalah skor akhir pejahit i dalam meghasilka tas dega mesi j. Fokus utama masalah adalah bagaimaa meempatka tiap pejahit pada tiap mesi sehigga total bayakya upah yag dibayarka, lamaya waktu peyelesaia dapat miimum da skor pejahit dapat maksimum secara bersamaa. Lagkah-lagkah peyelesaia dari masalah pada kasus di atas adalah sebagai berikut: 1) Meyusu model matematika Tujua dari masalah peugasa pada kasus di atas adalah memiimumka upah da waktu, serta memaksimumka kualitas secara bersamaa. Karea terdapat tipe masalah miimum, dilakuka rekostruksi bobot pada data upah (c ij ), da waktu (t ij ), sedagka utuk data skor (s ij ) tetap karea sudah bertujua maksimum. Kemudia, direkostruksi dega meetuka ilai PRISMA 1,

5 Tiara Budi Utami, Peerapa Algoritma Kuh-Mukres dalam Peyelesaia Masalah maksimum dari tiap tujua, kemudia ilai maksimum tersebut dikuragka dega setiap ilai dari tujua tersebut. Dari hasil rekostruksi diperoleh data baru (c ij, t ij ) yag diperlihatka pada Tabel 2. Tabel 2. Data riwayat produksi II (rekostruksi) Mesi Pejahit T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T c P 1 t s c P 2 t s c P 3 t s c P 4 t s c P 5 t s c P 6 t s c P t s ) Normalisasi data Dalam kasus peugasa dega tujua megoptimalka upah, waktu, da skor pejahit, diketahui ketiga tujua tersebut mempuyai satua ukur yag berbeda. Maka dari itu, data upah, waktu, da skor pejahit perlu diormalisasi terlebih dahulu yaitu meyetaraka semua data dega cara membagi data jeis sumber daya yag aka dioptimalka (biaya, waktu, da skor) dega data maksimum dari masig-masig. Hasil ormalisasi diperoleh data baru (c ij, t ij, s ij ) yag diperlihatka pada Tabel 3. Tabel 3. Data riwayat produksi III (ormalisasi) Mesi Pejahit T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T c P 1 t s c P 2 t s PRISMA 1,

6 Tiara Budi Utami, Peerapa Algoritma Kuh-Mukres dalam Peyelesaia Masalah P 3 P 4 P 5 P 6 P c t s c t s c t s c t s c t s ) Modifikasi fugsi tujua Masalah peugasa pada cotoh kasus di atas adalah masalah peugasa dega tiga tujua pegoptimala, sehigga diasumsika bobot tujua adalah α 1 = α 2 = α 3 = 1 dega α 3 1 = bobot upah, α 2 = bobot waktu, da α 3 = bobot skor. Kemudia, fugsi tujua dimodifikasi ke dalam betuk fugsi sigleobjective dega pedekata seperti pada persamaa (1), diperoleh fugsi tujua baru seperti berikut: Maksimumka: C, T, S = 1 3 c ij x ij t ij x ij s ij x ij. (3) Kemudia, substitusi data dari Tabel 3. ke fugsi tujua (3) higga diperoleh fugsi tujua dalam betuk sigle-objective. Koefisie-koefisie dari fugsi yag diperoleh teragkum dalam Tabel 4. Tabel 4. Data riwayat produksi IV (sigle-objective) Mesi Pejahit T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T P P P P P P P ) Peyelesaia dega Algoritma Kuh-Mukres Setelah diperoleh data dalam betuk sigle-objective (Tabel 4), kemudia dicari pasaga peugasa dega meerapka Algoritma Kuh-Mukres. Dipuyai P i adalah aggota himpua pekerja (pejahit) dega i = 1,2,, da T j adalah aggota himpua tugas (mesi) dega j = 1,2,,. PRISMA 1,

7 Tiara Budi Utami, Peerapa Algoritma Kuh-Mukres dalam Peyelesaia Masalah Hasil perhituga dega Algoritma Kuh-Mukres diperoleh pejodoha sempura (optimal): M = {x 1 y 3, x 2 y 4, x 3 y 1, x 4 y, x 5 y 2, x 6 y 5, x y 6 }. Jadi, pasaga peugasa yag dihasilka adalah P 1 ditugaska ke T 3, P 2 ditugaska ke T 4, P 3 ditugaska ke T 1, P 4 ditugaska ke T, P 5 ditugaska ke T 2, P 6 ditugaska ke T 5, da P ditugaska ke T 6. Gambar 1. Graf G l dega pejodoha M Kemudia, substitusi data Tabel 1 pada pasaga peugasa yag dihasilka sehigga diperoleh, total upah yag harus dibayar: C = = 326; total waktu peyelesaia: T = = 158; total skor maksimal: S = = 601. Selai megguaka Algoritma Kuh-Mukres, dilakuka pecaria pasaga peugasa data sigle-objective pada Tabel 4 megguaka Solver. Hasil perhituga ditujukka pada Gambar 2. Gambar 2. Hasil Perhituga dega Solver PRISMA 1,

8 Tiara Budi Utami, Peerapa Algoritma Kuh-Mukres dalam Peyelesaia Masalah Berdasarka hasil perhituga dega batua Solver pada Tabel 5, diperoleh pasaga peugasa yag sama dega hasil perhituga dega Algoritma Kuh- Mukres, kesimpula yaitu P 1 ditugaska ke T 3, P 2 ditugaska ke T 4, P 3 ditugaska ke T 1, P 4 ditugaska ke T, P 5 ditugaska ke T 2, P 6 ditugaska ke T 5, da P ditugaska ke T 6. SIMPULAN Masalah peugasa multi-objective merupaka masalah peugasa yag memugkika utuk megoptimalka beberapa tujua (objectives) secara bersamaa. Dalam meerapka Algoritma Kuh-Mukres pada masalah peugasa multi-objective, lagkah-lagkah peyelesaiaya adalah meyusu model matematika, melakuka ormalisasi data, modifikasi fugsi tujua mejadi betuk sigle-objective, kemudia meetuka solusi optimal masalah peugasa multi-objective yag direpresetasika dalam graf bipartisi komplit berbobot dega Algoritma Kuh-Mukres. Sara yag dapat diberika utuk peelitia berikutya adalah megkaji peyelesai masalah peugasa multi-objective dega Algoritma Kuh-Mukres pada kasus bayakya pekerja da tugas tidak sama serta disaraka utuk membuat program yag dikombiasika dega pedekata yag diguaka utuk meyelesaika masalah peugasa multi-objective. DAFTAR PUSTAKA Bao, C., Mig-Chi, T. & Meei-ig, T A New Approach to Study The Multi- Objective Assigmet Problem. WHAMPOA A Iterdiscipliary Joural, 53: Belhoul, L., Galad, L., & Vaderpoote, D A Efficiet Procedure for Fidig Best Compromise Solutios to the Multi-Objective Assigmet Problem. I Computers & Operatios Research. Elsevier. Body, J.A. & Murty, U. S Graph Theory with Applicatios. New York: Elsevier Sciece Publishig Co., Ic. Chartrad, G. & Oellerma, O. R Applied ad Algorithmic Graph Theory. New York: Mc Graw Hill, Ic. Deb K., Pratap, A., Agarwal, S., & Meyariva, T A Fast ad Elitist Multiobjective Geetic Algorithm: NSGA-II. Joural of IEEE Trasactios o Evolutioary Computatio, 6(2): Garrett, J.D., Vaucci, J., Silva, R., Dasgupta, D., & Simie, J Applyig Hybrid Multiobjective Evolutioary Algorithms to the Sailor Assigmet Problem. I Advaces i Evolutioary Computig for System Desig. Spriger Verlag. Geetha, S. & Nair, K. P. K A Variatio of the Assigmet Problem. Europea Joural of Operatioal Research, 68(3): Hillier, S. F. & Lieberma, J. G Itroductio To Operatios Research (9 th ed.). New York: Mc Graw-Hill, Ic. Kowles, J.D. & Core, D.W Approximatig the Nodomiated Frot Usig the Pareto Archived Evolutio Strategy. Joural of Evolutioary Computatio, 8(2): Kuh, H.W The Hugaria Method for the Assigmet Problem. Joural of Naval Research Logistics Quarterly, 2: PRISMA 1,

9 Tiara Budi Utami, Peerapa Algoritma Kuh-Mukres dalam Peyelesaia Masalah Mills-Tettey, G. A., Stetz, A., & Dias, M. B The Dyamic Hugaria Algorithm for the Assigmet Problem with Chagig Cost. Pittsburgh: Caregie Mello Uiversity. Mukres, J Algorithms for the Assigmet ad Trasportatio Problems. Joural of the Society for Idustrial ad Applied Mathematics, 5(1): Przybylski, A., Gadibleux, X., & Ehrgott, M Computatioal Results for Four Exact Methods to Solve the Three-Objective Assigmet Problem. I Lecture Notes i Ecoomics ad Mathematical Systems, 618: Edited by V. Barichard, M. Ehrgott, X. Gadibleux, & V. T Kidt. Berli: Spriger Verlag. Przybylski, A., Gadibleux, X., & Ehrgott, M A Two Phase Method for Multi- Objective Iteger Programmig ad Its Applicatio to the Assigmet Problem with Three Objectives. Joural of Discrete Optimizatio, : Ye, G.G. & Lu, H Dyamic Multiobjective Evolutioary Algorithm: Adaptive Cell-Based Rak ad Desity Estimatio. Joural of IEEE Trasactios o Evolutioary Computatio, (3): PRISMA 1,