ESTIMASI FUNGSI DENSITAS MULTIVARIAT SECARA SEMIPARAMETRIK. Mochamad Sonhaji *

Transkripsi

1 ESTIMASI FUNGSI DENSITAS MULTIVARIAT SECARA SEMIPARAMETRI Mocama Soa * ASTRA ESTIMASI FUNGSI DENSITAS MULTIVARIAT SECARA SEMIPARAMETRI. Tuua ar paper aala uuk membau suau kelas ar esmas-esmas semparamerk a meemuka esmaor ya cocok uuk kelas. Gaasaya aala ea mealka esmas us esas paramerk ea us koreks ya awarka. am membaasya alam mulvara. Esmaor ya baru arusla mua uaka bla aap problem alam peuaa esmas secara paramerk aaupu oparamerk. Dsaka ua perbaa eraap esmaor kerel ea beberapa coo. aa kuc : Esmaor or-gla Esmaor Lokal Lkeloo Esmaor or-joes us kerel baw MISE AMISE. ASTRACT SEMIPARAMETIC ESTIMATION ON MULTIVARIAT DENSITY FUNCTIONS. Te obecves o s paper are o evelop a class o semparamerc esmaos a o a approprae esmaor or s class. Te ea s o mulply a al paramerc esy esmae w a proposal correco uco. We coser s suy e mulmesoal case. A ew esmaor soul be parcularly useul we eer paramerc or oparamerc meos ave problems. Te comparsos w e raoal kerel esmaor are presee by some praccal eamples. PENDAULUAN Dmsalka aala observas-observas bermes ya epee ar us esas ya ak keau. Dar observas-observas u kam mecoba uuk meesmas. Aa ua kelas peekaa alam meesmas esas yau peekaa secara paramerk a peekaa secara oparamerk. Dalam peekaa paramerk asumska sebaa aoa ar * Meoolo Sask aa Pusa Sask PS

2 kelas paramerk bermes erbaas { Θ} maa Θ aala rua paramerk ar muk berupa vekor. Masala esmas alam kelas aala esmas. Dea meuaka esmaor yau euka bawa esmaorya. Seaaya ak muk uuk asumska sebaa aoa ar kelas paramerk maka pe uuk meaaka peekaa ea cara la yau peekaa oparamerk. Aa bayak meoe peekaa secara oparamerk. Supaya erapa ubua ea makala kam saka peekaa secara oparamerk ea meuaka us kerel. Fus kerel u basaya berupa us esas ya smers. euua alam meuaka us kerel aala erapaya kemuaa alam peua sa asar esmaor seper bas a varas sera apaka awaba aal a seeraa uuk peembaa aplkas ya leb luas. Esmaor ya erkeal ea meuaka us kerel aala esmaor esas kerel rasoal re. Wa a Joes 995 sebaa berku: σ ~ z z z maa aala mark ore e pos smers ya amaka mark baw aau ska baw a aala us esas bervara ya smers ya amaka us kerel ea keeua -/ -/. Sa asar ~ aala uuk - -/ maa R z z as ~ σ Η [] O Var ~ R O / / a Η [] aala eleme ar Η []. Noas ar Η [] aala mark essa ar. area peekaa oparamerk memberka awaba ya leksbel emka pula kemuaa aplkas ar peekaa paramerk akr-akr ser skuska peekaa baru yau semparamerk. Cooya or a Gla 995 a or a Joes 996 ya aka baas leb lau ses berkuya. Tuua

3 meuaka semparamerk aala uuk meemuka meoe esmas ya leb bak ba meoe paramerk maupu oparamerk eruama ka mealam kesula bla meuaka keua meoe ersebu. Dalam paper kam ua awarka suau kelas esmas esas paramerk a mecoba meemuka esmaor ya erbak alam kelas. Pemucula us kerel aka memerluka speskas leb lau ea baw aka eap ak kam baas alamya. Secara rasoal Mea Ierae Square Error MISE aaupu Asympoc MISE AMISE ser uaka sebaa ala evaluas ar suau esmaor. am aka meuaka AMISE uuk berskus leb lau ea peemua sebua esmaor baru. ESTIMATOR DENSITAS SEMIPARAMETRI Esmas us esas uuk observas-observas merupaka persoala asar alam sask aka eap suau al ya sul. euua meuaka meoe paramerk aala memukka alam mempelaar observas-observas u ea mua. Aka eap ka observas-observas u au ar moel paramerk maka apa baaya ka meuaka meoe paramerk alam keakuraa esas esmaorya. Dalam al peekaa secara oparamerk perlu uuk pkrka. Dar keleksbela peekaa oparamerk a peyelesaa ya seeraa ar peekaa paramerk para lmua sask berusaa uuk membua meoe abua oparamerk a paramerk yau meoe semparamerk. Meoe berkemba pesa saa. Dalam paper kam meokuska esmas esas secara semparamerk meuaka meoe or a Gla 995 a or a Joes 996. Meoe semparamerk esa leb bak baka ea esmaor kerel alam lkup oparamerk ea pembera esmas awal secara paramerk seper us ormal ya aslya ak kelaa keela erlalu bayak paa saa aapka masala us esas sebearya au ar kelas paramerk. Gaasaya aala ea mealka esmas esas paramerk ea us koreks. Proseur eksya aala sebaa berku. Dmsalka ^ aala us esas paramerk ya merupaka esmas kasar ar. Peelasa kas aasa aala

4 Ja masala peesmasa us esas secara semparamerk aala uuk meemuka esmaor us koreks yau /. D bawa aala coo-coo vers ar us koreks. Coo. Esmaor or-joes Dmsalka aala sebua k. osep uameal ar esmaor or-joes yau meeuka opmum sebaa esmaorya ea memmumka us ermba q - { - } Pemba - esa secara lokal eraap ya eka ea. Paa prakekya ea memmumka q - - Nla opmum aala Ja apaka esmaor sebaamaa bawa. I aala vers mulvara ar esmaor ya skuska alam or a Joes 996 Ses J. J J

5 Coo. Esmaor Lokal Lkeloo Gaasa uama alam meapaka us koreks uuk coo aala ea memaksmumka us local lo-lkeloo L - [ lo{ }- ]. Sebaa pea F ya ak keau kam meuaka srbus emprs F sebaamaa coo sea L bsa aka ea L ~ lo- -. Tapa mealam kesula esmaor Lokal Lkeloo perole alam beuk maa re. or a Joes 996 Ses 5.5. Coo 3. Esmaor or-gla or a Gla meawarka esmaor : G G maa G /. LL LL arma L LL

6 I aala esmaor ya alam uuk re. or a Gla 995 Ses 7. Mereka berarumeas alam paperya bawa esmaor mereka bekera bak meuaka 5 es esas ls alam paper Marro a Wa 99 ea sar ormal alam kasus uvara aau. Esmaor memeaka ar 5 es ba ea meoe kerel ya basaya. Perbeaa ar esmaor-esmaor u erleak kepaa us koreksya. Ya meark us-us koreks u seola-ola meku suau keeua kusus. I memberka movas kepaa kam uuk meawarka suau beuk umum ar esmaor-esmaor aas. Dmsalka aala esmas esas paramerk. I aala esmas kasar ar. Da euka sebaa k eap. am meawarka us uuk meapaka esmaor ar. Caaa bawa - aala pemba la paa us q alam coo maa. Secara prakek esmaor ar apa perole ea meopmumka Akrya kam meemuka esmaor baru: maa ar m Q am meeaska merupaka suau kelas umum uuk esmas semparamerk. euua alam peuaa us Q aala uuk membua suau kelas ya mecakup kea esmaor aas ea kaa la Q } {. Q

7 J LL 3. G SIFAT ESTIMATOR Dalam ses kam mempelaar bas a varas ea meeuka beberapa asums paa a sebaa berku : A a aala koyu uuk A a sea - -/ - a semua eleme meeka ol ka. A3 merupaka us kerel vara- ya boue a compac ea memeu z z z z z a T zz z z a σ σ. Teu saa peua uuk bas a varas esmaor cukup sul kareaka erapa mulmes ya aa yau parameer a observas u ser. Sebaa reeres ya umum keau bawa aa sau us T sea TF a TF ea us luece I lm ε { T ε F εδ T F} / ε maa aala massa u paa k. Dalam kos reular apa b I ε maa γ Op - ea raa-raa O - a b/ aala bas ar. Ds I I I I mempuya raa-raa ol re. Lema 983. Paa al mamum lkeloo

8 T I I lo. lo E I T as σ O R Var O. ] [ ] [ as σ O R Var. O keau bawa maa Lemma. Dmsalka aala esmas peekaa paramerk ya sua eapka a erbak uuk. erasarka asums A-A3 esmaor * mempuya sa 3 maa Lemma aas meeraka bawa parameer ya uaka sua euka ea kaa la e sar a bsa aplkaska uuk peua bas a varas ka meuaka sar paramerk. Dalam kasus berbeuk srbus uorm aka memberka beuk esmaor seper esmaor kerel. Teorema. erasarka asums A-A3 esmaor semparamerk mempuya sa 5 6

9 R AMISE O Pembuka uuk Lemma a Teorema ak seraka alam paper karea saa paa. Teorema meeraka bawa varas ak erau paa. Faka aka memberka skus meark alam peembaa suau esmaor baru alam kelas. Remark 3. Jka { Θ} aau maka baa ar bas yau mea ol. EVALUASI Uuk meevaluas esmaor kam meuaka MISE. MISE aala ukura smoo ya merupaka la arapa ar eral kwara ar sels esmaor a areya. Dalam al MISE ar aala MISE mempuya ua kompoe yau eral ar varas a bas kwara yau maa E MISE as MISE Var o AMISE. σ

10 { }. as O σ { } AMISE 3 R C C C σ σ Dalam paper kam aka memaka la AMISE uuk meemuka suau esmaor baru ya bsa bersa ea esmaor la alam kelas. Dar asl la AMISE keau bawa varas ak erau paa sea kam erark kepaa eral ar bas kwara. Tare kam aala uuk meyelk. Apaka muk bsa meemuka opmum ar paa la AMISE sea perole suau esmaor erbak alam kelas. Perama peraka baa ar bas yau. am apaka 7 maa Maka 5 bsa uls seper berku: 8 Dar ua aas aala saa sul uuk meapaka la opmum karea mas bercampur ea eleme baw. Ole sebab u perlu euka semua elemeya sama yau uuk. Dar persamaa 6 a 8 AMISEya bsa uls sebaa 9 maa C

11 C C 3 σ σ σ σ maa a seper ya elaska alam 7. a meekaka alasa meapa meuaka parameer karea beuk ar bas 8 mearaka bas kwaraya paa beuk C -C C 3 ya mearka bawa aa ya opmum sea aala esmaor er bak alam kelas. Akrya apaka la opmumya ka C / C. PERANDINGAN SECARA ASIMTOT Tuua ses aala uuk membaka secara asmo aara la AMISE esmaor baru ea esmaor kerel rasoal. Uuk u kam uaka kos a σ σ uuk. I mearka bawa perbaa ak pearu ole us kerel ya uaka. Dar 9 AMISE ar esmaor baru mea maa 3 R { C C C } AMISE σ C C

12 C 3. Semeara u AMISE ar esmaor kerel rasoal ea kos ya sama mempuya beuk maa AMISE ~ R { } σ C C. Uuk perbaa AMISE aala cukup uuk membaka baa C -C C 3 alam persamaa ea C paa persamaa Esmaor ya erbak aala esmaor ya mempuya AMISE pal kecl ba ea ya la. Jka berka coo kokr ar us a maka keuaya bsa u a baka. Perbaa s uuka uuk meeuka esmaor maa ya leb cocok uuk paka. Dalam paper aka bukka bawa esmaor baru kam leb bak ba ea meoe kerel rasoal ea meuaka us ormal sebaa us paramerk awalya a ermasuk ree ormal mures ea kaa la p φ µ pφ µ maa p p p p 3 : I : I : I Ε Φ I I. Dea raa-raa a varas ar : T { µ µ } p3φ µ : p : p : p 3 : 3 p pµ pµ ya merupaka parameer erbakya. Ds uaka us paramerk awal yau sebua us ormal. Sea paramerk awalya aala : µ sebab raa-raa a varas srbus ormal ersebu membua arak peek paa esas sesuuya uuk ulback-lebler sace. Paa kos emka bsa apaka la eral ar bas kwara uuk membakaya. T

13 eberapa coo perbaa la AMISE esmaor baru ea esmaor kerel. Grak kr: pemsala us esas sebearya alam ree ormal mures. Grak kaa: perbaa rap C ea C -C C 3. Grap : p p µ 3 µ 3 σ 3 9; 5 Grap : p p 3 µ -9 µ -6 µ 3 6 µ 3 9 σ 7 σ 3 8; 77

14 Grap 3: p p 3 µ -85 µ µ 3 - µ 3 85 σ 7 σ 3 8; 398 Grap : p 33 p µ µ µ µ µ 3 - µ 3 - σ 8 σ 7 σ 3 6; 667

15 Grap 5: p 33 p µ µ µ -8 µ -8 µ 3 - µ 3 - σ 8 σ 7 σ 3 6; 6995

16 Grap 6: p 393 p 3 µ -85 µ 5 µ 5 µ 85 µ 3 µ 3-5 σ 7 σ 7 σ 3 7; 935 Grap 7: p 33 p µ -3 µ µ 5 µ µ 3 µ 3-3 σ 6 σ 8 σ 3 7; 3988 ESIMPULAN Meoe kerel rasoal bekera leb bak ba ea meoe paramerk aka eap ar buk-buk smulas kam esmaor baru kam leb bak ar meoe kerel. Leb ar u esmaor ersebu merupaka suau kelas esmas semparamerk ya mecakup esmaor or-joes esmaor Lokal Lkeloo a esmaor or-gla. esmpula akr kam easka bawa aa esmaor ya erbak alam kelas. UCAPAN TERIMA ASI am saa bererma kas kepaa Pro. ao Nao Smae Uv. a

17 Pro. Maresuu Yamasak Smae Uv. ya meoro kam alam peela. Demka pula kepaa Sr ua M.S. Depu Perecaaa a Aalsa Sask- PS a ermo Woo. Sc. sa Meoolo Sask PS ya ela membau meau paper kam. DAFTAR PUSTAA. JORT N. L. GLAD I.. "Noparamerc Desy Esmao w a Paramerc Sar" A. Sas JORT N. L. JONES M. C. "Locally Paramerc Desy Esmao" A. Sas LEMANN E.L Teory o Po Esmao Jo Wley & Sos 983. MARRON J. S. AND WAND M. P. "Eac Mea Ierae Square Error A.. Sas WAND M. P. JONES M. C. erel Smoo Publ. y Capma & all Loo U 995

18 DISUSI MUSTANGIMA. Dalam suas sampl ya baamaa meoe semparamerk apa erapka?. Dar evaluas ya Aa lakuka apaka ssaa error ya perole memeu azas acak raom? MOCAMAD SONAJI. Paa asarya semparamerk approac memberka solus ya leb epa eraap semua aa apa baasa kos. Jkalau aa ersebu mempuya esas ya ceeru kepaa paramerk moel maupu oparamerk moel aala ak masala. Sebab semparamerk approac memberka ama keara u. Leb ar u solus ea semparamerk memberka peawara esmaor ya leb bak ba ea paramerk approac aaupu semparamerk approac.. am selalu memaka raom aa sea esmaor ya awarka ak erau paa aa u ser. ARO. Suaka Aa membaka esmaor aa ea esmaor la meuaka aa lapaa? earka esmaor aa erbak berasarka perbaa ersebu? Apa asar pemla la uuk esmaor aa? aamaa bla > aau >? erapaka la ya erbak? MOCAMAD SONAJI. am membaas esmaor ya awarka meuaka Fus erel. Teuya aa beberapa mooe semparamerk ya la. am leb memokuska kepaa esmaor secara semparamerk yau Esmaor or Joes Esmaor Local Lkeoo a Esmaor or-gla. erasarka

19 emua kam emuka suau kas semparamerk ya mecakup 3 esmaor ersebu emua kam meklam bawa aa esmaor ya erbak alam kelas. Selauya esmaor kam baka ea rasoal erel esmaor aala au leb bak ea caaa s smulasya meuaka rue esy ya erolo alam ree ormal mures. Daa ya uaka aala raom bsa uaka aa lapaa.. ersebu uuk membeuk suau kelas alam semparamerk moel. Nla sebearya bsa la real R. Seper ya ela kam elaska alam smulas paper kam bawa aa o opmum ya membeuk o yau esmaor ya erbak alam kelas semparamerk ya kam emuka. DAFTAR RIWAYAT IDUP. Nama : MOCAMAD SONAJI. Tempa/Taal Lar : Surabaya 7 Ju Isas : aa Pusa Sask PS. Pekeraa / Jabaa : Sa Desa Sask ro Meoolo 5. Rwaya Peka : seela SMA sampa sekara Smae Uv. maor Maemacs Smae Uv. maor Maemacs aasa Jepa a aasa Irs 6. Pealama era : 7. Orasas Proessoal : S S Smae Muslm Assocao SMA : IMAM SMA Smae Muslm Assocao SMA : Prese SMA Islamc Guace Socey IGS : Eor ural Islam Al-Irsaa Muslm Sue Assocao -Japa MSA-J :