ANALISIS DAN PERANCANGAN PREMI BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN BESAR KLAIM BERDISTRIBUSI PARETO BERBASIS C#

Transkripsi

1 1 ANALISIS DAN PERANCANGAN PREMI BONUS MALUS OPTIMAL DENGAN BESAR KLAIM BERDISTRIBUSI PARETO BERBASIS C# Deni Hartanto, Ro fah Nur Rachmawati, Derwin Suhartono Binus University Jalan KH. Syahdan No. 9 Palmerah Jakarta 11480, Indonesia roen.edin@gmail.com ABSTRACT Bonus-Malus System is a premium calculation system based on the claims history of policyholders. If there is no claim granted, then the cost of the premium ot be paid will be given a discount or called bonus, whereas when given a growing number of claims, the cost of premiums to be paid in the coming year will be greater called malus. In this paper we determine the optimal bonus-malus system premium, where the claim frequency is Geometric and the severity is Pareto. Then we use direct proof to compare the loss ratio on the optimal bonusmalus system with the current insurance premiums. The results of this study is a premium calculation application and concluded that the bonus-malus premiums can optimally benefit the insurance company or policyholder relies on claims history. Tags: Optimal Bonus-Malus System, Pareto Distriubution, Geometric Distribution. ABSTRAK Sistem bonus-malus adalah sistem perhitungan premi yang didasarkan pada riwayat klaim pemegang polis. Bila tidak ada klaim yang diberikan, maka biaya premi yang harus dibayarkan akan diberi potongan atau biasa disebut bonus, sedangkan bila semakin banyak klaim yang diberikan, maka biaya premi yang akan dibayarkan di tahun mendatang akan semakin besar atau biasa disebut malus. Pada tulisan ini dilakukan konstruksi penentuan premi menggunakan sistem bonus-malus optimal, dimana frekuensi klaim berdistribusi geometri dan besar klaim berdistribusi pareto. Kemudian akan dilakukan perbandingan loss ratio secara direct proof pada sistem bonus-malus optimal tersebut dengan premi asuransi yang berlaku sekarang. Hasil dari penelitian ini adalah sebuah aplikasi penghitungan premi dan disimpulkan bahwa premi bonus-malus optimal dapat menguntungkan pihak perusahaan asuransi atau pemegang polis bergantung pada sejarah klaim. Kata kunci : Sistem Bonus-Malus Optimal, distribusi Pareto, distribusi Geometri.

2 2 PENDAHULUAN Asuransi umum adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan sebuah sistem atau bisnis yang merupakan tindakan perlindungan secara finansial untuk properti dari kejadian-kejadian yang tidak dapat diduga, yang melibatkan pembayaran premi secara teratur sebagai ganti polis yang menjamin perlindungan tersebut. Berbagai macam sistem digunakan oleh perusahaan asuransi untuk mengambil hati masyarakat, salah satunya adalah sistem bonus-malus. Sistem bonus-malus adalah pemberian premi dalam asuransi yang didasarkan pada riwayat klaim pemegang polis. Dalam sistem ini bonus akan diberikan dalam bentuk pemotongan biaya premi yang harus dibayar apabila tidak ada klaim yang dilakukan pada tahun sebelumnya, sedangkan malus diberikan dalam bentuk penambahan biaya premi bila ada klaim yang dilakukan dalam tahun sebelumnya. Menurut Lemaire (1998), setiap pemegang polis dari sebuah risk cell akan dibagi berdasarkan kelas bonus-malus dan riwayat klaim mereka, yang kemudian akan memodifikasi kelas tersebut ketika perpanjangan polis. Di Indonesia, sistem bonus-malus belum banyak digunakan, dan penggunaannya hanya pada pemberian bonus bila tidak ada klaim selama setahun ketika perpanjangan kontrak, dan bonus akan dihapus apabila ada klaim yang diajukan, seperti yang diteliti oleh Park, Lemaire dan Choong (2010). Sistem bonus-malus yang digunakan biasanya hanya berdasarkan frekuensi klaim tanpa memperhitungkan besar atau kecil klaim tersebut. Dalam sistem ini pemegang polis yang mendapatkan kerugian kecil atau besar mendapatkan premi yang sama. Sistem ini sudah digunakan di beberapa negara dan beberapa di antaranya sudah dimodifikasi agar dapat disesuaikan dengan kebutuhan penggunaan, seperti yang diteliti oleh Lemaire dan Zi (1994) di dalam jurnalnya yang menggunakan data dari 30 perusahaan yang memberikan jasa asuransi dari berbagai negara yang berbeda. Salah satu kesalahan yang dilakukan perusahaan asuransi dalam sistem ini adalah bila pemberian bonus yang besar tidak diseimbangkan dengan pemberian malus yang sama besar. Hal ini dapat merugikan bukan hanya pihak pemegang polis dan juga perusahaan asuransi seperti yang diteliti oleh Ibiwoye, Adeleke dan Aduloju (2011). Kesalahan tersebut juga dapat mengakibatkan angka kecelakan kendaraan tidak menyusut dikarenakan pemegang polis mengganggap mendapatkan malus tidak memberikan dampak yang merugikan bagi mereka, seperti yang dikemukakan oleh Mahmoudvand, Edalati, dan Shokoohi (2013). Frangos dan Vrontos (2001) membuat sistem bonus-malus optimal, yaitu sistem yang sudah dimodifikasi sehingga bukan hanya frekuensi klaim saja yang digunakan, tetapi besar klaim dimasukkan juga ke dalam perhitungan. Mahmoudvand dan Hassani (2009) melanjutkan penelitian tersebut dengan membuat sistem bonus-malus optimal tergeneralisasi. Dalam tulisan ini, besar klaim dari seorang pemegang polis diasumsikan tersebar Pareto, seperti yang diteliti oleh Mert dan Saykan (2005), dan dikatakan oleh Mazilu (2010). Distribusi Pareto dipilih karena berdasarkan data besaran klaim asuransi yang menggunakan distribusi lognormal, eksponensial, Wiebull, dan gamma mengestimasi terlalu besar atau terlalu kecil dari yang seharusnya. Untuk meminimalkan kesalahan Lee (2012) menggunakan distribusi Pareto untuk besaran klaim. Pada topik ini, sistem bonus-malus yang digunakan adalah optimal, yaitu menggunakan frekuensi klaim dan juga besar kecilnya klaim dalam perhitungan premi dari setiap pemegang polis. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan untuk penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Melakukan studi pustaka Penulis mencari sumber permasalahan dari artikel, maupun literatur di internet yang berhubungan dengan topik penelitian. Penulis kemudian mempelajari dan memahami permasalahan

3 3 yang ditemukan. Setelah itu penulis mencari materi dari sumber buku maupun internet, hal-hal yang berhubungan dengan topik permasalahan untuk dapat memecahkannya. 2. Analisis Masalah a. Penentuan model fungsi Quadratic Error Loss (fungsi kerugian kuadratik) dengan solusi Bayes b. Mengkonstruksi formula premi Bonus-Malus optimal c. Dengan formula Bonus-malus yang sudah didapat, ditentukan nilai premi dasar / awal yang harus dibayarkan pemegang polis, beserta jangka waktu serta banyaknya bonus/malus yang dapat dikenakan ke nasabah. d. Merancang aplikasi untuk menghasilkan tabel simulasi yang berisi nilai premi berdasarkan jumlah klaim dalam jangka waktu beserta pemotongan bonus dan penambahan malus. e. Menentukan loss-ratio dari sistem Bonus-malus klasik yang sudah didapatkan dengan cara membandingkan premi yang diterima perusahaan dibandingkan dengan loss atau kerugian yang dialami oleh perusahaan dalam membayar klaim pemegang polis. f. Membandingkan data loss-ratio yang diperoleh dari perusahaan dengan hasil yang sudah dihitung dengan menggunakan tarif premi yang sama dan jumlah klaim yang sama dalam kurun waktu yang sama. HASIL DAN BAHASAN Model Quadratic Error Loss Function Pendekatan Bayes dalam mengestimasi parameter digunakan dalam fungsi kerugian untuk mengukur kerugian yang disebabkan ketika mengestimasi nilai parameter sebagai. Parameter dipilih untuk meminimalkan nilai, dengan nilai harapan ini mengambil alih nilai yang berkaitan dengan distribusi posterior dari. Fungsi kerugian kuadratik yang digunakan: Nilai harapan dari fungsi kerugian kuadratik: (1) (2) Di mana menyatakan jumlah frekuensi klaim yang dilakukan pemegang polis dalam tahun ke i,. Karena yang akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian kuadratik maka dengan turunan fungsi (3)

4 4 (4) Nilai harapan bersyarat adalah sebagai berikut : Maka dapat disimpulkan berdasarkan persamaan (2), (4), dan (5) menjadi : (5) (6) Sehingga diperoleh parameter sama dengan nilai harapan dari sebaran posterior parameter tersebut. Distribusi Geometric Dari Frekuensi Klaim Di dalam asuransi automotif, setiap pemegang polis memiliki peluang yang berbeda untuk mengalami kecelakaan, karena itu frekuensi klaim berbeda untuk masing-masing pemegang polis. Oleh sebab itu, distribusi Poisson campuran cocok untuk pemodelan frekuensi klaim. Anggap frekuensi klaim k berdistribusi Poisson dengan parameter, dengan fungsi kepekatan peluang : (7) Sebaran dari rata-rata frekuensi klaim peluang : adalah Exponential dengan parameter, dengan fungsi kepekatan (8) Sebaran tak bersyarat dari k yang merupakan sebaran Geometric dengan mengintegralkan persamaan (7) dan (8): Maka k yang dinyatakan sebagai frekuensi klaim memiliki sebaran Geometric dengan parameter. Misalkan k i menyatakan jumlah klaim setiap pemilik polis yang dilakukan di tahun i, i = 1, 2, 3,..., t, dengan total klaim yang dimiliki oleh masing-masing pemegang polis di tahun t adalah K =.

5 5 Maka, dengan nilai dalam distribusi Poisson, dan sebaran bersyarat K = klaim dalam tahun t dapat diperoleh menggunakan sebaran awal (prior distribution), kepekatan peluang bersama dari total frekuensi klaim : (9) Dengan menggunakan teorema Bayes pada fungsi kerugian kuadratik dan persamaan (9) dari sebaran akhir akan mendapatkan : Sehingga diperoleh : (10) Ukuran peluang adalah 1, maka persamaan sebaran peluang kumulatif Setelah memperoleh nilai A, disubtitusikan kembali ke dalam persamaan (10) menjadi: Sesuai dengan sebaran Gamma, maka persamaan di atas dapat diubah menjadi :

6 6 Nilai harapan dari sebaran Gamma didapatkan dari persamaan (6): Misalkan dan, maka : Sehingga didapatkan : (11) Dapat disimpulkan menjadi : (12) Distribusi Pareto Dari Besaran Klaim Di dalam asuransi, besaran klaim tidak selalu kecil, namun dalam beberapa kasus bisa berukuran besar, dan kedua jenis tersebut dapat diamati. Oleh sebab itu distribusi seperti distribusi Pareto biasanya dipakai dalam pemodelan besaran klaim. Anggap besar klaim x berdistribusi Exponential dengan parameter, dengan fungsi kepekatan peluangnya: (13) Sebaran dari rata-rata besar klaim adalah Inverse Gamma dengan parameter dam, dengan fungsi kepekatan peluangnya: (14) Sebaran tak bersyarat dari x yang merupakan sebaran Pareto dengan mengintegralkan persamaan (13) dan (14) :

7 7 Sehingga didapatkan : (15) Misalkan, dinotasikan sebagai ukuran dari klaim setiap pemegang polis dalam tahun ke-. Total ukuran klaim yang terjadi untuk setiap pemegang polis dalam tahun adalah. Maka sebaran total ukuran klaim menyebar eksponensial dengan parameter : (16) Untuk menghitung kerugian dari asset yang diasuransikan menggunakan fungsi kerugian kuadratik, digunakan pendekatan Bayes dengan quadratic loss function (fungsi kerugian kuadratik) untuk menduga parameter dari ukuran klaim tersebut. Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total ukuran klaim setiap pemegang polis denga klaim sampai tahun ke-,, dan fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter ukuran klaim tersebut : Jika (17)

8 8 Bila nilai A disubtitusikan kembali ke persamaan (17) : Sehingga didapatkan : (18) Seperti yang bisa dilihat di atas, bahwa sebaran posterior dari besaran klaim memiliki sebaran Inverse- Gamma dengan parameter dan. Nilai harapan dari sebaran Inverse-Gamma didapatkan dari persamaan (6): Misalkan, dan, maka :

9 9 Nilai dari untuk distribusi Inverse Gamma (a,b) : (19) Dapat disimpulkan menjadi : (20) Konstruksi Premi Bonus-Malus Optimal Jika premi resiko ditetapkan tidak hanya tergantung dari banyaknya klaim, tetapi juga bergantung pada ukuran klaim, maka premi resiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis pada tahun, adalah : Berdasarkan persamaan (12) dan (20), maka : (21) Seperti yang bisa kita lihat di atas, penghitungan premi asuransi yang harus dibayarkan bergantung pada parameter dari distribusi Exponential, parameter dari distribusi Pareto yaitu dan, lamanya pemegang polis menggunakan jasa asuransi selama tahun, dan total frekuensi klaim serta total besar klaim dari pemegang polis. Dapat dilihat di dalam persamaan di atas, bahwa premi awal sehingga persamaan tersebut dapat dimodifikasi menjadi : tidak masuk ke dalam penghitungan, (22) Karena P adalah premi awal asuransi, maka,, dan. Maka berdasarkan persamaan (21) : Bila disubtitusikan ke dalam persamaan (22) akan menjadi :

10 10 Berdasarkan persamaan di atas, penghitungan premi asuransi yang harus dibayarkan juga bergantung pada nilai premi awal P. Formula premi bonus-malus optimal dengan frekuensi klaim berdistribusi Geometric dan besaran klaim berdistribusi Pareto : (23) Penghitungan premi bonus-malus tersebut bergantung pada : total frekuensi klaim lama keaktifan premi asuransi dalam tahun parameter frekuensi klaim dengan distribusi Exponential total besaran klaim yang diajukan oleh pemegang polis parameter besar klaim dengan distribusi Inverse-Gamma parameter besar klaim dengan distribusi Inverse-Gamma P = premi awal Perancangan Aplikasi

11 11 Gambar 1 User Use-Case Diagram Di dalam diagram use case di atas dapat di lihat user dapat melakukan login dan kemudian dapat melakukan beberapa hal seperti : 1. Calculate Premium, di sini user dapat menghitung nilai premi setelah memasukkan data yang dibutuhkan, hasil penghitungan akan dimasukkan ke dalam tabel yang akan bisa dipindahkan ke dalam excel, dan dapat disimpan untuk digunakan di lain waktu. 2. Manage Policy Holder Database, di sini user dapat melakukan update dan delete data yang berada di database pemegang polis. 3. Dictionary, user dapat menampilkan formula penghitungan premi beserta dengan penjelasan variabel-variabelnya. 4. Help, user dapat menampilkan halaman yang berisikan cara menggunakan aplikasi ini. Bahasan Penghitungan premi Bonus-Malus dilakukan dengan menggunakan persamaan (23), di mana nilai dari parameter adalah , nilai dari parameter s adalah , dan nilai parameter m adalah yang didapat dari pengestimasian parameter dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation dari 362 data sample. Pada simulasi program yang akan diuji dengan menggunakan data kasus dengan sejarah klaim sebagai berikut : Tabel 1 Sejarah Klaim 1 Periode Frekuensi Klaim Besar Klaim Premi Rp , Rp , Rp ,00 Rp ,00 Sehingga tabel premi yang dihasilkan adalah : Tabel 2 Hasil Penghitungan Premi Bonus-Malus Optimal 1 Time/Claim Dengan menggunakan data di atas, maka premi yang harus dibayarkan bila menggunakan sistem bonusmalus optimal adalah : Tabel 3 Premi Bonus-Malus Optimal 1 Periode Premi yang Dibayarkan Rp , Rp ,00

12 Rp ,00 Sehingga didapatkan loss ratio sebagai berikut : Tabel 4 Perbandingan Loss Ratio 1 Periode Frekuensi Klaim Total Frekuensi Klaim Current System Loss Ratio Bonus-Malus System Loss Ratio ,00% 0,00% ,00% 0,00% ,35% 45,29% Data kasus yang akan digunakan dalam simulasi program berikutnya dengan sejarah klaim sebagai berikut : Tabel 5 Sejarah Klaim 2 Periode Frekuensi Klaim Besar Klaim Premi Rp ,00 Rp , Rp ,00 Rp , Rp ,00 Rp , Rp ,00 Rp ,00 Sehingga tabel premi yang dihasilkan untuk periode pertama adalah : Tabel 6 Hasil Penghitungan Premi Bonus-Malus Optimal 2 Periode 1 Time/Claim Tabel 7 Hasil Penghitungan Premi Bonus-Malus Optimal 2 Periode 2 Time/Claim Tabel 8 Hasil Penghitungan Premi Bonus-Malus Optimal 2 Periode 3 Time/Claim

13 Dengan menggunakan data di atas, maka premi yang harus dibayarkan bila menggunakan sistem bonusmalus optimal adalah : Tabel 9 Premi Bonus-Malus Optimal 2 Periode Premi yang Dibayarkan Rp , Rp , Rp , Rp ,00 Periode Sehingga didapatkan loss ratio sebagai berikut : Frekuensi Klaim Tabel 10 Perbandingan Loss Ratio 2 Total Frekuensi Current System Loss Klaim Ratio Bonus-Malus System Loss Ratio ,86% 18,86% ,16% 23,92% ,76% 29,08% ,97% 39,99% SIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil analisis evaluasi dan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : 1. Penggunaan sistem bonus-malus optimal lebih menguntungkan dibandingkan dengan menggunakan sistem yang sedang berjalan sekarang bagi pihak perusahaan asuransi, jika seorang pemegang polis memperpanjang kontrak asuransi miliknya setelah melakukan klaim, sedangkan akan lebih menguntungkan pihak pemegang polis, jika ia melakukan klaim dalam periode-periode akhir berlakunya asuransi tersebut. 2. Program Penghitungan Premi Sistem Bonus-Malus Optimal yang dirancang dapat berjalan dengan baik dan informasi yang disajikan memudahkan penggunanya, dan sangat membantu penghitungan premi yang sulit menjadi sangat mudah. Program ini juga telah memenuhi kriteria delapan aturan emas, dengan konsisten dalam design, jenis tulisan, dan menggunakan satu bahasa, yaitu bahasa Inggris. Program juga memiliki kegunaan universal dengan menyediakan fasilitas help. Program juga memberikan umpan balik yang informatif, dan merancang dialog yang menghasilkan penutupan, serta memberi penanganan kesalahan. Program juga memberikan izin untuk pembalikan aksi, dan mendukung pengendalian internal. Program juga dirancang dengan menu yang tidak banyak sehingga mengurangi beban ingatan jangka pendek.

14 14 Berdasarkan pada kesimpulan yang didapatkan dan keterbatasan yang ada dalam penelitian, maka beberapa saran yang dapat dipertimbangkan untuk pengembangan lebih lanjut adalah: 1. Penelitian sistem bonus-malus optimal dengan ukuran klaim yang memiliki distribusi lain seperti distribusi Weibull, Lognormal, dll. 2. Penelitian sistem bonus-malus optimal dengan mengganti ukuran klaim dengan claim ratio. 3. Penelitian dapat dikembangkan dengan pembagian kelas-kelas sesuai dengan karakteristik pemegang polis, seperti jenis kelamin, usia, dll. Sehingga penentuan premi menjadi lebih adil karena karakteristik dari tiap pemegang polis yang berbeda. 4. Perancangan program dengan lebih dari satu jenis penghitungan premi sistem bonus-malus dengan perbedaan distribusi, beserta dengan fitur pembandingan hasil penghitungan dan pemilihan metode penghitungan yang lebih menguntungkan pihak perusahaan asuransi. REFERENSI Connolly, T., & Begg, C. (2010). Database Systems : A Practical Approach to Design, Implementation, and Management (5th ed.). Boston: Pearson. Deitel, P., & Deitel, H. (2012). C++ How to Program (9th ed.). USA: Pearson Prentice Hall. Deitel, P., & Deitel, H. (2012). Visual C# 2012 How to Program. USA: Pearson Prentice Hall. Engellia. (2007). Perancangan Program Perhitungan Premi Asuransi Pensiun Karyawan Menggunakan Metoda Entry Age Level Cost, Skirpsi S1. FMIPA. Universitas Bina Nusantara, Jakarta. Frangos, N. E., & Vrontos, S. D. (2001). Design of Optimal Bonus-Malus Systems with a Frequency and Severity Component on an Individual Basis in Automobile Insurance. Astin Bulletin Vol. 31 No.1. Grimmett, G. R., & Stirzaker, D. R. (2001). Probability and Rabdom Processes (3rd ed.). Oxford: Clarendon Press. Hogg, R., & Craig, A. T. (2005). Introduction to Mathematical Statistics (6th ed.). New Jersey: Prentice Hall. Hogg, R., & Klugman, S. A. (1984). Loss Distributions. New York: John Willey & Sons. Ibiwoye, A., Adeleke, I. A., & Aduloju, S. (2011). Quest for Optimal Bonus-Malus in Automobile Insurance in Developing Economies: An Actuarial Prespective. International Business Research Vol.4 No. 4. Lee, W.-C. (Spring 2012). Fitting the Generalized Pareto Distribution to Commercial Fire Loss Severity L Evidance from Taiwan. The Journal of Risk Volume 14 / Number3, Lemaire, J. (1998). Bonus-Malus Systems : The European and Asian Approach to Merit-Rating. The Society of Actuaries. Lemaire, J., & Zi, H. (1994). A Comparative Analysis of 30 Bonus-Malus Systems. Astin Bulletin Vol.24 No. 2. Mahmoudvand, R., & Hassani, H. (2009). Generalized Bonus-Malus Systems with a Frequency and a Severity Component on an Individual Basis in Automobile Insurance. ASTIN Bulletin 39, Mahmoudvand, R., Edalati, A., & Shokoohi, F. (2013). Bonus-Malus System in Iran: An Empirical Evaluation. Journal of Data Science 11, Mazilu, M. (2010). On Generalized Pareto Distributions. Romanian Journal of Economic Forecasting. Mert, M., & Saykan, Y. (2005). On a Bonus-Malus System whete the Claim Frequency Distribution is Geometric and the Claim Severity Distribution is Pareto. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics Vol 34. Nilawati, A. R. (2009, October 10). Gunadarma. Diambil kembali dari Gunadarma Staff: Park, S. C., Lemaire, J., & Chua, C. T. (2010). Is the Design of Bonus-Malus System Influenced by Insurance Maturity or National Culture? Evidence from Asia. The Geneca Papers, 35, S7-S27. Pressman, R. S. (2010). Software EngineeringA Practitioner's Approach (7th ed.). New York: McGraw- Hill. Shneiderman, B., & Plaisant, C. (2010). Designing the User Interface : Strategies for Effective Human- Computer Interaction (5th ed.). New York: Addison-Wesley. Venables, W. N., Smith, D. M., & R-Core-Team. (2009). An Introduction to R. England: Network Theory Limited.

15 15 Welling, L., & Thomson, L. (2009). PHP and MySQL Web Development (4th ed.). United States of America: Pearson Education, inc. Whitten, J. L., & Bentley, L. D. (2007). Systems Analysis & Design Methods (7th ed.). New York: McGraw-Hill. RIWAYAT PENULIS Deni Hartanto lahir di kota Jakarta pada 9 Oktober Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Bina Nusantara dalam bidang ilmu Teknik Informatika dan Matematika pada tahun 2013.