METODE BOOTSTRAP DALAM INFERENSI MODEL REGRESI POLINOMIAL

Transkripsi

1 Vol. 5, No., April, 5 METODE OOTSTRAP DALAM INFERENSI MODEL REGRESI POLINOMIAL Hermi Rumtiasih ), Suparman ) ) Program Studi Matematika Universitas Ahmad Dahlan, ) Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Ahmad Dahlan Abstrak Penelitian ini mengkaji metode ootstrap untuk Regresi Polinomial yang diterapkan pada data Indeks Harga Konsumen dan Laju Inflasi ulanan di Indonesia tahun 8. Tujuan penelitian ini adalah untuk memperoleh estimasi nilai Laju Inflasi yang dihitung menggunakan metode ootstrap dengan pengambilan secara resampling. Metode yang digunakan dalam Penelitian ini adalah metode kuadrat terkecil untuk menentukan estimasi parameter regresi yang kemudian dilanjutkan dengan Metode ootstrap untuk regresi polinomial. Metode ootstrap yang digunakan adalah ootstrap Residual, sehingga yang diresampling adalah nilai residual dari model regresinya. Hasil estimasi yang diperoleh selanjutnya digunakan untuk memprediksi nilai Laju Inflasi ulanan di Indonesia pada tahun berikutnya. Kata kunci:metode ootstrap, ootstrap Residual, MetodeKuadratTerkecil, RegresiPolinomial.. Pendahuluan Metode yang sering digunakan dalam menyelesaikan masalah estimasi koefisien regresi adalah metode kuadrat terkecil, karena estimator yang didapat dari metode ini merupakan estimator yang tak bias. Kelemahan metode kuadrat terkecil diantaranya adalah dibutuhkan sampel yang berukuran besar dan perhitungan yang rumit (Sembiring, 995). Secara aplikatif banyak fakta menunjukkan bahwa suatu data berukuran kecil atau data itu sedikit, suatu data menyimpang dari asumsi tertentu atau bahkan data tersebut tidak memiliki asumsi apapun tentang distribusinya. Olehkarenaitu, Metode ootstrap dapatdigunakansebagaialternatifdalamhalini. Metode ootstrap dapat digunakan dalam model regresi tanpadiketahui bentuk distribusi dari model regresi tersebut. Selain itu, metode ini jugadapatdigunakan untuk ukuran data yang relative kecil. Metode ootsrap ini sendiri adalah suatu prosedur pengambilan sampel baru yang dilakukan berulang kali sebanyak sampel baru dari data asal berukuran n. Sebuah sampel baru diperoleh melalui pengambilan titik sampel dari data asal dengan cara satu per satu sebanyak n kali dengan pengembalian. Pengambilan sampel baru ini dilakukan sebanyak mungkin karena semakin banyak pengulangan yang dilakukan

2 Vol. 5, No., April, 5 maka semakin tinggi keakuratannya. Itulah alasannya mengapa bootstrap sangat mengandalkan bantuan komputer dalam aplikasinya. Sampel sampel baru bootstrap tersebut kemudian diestimasi menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.. Tinjauan Pustaka Metode ootstrap merupakan metode yang digunakan untuk mengestimasi suatu distribusi populasi yang tidak diketahui dengan distribusi empiris yang diperoleh dari proses penyampelan ulang (Efron dan Tibshirani,993). Teknik penarikan sampel bootstrap adalah dengan pengembalian dari sebuah sampel asli. Sampel asli merupakan sampel yang diperoleh dari hasil observasi yang diperlakukan seolah olah sebagai populasi. Nama ootstrap berasal dari istilah pull one self up by one s bootstrap yang dapat diartikan berusaha dengan sumber daya yang minimal. Dalam permasalahan statistik, sumber daya yang minimal dapat diartikan sebagai data yang sedikit,data yang menyimpangdariasumsitertentu, bahkan data yang tidakmemilikiasumsiapapuntentangdistribusinya. Pembentukan Sampel ootstrap daat dilakukan dengan langkah sebagai berikut : Misalkanf (x) adalah suatu distribusi empiris yang diambil dengan probabilitas n pada setiap nilai yang diamati X = {x, x,, x n }, sampel bootstrap didefinisikan sebagai sampel random berukuran n yang disusun dari f (x), misal sampel bootstrap ke-b (b =,,, ) dinotasikan dengan : X (b) = {x (b), x (b),, x n (b) } (4.) Sehingga jika sampel bootstrap yang diresampling sebanyak kali maka dapat dituliskan sebagai : X () = {x (), x (),, x n () } X () = {x (), x (),, x n () } X () = {x (), x (),, x n () } Pengambilan sampel tersebut dilakukan secara random dengan pengembalian dari sampel asli. Pengambilan secara random dengan pengembalian berarti setelah kita mengambil sebuah observasi dari sampel asli secara random, kita meletakkannya kembali sebelum pengambilan observasi berikutnya. Pengambilan dengan pengembalian memungkinkan peneliti untuk mendapatkan jumlah data yang sama dengan pertama kali dilakukan sampling, dan memungkinkan satu data diambil beberapa kali. Misalkan sejumlah sampel bootstrap dalam sebuah observasi, maka mean dari sampel bootstrap tersebut dinamakan ootstrap Sample Mean atau rata rata sampel bootstrap (Wilcox,). Misalkan X adalah suatu rata rata sampel, maka rata rata dari masing masing sampel bootstrap tersebut dapat ditulis sebagai berikut: X () = X (b) n i= n (4.) 34

3 Vol. 5, No., April, 5 mean dari seluruh sampel bootstrap yaitu : X () = b= X (b) dengan : n = jumlah sampel = banyaknya resampling (4.3) ootstrap dapat juga diterapkan dalam model regresi. ootstrap ini dapat digunakan untuk mengestimasi koefisien dari suatu persamaan regresidengan melakukan penyampelan ulang dari sampel yang sudah ada. Salah satu prosedur bootstrap yang dapatdigunakan dalam regresi adalah:. ootstrap Residual Prinsip bootstrap residual adalahmencocokkan model regresidanmemperoleh residual sebanyakn. Prosedur bootstrap residual samadenganprosedur bootstrap padaumumnya, hanyasajadalam bootstrap residual nilairesidualnya yang diresampling. Misalkanfungsiregresisampelaslidaripolinomialordep yaitu, Y i = a + a X i + a X i + + a p X p i + e i (4.4) Untuki =,,3,, n, dan Y i = a + a X i + a X p i + + a X p i (4.5) Makaproseduruntuk bootstrap residual adalahsebagaiberikut : a. Menghitung a dan σ dari sampel asli dengan Metode Kuadrat Terkecil untuk mendapatkan nilai residual. Dimana e i = Y i Y i b. Pilih sampel berukuran n dari residual, dan sampling dengan pengembalian. Jika, e i = [ ] e n Maka sampel bootstrap ke- b (b =,,, ) dapat dituliskan (b) e e (b) (b) i = e [ e (b) n ] Sehingga, () () () e e e e () () i = e, e () () i = e,, e () () i = e [ e () n ] [ e () n ] [ e () n ] e e (4.6) c. Gabungkan nilai nilai sampel dari residual tersebut untuk memperoleh sekumpulan sampel baru dari Y i.

4 Vol. 5, No., April, 5 Y (b) i = a + a X i + a X i + + a X (b) p i + e i (4.7) Dimana i =,,.., n dan b =,,,, sehingga akan diperoleh : () Y a + a X + a X + + a X () p + e () Y = a + a X + a X + + a X () p + e [ Y () n ] [ a + a X n + a X n + + a X () p + e n ] () Y a + a X + a X + + a X () p + e () Y = a + a X + a X + + a X () p + e [ Y () n ] [ a + a X n + a X n + + a X () p + e n ] () Y a + a X + a X + + a X () p + e () Y = a + a X + a X + + a X () p + e [ Y () n ] [ a + a X n + a X n + + a X () p + e n ] d. Gunakan Metode Kuadrat Terkecil lagi untuk mengestimasi masing masing koefisien regresi dan variansnya. Untuk model regresi polinomial orde p maka, Sehingga, a () = σ () [ a () a () a () a () p ], a () = dan σ (b) = [ σ () ] Nilai a dan σ yang baru adalah : σ () a (b) = [ [ a () a () a () a () p ] a () a () a () a () p ],, a () = a (b) = a () + a () + + a () a (b) = a () + a () + + a () [ a () a () a () a () p ] 36

5 Vol. 5, No., April, 5 Dan, a (b) = a () + a () + + a () a (b) p = a () p + a () p + + a () p σ (b) σ () +σ () + +σ () = 3. Aplikasi Data Untuk memberikan contoh penerapan Metode ootstrap dalam kehidupan sehari hari, maka diambil data riil. Data riil ini diambil dari data sekunder Laju Inflasi bulanan dan Indeks Harga Konsumen ulanan di Indonesia dari tahun sampai. Indeks Harga Konsumen sebagai variabel bebas (x) dan Laju Inflasi sebagai variabel terikatnya (y). Tabel 3. Data Indeks Harga Konsumsi (x) dan Laju Inflasi ulanan (y)di Indonesia Tahun (Sumber : U LAN Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt No v Des TAHUN TAHUN 3 TAHUN U LAN Jan Feb TAHUN 5 TAHUN 6 TAHUN

6 Vol. 5, No., April, 5 Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt No v Des U LAN Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt No v Des TAHUN 8 TAHUN 9 TAHUN IH INF K LASI IH INF K LASI ULAN TAHUN TAHUN IHK INFLASI IHK INFLASI 38 Jan Feb Mar Apr

7 y Jurnal Konvergensi Vol. 5, No., April, 5 Mei 5.8. Jun Jul Agt Sep Okt Nov Des Dari data riil pada tabel di atas, akan diplot dengan menggunakan MATLA kemudian akan dihitung nilai dari statistik C p untuk dapat mengetahui orde yang akan digunakan. Kemudian dari data tersebut akan diestimasi koefisien regresi serta variansnya dengan Metode ootstrap x Gambar 3. PlotData Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi ulanan di Indonesia Tahun erdasarkan data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi ulanan di Indonesia Tahun pada tabel di atas, nilai statistik C p dihitung untuk p =,, 3, 4, 5. Hasilnya disajikan dalam tabel berikut:

8 Vol. 5, No., April, 5 Tabel 3.3 Nilai statistik C p untuk p =,, 3, 4, 5 p C p Dari Tabel 4.7 terlihat bahwa nilai statistik C p terkecil diperoleh pada p =. Dengan demikian model regresi yang akan digunakan adalah model regresi polinomial orde. Selanjutnya akan diestimasi koefisien regresi dan variansnya dengan menggunakan metode ootstrap. Hasilnya disajikan dalam tabel berikut : Tabel 3.4 Nilai Estimasi Koefisien Regresi dan Varians dari Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi ulanan di Indonesia Tahun Koefisien Regresi Varians a = 4.9 a =.488 a =. σ =.658 Sehingga estimasi nilai Y i dapat ditulis menjadi : Y i = X i. X i (4.) Model yang diperolehdaripersamaan (4.) selanjutnyadigunakanuntukmencocokkanbeberapanilailajuinflasi (y) pada Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi ulanan di Indonesia Tahun di atas. Hasilnyadapatsajikandalamtabelberikut : Tabel 3.5 eberapa Nilai x, y, dany dari Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi ulanan di Indonesia Tahun Data Pada x y y Januari April Mei Oktober April Desember

9 Vol. 5, No., April, 5 Selanjutnya model yang diperoleh dari persamaan (4.) akan digunakan untuk mencocokkan nilai Laju Inflasi (y) pada Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi ulanan di Indonesia Tahun 3. Tabel 3.6 Data Indeks Harga Konsumsi (x)dan Laju Inflasi ulanan (y)di Indonesia Tahun 3 (Sumber : ULAN TAHUN 3 ULAN TAHUN 3 IHK INFLASI IHK INFLASI Jan Feb.9.75 Mar Apr Mei Juni Juli Agt Sep Okt Nov Des Hasilnya dapat sajikan dalam tabel berikut : Tabel 3.7 Nilai x, y, dany dari Data Indeks Harga Konsumsi dan Laju Inflasi ulanan di Indonesia Tahun 3 ulan x y y Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Kemudian model pada persamaan (4.) juga akan digunakan untuk memprediksi nilai Laju Inflasi (y ) padatahun 4.

10 Vol. 5, No., April, 5 Tabel 6.8 Prediksi Nilai Laju Inflasi ( y ) bulanjanuaritahun 4 untuknilaiindekshargakonsumsidanlajuinflasi yang diketahui IndeksHargaKonsumsi(x) LajuInflasi ( y ) Kesimpulan Cara mengestimasi koefisien regresi dan varians pada sampel baru ootstrap dalam Model Regresi Polinomial menggunakan Metode Kuadrat Terkecil, yaitu : a. Menghitung a dan σ dari sampel asli dengan Metode Kuadrat Terkecil. b. Menghitung nilai e i dengan menggunakan persamaan e i = Y i a a X i a X p i a X p i c. Untuk b =,,, : d. (b) Resampling e i e. Hitung (b) Y i dengan persamaan Y (b) i = a + a X i + a X i + + a X (b) p i + e i f. Hitung â (b) dan σ (b) 4

11 Vol. 5, No., April, 5 Daftar Pustaka [] Ayres, and Philip. 3. Matematika Universitas Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga. [] Chernick, Michael R..ootstrap Methods A Guide for Practitioner and Researchers Second Edition. Canada: Simultaneously. [3] Efron, and Tibshirani, R.993.An Introduction to The ootstrap.new York: Chapman & Hall. [4] Gujarati, D.978.Ekonometrika Dasar.Jakarta: Erlangga. [5] Howard Anton.998.Aljabar Linear Elementer.Jakarta: Erlangga. [6] Purcell.987.Kalkulus dan Geometri Jilid.Jakarta: Erlangga. [7] Steven,J,Leon..Aljabar Linear dan Aplikasinya.Jakarta: Erlangga. [8] Sudjana..Metode Statistik.andung: Tarsito. [9] Suparman..Pengantar Statistika Teknik dan isnis.andung: Muara Indah. [] Suparman..Metode ootstrap dan Aplikasinya.Yogyakarta: JPMIPA FKIP UAD Press. [] Supranto..Statistik Teori dan Aplikasi Jilid. Jakarta: Erlangga. [] Walpole, and Myers.995.Ilmu Peluang dan Statistik untuk Insinyur dan Ilmuwan. IT: andung. [3] Weisberg,Sanford. 3.Applied Linear Regression.Canada: New Jersey. [4] Wilcox,Rand R.. Fundamentals of Modern Statistical Methods. New York : Springer. [5]