PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN MODEL POPULASI VOLTERRA ERNI JUNI ARTI

Transkripsi

1 PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN MODEL POPULASI VOLTERRA ERNI JUNI ARTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

2 ABSTRACT ERNI JUNI ARTI. The Use of Homotopy Method to Solve Volterra Population Model. Supervised by Jaharuddin and Ali Kusnanto. Most phenomena in nature can be explained in mathematical models. One of the mathematical models explaining population growth is Volterra equation. Volterra population equation is a nonlinear integral equation. This equation can be solved using homotopy method, which is an analytical approximation method to obtain the solution of nonlinear problems. In this paper, Volterra population model is solved using homotopy method, which gives a recursive formula to be solved using MAPLE software. The result shows that the greater approximation order we use, the wider convergence solution area will be. Keywords: homotopy method, Volterra population equation, and nonlinear problem

3 ABSTRAK ERNI JUNI ARTI. Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Model Populasi Volterra. Dibimbing oleh Jaharuddin dan Ali Kusnanto. Banyak fenomena di alam yang dapat dijelaskan dalam model matematika. Salah satu model matematika yang menjelaskan pertumbuhan populasi adalah persamaan Volterra. Persamaan populasi Volterra berupa persamaan integral yang berbentuk taklinear. Penyelesaian persamaan populasi Volterra dilakukan dengan menggunakan metode homotopi. Metode homotopi merupakan suatu metode pendekatan analitik yang digunakan untuk memperoleh solusi dari masalah taklinear. Dalam tulisan ini, penyelesaian model populasi Volterra dengan metode homotopi menghasilkan suatu rumus rekursif yang diselesaikan dengan bantuan software MAPLE. Hasil yang diperoleh adalah semakin besar orde pendekatan yang digunakan semakin memperlebar daerah kekonvergenan penyelesaiannya. Kata kunci: metode homotopi, persamaan populasi Volterra, dan masalah taklinear

4 PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN MODEL POPULASI VOLTERRA ERNI JUNI ARTI Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2010

5 Judul : Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Model Populasi Volterra Nama : Erni Juni Arti NRP : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr.Jaharuddin, M.S. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP NIP Mengetahui: Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP Tanggal Lulus :

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Pati pada tanggal 09 Juni 1988 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Suparmin dan Siti Lasni. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN WINONG I lulus pada tahun 2000, SMPN I WINONG lulus pada tahun 2003, SMAN 2 PATI lulus pada tahun 2006, dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun pertama penulis memasuki Tingkat Persiapan Bersama (TPB) dan pada tahun 2007 penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf Sosinkom (Sosial Informasi dan Komunikasi). Selain itu penulis juga pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus II dan Kalkulus III, dan menjadi tutor untuk mahasiswa pra-universitas pada mata kuliah Pengantar Matematika.

7 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada ALLAH SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta : Siti Lasni (ibu), Suparmin (bapak), dan adik Wawan Hadi Puspita dan Ahmad Luthfan Alhazmi atas semua doa, dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya. 2. Dr. Jaharuddin, M.S. dan Drs. Ali Kusnanto M.Si. masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. 3. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji. 4. Semua dosen Departemen Matematika, atas semua ilmu yang telah diberikan. 5. Pak Yono, Bu Susi, Bu Ade, Pak Bono, Mas Hery, Mas Deni. 6. Tiyan, atas semua doa, semangat, nasihat, inspirasi, bimbingan, kesabaran, arahan, perhatian dan kasih sayangnya. 7. Tutor-tutor : Kabil dan Apri yang telah membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini. 8. Kakak-kakak Math 41 dan 42 : Kak Achy, Kak Oby, Kak Warno, Kak Iput, Kak Niken, Mbak Hepsong, Kak Septyan, Kak Jalindut atas nasihat, arahan dan bantuan-bantuannya. 9. Teman-teman Math 43 : Dek iias, Lia, Linprot, Suci, K Rose, Nenek, Margi, Putri, Aini, Destya, Emta, Nia, Resti, Vera, Narsis, Nidya, Lina, Sn, Ratna, Kiki, Cici, Desi, Arum, Tami, Ns, Andrew, Sabar, Subro, Slamet, Nanu, Ace, Dwi, Ely, Kunto, Agung, Adi, Kecup, Ecka, David, Rian, Gandi, Dandi, Peli, Wira, Copy, Sendy, Arif, Nobo, Razon, Irsyad, Adam, Zulkarnaen, Mubarokokok, Hendra, Paisol, Shahrul. 10. Anak-anak pondok ixora : Mbak Hapsari, Evy, Dece, Mamah, Dewi, Bu Medan, Kak Lina, Mami Eki, Kak Wiwin, Kak Astrid, Citra, Kak Winny, Kak Us, Kak Odah, dan Kak Seny. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Mei 2010 Erni Juni Arti

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... ix I PENDAHULUAN... 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Differensial Persamaan Populasi Volterra Uraian Deret Taylor Metode Homotopi... 3 III PEMBAHASAN 3.1 Analisis Metode Aplikasi Metode Studi kasus IV KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 14

9 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Grafik hubungan tingkat pertumbuhan populasi perkapita dan jumlah populasi Grafik perbandingan penyelesaian eksak dan metode homotopi masalah nilai awal (3.7) Grafik fungsi u terhadap t untuk orde yang berbeda Grafik fungsi u terhadap t untuk orde dan nilai β yang berbeda DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Metode Homotopi untuk Masalah Nilai Awal (3.7) Penurunan Persamaan (3.11) Penurunan Persamaan (3.30) Penurunan Persamaan (3.32) Pembuktian Persamaan (3.34) Penurunan Persamaan (3.36) Penurunan Persamaan (3.38) Penurunan Persamaan (3.49)... 26

10 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Banyak fenomena yang terjadi di alam dapat dijelaskan dalam suatu model matematika. Model matematika tersebut umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan taklinear. Masalah taklinear ini biasanya sulit diselesaikan baik secara analitik maupun secara numerik jika dihadapkan pada perhitungan komputasi yang rumit. Model matematika sering muncul dalam permasalahan diberbagai cabang ilmu pengetahuan. Misalnya, permasalahan dibidang biologi, fisika, ekonomi, teknik, dan lainnya. Studi literatur [Golberg, 1978] menyebutkan beberapa contoh model matematika antara lain adalah model untuk menentukan: laju pertumbuhan penduduk, proses penyaringan asap rokok, intensitas radiasi yang ditransfer, dan lainnya. Dalam beberapa fenomena, model matematika yang ditinjau berupa model populasi Volterra, yaitu model matematik yang dinyatakan dalam bentuk persamaan integral, yaitu suatu persamaan dimana variabel yang ingin diketahui termuat dalam integrand persamaan integral tersebut. Model populasi Volterra biasanya muncul pada masalah pertumbuhan populasi pada daerah tertentu [Scudo,1971]. Terdapat beberapa bentuk persamaan integral. Jerri (1985) mengklarifikasi persamaan integral ke dalam dua bentuk berdasarkan batas pengintegralan pada integral yang muncul dalam persamaan, yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan Fredholm. Golberg (1978) telah memberikan beberapa metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm dan Volterra, diantaranya metode quadratur dan metode Galerkin. Beberapa penelitian difokuskan pada penemuan metode untuk memperoleh solusi dari masalah yang dimodelkan dalam persamaan taklinear. Beberapa metode yang digunakan antara lain, metode perturbasi [Nayfeh, 2000]. Dalam metode ini, faktor taklinearnya diperlemah dengan memperkenalkan suatu parameter kecil. Selain itu, terdapat metode dekomposisi Adomian [Adomian, 1988] dimana penyelesaian masalah taklinear dinyatakan dalam suatu deret pangkat yang hanya terdefinisi pada daerah kekonvergenannya. Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode homotopi [Liao,2004] yang merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Dalam metode ini, akan didefinisikan suatu operator taklinear yang didasarkan pada bentuk taklinear dari masalah taklinear tersebut. Dalam metode homotopi, faktor taklinear tidak perlu diperlemah seperti yang dilakukan pada metode perturbasi. Penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode homotopi dimisalkan dalam bentuk deret yang umum, sehingga tidak perlu dimisalkan dalam bentuk deret pangkat (polinomial) seperti yang dilakukan pada metode dekomposisi Adomian. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian masalah nilai awal pada model populasi Volterra dengan menggunakan metode homotopi. Metode homotopi ini merupakan bentuk umum dari metode perturbasi dan metode dekomposisi Adomian. Berdasarkan metode ini pula akan dibandingkan penyelesaian numeriknya untuk beberapa suku dalam deret. 1.2 Tujuan Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah: a. Menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan model populasi Volterra. b. Memeriksa validitas penyelesaian model populasi Volterra dengan membandingkan orde deret yang digunakan. 1.3 Sistematika Penulisan Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi beberapa istilah dan konsep dari metode homotopi untuk menyelesaian masalah nilai awal pada persamaan integral taklinear yang digunakan dalam pembahasan. Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis metode yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan populasi Volterra. Dalam bab ini juga dibahas aplikasi berupa contoh kasus sedangkan hasil numerik disajikan untuk memperlihatkan validitas dari metode homotopi. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan.

11 2 II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan differensial, persamaan Volterra yang disarikan dari [TeBeest, 1997], dan uraian deret Taylor disarikan dari pustaka [Stewart, 2003]. 2.1 Persamaan Differensial Persamaan differensial merupakan persamaan yang memuat turunan dari suatu fungsi. Bila fungsi tersebut bergantung pada satu variabel bebas, maka disebut persamaan differensial biasa (PDB), sedangkan bila fungsi tersebut memuat lebih dari satu variabel bebas, maka disebut persamaan differensial parsial (PDP). Bentuk umum PDB linear orde ke-n adalah dengan 0,,, disebut koefisien persamaan differensial, sedangkan bila tidak dapat dinyatakan seperti bentuk di atas disebut persamaan differensial taklinear. Seringkali persamaan differensial dilengkapi dengan nilai awal nilai batas. Masalah persamaan differensial yang dilengkapi dengan suatu nilai awal disebut masalah nilai awal. Sedangkan masalah persamaan differensial yang dilengkapi dengan suatu nilai batas disebut masalah nilai batas. 2.2 Persamaan Populasi Volterra Model sederhana dari pertumbuhan populasi dari organisme adalah (2.1) dimana adalah jumlah populasi pada waktu t, dan 0 adalah tingkat pertumbuhan. Model ini mempunyai solusi berbentuk eksponensial, dengan adalah jumlah populasi saat awal. Secara alami, pertumbuhan eksponensial ini tidak dapat berlanjut selamanya. Untuk memodelkan yang lebih real, dimasukkan unsur logistik ke dalam model di atas. Untuk menambahkan efek ini, ahli biologi dan ahli demografi berpendapat bahwa tingkat pertumbuhan per kapita menurun saat menjadi cukup besar, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Untuk kecil, tingkat pertumbuhan sama dengan, seperti sebelumnya. Akan tetapi, untuk populasi yang lebih besar dari daya muat tertentu K, tingkat pertumbuhan akan menjadi negatif, dimana tingkat kematian lebih tinggi dari tingkat kelahiran. Sebagai contoh, tingkat pertumbuhan per kapita dapat menurun secara linear terhadap. r N Gambar 1. Hubungan tingkat pertumbuhan populasi perkapita dan jumlah populasi Berdasarkan hal tersebut di atas, model persamaan bagi pertumbuhan populasi dapat berupa persamaan logistik berikut 1. (2.2) Dari model pertumbuhan eksponensial (2.1) dan pertumbuhan logistik (2.2) dapat diasumsikan lebih umum bahwa tingkat pertumbuhan populasi pada suatu habitat tertentu bergantung pada kepadatan jumlah populasi dan banyaknya yang mati. Dengan kata lain, laju petumbuhan populasi dipengaruhi oleh tingkat pertumbuhan, daya muat tertentu K, dan banyaknya total populasi yang mati sehingga 1 Persamaan (2.3) dapat ditulis K. N (2.3) (2.4)

12 3 dan nilai awal 0, dengan, merupakan koefisien yang bernilai positif, menunjukkan populasi awal, dan menunjukkan jumlah populasi pada saat t. Selanjutnya, misalkan dan, maka persamaan (2.4) menjadi dan nilai awal u(0) = u, 0 (2.5) dengan jumlah populasi pada saat. Besaran merupakan suatu parameter. Persamaan (2.5) menunjukkan model populasi Volterra yang bentuknya taklinear dan dinyatakan dalam persamaan integral. Persamaan (2.5) tersebut akan dibahas pada karya ilmiah ini. Untuk mendapatkan penyelesaian analitik dari model populasi Volterra tersebut, maka digunakan metode homotopi dengan fungsi basis berupa fungsi eksponensial. 2.3 Uraian Deret Taylor Misalkan fungsi sembarang yang dapat dinyatakan sebagai suatu deret pangkat berikut: (2.6) dimana dengan 1,2,3,, menyatakan koefisien deret pangkat dan menyatakan titik pusatnya. Fungsi pada persamaan (2.6) dapat dinyatakan dalam bentuk! 1! " (2.7)! Persamaan (2.7) disebut deret Taylor dari fungsi dengan di a. 2.4 Metode Homotopi Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi berdasarkan alur pada pustaka [Jaharuddin, 2008]. Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut: 0,Ω (2.8) dengan suatu operator turunan yang taklinear dan fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas. Selanjutnya didefnisikan pula suatu operator linear yang memenuhi 0, bila 0. (2.9) Sehingga operator dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu dan yang masingmasing merupakan operator linear dan taklinear. Jadi, persamaan diferensial (2.8) dapat ditulis: 0, Misalkan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2.8) dan 0,1 suatu parameter. Didefinisikan fungsi real, :Ω0,1, dan suatu fungsi H sebagai berikut:, 1, 1 (2.10) Berdasarkan persamaan (2.10), maka untuk 0 dan 1 masing-masing memberikan persamaan berikut: dan, 0,0, 0, 1,1, 1 Sehingga menurut persamaan (2.8) dan persamaan (2.9) diperoleh bahwa fungsi dan, 0, 1 masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan

13 4 dan, 0,0 0, 1,1 0. Dengan demikian peningkatan nilai dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai, dari ke. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi. III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas kegunaan metode homotopi untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Metode ini akan digunakan untuk menyelesaikan model yang akan dinyatakan dalam bentuk persamaan populasi Volterra. Agar validitas metode ini terjamin, maka akan diberikan suatu contoh kasus dan membandingkan solusi numerik berdasarkan orde-orde yang digunakan. Metode homotopi yang diterapkan dalam tulisan ini mengikuti pustaka ( Liao, 2004 ). 3.1 Analisis Metode Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang diberikan pada persamaan (2.5). Masalah nilai awal tersebut dapat dinyatakan secara umum dalam bentuk persamaan (2.8). Perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang telah diuraikan pada landasan teori memerlukan fungsi,,, yang tidak hanya bergantung pada dan, tetapi juga bergantung pada parameter bantu 0 dan fungsi real 0. Misalkan fungsi dinyatakan sebagai berikut: ;,, 1;,, ;,,. (3.1) Jika 1 dan 1, maka dari persamaan (3.1) dan persamaan (2.10) diperoleh ;, 1,1,. Selanjutnya, misalkan fungsi ;,, yang akan dibahas selanjutnya adalah penyelesaian persamaan berikut: ;,, 0 1 ;,, ;,, (3.2) Jadi, fungsi ;,, tidak hanya bergantung pada parameter, tetapi juga bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu. Berdasarkan persamaan (3.1), maka untuk 0 dan 1 masingmasing memberikan persamaan berikut: ; 0,, ; 0,, dan ; 1,, ; 1,, Berdasarkan persamaan (2.8) dan persamaan (2.9), maka penyelesaian dari persamaan ; 0,, 0 dan ; 1,, 0 masing-masing adalah: dan ; 0,, ; 1,, Kedua penyelesaian di atas bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu yang dipilih sembarang. Pemilihan parameter bantu, fungsi bantu, pendekatan awal, dan operator linear perlu memperhatikan validitas dari metode ini. Dengan pemilihan ini, terjamin adanya fungsi ;,, dan turunan-turunannya terhadap untuk setiap 0,1. Turunan ke dari fungsi ;,, terhadap yang dihitung di 0 adalah: ;,, dan dinotasikan 1! 1 ;,,!. Deret Taylor dari fungsi ;,, di sekitar 0 adalah

14 5 ;,, ; 0,, 1! ;,, ;,,. (3.3) Selanjutnya dengan pemilihan,,, dan juga mengakibatkan kekonvergenan dari deret (3.3) di 1. Jadi untuk 1, dari persamaan (3.3) diperoleh ; 1,,. (3.4) Karena ; 1,,, maka diperoleh. (3.5) Hal ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.8) dengan pendekatan awal dan, 1,2, yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan, 1,2, diperoleh sebagai berikut. Jika kedua ruas pada persamaan (3.2) diturunkan terhadap hingga kali dan mengevaluasi pada 0 kemudian dibagi oleh!, maka diperoleh persamaan berikut : (3.6) dengan,,,,, dan! 0, 1 1, lainnya. ;,, Dengan demikian apabila diberikan masalah taklinear dengan persamaan diferensial pada persamaan (2.8), maka dengan metode homotopi didapat solusi pendekatan masalah taklinear tersebut sebagai berikut: dengan, 1,2, diperoleh dari persamaan (3.6) dan merupakan pendekatan awal dari solusi. Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan suatu masalah yang dinyatakan dalam masalah nilai awal berikut: 0, dengan syarat awal 0 0 (3.7) Penyelesaian eksak masalah nilai awal (3.7) adalah 1exp 1 2. Berikut ini akan dicari solusi masalah nilai awal (3.7) dengan menggunakan metode homotopi. Misalkan ; ; ; dan ; ;. Dengan menggunakan persamaan (3.6), diperoleh. Jika dipilih 1, maka diperoleh. (3.8) (Lampiran 1) Karena u 0 () = φ (;0) dan dipilih pendekatan awal u () 0 maka diperoleh u1() t = ht ht + ht u2() t = h(1 + h) t h(1 + h) t (1+ 2 h) h t + h t u, u, u,... dan seterusnya diperoleh pula berdasarkan persamaan (3.8).

15 6 Jika dipilih h = 1, maka penyelesaian masalah nilai awal (3.7) tersebut adalah ut t t t () +... Perbandingan solusi masalah nilai awal (3.7) secara eksak dan solusi dengan metode homotopi diberikan pada Gambar 2. Pada Gambar 2, terlihat bahwa solusi eksak dan solusi dengan menggunakan metode homotopi cukup dekat untuk daerah t tertentu. Penambahan daerah kekonvergenan bergantung pada pemilihan fungsi Bt () dan parameter h. Gambar 2: Perbandingan solusi eksak dan metode homotopi dari masalah nilai awal (3.7) 3.2 Aplikasi Metode Perhatikan model persamaan integral Volterra untuk pertumbuhan penduduk pada suatu spesies berikut ini. du() t β = ut u t dt dengan nilai awal : eksak : homotopi 2 () () t ut () uxdx ( ), (3.9) 0 u(0) = α. Fungsi ut () menunjukkan jumlah penduduk pada individu yang sejenis, t waktu, dan β suatu parameter. Selanjutnya diperkenalkan variabel baru berikut: ω() τ = ut (), τ = λt (3.10) dengan λ suatu parameter positif. Jika persamaan (3.10) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.9), maka diperoleh 2 dω() τ 2 βλ = λ[ ω( τ ) ω ( τ )] dτ τ ωτ ( ) ω( zdz ), (3.11) dengan nilai awal ω(0) = α. (Lampiran 2) Misalkan penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (3.11) menggunakan fungsi basis berupa fungsi eksponensial, dengan himpunan basisnya sebagai berikut: {exp( nr) n 1}. Penyelesaian persamaan (3.11) dapat dinyatakan dalam bentuk: + ωτ ( ) = a exp( nr), n= 1 (3.12) dengan a adalah koefisien deret yang akan n ditentukan. Berikut ini akan ditentukan penyelesaian dari masalah nilai awal (3.11), dengan menggunakan pendekatan metode homotopi. Dalam metode homotopi ini, suatu operator linear dipilih berdasarkan persamaan (3.11), yaitu df L f = + f, dτ dan diperoleh bahwa [exp( τ)] = 0. L (3.13) Kemudian dari persamaan (3.11) didefinisikan operator taklinear sebagai berikut N [ φτ ( ; q), Λ( q)] 2 φτ ( ; q) 2 = βλ ( q) Λ( q) φ( τ; q) φ ( τ; q) dτ n 0 τ + φτ ( ; q) φ( x; q) dx, (3.14) dengan q [0,1] merupakan suatu parameter, φτ ( ; q) adalah fungsi yang bergantung pada τ dan q, sedangkan ( q) adalah fungsi yang bergantung pada q. 0

16 7 Misalkan didefinisikan fungsi ;,, yang tidak hanya bergantung pada dan, tetapi juga bergantung pada parameter bantu 0 dan fungsi real 0. Jadi fungsi dinyatakan sebagai berikut: ;,, 1;,, ;,,,Λ (3.15) Selanjutnya, misalkan fungsi ;,, yang akan dibahas selanjutnya adalah penyelesaian dari persamaan berikut: ;,, 0 1;,, ;,,,Λ, (3.16) dengan nilai awal 0;,,. Jika 0, maka berdasarkan persamaan (3.15) diperoleh: ; 0,, ; 0,,. (3.17) Karena operator linear yang memenuhi 0, bila 0, maka dari persamaan (3.16) diperoleh: ; 0,, 0 ; 0,,, (3.18) dengan Λ0. Untuk 1, berdasarkan persamaan (3.16) diperoleh: ; 1,,,Λ1 0 (3.19) ; 1,,,Λ1 0, sehingga diperoleh: ; 1,,, (3.20) dengan Λ1, dimana 0. Jika nilai meningkat dari ke 1, maka nilai ;,, bervariasi dari nilai awal ke solusi pada persamaan (3.11). Penyelesaian dari persamaan (3.18) dan (3.20), keduanya bergantung pada pemilihan parameter bantu dan fungsi bantu yang dapat dipilih sembarang. Dengan pemilihan ini, terjamin adanya fungsi ;,,, Λ dan turunan-turunannya terhadap untuk setiap 0,1. Turunan ke-n dari fungsi ;,, terhadap yang dihitung di 0 adalah: ;,,. (3.21) Jika kedua ruas persamaan (3.21) dibagi dengan!, maka diperoleh!! ;,, (3.22) dan dinotasikan ;,,!. (3.23) Karena pada persamaan (3.23) adalah tunggal, maka ;,, memiliki penyajian deret Taylor di 0, yaitu berbentuk: ;,, 1 ;,,! ;,, ; 0,, 1! ;,,. (3.24) Selanjutnya pemilihan,, dan juga mengakibatkan kekonvergenan dari persamaan (3.24) di 1. Untuk 1, maka dari persamaan (3.23) diperoleh ; 1,, 1. Karena ; 1,,, maka diperoleh. (3.25) Turunan ke- dari fungsi Λ terhadap yang dihitung di 0 adalah sebagai berikut

17 8 Λ. Jika kedua ruas persamaan di atas dibagi dengan!, maka diperoleh!! dan dinotasikan! (3.26). (3.27) Karena pada persamaan (3.27) adalah tunggal, maka Λ memiliki penyajian deret Taylor di 0 berbentuk: Λ 1! Λ Λ0 1! Λ Λ. (3.28) Selanjutnya untuk 1, dari persamaan (3.28) menjadi Λ1. 1 Karena Λ1, maka diperoleh. (3.29) Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (3.11) dengan pendekatan, dan, 1,2,3, yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan, 1,2,3, diperoleh sebagai berikut. Jika kedua ruas pada persamaan (3.16) diturunkan terhadap hingga kali dan mengevaluasi pada 0 kemudian dibagi oleh!, maka diperoleh persamaan berikut:, (3.30) dengan nilai awal 0 dan, 1 ;,,,Λ 1! (3.31) dengan 0, 1 1, lainnya,,,, (Lampiran 3) Jika persamaan (3.11) disubstitusikan ke persamaan (3.31), maka diperoleh,. (3.32) (Lampiran 4) Dengan demikian ada dua besaran yang tidak diketahui dan akan dicari yaitu: dan, n = 1, 2,... Berdasarkan persamaan (3.11) dapat dipilih dalam bentuk exp exp exp2. (3.33) Jika persamaan (3.33) disubstitusikan ke persamaan (3.32), maka untuk 1 diperoleh persamaan berikut:,, exp (3.34) dengan, 2

18 9 dan, 2,3,4 merupakan koefisien yang memenuhi, 0. (Lampiran 5) Berdasarkan persamaan (3.11) dan (3.30), fungsi bantu dapat dimisalkan dalam bentuk exp dengan adalah bilangan bulat sembarang. Untuk penyederhanaan dipilih 0 sehingga 1. Berdasarkan persamaan (3.34) dengan, 0, diperoleh 2 0. (3.35) Dari persamaan (3.35) diperoleh nilai sebagai berikut Karena diasumsikan bahwa 0, maka diperoleh (3.36) (Lampiran 6) Penyelesaian dari persamaan (3.30) dengan syarat awal 0 adalah, dengan bentuk pada persamaan (3.32) dapat disederhanakan sebagai berikut:,, exp. (3.37) Berdasarkan persamaan (3.13) dan ruas kanan pada persamaan (3.30) mengandung unsur exp, maka untuk 1 diperoleh 4 1 ω1( τ) = h a1, m m= 2 m 1 exp( τ) exp( mτ) dan secara umum berbentuk [ ] ωn( τ) = χnωn 1( τ) h a m 1 m= 2 1, m [ exp( τ) exp( mτ) ] (3.38) (Lampiran 7) Berikut ini akan diperlihatkan bahwa deret (3.25) merupakan penyelesaian dari persamaan populasi Volterra (3.11) asalkan deret (3.25) tersebut konvergen. Untuk itu, misalkan deret konvergen ke dapat dituliskan, (3.39) yang berakibat bahwa lim 0. (3.40) Berdasarkan definisi, maka akan diperoleh bentuk, (3.41) sehingga dari persamaan (3.40) diperoleh lim 0. (3.42) Selanjutnya, jika persamaan (3.42) dan definisi pada (3.13) digunakan, maka diperoleh 0. (3.43) Jadi berdasarkan persamaan (3.43) dan (3.30), diperoleh, 0. Karena 0 dan 1, maka

19 10, 0. (3.44) Jika persamaan (3.32) disubstitusikan ke persamaan (3.44), maka diperoleh. (3.45) Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.33) dan (3.30), diperoleh nilai awal dari persamaan (3.45), yaitu: + ω (0). n = α (3.46) n= 0 Berdasarkan persamaan (3.45) dan (3.46) dapat disimpulkan bahwa deret (3.25) memenuhi persamaan populasi Volterra (3.11). Jadi deret (3.25) menunjukkan penyelesaian dari persamaan populasi Volterra (3.11). Berikut ini akan ditentukan bentuk ut () yang merupakan penyelesaian persamaan populasi Volterra. Untuk itu, misalkan, exp (3.47) dengan, merupakan koefisien yang akan ditentukan berikut ini. Jika persamaan (3.47) disubstitusikan ke persamaan (3.31), maka diperoleh rumus rekursif untuk, 2 berikut: λ b b n 1 ( ) n 2 n 2 λ + βδ b β b λ λ = b n,1 j j n 1 j,1 0,1 i n 1 i j= 0 i= 1 = χ χ b + ni, n 2n+ 2 i n 1, i 2( n + 1) ( 1 + 2βλ ) h 0 0,1 ( ni, + ni, χ 2n+ 2 iγ ni, ) 1 i = b, (3.48) n,1 n, i i = 2 dengan,,,,, 2 2 1,,,,, ni,,, 12 1, Γ dan,, 1 2, d c c n min{2( i+ 1), m 1} = b b nm, i, j n im, j i= 0 j= max{1, m 2( n i+ 1)} 2 m 2( n+ 1), b = m 1 m 2( n+ 1), 2( n+ 1) bnm, =, m nm, nm,, n,0 m= 1 n δ = λλ. n i n 1 i= 0 Selanjutnya, asumsikan b0,1 = α + γ dan = γ b0,2,

20 11 sedangkan koefisien b n, j dengan n, j dihitung berdasarkan rumus rekursif pada persamaan (3.48). Karena ut () = ω( τ ), maka penyelesaian persamaan populasi Volterra (3.47) untuk orde ke-m dapat dinyatakan sebagai berikut: dengan M 2( n+ 1) ut ( ) b exp( mλt), n= 0 m= 1 nm, M 1 λ λn. n= 0 Untuk M, diperoleh dengan + 2( n+ 1) ut () = b exp( mλt) n= 0 m= 1 nm, + λ = λn n= 0 (3.49) yang merupakan penyelesaian analitik persamaan populasi Volterra. ( Lampiran 8 ) iii. Menentukan ωn ( τ ) dari persamaan (3.38). 3. Menentukan penyelesaian persamaan populasi Volterra (3.9) dari persamaan (3.49) Dengan menggunakan software MAPLE akan ditentukan penyelesaian ut () dari persamaan populasi Volterra (3.9), dengan asumsi 1 α = dan γ = Interpretasi grafik akan diberikan berdasarkan perubahan orde yang digunakan dan beberapa nilai h dan β. Gambar 4 berikut ini menunjukkan grafik penyelesaian persamaan populasi Volterra dengan orde (M) berbeda-beda. : orde ke-5 : orde ke-8 : orde ke Studi Kasus Pada bagian ini akan dibahas suatu studi kasus penyelesaian persamaan populasi Volterra dengan menggunakan metode homotopi. Berdasarkan uraian pada bagian aplikasi metode, berikut ini prosedur untuk menentukan penyelesaian dari persamaan populasi Volterra (3.9): 1. Misalkan diberikan penyelesaian pendekatan awal (3.33) dari persamaan populasi Volterra (3.9). 2. Menentukan penyelesaian pendekatan untuk orde ke M yaitu ωn ( τ) dari persamaan populasi Volterra (3.9) dilakukan sebagai berikut: i. Menentukan R dari persamaan n (3.32). ii. Menentukan λn 1 dari persamaan (3.48) dengan λ 0 pada (3.36). Gambar 3. Grafik fungsi u terhadap t untuk orde yang berbeda Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa perubahan orde M=5 ke M=12 tidak memberikan pengaruh yang signifikan terhadap bentuk grafik penyelesaian ut (). Dari Gambar 3 juga diperoleh bahwa jumlah populasi ut () akan meningkat hingga satuan waktu tertentu yang kemudian mengalami penurunan yang pada selang waktu tertentu akan mengalami kejenuhan sampai mendekati kepunahan. Berikut ini akan diberikan grafik penyelesaian ut () berdasarkan perubahan nilai-nilai β.

21 1 β = 10 1 β = 5 1 β = 2 Berdasarkan Gambar 4 diperoleh bahwa jika β semakin membesar dengan kata lain tingkat pertumbuhan jumlah populasi semakin besar, maka laju perubahan jumlah populasi semakin lambat, tetapi jumlah populasi semakin tinggi. Berdasarkan Gambar 4 juga diperoleh bahwa semakin tinggi tingkat pertumbuhan jumlah populasi, maka semakin memperlambat kepunahan. Gambar 4. Grafik fungsi u terhadap t untuk orde dan nilai β yang berbeda. IV KESIMPULAN Metode homotopi merupakan salah satu metode analitik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Dalam metode ini terdapat suatu parameter dan suatu fungsi yang dapat dipilih sembarang. Pemilihan kedua parameter ini dapat mengakibatkan perluasan daerah kekonvergenan (daerah dimana nilai penyelesaian hampiran sama dengan nilai penyelesaian eksak). Salah satu masalah taklinear yang ditinjau adalah model populasi Volterra. Model populasi Volterra dapat diselesaikan dengan menggunakan metode homotopi. Dalam metode ini diperoleh bahwa penyelesaian model populasi Volterra dapat dinyatakan dalam bentuk deret dimana sukusuku dalam deret tersebut diperoleh dari suatu persamaan rekursif. Dengan menggunakan bantuan software MAPLE diperoleh penyelesaian model populasi Volterra. Semakin besar orde yang digunakan semakin memperlebar daerah kekonvergenan dari penyelesaian metode homotopi. Berdasarkan bentuk grafik penyelesaian dengan metode homotopi dapat disimpulkan bahwa perubahan orde yang digunakan tidak memberikan pengaruh yang signifikan terhadap penyelesaian model populasi Volterra. Selanjutnya dengan adanya perubahan β (tingkat pertumbuhan jumlah populasi) akan memberikan pengaruh yang signifikan terhadap perubahan jumlah populasi. Jika β semakin membesar, maka laju perubahan jumlah populasi semakin kecil, tetapi untuk waktu tertentu jumlah populasi semakin tinggi. Dapat dikatakan juga bahwa semakin tinggi β, maka semakin memperlambat kepunahan.

22 13 DAFTAR PUSTAKA Adomian G A review of the decomposition method in applied mathematics. J. Math. Anal. Appl., 135, Golberg M A Solution Methods for Integral Equations: A Survey of Numerical Methods for Integral Equation. Plennum Press, New York, Jaharuddin Analisis Homotopi dalam Penyelesaian suatu Masalah Taklinear. Jurnal Matematika dan Aplikasinya. 7:6-16. Jerri A J Introduction to Integral Equation with Applications, Marcel Dekker Inc., New York. Liao S Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopi Analysis Method. Boca Raton, London, New York Washington, D.C. Nayfeh A H Perturbation Methods. Wiley, New York. Scudo F M Vito Volerra and theoretical ecology. Theoretical Population Bio., 2:1-23. Stewart J Kalkulus Jilid 2. Edisi Keempat. IN Susila dan H Gunawan, penerjemah; N Mahanani dan A Safitri, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calkulus, Fourth Edition. Strogatz H NonLinear Dynamics and Chaos: with applications to physics biology, chemistry, and engineering. Addison-Wesley Publishing Company. TeBeest K G Numerical and analytical solutions of Volterra s population model. SIAM Rev., 39(3):

23 LAMPIRAN 14

24 15 Lampiran 1 Metode Homotopi untuk Masalah Nilai Awal (3.7) Perhatikan masalah nilai awal (3.7) berikut Didefinisikan 0 dengan syarat awal 0 0. ; Dengan menggunakan persamaan (3.6), yaitu ; : 0 dan ; χ diperoleh χ ;. χ χ. Jika dipilih fungsi Bt () = 1, maka diperoleh χ, χ 1 : 1!. Karena u 0 () t = φ (;0) t, dan dipilih pendekatan awal u () t = t, maka 0 untuk n = 1 diperoleh χ : 0. ; 0 : untuk n = 2 diperoleh ; :.

25 16 ; ; Dengan cara yang sama untuk nilai n yang lainnya. Jadi diperoleh barisan,, dengan Dengan demikian solusi masalah nilai batas (3.8) dengan menggunakan metode homotopi adalah Jika dipilih = 1, maka diperoleh yang merupakan salah satu solusi untuk masalah nilai awal (3.8).

26 17 Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.11) Tinjau persamaan populasi Volterra pada model pertumbuhan penduduk (3.9) dalam suatu spesies berikut: t du() t 2 β = u() t u () t u() t u( x) dx, u(0) = α. dt Misalkan didefinisikan variabel berikut: 0,, dengan suatu parameter positif. Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh du() t du() t d d () t d( t) d () t d () t = τ = ω λ = ω λ= λ ω. dt dτ dt d( λt) dt d( τ) d( τ) Jika persamaan di atas disubstitusikan ke persamaan (3.19), maka diperoleh 1.

27 18 Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.30) Tinjau persamaan (3.16) berikut: 1 ;,, ;,,,Λ ;,, ;,, ;,,,Λ Turunan pertama terhadap q dari kedua ruas pada persamaan (3.16), diperoleh ;,, ;,, ;,, ;,,, ;,,,Λ. Untuk 0 ;,, ; 0,, ;,,,Λ ;,, ; 0,, ;,,,Λ 1 1! ;,, 1 1! ; 0,, 1 1! 1 1! ;,,,Λ ;,,,Λ ;,,,Λ. Jika kedua pada kedua ruas pada persamaan (3.16) diturunkan dua kali 2, Untuk 0, ;,, 2 2 ;,, ;,,,Λ ;,,,Λ ;,, ;,, 2 ;,, 2 ;,,,Λ

28 19 1 ;,, ;,, 2! 2 1 ;,,,Λ 2 2! 1 2! ;,, ;,, ;,,,Λ Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, untuk 3, diperoleh ;,, Untuk 0, ;,, ;,,,Λ 3 ;,, ;,, 3 ;,,,Λ ;,,,Λ 3 ;,, 1 ;,, 3! 3 ;,, 1 3! 3 ;,,,Λ 1 ;,, 3! 1 ;,, 2! 1 2! ;,,,Λ 1 2! ;,,,Λ Dengan demikian secara umum diperoleh 3 ;,,,Λ dengan, 1 1! 0, 1 1, lainnya,,,, 1 1! ;,,,Λ ;,,,Λ

29 20 Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.32) Tinjau persamaan (3.31) berikut:, dan persamaan (3.14). Untuk 1, 1 1! ;,,,Λ, ;,,,Λ Λ, Λ; ; ; ;, Λ 0, Λ0; 0 ; 0 ; 0 ; 0 Untuk 2,, Λ ;,,,Λ, 2 Λ Λ Λ; ; ; ;, Λ Λ, 2 Λ,, 2 Λ0 Λ Λ, 0 Λ0 2 Λ0, 0,,, Λ, Λ, ;,, 0 Λ 0,, Λ, 0,,, ; 0, 0,.

30 21 Dengan demikian secara umum diperoleh 1, ;,,,Λ 1!.

31 22 Lampiran 5 Pembuktian Persamaan (3.34) Karena exp exp exp2, maka exp exp 2 exp2, sehingga persamaan (3.32) memberikan, exp exp 2 exp2 exp exp exp2 exp exp exp2 exp exp exp2 exp exp exp2 exp exp 2 exp2 exp exp exp2 exp2 exp2 exp4 2 exp2 2 exp3 2 exp3 exp exp exp2 exp exp exp2 exp exp 2 exp2 exp exp exp2 exp2 exp2 exp4 2 exp2 2 exp3 2 exp3 exp exp exp2exp exp 1 exp exp exp 2 exp2 exp exp exp2 exp2 exp2 exp4 2 exp2 2 exp3 2 exp3 exp exp exp 1 2 exp2 1 2 exp exp exp 1 2 exp2 1 2 exp2 exp exp 1 2 exp2 1 2

32 23 exp exp 2 exp2 exp exp exp2 exp2 exp2 exp4 2 exp2 2 exp3 2 exp3 exp2 exp2 1 exp3 2 exp 1 2 exp exp2 exp2 1 2 exp3 exp 1 2 exp exp3 exp3 1 2 exp4 exp2 1 2 exp exp exp exp3 1 2 exp4, dengan Dengan demikian diperoleh, 2,, exp, exp2, exp3, exp4 ditulis,, exp yang menunjukkan bentuk persamaan (3.34).

33 24 Lampiran 6 Penurunan persamaan (3.36) Jika, 0, maka dari persamaan (3.34) diperoleh 0 0. Penyelesaian persamaan kuadrat di atas adalah Karena 0 diperoleh yang merupakan persamaan (3.36).

34 25 Lampiran 7 Penurunan Persamaan (3.38) Tinjau persamaan (3.30) berikut dengan 1, sehingga untuk 1,2 berturut-turut memberikan,, Bentuk,, ditentukan dari persamaan (3.31). Pilih pendekatan awal 0 [ ] ω ( τ ) = α exp( τ ) + γ exp( τ ) exp( 2 τ ). Dengan menggunakan operator yang didefinisikan berikut Lf df = + f, dτ maka diperoleh 1, 1,exp 1, 1,exp secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk 1 1, exp exp.

35 26 Lampiran 8 Penurunan Persamaan (3.49) Berikut ini akan ditentukan λn 1, n = 1, 2 berdasarkan persamaan (3.47) berikut Untuk 1,2 diperoleh, exp., exp, exp Sedangkan dipilih berbentuk: 0 [ ] ω ( τ ) = α exp( τ ) + γ exp( τ ) exp( 2 τ ). Tinjau persamaan (3.31) berikut,. Jika persamaan (3.47) disubstitusikan ke persamaan (3.31), maka untuk 1,2 berturut-turut diperoleh,, exp, 2 2 exp, 2,,,,, 1 2,,,, 1 2,, 1 3,, 1 4,, exp2 2, 4,,,, 2,,,,,, 1 2,,,,,, 1 2,, 1 3,, 1 4,,

36 27 exp3 3,, 2,, 2,, 2,, 1 2,,,,,, 1 2,, 1 2,,,, exp4 4,,, 2,, 2,, 1 2,,,,,, 1 2,, 1 3,, 1 2,, exp5 2,, 2,, 1 2,,,, 1 4,, 1 3,, exp6 2,, 1 2,, 1 4,,. Karena, 0, maka untuk 1 diperoleh, 0, dan dari persamaan (3.35) diperoleh Selanjutnya untuk 2, diperoleh, 0 sehingga dari persamaan (3.37) diperoleh, 2,,,,, 1 2,,,, 1 2,, 1 3,, 1 4,, 0, 2,,, Jadi,,, 1 2,,,, 1 2,, 1 3,, 1 4,, , 1 2,, 1 2,, 1 3,, 1 4,, 1 22,. Karena, maka diperoleh 1 2 2, 1 2,, 1 2,, 1 3,, 1 4,, 1 2,. Secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan rekursif berikut: λ n 1 = ( ) n 2 n 2 λ + βδ b β b λ λ n,1 j j n 1 j,1 0,1 i n 1 i j= 0 i= 1 ( 1 + 2βλ ) b 0 0,1 dengan

37 28 b = χ χ b + ni, n 2n+ 2 i n 1, i h ( ni, + ni, χ 2n+ 2 iγni, ) 1 i b 2( n + 1) = b n,1 n, i i = 2, dan,,, 2 2 1,,,,,, 1 2 1, Γ ni,,, 1 2,,,,,, 2 2 1,,, 1 2 1,,, dimana, dan,. Dengan demikian,, dihitung berdasarkan rumus rekursif yang diperoleh sebelumnya. Karena ut () = ωτ ( ), maka penyelesaian persamaan populasi Volterra (3.47) untuk orde ke- dapat dinyatakan berikut:, exp Selanjutnya untuk diperoleh dengan., exp dengan.