GERBANG LOGIKA. Keadaan suatu sistem Logika Lampu Switch TTL CMOS NMOS Test 1 Tinggi Nyala ON 5V 5-15V 2-2,5V TRUE 0 Rendah Mati OFF 0V 0V 0V FALSE

Transkripsi

1 GERBANG LOGIKA I. KISI-KISI. Gerbang Logika Dasar (AND, OR, NOT, NAND, NOR, EXOR, EXNOR). AStable Multi Vibrator (ASMV) dan MonoStable MultiVibrator (MSMV). BiStable Multi Vibrator (SR-FF, JK-FF, D-FF, T-FF, LACTH, MEMORY) 4. DECODER, ENCODER, MULTIPLEXER, DEMULTIPLEXER 5. REGISTER, COUNTER, TIMER 6. Aritmathic Logic Unit (ADDER, SUBBTRACTOR, MULTIPLIER) II. DASAR TEORI Rangkaian digital yaitu rangkaian yang hanya mempunyai input dan output dengan dua keadaan saja yaitu 5V dan V. Keadaan itu sering digambarkan sebagai logika Tinggi (High) dan logika Rendah (Low). Untuk memudahkan perancangan digital dipakai aljabar khusus yang disebut aljabar Boole, dimana logika tinggi sebagai dan logika rendah sebagai. Dalam praktek sembarang kondisi yang bisa dinyatakan dengan dua keadaan yang berbeda bisa dinyatakan dengan logika digital. Contoh, Digital Keadaan suatu sistem Logika Lampu Switch TTL CMOS NMOS Test Tinggi Nyala ON 5V 5-5V -,5V TRUE Rendah Mati OFF V V V FALSE II.. SISTEM BILANGAN DIGITAL Bilangan desimal (berbasis ) mengenal simbol angka dari,,,, 9. Sehingga angka, 89 = x + x + 8x + 9x = = 89 dalam desimal Bilangan desimal akan mempunyai bobot seperti tabel berikut: dst Digit 7 Digit 6 Digit 5 Digit 4 Digit Digit Digit Digit Dst Sistem bilangan digital hanya mengenal dua angka yaitu dan, oleh karena itu sembarang angka juga dinyatakan dengan susunan dan. Sistem ini juga dikenal dengan sistem biner (bilangan berbasis ). Contoh angka = x 4 + x + x + x + x = = 9 dalam desimal Sehingga bilangan biner akan mempunyai bobot seperti tabel berikut: dst Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit Bit Bit Bit Dst Konversi desimal ke biner: misalnya angka 54 =. 54 Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit Bit Bit Bit kurangi sisa x x 6 x x biner B Pratama

2 Menyatakan angka biner tentu akan menyulitkan karena kita hanya melihat deretan angka dan yang panjang sehinggg sulit untuk memahami. Untuk itu angka biner sering dinyatakan dengan angka Hexa-decimal,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Tabel konversi sepert atau sistem bilangan berbasis 6. Sistem ini mempunyai 6 simbol angka yaitu berikut: Desimal Biner Heksades A B C D E F Satu digit bilangan biner diberii nama bit. Setiap 8 bit diberi nama byte. Untuk menyatakan angka yang banyak sering diberi imbuhan kilo (K), mega (M) dan giga (G). Tetapi sedikit berbeda dengan aljabar biasa, karena dalam biner K = = 4 M = = G = = II.. OPERATOR DAN GERBANG LOGIKA II... Gerbang OR (OR Gate) A Input B Output Y=A+B Output OR hanya akan jika semua input bernilaii. Yang agak aneh adalah pada kondisi A dan B = output Y=A+B bukan tetapi. Hal ini karena biner hanya tahu bilangann atau. Logika ini betul untuk logika operasi OR. II... Gerbang AND (AND Gate) A B Y=A.B Output AND hanya akan jika semua input bernilai.

3 II... Gerbang NOT (Complement) A Y = Ā II..4. Gerbang EX-OR (EXCLUSIVE-OR) A B Y = A B Output EX-OR akan jika jumlah input yang berlogika adalah ganjil. Persamaan yang umum bisa ditulis Y = A B + AB II..5. Gerbang NAND (NOT-AND) A B Y = A.B Gerbang NAND adalah gabungan dari komplemen dari gerbang AND. gerbang AND dan NOT, sehingga output NAND adalah II..6. Gerbang NOR (NOT-OR) A B Y = A + B Gerbang NOR adah gabungan dari gerbang OR. dari gerbang OR dan NOT sehingga outputnya adalah komplemen Berikut ini diberikan dasar-dasa ar sifat Boolean. Hukum Dasar OR AND A + = A A. = A + = A + A = A A.= A A. A = A NOT A = A A + A = A. A = Hukum Asosiatif (A + B) + C = A + (B + C) (AB)C = A(BC) Hukum Distributif A (B + C) = AB + AC A + (B C) = (A + B)(A + C)

4 Hukum Komutatif A + B = B + A AB = BA Hukum De Morgan A + B + C +... = A. B. C... ABC.... = A + B + C +... Sifat-sifat tambahan A + AB = A A(A + B) = A A + AB = A + B A(A + B) = A.B (A + B) )(A + C) = A + BC Buktikan semua! II..7. Sifat Universal Gerbang NAND dan NOR Gerbang NAND dan NOR memang bisa dibuat dari AND dan OR dengan gerbang NOT. Tetapi NAND dan NOR dalam praktekk paling murah dan mudah dibuat dengan rangkaian transistor (TTL, Transistor-Transistor Logic). Sehingga sebagian besar chip (IC, Integrated Circuit) terbuat dari kombinasi NAND dan NOR. Dengan hanya gerbang NAND bisa dibuat gerbang apa saja demikian juga dengan NOR kita juga bisa membuat gerbang lainya. Hal ini membuat NAND dan NOR bersifat universal. Bukti: a. Y = A.A = A + A = A b. Y = AB. AB = AB + AB = AB = AB c. Y = A.B = A + B = A + B terbukti sebagai logika NOT terbukti sebagai logika AND terbukti sebagai logika OR 4

5 d. Y = AB. AB = AB + A B = AB + AB Y = A AB B AB = A AB + B AB = A AB + B AB e. = (A + B)AB = (A + B)(A + B) = AA + AB + AB + BB = AB + AB terbukti sebagai logika EXOR terbukti sebagai gika EXOR Dengan cara yang hampir sama gerbang NOR juga bisa untuk membuat berbagai gerbang lain. Buktikan, baik dengann aljabar boole maupun dengan percobaan dalam praktikum! II..8. BENTUK SUM OF PRODUCT (SOP) dan PRODUCT OF SUM (POS) Sembarang fungsi biner sering dinyatakan dalam bentuk persamaan fungsi standard Sum of Product (SOP) atau standard Product of Sum (POS) untuk mempermudah minimisasi rangkaian. Proses minimisasi ini penting karena kita bisa membangun fungsi yang sama input dan outputnya tetapi dengan jumlah komponen gerbang yang lebih sedikit/murah. a. Sum Of Product (SOP) Misal ada fungsi biner f(a,b,c,d) = (AC + B)(CD + D). Fungsi ini mempunyai tabel kebenaran sbb. A B C D AC AC+B CD CD+ D (AC + B)(CD + D) Dan diagram rangkaiannya adalah sbb: 5

6 Terlihat bahwa rangkaian memerlukan gerbang AND, OR dan NOT sehingga paling tidak perlu macam IC. Konversi ke bentuk Sum of Product (SOP) adalah sebagai berikut: f(a,b,c,d) = ( AC + B)( CD + D) = ACCD + ACD + BCD + BD = ACD + ACD + BCD + BD Sering diinginkan untuk menyatakan dalam bentuk Sum of Normal Product (SONP). Bentuk mensyaratkan setiap suku harus mempunyai semua variabel yang ada. Konversi ke bentuk SONP dari persamaan terakhir di atas adalah sbb: f(a,b,c,d) = ACD + ACD + BCD + BD = ACD ( B + B) + ACD( B + B) + BCD( A + A) + BD( A + A)( C + C ) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD Bentuk ini sering juga disebut standard product atau minterm. Penulisan bentuk minterm yang sederhana adalah sbb: f(a,b,c,d) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = = f(a,b,c,d) = m(4, 6, 7,,,, 4, 5) Bentuk minterm ini menunjukkan bahwa fungsi akan menghasilkan output jika inputnya adalah salah satu dari 4, 6, 7,,,, 4 atau 5. Ini bisa dengan jelas terlihat dari tabel kebenaran di atas, bahwa pada saat input-input itu sama dengan minterm, maka output akan sama dengan. b. Product Of Sum (POS) Misal ada fungsi biner f(a,b,c,d) = A C + A B C D B D A + C + BD BD. Fungsi ini mempunyai tabel kebenaran sbb. B Pratama 6

7 Dan diagram rangkaiannya adalah sbb: Terlihat bahwa rangkaian memerlukan perlu macam IC. gerbangg AND, OR dan NOT sehingga paling tidak Konversi ke bentuk Product Of Sum (POS) adalah sebagai berikut: f(a,b,,c,d) = A + C + BD = A + (C + BD) = A + (C = ( A + B Sering diinginkan untuk menyatakan dalam bentuk Product of Normal Sum (PONS). Bentuk mensyaratkann setiap suku harus mempunyai semua variabel yang ada. Konversi ke bentuk PONS dari persamaan terakhir di atas adalah sbb: f(a,b,,c,d) = ( A + B + C )(A + C + D) = ( A + B + C + DDD )( A + C + D + BB) = ( A + B + C + D) ( A + B + C + D)(A + B + C + D + )(A + B + C + D) = ( A + B + C + D) ( A + B + C + D)( A + B + C + D +) Bentuk ini sering juga disebut standard sum atau maxterm. Penulisan bentuk maxterm yang sederhana adalah sbb: f(a,,b,c,d) = ( A + B + C + D)( A + B + C + D)( A + B + C + D +) = = 4 5 f(a,,b,c,d) = M (, 4, 5) + B )(C + D ) + C )(A + C + D) Bentuk maxterm ini menunjukk kan bahwa fungsi akan menghasilkann output jika inputnya adalah salah satu dari, 4 atau 5. Ini bisa dengan jelas terlihat dari tabel kebenaran n di atas, bahwa pada saat input-input itu sama dengann maxterm, maka output akan sama dengan. II..9. PETA KARNAUGH Peta Karnaugh berguna untuk minimisasi fungsi dari bentuk minterm atau maxterm. Contoh f(a,b,c) = m(,,, 7). Dengan cara aljabar boole biasa kita dapatkan bentuk minimum sbb, f(a,b,,c) = A B C + AB C + ABC + ABC = A C ( B + B) ) + BC ( A + A) = AC + BC 7

8 Terlihat bahwa outpu yang sama dengan dapat dikelompokkan hingga terbentuk kelompok seperti gambar di samping ( lingkaran hijau) ). Lingkaran pertama (kelompok ) menempati kotak dimana inputnya adalah A C. Sedang kelompk kedua menempati kotak dimana inputnya adalah BC. Jadi f(a, B,C) = AB C + AB C + ABC + ABC = A C + BC Dengan peta-k, akan didapatkan n, Contoh, pemberian nomor kotak dan pengelompokannya untuk 4 hingga 6 variabel terlihat seperti gambar-gambar berikut: 4 variabel 8

9 5 variabel 6 varibel 9

10 Contoh. Gambarkan peta Karnaugh untuk fungsi f (V,W,X,Y,Z) = m(9,,, 9,, ).. Gambarkan peta Karnaugh untuk fungsi f (A,B, C,D,E) = AB + CD + DE II... MINIMISASII FUNGSI SOP Buatlah rangkaian dari fungsi f(a,b,c,d) = m(4, 6, 7,,,, 4, 5) dan gunakan peta-k untuk meminimisasi fungsi dan rangkaian. Hasil peta-k adalah sbb: Hasil minimisasi adalah sbb: a. Grup Kuning : m(,, 4, 5) = AB C D + ABCD + ABC D + ABCD = AC b. Grup Merah : m(6, 7, 4, 5) = ABC D + ABCD + ABC D + ABCD = BC c. Grup Hijau : m(4, 6,, 4) = AB C D + ABC D + ABC D + ABC D = BD Jadi, Y = f ( A, B, C, D) = AC + BC + BD

11 Rangkaiannya adalah sbb: Y = AC + BC + BD Rangkaian juga bisa disusun dengan NAND saja, perhatikan: Y = AC + BC + B D = AC + BC + BD = AC. BC. BD II... MINIMISASII FUNGSI POS Buat rangkaian fungsi f(a,b,c,d) = M (, 4, 5) dan gunakan peta-k untuk meminimisasi fungsi dan rangkaian. Hasil peta-k adalah sbb: Hasil minimisasi adalah sbb: a. Grup Hijau : M (, 5) = (A + B + C + D )( A + B + C + D) = (A + C + D) b. Grup Merah : M (4, 5) = (A + B + C + D )( A + B + C + D) = (A + B + C) Jadi, Y = f ( A, B, C, D ) = ( A + B + C)(A + C + D )

12 Rangkaian juga bisa disusun dengan NOR saja, perhatikan: Y = ( A + B + C )( A + C + D ) = ( A + B + C) ( A + C + D ) = ( A + B + C) + ( A + C + D ) Fungsi Maxterm bisa diubah ke fungsi mintermm atau sebaliknya. Contoh fungsi Maxterm f (A,B,C,D) = M (,, 4, 5, 6, 7, 9,,, 4, 5) akan sama dengan fungsi minterm f (A,B,C,D) = m (,, 8,, ) ). II... INPUT DON T CARE (X) Input don t care adalah input yang tidak diperhatikan. Artinya pada kondisi input ini tidaklah perlu untuk memperhatikan apakah outputnya akan atau. Jika input don t care berguna untuk melengkapi pembentukan grup, maka perlu untuk melibatkannya. Tetapi input don t care jika berdiri sendiri tidak perlu dibuat fungsinya. Contoh, f (A,B,C,D) = m (, 7, 8,, ) + d (, 6, ) Hasilnya adalah: a. d = dilibatkan utk membentuk grup biru = B C b. d = 6 dilibatkan utk membentuk grup hijau = ABC c. d = tidak diperhatikan d. Grup merah = A C D Jadi, Y = f ( A, B, C, D ) = BC + ABC + ACD

13 II.. MINIMISASI DENGAN TABEL Minimisasi dengan peta Karnaugh ada banyak kekurangan: a). tergantung dari ketrampilan kita untuk mencari pola yang dibuat grup. b). sulit dijamin bahwa grup yang dihasilkan adalah yang fungsi minimum. c). sulit dilakukan jika variabel lebih dari 6. d). sulit dibuat model pemrograman komputernya. Quine-McClusky menemukan cara tabel untuk meminimasi fungsi berdasar pada model kubus. Memang untuk jumlah variabel 5 atau lebih sangat sulit untuk menggambarnya, tetapi ide minimasi yang dilakukan adalah sama. Jadi gambar tidak perlu dilakukan dan selanjutnya hanyaa dibuat tabel saja. f (A,B,C,D) = m (,,, 6, 7, 8, 9, minterm tersebut adalah sbb:, ) buatlah minimisasii rangkaiannya! Gambar untuk a. Dalam bentuk kubus b. Peta Karnaugh

14 Atau kalau disajikan dalam tabel adalah sbb: Minterm Biner Jml bit m m m m 6 m 7 m 8 m 9 m m Langkah-langkah. Ubah ke tabel sesuai jumlah bit -nya. Buat grup antara minterm dengan selisih sebesar n (,, 4, 8, 6, dst). Tuliskan grup dalam tabel Kubus- 4. Centang mana yang bisa digrup dan tidak (Beri tanda bintang jika tidak masuk grup untuk mendapatkan prime implicant) 5. Dari tabel Kubus- lakukan peng-grup-an lagi menjadi tabel Kubus- dst. Jml Minterm Kubus- Kubus- m, () x m *,,8, (,8) xx,8 (8) x m 8 m m 6 m 9 m m 7 m Susun tabel Prime-Implicant, (),6 (4), (8) *8,9 () 8, (),7 (4) 6,7 () *9, (4) x x x x x x x x *,,8, (,8) *,,6,7 (,4) 8,9 () *9, (4) Jadi minimisasi fungsi adalah sbb: f (A,B,C,D) = (,, 8, ) + (,, 6, 7) + (9, ) = xx + xx + x = x BxD + AxCx + AxCD = B D + AC + AC D *,,6,7 (,4) xx B Pratama 4

15 Contoh. f (A,B,C,D,E) = m (, 6, 8,,, 4, 7, 9,,, 5, 7, 8, ) Jml Minterm Kubus- Kubus- *,8 (8) Susun tabel Prime-Implicant 8, () 8, (4) 6,4 (8) 6, (6),4 (4),4 (),8 (6) 7,9 () 7,5 (8), (),8 (8) 4, (6) 9,7 (8), (8) 5,7 () 8, () *8,,,4 (,4) *6,4,, (8,6) *,4,8, (,6) *7,9,5,7 (,8) *,,8, (,8) *8,,,4 *6,4,,,4,8, *7,9,5,7 *,,8, *,8 Jadi minimisasi fungsi adalah sbb: f (A,B,C,D,E) = (8,,,4) + (6,4,,) + (7,9,5,7) + (,,8,) + (,8) = xx + xx + xx + xx + x = A BE + CDE + ACE + ACE + ACDE B Pratama 5

16 II.4. INPUT DON T CARE PADA MINIMISASI DENGAN TABEL Prinsipnya, input don t care tetap diikutkan dalam konversi tabel menjadi Kubus-, Kubus- dst, tetapi tidak diikutkan dalam tabel prime-implicant. Contoh, f (A,B,C,D) = m (, 7, 8,, ) + d (, 6, ) Jml Minterm Kubus- Kubus-, () *,,8, (,8),8 (8) Susun tabel Prime-Implicant Jadi minimisasi fungsi adalah sbb: *,6 (4), (8) 8, () *8, (4) *6,7 () *, () 7 8 *,,8,,6 *8, *6,7, f (A,B,C,D,E) = (,,8,) + (8,) + (6,7) = xx + x + x = B D + ACD + ABC II.5. MINIMISASI DENGAN TABEL UNTUK FUNGSI POS f(a,b,c,d) = M (,, 4, 5) + d(,,) Penyelesaian dengan cara tabel terlihat seperti tabel di bawah. Cara tabel adalah hampir sama persis seperti untuk model fungsi SOP. Yang berbeda hanyalah penulisan hasil minimisasi dari primeimplicant menjadi model fungsi POS. Jadi minimisasi fungsi adalah sbb: f (A,B,C,D) = (,,4,5) = + x + + x = A + C B Pratama 6

17 Jml Maxterm Kubus- Kubus- 4 5, (),4 (4) *, (),5 (4) 4,5 () *,,4,5 (,4) *, (8) *5, (8) Susun tabel Prime-Implicant 4 5 *,,4,5,, 5,5 Contoh Suatu data dikodekan dalam 5 bit. Buatlah rangkaian untuk mendeteksi kode yang benar, dimana kode yang benar mempunyai ketentuan sbb: a). Kode paling tidak mempunyai bit minimal buah b). Kode hanya mempunyai angka yang berada antara 5 hingga 5 c). Kode adalah benar jika bernilai genap. Jawab. Dari ketentuan yang ada dapat dibuat tabel kebenaran sbb: A B C D E Y x x x x 4 x B Pratama 7

18 A B C D E Y x 7 x 8 x 9 x x x f (A,B,C,D,E) = m (6,,,4,8,,,4) + d (,,,,4,6,7,8,9,,) Minterm Kubus- Kubus- Kubus-, () *,,, (,), () *,,4,6 (,4) 4,4 (4) , (), (),6 (4), (8),8 (6) 4,6 () 4, (8) 4, (6) 6,4 (8) 6, (6),4 (4),6 (6),4 (),8 (6) 8, (4) 8,6 (8), (),8 (8) 4,6 () 4,8 (4) 4, (6), (8) 6,7 () 6, (4) 8,9 () 8, () 7, (4) 9, (), (),6,,4 (4,8),,8,6 (8,6),6,8, (4,6),,8,6 (8,6) 4,6,,4 (,8) 4,,,8 (8,6) 4,6,, (,6) 6,4,, (8,6),4,6, (4,6) 8,,6, (4,8),,8, (,8) *4,6,8, (,4) *6,7,, (,4) *8,9,, (,) *,6,,4,8,,6, (4,8,6) *4,6,,4,,,8, (,8,6) B Pratama 8

19 Susun tabel Prime-Implicant *,6,,4,8,,6, *4,6,,4,,,8,,,,,,4,6 *4,6,8, 6,7,, 8,9,, Jadi minimisasi fungsi adalah sbb: f (A,B,C,D,E) = (,6,,4,8,,6,) + (4,6,,4,,,8,) + (4,6,8,) = x x x + x x x + xx = D E + C E + AB E atau = E (D + C + AB ) Dari soal ini kerjakan dengan model Maxterm! 9

20 II.6. RANGKAIAN OUTPUT BANYAK Rangkaian dengan output banyak dapat diselesaikan dengan masing-masing output diselesaikan sendiri-sendiri dengan cara peta Karnaugh atau cara tabel. Cara ini menganggap setiap output adalah fungsi yang berdiri sendiri sehingga bisa diselesaikan dengan minimisasi peta Karnaugh atau cara tabel untuk masing-masing output. Tetapi kadang-kadang penghematan komponen rangkaian bisa diperoleh lagi jika masing-masing output dianggap sebagai satu kesatuan. Perhatikan contoh berikut, ada fungsi ( output) dengan minterm sbb: f α (A,B,C,D) = m (, 4,,,, ) f β (A,B,C,D) = m (4, 5,,, ) f γ (A,B,C,D) = m (,,,,, ) Penyelesaian dengan tabel adalah sbb: Minterm Kubus- Kubus- γ αγ * 4 αβ i γ 5 β αβγ * αγ j αβγ * αβ k Susun tabel Prime-Implicant *, () γ f, () γ *, (8) αγ g *4,5 () β d *4, (8) α b, (8) γ *5, (8) β e *, () αβγ h *, () α c *,,, (,8) γ a Fungsi Pr. Imp f α f β f γ γ a α b α c β d β e γ *f αγ *g αβγ *h αβ i αγ *j αβ k B Pratama

21 Pindahkan ke tabel Prime-Implicant hasil reduksi Fungsi Pr. Imp f α f β α b α c β d β e αβ i αβ k Perhatikan, ternyata setiap minterm mempunyai kandidat dua grup, misalnya output f α minterm 4, bisa memakai grup b atau grup i. Demikian juga minterm-minterm yang lain. Tujuan pembuatan tabel ini hanya untuk mempertegas saja minterm mana yang belum memilih grup. Karena grup yang dipilih cukup satu saja yang minimum, maka kita punya persamaan atau atau (b + i)(c + k)(d + i)(d + e)(e + k) = (b + i)(d + i)(c + k) (d + e)(e + k) = (i + bd)(c + k)(e + dk) = (ci + bcd + bdk + ik)(e + dk) = cei + cdik + bcde + bcdk + bdek + bdk + eik + dik = cei + (cdik + dik) + bcde + bcdk + (bdek + bdk) + eik = cei + dik + bcde +( bcdk + bdk) + eik = cei + dik + bcde + bdk + eik = Perhatikan, setiap elemen POS telah cukup untuk mewakili minterm tersisa. Dari kelima elemen kita hilangkan bcde karena harus terdiri dari empat grup (b,c,d,e) dibanding elemen lain yang hanya terdiri dari tiga grup. Sehingga kita mempunyai cei + dik + bdk + eik = Berikutnya adalah memilih satu dari empat elemen POS ini. Kandidat terbaik adalah cei dan bdk karena lebih banyak yang berasal dari tabel di Kubus-. Jika kemudian kita pilih cei secara sembarang, maka prime-implicant yang didapat adalah f α = g + h + c + i = x + x + x + = B CD + ABC + ABC + ABCD f β = h + e + i = x + x + = A BC + BCD + ABCD f γ = g + h + f + j = x + x + x + = B CD + ABC + ABD + ABCD B Pratama