METODE ELEMEN HINGGA UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER ATOM HIDROGENIK

Transkripsi

1 METODE ELEMEN INGGA NTK PENYELESAIAN PERSAMAAN SCRÖDINGER ATOM IDROGENIK Pake Padaga vestas Tebuka Supyad A. Akudato vestas Jembe ABSTRACT Te eseac computed te eegy levs ad adal wave fuctos of te ydoge Atom. Te metod used fo computato was FEM fte emet metod. sg te vaatoal metod appoac, FEM was appled to te acto tegal of Scödge equato. Ts lead to te egevalue equato te fom of global matx equato. Te esults of computato wee depeded o bouday of te acto tegal of Scödge equato ad umbe of emets. Fo bouday 0-00a 0 ad 00 emets, tey wee te ealstc ad best coce of computato to te closed aalytc esults. Te computato of fst fve eegy levs esulted E = R, E = R, E = R, E 4 = R ad E 5 = R wee R =.6 ev. Tey ad atve eo ude 0.% to te aalytc esults. Key wods: FEM, ydoge atom, Scödge equato. Taa mkoskops atom doge dega megguaka pesamaa Scödge sejau ta dkejaka dega bak secaa aaltk Nkskov, 004. tuk atom mult ekto, maka solus aaltk yag dgka sebaga pemecaa pesamaa Scödgeya mejad mak umt dpeole da memeluka apoksmas leb lajut. Sala satu apoksmas yag dapat dadops adala meca solus umek megguaka metode umek yag ada. Metode umek pemecaa pesamaa dfeesal msalya pesamaa Scödge yag umum dguaka adala metode fte dffeece FD. Metode umek yag la adala metode eme gga fte emet metods, FEM yag saat mula bayak deksploas da bekembag cepat utuk dteapka pada poblem-poblem fska. Sala satu keba FEM adala dapat dteapka utuk poblem fss dmaa betuk potesalya dalam pesamaa Scödge sagat kompleks da kuag smets Bugo, 995. Pada set yag kam lakuka, sebaga set pedaulua, kam mecoba megguaka metode FEM utuk atom doge yatu megtug tgkat-tgkat eegya secaa fst pcple, yatu memecaka pesamaa Scödge utuk atom doge. asl umek yag dpeole kemuda dbadgka dega asl aaltk yag suda ada.

2 Jual Matematka, Sas, da Tekolog, Volume 7, Nomo, Maet 006, - Solus Aaltk Pesamaa Scödge Atom doge Pesamaa Scödge bebas waktu utuk atom doge dmaa potesalya dyataka dalam satua CGS adala e E m e Dalam sstem koodat bola, pesamaa datas dapat dyataka dega e sθ ψ,θ,φ E,, φ m sθ θ θ s θ φ e Peyesaa legkap secaa aaltk secaa pajag leba ta bayak dbaas dalam buku teks Moa, 00, yag megaslka solus utuk atom doge adala: e,6 E ev,,,... a 0 Itegal Aks Damka sstem fss, bak klask maupu kuatum sebeaya megkut umusa pesamaa dfeesal yag dapat dtuuka da psp aks stasoe yag besfat umum. Dalam al, Eule da Lagage ta membeka suatu famewok utuk meealsaska psp dalam memecaka poblem fska. D dalam mekaka klask, maka azas aks stasoe meyataka utuk sstem kosevatf tegal bekut t b L q, q, t dt 4 t a besfat stasoe Bugo, 995. L adala Lagaga da vaab Λ dsebut dega tegal aks atau sgkatya dsebut aks. Bedasaka syaat batas BC = Bouday Codtos tegal aks Λ dambl pada la ektemum meuut syaat 0 5 Evaluas tegal aks sagat membatu kta dalam megkaj damka sstem kuatum, dalam al pesamaa Scödge, dega megguaka FEM. Metode Eleme gga FEM Kosep dasa yag madas FEM adala psp dsktsas. Secaa umum, dsktsas dapat datka sebaga upaya utuk membag sstem da poblem yag aka dsesaka obyek mejad baga-baga yag leb kecl. Baga-baga yag leb kecl tesebut sajutya dsebut sebaga eme gga. Dsktsas mucul kaea adaya kesulta utuk mempaja sstem secaa kesuua. Pedekata yag seg dguaka utuk meumuska suatu poblem fss ke dalam aalog dsktsas FEM yatu metode Galek da metode vaas Gasoowcz, 995. Peumusa FEM dega megguaka metode Galek ddasaka pada mmas esdu ssa yag tetggal seta suatu solus pedekata dsubstuska ke dalam pesamaa dfeesal da suatu poblem fss. Sedagka metode vaas ddasaka pada la-la stasoe da suatu fugs atau besaa skala yag bekata dega suatu poblem fss utuk medapatka solusya Takappa, 985.

3 Padaga, Metode Eleme gga utuk Peyesaa Pesamaa Scödge Atom dogek Peumusa FEM dalam peta dpl pedekata metode vaas dega megguaka tegal aks yag dpeole da psp aks stasoe. Dega pedekata, peumusa FEM beagkat da defs tegal fugs. Msalka kta mempuya fugs fx yag aka dtegalka dalam sag da xa,xb. Dega metode tapezum kta dapat megtug tegal tetetu dalam betuk jumlaa da eme-eme luas secaa kesuua, sepet pada gamba a. Eleme-eme luas dapoksmas dega sebua kostata atau leb umum sebua polomal Gasoowcz, 995. tuk poblem fss satu dmes dalam daea [xm, xmak] maka petuga tegal aks dapat dlakuka dalam betuk dsktsas ego. Daea tegas dbag mejad eme-eme yag leb kecl yag dsebut eme-eme gga, sepet pada gamba b. Itegal aks meupaka jumlaa tegal-tegal aks tu sed pada masg-masg eme segga dapat dtulska mejad em 6 x m x max a b Gamba. a Itegal fx meupaka jumlaa eme-eme luas d bawa kuva b Daea dsketsas Peeapa azas vaas odal yatu dega memvaaska tegal aks teadap vaab odal msalka ψα*, maka ddapatka pesamaa smulta utuk koefse ψβ yag bum dketau M 0 7 * Bebeapa koefse ψβ dketau da syaat batas BC da dmasukka ke dalam pesamaa smulta. Koefse-koefse yag laya dapat dpeole dega metode matks stada seta la batas dteapka utuk koefse yag besagkuta Gasoowcz, 995. METODOLOGI PENELITIAN Peta yag dlakuka adala peta dalam bdag fska teo-komputas. Metode yag dguaka utuk medapatka ege la atom doge dalam peta adala

4 Jual Matematka, Sas, da Tekolog, Volume 7, Nomo, Maet 006, - pedekata umek umecal appoac dega megguaka metode eme gga fte emet metod, FEM. Dega megguaka kesalaa atf, asl umek beupa ege eeg atom doge dbadgka teadap asl aaltk. EN ET kesalaa atf x E T EN mewakl tgkat-tgkat eeg atom doge secaa umek sedagka ET mewakl tgkat-tgkat eeg atom doge secaa aaltk. Ege eeg atom doge dkataka akuat jka kesalaa atfya kuag da %. Sedagka aalss teadap fugs gombag adal dlakuka secaa kualtatf malu vsualsas gafk. asl petuga umek fugs gombag adal atom doge mempuya kesesuaa yag bak jka smpaga teadap asl aaltkya cukup kecl. ASIL DAN PEMBAASAN Peumusa Metode Eleme gga tuk Poblem Atom doge Baga Radal Dega megambl baga adal da pesamaa dega batasa utuk keadaa s, maka dapat dtulska e m e d d d d ψ E tuk tujua komputas masala atomk, pesamaa d atas dapat dtulska kembal dalam satua yag leb sesua yatu ja-ja Bo ao sebaga satua pajag da Rydbeg R R =.6 ev sebaga satua eeg. d d 0 d d Psp aks stasoe dapat dteapka utuk meuuka betuk dsket da pesamaa Scödge malu pedekata metode vaas[,5,7]. d *' ' * 0 Pada daea asmtotk yatu d =, fugs gombag da tuuaya meglag secaa ekspoesal, segga aga dapat dsesaka secaa umek, maka batas atas tegal aks aus duba begga, = c. Nla c dpl sedemka upa segga fugs gombagya medekat ol d daea asmtotk jau. c 0 d *' ' * 9 4

5 Padaga, Metode Eleme gga utuk Peyesaa Pesamaa Scödge Atom dogek Dega megguaka psp daea dsktsas, maka tegal aks d atas dapat dpekaka dega memeca daea tegas mejad em bua eme kecl satu dmes. tuk daea fss [0, c] sepet gamba bekut. Gamba. Eleme d dalam daea 0, c kua setap eme yatu / c em Eleme ke η ode ode ode R = +η Gamba. Koodat dalam eme Desa, 988 Pesamaa devaluas dalam dsket da utuk eme ke- dapat dyataka d *' ' * 4 0 Fugs gombag ψ pada pesamaa dapat dtepolas dega megguaka tepolas polomal Lagage. Itepolas polomal Lagage yag dguaka memeluka dua bua ode = utuk setap eme, sepet dtujukka pada dbawa. Nη N η N η 0 η Gamba 4. Fugs Lagage utuk tepolas lea-dua ode tap eme Bugo, 995 5

6 Jual Matematka, Sas, da Tekolog, Volume 7, Nomo, Maet 006, - 6 Fugs gombag ψ mejad N N 5 meupaka ttk awal da meupaka ttk ak. Pada Gamba 4 dguaka koodat lokal η dalam sebua eme yag mempuya batas [0,] segga ttk-ttk odal-ya 6 Substus ttk-ttk odal 6 ke dalam fugs gombag 5 ddapatka 7 Da pesamaa dapat dketau bawa fugs tepolas polomal lokal pada ttk awal Nη = - η da pada ttk ak Nη = η. Tuua da fugs gombag ψ adala d d 8 Fakto sebaga deomato mucul akbat tasfomas koodat da mejad η. Jka tegal aks pada sebua eme pesamaa 4 dtulska dalam otas matks buju sagka x, maka *, * 0 d 9 Itegal aks d atas dapat dtulska dalam betuk *, * 0 d maa 6 6

7 Padaga, Metode Eleme gga utuk Peyesaa Pesamaa Scödge Atom dogek = Matks global dapat dbetuk dega mejumlaka kesuua kotbus tegal aks da em bua eme dega syaat bawa ata eme kotu. Dalam epesetas matks, kotutas ata eme megjka pejumlaa eme matks pada, al belaku juga utuk matks. tuk tga eme dapat dgambaka j, j Gamba 5. Matks global da utuk tga eme Dega megguaka deks global sebaga peggat deks lokal maka ode da dalam eme dyataka kembal sebaga ode α = da α +. Demka juga la odal fugs gombag mejad ψα da ψα+. Total tegal aks utuk suu eme ;,,,..., em, Matks global da memlk dmes em+ x em+. Bedasaka psp aks stasoe dega vaas tegal aks teadap * maka * 0 * * Kaea vaas * adala sembaag maka betuk umum pesamaa la ege 0 4 Jad masala la ege aka dpecaka sebaga masala matks malu pesamaa. Vaab yag dca adala la ege ε yag meupaka eeg atom doge dalam satua Rydbeg R. Aalsa Petuga Tgkat-tgkat Eeg Atom doge Dega megguaka kode kompute yag ta dbuat ddapatka la ege yag meyataka tgkat-tgkat eeg atom doge. Pemla kombas da paamete-paameet put yag tepat megaslka tgkat-tgkat eeg atom doge dega akuas yag tgg. Peuls megguaka bebeapa pla kombas paamete-paamete put yatu batas atas tegas c a0 da jumla eme em eme. 7

8 Jual Matematka, Sas, da Tekolog, Volume 7, Nomo, Maet 006, - Gamba 6. Tampla put - output kode kompute Potesal Coulomb dalam tegal aks aka medekat ol utuk yag besa segga mempuya la ege postf. tuk atom doge dmaa ekto tekat pada t boud state maka aya la ege egatf yag djka. Nla ege egatf tesebut meupaka tgkat-tgkat eeg atom doge. Tgkat-tgkat eeg atom doge secaa aaltk dapat dumuska E R 5 dmaa adala blaga kuatum utama. asl petuga tgkat-tgkat eeg atom doge secaa umek da secaa aaltk dalam satua Rydbeg R seta kesalaa atfya dapat dketau secaa lagsug dega kode kompute yag ta dbuat. Aalsa secaa tepsa paamete put batas atas tegas c dlakuka dega membeka put batas atas tegas 00 a0, 00 a0, 500 a0 da 000 a0 dega jumla eme 000. Dapat dlat bawa semak besa batas atas tegas maka semak bayak tgkat-tgkat eeg atom doge yag dapat dtug. Bebeapa tgkat eeg tetgg mempuya kesalaa atf yag cukup besa. al dsebabka kaea pegau syaat batas, dmaa pada = c fugs gombag adal ψc datu bela ol. 8

9 Padaga, Metode Eleme gga utuk Peyesaa Pesamaa Scödge Atom dogek Pegau jumla eme yag dguaka sama petuga em teadap akuas data yag aka daslka dapat dketau dega megaalss asl petuga tgkat-tgkat eeg atom doge secaa umek utuk put c = 00 a0 da em = 00, 600 da 000. Jka jumla eme yag dguaka dalam petuga semak besa maka akuas asl petuga aka semak bak. al dbuktka dega kesalaa atf utuk masg-masg tgkat eeg semak kecl. Sebaga tambaa, jumla eme sagat bepegau teadap lamaya ug tme da kode kompute yag dbuat. al dsebabka kaea jumla eme yag dguaka sama petuga meetuka besaya ode matks global yag aus dtaga. Semak besa jumla eme maka ode matks global juga semak besa, akbatya ug tme yag dbutuka semak lama. Batas atas tegas da jumla eme secaa besama-sama, dyataka dega ukua eme pesamaa juga mempegau akuas asl petuga. Jka dalam petuga sama, maka aka mempuya keadaa dasa goud state yag sama pula. Msalya utuk = yatu pasaga batas atas tegas c da jumla eme em 0 a0 : 0, 00 a0 :00, da 000 a0 : 000 mempuya keadaa dasa yag tepat sama sebesa R dega kesalaa atf %. al dsebabka kaea 0 eme petama dalam petuga bak utuk 0 eme, 00 eme maupu 000 eme, mempuya dstbus eme yag sama pada suu daea kts yag beubuga dega keadaa dasa. Demka juga utuk =/6 yatu pasaga batas atas tegas c da jumla eme em 0 a0 : 0, da 00 a0 : 600 juga mempuya keadaa dasa yag sama sebesa R dega kesalaa atf %. Da dua coto la d atas, dapat dlat bawa = /6 mempuya kesalaa atf yag leb kecl dbadgka =. al beat petuga keadaa dasa utuk = /6 mempuya akuas yag leb bak. Bedasaka la kesalaa atf masg-masg tgkat eeg utuk dua la tesebut da la yag la yatu /, /5 da /0 dapat dsmpulka bawa semak kecl ukua eme maka akuas petuga secaa umek juga semak bak. Taa atom doge basaya aya mbatka bebeapa tgkat eeg petama yatu yatu keadaa dasa da bebeapa keadaa ekstas exctato states petama < 0. Pasaga put batas atas tegas c da jumla eme em 00 a0 : 600, 00 a0 : 000, da 00 a0 : 000 megaslka ege eeg utuk eam tgkat petama dega kesalaa atf kuag da %. Baka utuk pasaga put 00 a0 : 000 sampa sembla tgkat petama mempuya kesalaa atf kuag da %. Jka dtjau aya pada lma tgkat eeg petama saja yatu keadaa dasa da empat keadaa ekstas petama, maka kombas paamete put batas atas tegas c 00 a0 da jumla eme sebayak 000 meupaka pla ealsts da membeka cukup fomas megea tgkat-tgkat eeg atom doge dega akuas yag bak dmaa kesalaa atfya kuag da 0,%. E = R dega kesalaa atf 0,08789%, E = R dega kesalaa atf 0,06%, E = R dega kesalaa atf 0,05059%, E4 = R dega kesalaa atf 0,04565%, E5 = R dega kesalaa atf 0, %. Secaa umum, paamete put yag dguaka sama petuga dapat datu sedemka gga utuk medapatka tgkat-tgkat eeg atom doge dega akuas yag tgg. Tetuya, dega tetap mempeatka spesfkas da kompute yag dguaka. 9

10 Jual Matematka, Sas, da Tekolog, Volume 7, Nomo, Maet 006, - Aalsa Fugs Gombag Radal da Pobabltas Radal Da petuga umek yag ta dlakuka, juga ddapatka fugs ege yag meyataka fugs gombag adal atom doge utuk keadaa s. Secaa aaltk, fugs gombag adal atom doge utuk tga keadaa s yag petama dalam satua atomk a.u dapat dumuska Basde & Joaca, exp / 0 / / exp / 6 / / / 0 / 7 exp / Vsualsas fugs gombag adal atom doge secaa umek da secaa aaltk utuk tga keadaa petama s, s da s utuk pla kombas paamete put Rc = 00 a0 da em 00 dtujukka pada Gamba 7 sampa Gamba 9. Kesesuaa ataa fugs gombag adal atom doge secaa umek da secaa aaltk dapat dketau dega membadgka secaa lagsug malu vsualsas gafk. Sepet alya dalam aalss tgkat-tgkat eeg atom doge, batas atas tegas c da jumla eme em yag dguaka sama petuga sagat mempegau akuas fugs gombag adal yag daslka. Fugs gombag adal atom doge tdak sama dega ol pada = 0. Begtu juga dega tuuaya d / d 0 pada = 0. al dsebabka kaea eeg potesal utuk atom doge bela tak gga pada ttk = 0. tuk la-la yag besa keadaa-keadaa ekstas, fugs gombag adal dpegau ole pembea syaat batas dmaa pada = c fugs gombag adal datu bela ol, c 0. Secaa umum, utuk yag besa tgkat kesesuaa ataa fugs gombag adal atom doge secaa umek da secaa aaltk leb kecl. Msalya utuk batas tegas 0 a0, telat bawa 0 mempuya smpaga yag leb besa jla dbadgka dega 0 da 0 juga mempuya smpaga yag leb besa bla dbadgka dega 0. Bedasaka vsualsas fugs gombag adal atom doge utuk bebeapa pla kombas paamete put, semak besa batas atas tegas yag dbeka maka semak bak kesesuaa ataa fugs gombag adal atom doge secaa umek da secaa aaltk. al teutama telat utuk keadaakeadaa ekstas. Jumla eme yag dguaka juga mempegau akuas fugs gombag adal atom doge yag daslka dmaa semak bayak jumla eme yag dguaka maka semak bak kesesuaa ataa fugs gombag adal atom doge secaa umek da secaa aaltk. al belaku bak utuk keadaa dasa maupu keadaa-keadaa ekstas. Kta ta megtug fugs gombag adal atom doge dmaa kuadat da fugs gombag adal meyataka keapata ekto sebaga fugs da koodat adal. Pobabltas pe satua pajag bawa ekto dapat dtemuka pada jaak da t dsebut fugs dstbus adal Basde & Joaca, 995. D s s 7 0

11 Padaga, Metode Eleme gga utuk Peyesaa Pesamaa Scödge Atom dogek Gamba 7. Fugs Gombag Radal Atom doge utuk = Batas Itegas 00 da Jumla Eleme 00 Gamba 8. Fugs Gombag Radal Atom doge utuk = Batas Itegas 00 da Jumla Eleme 00

12 Jual Matematka, Sas, da Tekolog, Volume 7, Nomo, Maet 006, - Gamba 9. Fugs Gombag Radal Atom doge utuk = Batas Itegas 00 da Jumla Eleme 00 Da vsualsas fugs dstbus adal dapat dketau bawa pobabltas tebesa utuk meemuka ekto pada jaak tetetu sebadg dega. Nla maksmum fugs dstbus adal semak jau da t jka semak besa. Aalss kesesuaa ataa fugs dstbus adal secaa umek da aaltk tdak dbaas dega alasa fugs dstbus adal meupaka kuadat da fugs gombag adal. Atya jka fugs gombag adal secaa umek mempuya kesesuaa yag bak dega asl secaa aaltk maka fugs dstbus adal secaa umek juga mempuya kesesuaa yag bak dega asl aaltk. KESIMPLAN Taa poblem atom doge secaa umek dega megguaka FEM megaslka tgkattgkat eeg da fugs gombag adal atom doge. asl petuga yag ddapatka sagat begatug pada paamete put yag dguaka. Batas tegas da tegal aks pesamaa Scödge da jumla eme, bak secaa tepsa maupu secaa besama sama, sagat mempegau asl petuga umek. Pla kombas batas atas tegas 00 a0 dega jumla eme sebayak 000 membeka tgkat-tgkat eeg atom doge dega akuas yag bak. tuk lma tgkat eeg petama yatu E = R, E = R, E = R, E4 = R da E5 = R dmaa R =.6 ev. Masgmasg tgkat eeg tesebut mempuya kesalaa atf kuag da 0. % teadap asl aaltk.

13 Padaga, Metode Eleme gga utuk Peyesaa Pesamaa Scödge Atom dogek REFERENSI Basde, B.. & Joaca, C. J Pyscs of atoms ad molecules. New Yok: Jo Wley & Sos, Ic. Bugo, J. P Fte emet metod quatum mecacs. ttp:// Dambl 9 Oktobe 004. Gasoowcz, S Quatum pyscs. SA: Jo Wley & Sos, Ic. Moa, L. R. 00. Fte emet ad bouday emet applcatos quatum mecacs. New Yok: Oxfod vesty Pess. Nkskov, G. P Itoducto to te fte eme metod. Lectue Note. vesty of Azau, Japa. Takappa, V. K Quatum mecacs. New D: Wley Easte Lmted.