Mengatasi Overdispersi pada Model Regresi Poisson dengan Generalized Poisson Regression I

Transkripsi

1 Jural Ekspoesal Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011 ISSN Megatas Overdspers pada Model Regres Posso dega Geeralzed Posso Regresso I Hadlg Overdsperso o Posso Regresso Models wth Geeralzed Posso Regresso I Darah Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma Abstract Posso regresso was used f the depedet varable s dscrete ad follow Posso dstrbuto whe evets are rare a large sample space, dscrete type ad umber of occuraces s expressed a certa terval (tme, rego, etc). I the Posso regresso model assumed the varace of the depedet varable equal to the mea or called equdsperso. I fact, a commo data varace s greater tha the mea s commoly called overdsperso or data that s smaller tha the mea varace s commoly called uderdsperso. The mpact caused overdsperso the Posso regresso may uderestmate stadard error ad overstate the sgfcace of regresso of the regresso parameters ad cosequetly, gvg msleadg ferece about the regresso parameters. The purpose of ths study s hadlg overdsperso o Posso regresso usg Geeralzed Posso Regresso I (GPR I). GPR I models shows that the varables whch affect to materal mortalty at East Kalmata o 2009 are percetage of marred woma uder age (less tha 17 years), ad percetage of auxlary labor performed by o medcal persol (mdwves). Keywords: GPR I, Overdsperso, Posso Regresso. 1. Pedahulua Model regres dguaka utuk memodelka hubuga atara varabel respo dega varabel predktor. Apabla varabel respo berdstrbus Posso, maka model regres yag dguaka adalah regres Posso. Regres Posso ddapatka dar dstrbus Posso, yatu suatu dstrbus utuk perstwa yag probabltas kejadaya kecl, dmaa kejadaya tergatug pada terval waktu tertetu atau d suatu daerah tertetu dega hasl pegamata berupa varabel dskrt da atar varabel salg depede. Peelta tetag model regres Posso telah dlakuka oleh McCullagh da Nelder (1989) yag memodelka jumlah kecelakaa dar jasa kargo pada asuras laut, Brockma da Wrght (1992) megembagka model motor utuk klam resko sedr degara Uted Kgdom (UK) da Reshaw (1994) megaplkaska model klam motor utuk perusahaa asuras d UK. Pada model regres Posso, dasumska varas dar varabel respo sama dega meaya. Data yag mempuya varas yag lebh besar darpada meaya (overdspers) tdak tepat lag daalss dega regres Posso karea aka megakbatka uderestmate pada stadard error da sgfkas dar parameter regres mejad overstate. Meurut Ismal da Jema (2007), salah satu pedekata yag dapat dlakuka utuk megatas overdspers dalam regres Posso adalah Geeralzed Posso Regresso I (GPRI). Peelta tetag GPR I perah dlakuka oleh Sofro (2009), yag megkaj estmas parameter dar model Geeralzed Posso Regresso I (GPRI) utuk megetahu peluag asabah dalam megajuka klam resko sedr d PT Asuras Trpakarta Surabaya. Tetap dalam peelta tersebut tdak membahas peagaa overdspers pada regres Posso dega GPRI. Berdasarka uraa datas, peuls tertark utuk melakuka peelta tetag cara megatas overdspers pada regres Posso dega megguaka pedekata Geeralzed Posso Regresso I (GPR I). Data yag dguaka pada peelta adalah data hasl peelta Noverta Yulaa (2011) tetag faktorfaktor yag mempegaruh kemata bu melahrka (materal mortalty) d Kalmata Tmur tahu Dstrbus Posso Dstrbus Posso merupaka suatu dstrbus utuk perstwa yag probabltas kejadaya kecl, dmaa kejadaya tergatug pada terval waktu tertetu atau d suatu daerah tertetu dega hasl pegamata berupa varabel dskrt da atar varabel salg depede. Iterval waktu tersebut dapat berapa saja pajagya, msalya semet, sehar, semggu, sebula atau bahka setahu. Daerah tertetu yag dmaksudka dapat berupa suatu gars, suatu luasa, suatu volume, atau mugk sepotog baha (Walpole, 1995). Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 5

2 Jural Ekspoesal Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011 ISSN Meurut Camero da Trved (1998), suatu varabel radom Y yag bertpe dskrt aka megkut dstrbus Posso jka adalah ratarata suatu kejada per ut waktu da t adalah perode waktu tertetu, maka rata-rata dar y mejad t. Jad, peluag terjadya kejada y pada perode waktu ke-t dberka oleh persamaa berkut: y [exp( t)][ t] P( y; ), y = 0, 1, 2, ; 0 y! Bla selag waktu kejada adalah sama, maka fugs dstrbus peluag utuk varabel radom Posso Y dega parameter dberka oleh: y [exp( )] P( y, ), y = 0,1, 2, ; > 0 y! da E( Y ), var( Y ) 3. Regres Posso Regres Posso serg kal dguaka utuk megaalss data dskrt (cout data), dalam hal respo data tersebut berdstrbus Posso dega parameter. Parameter sagat bergatug pada beberapa ut tertetu atau perode dar waktu, jarak, luas area, volume, da sebagaya. Dstrbus kemuda dguaka utuk memodelka suatu perstwa yag keberadaaya relatf jarag atau lagka utuk terjad pada satua ut tertetu. dega respo Y, da j Msalka data dambl dar betuk: y x x x k1 y x x x k 2 y x x x 1 2 k y adalah observas ke- xj dar varabel adalah la varabel predktor X ( j 1, 2,, k), maka model regres Posso dapat dyataka sebaga berkut: T E( y ) ( x ) exp( x ); 1,2,,. dega 1, 2,, k. T x1 x2 xk x [,,, ] da ( x ) merupaka model regres Posso yag merupaka fugs dar x sebaga varabel predktor da β sebaga parameter regres yag aka dtaksr. Salah satu metode peaksra parameter yag dapat dguaka adalah Maxmum Lkelhood Estmato (MLE). Taksra maksmum lkelhood utuk parameter dyataka dega βˆ yag merupaka peyelesaa dar turua pertama dar fugs lkelhoodya, yatu : L( β) P( y, β) y [ ( x, β)] exp( ( x, β)) y! y [ ( x, β)] exp( ( x, β)) 1 1 y! Fugs log atural-lkelhoodya adalah : l L( β) y l[ ( x, β)] ( x, β) l( y!) Kemuda persamaa tersebut dturuka terhadap β dsamaka dega ol yag selajutya dapat dselesaka dega metode teras umerk yatu Newto-Raphso. Ide dasar dar model adalah memaksmumka fugs lkelhood (Myers, 1990). Algortma utuk optmsas dega megguaka metode Newto- Raphso. Peguja parameter model regres Posso dlakuka dega megguaka hpotess berkut: H 0 : 1 = 2 =...= k = 0 H 1 : Palg sedkt ada satu 0 ; = 1, 2,..., k. Statstk uj yag dguaka adalah: L( ˆ) G 2l L( ˆ ) G merupaka la devas model regres posso. L(ˆ) adalah la lkelhood utuk model sederhaa tapa melbatka varable predctor da L(ˆ ) adalah la lkelhood utuk model legkap dega melbatka varable predctor. Nla G yag semak kecl meyebabka semak kecl pula tgkat kesalaha yag dhaslka model, sehgga model mejad semak tepat. G dsebut juga sebaga statstk raso lkelhood, dmaa statstk merupaka pedekata dar dstrbus 2 dega derajat bebas -k-1 d bawah model yag sedag damat adalah bear. Krtera pegujaya adalah tolak H 0 apabla G 2 ( ; k 1). Harga devas aka berkurag serg dega bertambahya parameter ke dalam model. (McCullagh da Nelder, 1989). Utuk megetahu pegaruh yag dberka masg-masg varabel predktor dlakuka peguja parameter secara parsal dega megguaka hpotess sebaga berkut: H 0 : = 0 H 1 : 0 Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 6

3 Jural Ekspoesal Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011 ISSN Statstk uj yag dguaka adalah: βˆ t SE(ˆ β ) Dega daerah peolaka adalah tolak H 0 / 2, jka t ht t dmaa adalah tgkat sgfkas da adalah derajat bebas. Atau tolak H 0 jka la sgfkas<. 4. Overdspers Dalam model regres Posso terdapat beberapa asums yag harus dpeuh. Salah satuya adalah asums kesamaa atara mea dar varabel depede dberka la varabel depede dega varasya, yag dsebut juga dega keadaa ekudspers. Namu, dalam aalss data cout sergkal djumpa data yag varasya lebh besar dar mea. Keadaa sepert dsebut dega overdspers. Feomea overdspers dapat djelaska sebaga berkut: Vary Ey Sebalkya, data yag varasya lebh kecl dar mea dsebut dega uderdspers (McCullagh&Nelder, 1989). Overdpers atau uderdspers dapat meyebabka taksra parameter yag dperoleh tdak efse, walaupu cederug tetap kosste. Pegguaa yag tdak tepat dar regres Posso (yag megadug masalah overdspers maupu uderdspers) dapat berakbat fatal dalam terpretas model, khususya parameter model karea dapat meaksr stadar error yag terlalu redah da dapat memberka kesmpula yag kelru tetag sgfka atau tdakya parameter regres yag terlbat. Ada tdakya overdspers dalam regres Posso dapat dketahu dega membadgka la mea da varas yag terbetuk dar varabel repo regres Posso, apabla la varas lebh besar dar pada la meaya maka dapat dkataka bahwa model regres Posso tersebut memlk masalah overdspers. Hubuga parameter dspers ( ) dega varas da mea dalam regres Posso adalah: dmaa: Var Y Nla Devace Derajat Bebasya Dar hubuga parameter dspers ( ) dega varas da mea dalam regres Posso tersebut dapat dguaka sebaga cara alteratf utuk megetahu ada tdakya masalah overdspers dalam data adalah dega memperhatka la Devace dbag derajat bebasya berada d sektar agka 1 maka dapat dsmpulka bahwa model sudah memeuh salah satu asums regres Posso, amu ketka laya datas 1 maka dapat ddkaska masalah overdspers terjad dalam data (Pateta, 2005). 5. Geeralzed Posso Regresso I (GPRI) Meurut Wag da Famoye dalam Ismal da Jema (2007), fugs kepadata peluag dstrbus Geeralzed Posso I (GPI) adalah Pr( Y y ) 1 0,1, y y y 1 1 y 1 y exp, y! dmaa meaya adalah 1 l L β, 0, j 1,2,, β j kemuda dselesaka dega prosedur Itertatvely Wghted Least Square (IWLS). (2.25) 6. Materal Mortalty Revs kesembla Klasfkas (2.26) Peyakt Iterasoal (ICD-9) da Roysto dkk (1994) meetapka bahwa kemata bu (materal mortalty) adalah kemata seorag wata yag sedag haml atau dalam perode 42 har setelah termas kehamlaya, tapa memadag lama da lokas kehamla. Kemata tersebut dsebabka oleh berbaga peyebab yag berhubuga dega kehamla atau dperburuk oleh kehamla atau peatalaksaaaya, tetap buka akbat kecelakaa atau kebetula. E Y x Var Y a x. 1 varaya adalah 2 da Jka sama dega ol, maka fugs kepadata peluag GPI aka berdstrbus Posso sehgga mea sama dega vara EY x Y Var x > Y Var x. Jka > 0, maka E x, hal meujukka Y terjadya overdsperso da Jka < 0, maka E x < Y Var x meujukka terjadya Y uderdsperso. Jka dasumska bahwa T E( y ) ( x ) exp( x ); 1,2,, maka fugs lkelhoodya dar model Geeralzed Posso Regresso I (GPRI) adalah sebaga berkut. Lβ, y log y 1log1 y 1 1 y log( y!) 1 Taksra maksmum lkelhood utuk parameter model GPRI dyataka dega ( βˆ, αˆ ) dperoleh dega memaksmumka fugs lkelhoodya, yatu meetuka turua pertamaya terhadap da sehgga: k Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 7

4 Jural Ekspoesal Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011 ISSN Sukar (1994) meyebutka bahwa faktorfaktor peyebab kemata bu (materal mortalty) adalah predsposs dar beberapa keadaa sepert aema da peyakt hat akut, pedaraha, seps, kods hygee yag buruk dar pertologa persala oleh teaga tradsoal yag tdak terlath, toksma dega tada-tada pegkata tekaa darah, adaya prote d ar kecg (album ura), pembegkaka (oedema) da juga komplkas yag dderta oleh bu. Choll (1999) meyebutka bahwa Keragka Geraka Sayag Ibu (GSI) djalaka dega meerapka kesadara bahwa keterlambata dapat berakbat pada kemata. Kosep keterlambata sebaga saraa aalss da operasoal dbag mejad tga fase yatu: a. Terlambat pertama: terlambat memutuska utuk mecar pertologa b. Terlambat kedua: terlambat sampa ketempat pelayaa kesehata c. Terlambat ketga: telambat medapatka perawata yag memada Masg-masg keterlambata bsa berakbat pada kemata bu. Namu setap fase dsebaka oleh faktor-faktor yag berbeda sehgga mplkas tervesya pu berbeda. Faktorfaktor yag berkotrbus pada keterlambata pertama adalah status ekoom keluarga yag redah, status peddka keluarga yag redah, pelaa yag redah terhadap kehdupa wata, sstem kepercayaa tradsoal, serta ketdakmampua megeal tada-tada bahaya dega cepat. Sedagka faktor-faktor peyebab keterlambata kedua adalah jarak dar puskesmas, kuragya sara trasportas yag memada, kods jala yag buruk, da tgguya baya trasportas. Faktor peyebab utuk keterlambata ketga adalah kuragya fasltas perawata kebdaa darurat da teaga ahl. Faktor adaya jumlah saraa kesehata (rumah sakt da puskesmas) yag cukup memada aka meyebabka kesehata da keselamata bu haml mejad lebh terjam karea bu haml semak mudah utuk memerksaka, berobat, ataupu kosultas seputar kehamlaya pada saraa kesehata tersebut. Faktor persetase wata yag mekah dbawah umur (kurag dar 17 tahu) dpaka sebaga varabel predktor karea bag wata yag mekah dbawah umur 17 tahu kemuda haml ketka berusa dbawah 17 tahu pula, resko kemata bu megkat secara bermaka. Faktor peolog proses persala yag dlakuka oleh teaga omeds sepert duku da laya, merupaka kods yag cukup rawa terutama bla peolog persala kurag megert tata cara meolog persala yag sehat sehgga beresko pada kemata bu. 7. Metode Peelta Varabel yag dguaka dalam peelta adalah sebaga berkut: 1. Varabel respo (Y) adalah materal mortalty. 2. Varabel predctor terdr dar tga varable yatu X 1 : jumlah saraa kesehata yatu rumah sakt da puskesmas d tap kabupate/kota, X 2 : Persetase perempua yag mekah dbawah umur (kurag dar 17 tahu) d tap kabupate/kota da X 3 : Persetase peolog proses persala yag dlakuka oleh teaga o meds (duku bay) d tap kabupate/kota. Lagkah-lagkah yag dlakuka dalam megaalsa data adalah sebaga berkut: 1. Uj dstrbus Posso 2. Estmas parameter regres Posso 3. Aalss kasus overdspers 4. Estmas parameter Geeralzed Posso Regresso I (GPRI) 5. Peguja sgfkas parameter GPRI. 6. Iterpretas model 8. Hasl Da Pembahasa Varabel respo yag berdstrbus Posso merupaka salah satu syarat dalam model regres Posso. Oleh karea tu perlu dlakuka uj dstrbus Posso dega hpotess sebaga berkut: H 0 : Data materal mortalty berdstrbus Posso. H 1 : Data materal mortalty tdak berdstrbus Posso. Taraf sgfkas yag dguaka () sebesar 5% (0,05). Statstk uj yag dguaka adalah Kolmogorof-Smrov. H 0 dtolak jka la sgfkas <. Dar hasl aalss dperoleh la sgfkas (0,281) > sehgga dapat dsmpulka data materal mortalty berdstrbus Posso. Selajutya dlakuka estmas parameter model regres Posso dega megguaka paket program SAS. Nla estmas parameter mecapa koverge setelah teras ke-11, haslya dsajka pada Tabel 1. Tabel 1. Nla Estmas Parameter Model Regres Posso Parameter Estmas SE t P-value 0 2,1813 0,2952 7,39 <, , ,0087-3,15 0, , ,0067-3,76 0, , ,0136 6,44 <,0001 Utuk megetahu ada tdakya pegaruh varabel predktor terhadap varabel respo dlakuka peguja parameter secara seretak dega megguaka hpotess berkut: Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 8

5 Jural Ekspoesal Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011 ISSN H 0 : 1 = 2 = 3 = 0 H 1 : Palg sedkt ada satu 0 ; = 1, 2, 3. Dar hasl aalss dperoleh la G =38,0381> 2 htug (0,05;10) = 18,037, maka H 0 dtolak, berart palg sedkt ada yag berpegaruh terhadap model. Pegaruh yag dberka masg-masg varabel predktor tersebut dapat dketahu dega melakuka peguja parameter secara parsal dega megguaka hpotess berkut: H 0 : = 0 H 1 : 0 Pada Tabel 1 dapat dlhat bahwa semua parameter yag dhaslka adalah sgfka. Hal dtujukka oleh masg-masg la p-value yag lebh kecl dar. Sehgga dperoleh model regres Posso berkut: l ˆ = ,02751X 1-0,02552 X 2 + 0,08762 X 3 Aalss adaya kasus overdspers pada data dapat dlhat dar la devas dbag dega derajat bebasya. Hasl output software SAS dsajka pada Tabel 2. Tabel 2. Nla Devas pada Model Regres Posso Nla Devas Df Nla Devas /Df 38, ,80381 Tabel 2 meujukka bahwa la devas dbag dega derajat bebasya sebesar 3,80381 lebh besar dar 1 sehgga dapat dsmpulka bahwa data materal mortalty megalam overdspers. Utuk tu, dlakuka pedekata model GPRI utuk megatasya. Hasl estmas parameter model GPRI dega megguaka paket program SAS dsajka pada Tabel 3. Nla estmas parameter mecapa koverge setelah teras 13. Tabel 3. Nla Estmas Parameter Model GPRI Parameter Estmas SE t P-value 0 2,2381 0,5131 4,36 0, , , ,4 0, , , ,55 0, , , ,66 0,0026 Selajutya dlakuka peguja parameter secara seretak dega megguaka hpotess berkut: H 0 : 1 = 2 = 3 = 0 H 1 : Palg sedkt ada satu 0 ; = 1, 2, 3. Berdasarka hasl aalss dperoleh la G = 98,4 sedagka = 3,84 sehgga H 0 dtolak, 2 0,05;1 yag berart palg sedkt ada yag berpegaruh terhadap model. Utuk megetahu pegaruh yag dberka oleh masg-masg varabel predktor dlakuka peguja hpotess berkut: H 0 : = 0 H 1 : 0 Tabel 3 meujukka bahwa parameter yag tdak sgfka adalah 1 karea la sgfkasya >. Sehgga dperoleh model Geeralzed Posso Regresso I (GPRI) berkut: l ˆ = 2,2381-0,02783 X 2 + 0,08843 X 3 Berdasarka model tersebut dapat dketahu bahwa faktor-faktor yag mempegaruh materal mortalty d Kalmata Tmur tahu 2009 adalah persetase perempua yag mekah dbawah umur (kurag dar 17 tahu) d tap kabupate/kota da persetase peolog proses persala yag dlakuka oleh teaga o meds (duku bay) d tap kabupate/kota. 9. Kesmpula Hasl aalss da pembahasa meujukka bahwa terjad overdspers pada model regres posso utuk data materal mortalty d Kalmata Tmur tahu 2009 sehgga semua parameter yag dhaslka adalah sgfka dega la stadar error yag kecl. Selajutya dlakuka pedekata model Geeralzed Posso Regresso I (GPRI) utuk megatasya. Berdasarka model GPRI yag dperoleh, terdapat satu parameter yag tdak sgfka sehgga dapat dsmpulka bahwa faktor-faktor yag mempegaruh materal mortalty d Kalmata Tmur tahu 2009 adalah persetase perempua yag mekah dbawah umur (kurag dar 17 tahu) d tap kabupate/kota da persetase peolog proses persala yag dlakuka oleh teaga o meds (duku bay) d tap kabupate/kota. Daftar Pustaka Brockma, M. J., ad Wrght, T. S. (1992), Statstcal Motor Ratg: Makg Effectve Use of Your Data, Joural of the Isttute of Actuares, 119: 3, p Choll, Abdullah da S. Mara. (1999). Geraka Sayag Ibu d Idoesa. Ford Foudato. Jakarta Ismal, N., ad Jema, A. A. (2007), Hadlg Overdspersowth Negatve Bomal ad Geeralzed Posso Regresso Model, Casualty Actuaral Socety Forum, Malaysa. Klebaum, Davd G., Lawrece L. Kupper ad Muller, K. E. (1978), Appled Regresso Aalyss ad Other Multvarable MethResko Sedrs. PWS-Ket Publshg Compay, New York. Sofro. (2009). Metode Geeralzed Posso Regresso pada Klam Ow Damaged d PT. Asuras Trpakarta Surabaya. Tess. Jurusa Statstka FMIPA ITS Surabaya. Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 9

6 Jural Ekspoesal Volume 2, Nomor 2, Nopember 2011 ISSN McCullagh, P., ad Nelder, J. A. (1989), Geeralzed Lear Models. 2d Edto. Chapma ad Hall, Lodo. Myers, R.H., (1990), Classcal ad Moder Regresso Wth Applcatos, PWS Ket Publshg Compay, USA. Pateta, Mke. et al. (2005). Fttg Posso Regresso Models Usg the Gemod Procedure. USA: SAS Isttute Ic. Roysto., Erca da Amstrog, S., (1994), Pecegaha Materal Mortalty Haml, Barupa Aksara, Jakarta. Reshaw, A. E. (1994), Modelg the Clams Process the Presece of Covarates, ASTIN Bullet. 24: 2, p Sukar, M., (1994), Kesehata Keluarga da Lgkuga, Kasus, Yogyakarta. Yulaa, N (2011). Megatas Overdspers pada Regres Posso dega Regres Bomal Negatf. Skrps. Program Stud Statstka FMIPA Umul. Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 10