Kismiantini Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Transkripsi

1 PENERAPAN METODE BAYES EMPIRIK PADA PENDUGAAN AREA KECIL UNTUK KASUS BINER (Stud tetag Proors Status Keemlka Kartu Sehat d Kota Yogyakarta) 1 Ksmat Jurusa Peddka Matematka FMIPA Uverstas Neger Yogyakarta ABSTRAK Pedugaa area kecl bergua utuk meduga arameter suboulas (area) yag berukura cotoh kecl. Pada data ber, model Bomal-beta daat dguaka utuk meduga arameter area kecl. Ada dua metode dalam edugaa area kecl utuk data ber, yatu Bayes emrk da Bayes herarkh. Pada makalah dguaka metode Bayes emrk dalam meghaslka eduga roors. Tujuaya adalah mela kerja eduga lagsug da eduga Bayes emrk ada edugaa area kecl utuk kasus ber. Hasl eeraa ada roors status keemlka kartu sehat d kota Yogyakarta meujukka bahwa eduga Bayes emrk dar model Bomal-beta memberka hasl edugaa dega ketelta yag lebh tgg dbadgka eduga lagsug. Kata-kata kuc: edugaa area kecl, data ber, Bayes emrk PENDAHULUAN Pedugaa area kecl (small area estmato) adalah suatu tekk statstka utuk meduga arameter-arameter suboulas yag ukura cotohya kecl (Rao, 2003a). Tekk edugaa memafaatka data dar doma besar (yak seert data sesus, data surve sosal ekoom asoal) utuk meduga eubah yag mejad erhata ada doma yag lebh kecl. Area kecl ddefska sebaga suboulas yag ukura cotohya kecl sehgga edugaa lagsug tdak daat meghaslka dugaa yag telt (Rao, 2003a). Basaya statstk deroleh dar suatu surve yag dracag utuk memeroleh statstk asoal. Persoala mucul ketka g deroleh formas utuk area yag lebh kecl (ros, kabuate, kecamata atau desa/keluraha) yatu objek surve jumlahya kecl bahka bsa saja area tersebut tdak tersamlg sehgga aalss yag ddasarka haya ada objekobjek tersebut mejad sagat tdak daat dadalka (ress redah). Small area estmato meruaka suatu metode yag daat meaga ermasalaha tersebut. 1 Makalah dsamaka ada Semar Nasoal Peelta, Peddka da Peeraa MIPA yag dseleggaraka oleh FMIPA Uverstas Neger Yogyakarta ada taggal 15 Me

2 D Idoesa etgya statstk area kecl semak drasaka serg dega eeraa otoom daerah, emertah daerah memlk keweaga yag lebh besar utuk megatur drya sedr. Kebutuha statstk ada level daerah (kabuate sama kecamata) mejad kescayaa sebaga dasar erecaaa embagua daerah atau kebjaka etg laya. Melalu metode, secara asoal aka cuku bayak baya yag bsa dhemat oleh daerah sehgga daat dalokaska utuk embayaa embagua laya. Berbaga metode edugaa area kecl (small area estmato) telah dkembagka khususya meyagkut metode yag berbass model (model-based area estmato). Metode tersebut adalah eduga redks tak bas ler terbak emrk atau emrcal best lear ubased redcto selajutya dsebut EBLUP, Bayes emrk atau emrcal Bayes dsgkat EB, da Bayes herarkh atau herarchcal Bayes yag dsgkat HB. Metode EBLUP meruaka metode utuk data kotu sedagka EB da HB adalah metode utuk data ber atau cacaha. Metode Bayes emrk ada edugaa area kecl ertama kal dlakuka oleh Fay da Herrot (1979) dalam meduga edaata beberaa area kecl. Suatu eubah resos yag meyataka sukses atau gagal dsebut sebaga eubah ber. Pada edugaa area kecl utuk kasus ber, eubah yag mejad erhata berua roors. Peduga lagsug bag roors meruaka eduga kemugka maksmum yatu ˆ y, dega megasumska eubah d ~. Peduga egamata dasumska meyebar bomal, y Bomal(, ) lagsug memuya ragam yag besar karea haya berdasarka jumlah objek surve yag terdaat ada area tersebut. Suatu edugaa la dkembagka utuk megatas ermasalaha, yatu edugaa tak lagsug. Pedugaa tak lagsug bag roors deroleh dar model Bomal-beta. Model memuya dua taha, yatu ada taha ertama dasumska bahwa eubah yag mejad erhata d ~ Bomal( ), y 0, L, y,, 0 < 1, 1L,, m. Sedagka ada taha < kedua dasumska bahwa ( α, β ) eluagya adalah f ( α, β ) Γ Γ ~ beta sebaga ror, dega fugs keadata d ( α + β ) ( α ) Γ( β ) α 1 β 1 ( 1 ) ; α > 0, β > 0 (1) 2

3 Berdasarka teorema Bayes maka eduga Bayes da ragam osteror bag adalah da B ( α, β ) E( y, α β ) ( y + α ) ( + α + β ) ˆ, (2) ( y, α, β ) g ( α, β, y ) 1 ( y + α )( y + β ) ( + α + β + 1)( + α + β ) 2 Var (3) Bla eduga Bayes aka dguaka maka harus dketahu terlebh dahulu la arameter sebara rorya. Namu sergkal formas megea arameter ror belum dketahu. Pedekata la yag daat dguaka adalah Bayes emrk, yatu edekata yag dlakuka utuk medaatka formas arameter ror berdasarka dataya. Iformas arameter ror deroleh dega memaksmumka fugs sebara marjal d y α, β ~ Beta-bomal, amu betuk tertutu utuk αˆ ML da βˆ ML tdak ada (McCulloch & Searle, 2001). Pada makalah bertujua utuk mela kerja eduga lagsug da eduga Bayes emrk ada edugaa area kecl utuk kasus ber. PENDUGA LANGSUNG BAGI PROPORSI Peubah egamata dasumska memuya sebara bomal, d ~ Bomal( ). Fugs eluag dar sebara bomal adalah y, f y y ( y ) ( ) y 1, dega y 0, L,, 0 < 1, 1L,, m (4) Selajutya dega memaksmumka fugs eluag tersebut deroleh eduga kemugka maksmum bag yatu < ˆ y (5) Peduga meruaka eduga kemugka maksmum yag bersfat tak bas karea la haraa dar eduga sama dega arameterya. y 1 1 E ( ˆ ) E E( y ) (6) 3

4 Sehgga dugaa kuadrat tegah galat sama dega ragamya, yatu ktg ( ˆ ) Var ˆ ( ˆ ) ˆ (1 ˆ ) (7) PENDUGA BAYES EMPIRIK BAGI PROPORSI Lagkah awal ada edugaa Bayes emrk dar model Beta-bomal oleh Klema (Rao, 2003a) adalah dega membuat dugaa arameter ror dega meyamaka rataa cotoh terbobot ( T ) ˆ ˆ (8) da ragam cotoh terbobot s 2 ( )( ˆ ˆ ) 2 (9) T dega la haraa masg-masg da kemuda dselesaka ersamaa mome utuk α da β, dega berkut: ˆ α ˆ ˆ α + ˆ β da T. Peduga mome, αˆ da βˆ, dberka sebaga (10) ˆ α 1 T s ˆ β + 1 ˆ (1 ˆ) ˆ(1 ˆ )( m 1) 2 [ / ( m 1) ] + T T 2 (11) Lalu substtuska eduga mome αˆ da βˆ ke dalam (2) utuk memeroleh eduga Bayes emrk bag yatu EB B ˆ ˆ ( ˆ, α ˆ β ) ˆ γ ˆ + ( 1 ˆ γ )ˆ dega ˆ γ ( + ˆ α + ˆ β ) y (12), ˆ sebaga eduga lagsug dar, y da masg-masg meyataka bayakya egamata da bayakya suatu kasus, ˆ adalah eduga stetk atau sebaga eduga tak lagsug (Rao, 2003a). 4

5 PROSEDUR PENDUGAAN PROPORSI DENGAN METODE BAYES EMPIRIK Prosedur yag dguaka dalam meduga roors ada dua cara yatu berdasarka eduga lagsug da eduga Bayes emrk dar model Bomal-Beta yag duraka sebaga berkut : A. Peduga lagsug 1. Meetuka eduga roors ˆ y dega y meyataka bayakya egamata suatu kasus ada suboulas ke-, meyataka bayakya dvdu ada suboulas ke-. Suboulas daat berua kecamata. 2. Meetuka dugaa kuadrat tegah galat (KTG) yatu ktg( ˆ ) ˆ ( 1 ˆ ) 3. Meetuka galat baku. 4. Proses htuga dlakuka dega Mcrosoft Offce Excel. B. Peduga Bayes emrk berdasarka model Bomal-Beta θ. 1. Meetuka la dugaa arameter αˆ da βˆ dar sebara ror d ~ beta ( α, β ) 2. Meetuka eduga Bayes emrk EB ˆ. 3. Meetuka kuadrat tegah galat dega megguaka metode Jackkfe yatu : EB Agga bahwa ( α ˆ EB ˆ k ˆ, ˆ, β ), k ( ˆ, ˆ α, ˆ ) M ˆ m 1 m ( ) 2 EB ˆ EB, ˆ 2 m l 1 Dega mecar ˆ β, l, lalu αˆ da βˆ l yag meruaka eduga mome yag deroleh dar data ke-l yag dhaus, maka dhtug Mˆ m m 1 ( ˆ, α ˆ, β y ) [ g ( ˆ 1 α, ˆ β, y ) g1 ( ˆ, α ˆ β y )] 1 g1, m l 1 Peduga Jackkfe bag kuadrat tegah galat eduga Bayes emrk dberka oleh ktg J ( ˆ EB θ ) ˆ + Mˆ M1 2 5

6 4. Meetuka galat baku. 5. Proses htuga dlakuka dega SAS/IML vers 9.1 da Mcrosoft Offce Excel. Perbadga kebaka dar kedua eduga roors (eduga lagsug da Bayes emrk dar model Bomal-beta) dega melhat la galat baku. PENERAPAN PADA DATA STATUS KEPEMILIKAN KARTU SEHAT Data status keemlka kartu sehat deroleh dar Surve Sosal Ekoom Nasoal (SUSENAS) 2003 dega mater formas berbass rumahtagga. Data dambl dar 14 kecamata d kota Yogyakarta. Peubah yag mejad erhata adalah roors status keemlka kartu sehat, eubah egamata y adalah jumlah rumahtagga emlk kartu sehat ada kecamata ke-, da rumahtagga ada kecamata ke-. adalah jumlah Tabel 1. Pedugaa Proors Status Keemlka Kartu Sehat No Kecamata y Lagsug Bayes Emrk Peduga Galat baku Peduga Galat baku 1 Matrjero ,009 0,996 0,022 0,006 2 Krato ,036 1,963 0,036 0,005 3 Mergagsa ,039 2,594 0,038 0,004 4 Umbulharjo ,013 1,987 0,019 0,004 5 Kotagede ,063 2,739 0,050 0,007 6 Godokusuma ,033 2,950 0,034 0,004 7 Daureja ,054 2,573 0,046 0,006 8 Pakualama ,000 0,000 0,023 0,007 9 Godomaa ,105 2,317 0,059 0, Ngamla ,000 0,000 0,026 0, Wrobraja ,017 1,402 0,026 0, Gedogtege ,041 1,958 0,038 0, Jets ,037 2,403 0,037 0, Tegalrejo ,064 3,488 0,054 0,007 Dar Tabel 1 daat deroleh formas bahwa secara rata-rata bayak rumahtagga belum memlk kartu sehat. Peduga lagsug memberka galat baku yag besar sehgga eduga memuya ress yag redah, hal dsebabka keclya ukura cotoh ada area yag mejad erhata. Sedagka eduga 6

7 Bayes emrk memberka hasl edugaa dega ress megkat yag dtujukka oleh keclya galat baku. SIMPULAN DAN SARAN Berdasarka hasl eeraa daat dambl smula da sara sebaga berkut: Smula Peduga Bayes emrk dar model Bomal-beta lebh daat dadalka darada eduga lagsug, yag derlhatka dega semak keclya galat baku. Sara Perbaka edugaa Bayes emrk ada model Bomal-beta daat dlakuka dega memasukka eubah eyerta ke dalam model. DAFTAR PUSTAKA Brackstoe, G.J Strateges ad aroach for small area statstcs. Survey Methodology, 28 (2), Carl, B.P., & Lous, T.A Bayes ad emrcal Bayes methods for data aalyss. New York: Chama & Hall. Farrel, P.J., MacGbbo, B., & Tomberl, T.J Emrcal Bayes small-area estmato usg logstc regresso models ad summary statstcs. Joural of Busess & Ecoomc Statstcs, 15 (1), Farrell, P.J., MacGbbo, B., & Tomberl, T.J Bootstra adjusmets for emrcal Bayes terval estmates of small-area roortos. The Caada Joural of Statstcs, 25 (1), Fay, R.E., & Herrot, R.A Estmates of come for small laces: a alcato of James-Ste rocedures to cesus data. Joural of the Amerca Statstcal Assocato, 74 (366), Gll, J Bayesa methods: a socal ad behavoral sceces aroach. Boca Rato: Chama & Hall. Gosh, M., & Rao, J.N.K Small area estmato: a arasal. Statstcal Scece, 9 (1), Jag, J., & Lahr, P Emrcal best redcto for small area ferece wth bary data. Aals of the Isttute of Statstcal Mathematcs, 53 (2), Jag, J., Lahr, P., & Wa, S.M A ufed jackkfe theory for emrcal best redcto wth M-estmato. The Aals of Statstcs, 30 (6),

8 Larse, M.D Estmato of small-area roortos usg covarates ad survey data. Joural of Statstcal Plag ad Iferece, 112 (2003), Malec, D., Sedrask, J., Morarty, C.L., & LeClere, F.B Small area ferece for bary varables the atoal health tervew survey. Joural of the Amerca Statstcal Assocato, 92 (439), McCulloch, C.E., & Searle, S.R Geeralzed lear ad mxed models. New York: Wley. Rao, J.N.K Some recet advaces model-based small area estmato. Survey Methodology, 25 (2), Rao, J.N.K. 2003a. Small area estmato. New York: Joh Wley ad Sos. Rao, J.N.K. 2003b. Some ew develomets small area estmato. Proceedgs of the survey methods selecto. Dambl ada taggal 22 Februar 2006, dar htt:// 8