ENDOMORFISMA RIGID DAN COMPATIBLE PADA RING DERET PANGKAT TERGENERALISASI MIRING

Transkripsi

1 ENDOMORFISMA RIGID DAN COMPATIBLE PADA RING DERET PANGKAT TERGENERALISASI MIRING Ahmad Faisol Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Abstract. Given a ring R, a strictly ordered monoid ( S,, and monoid homomorphism ω : S End( R. Constructed the set of all function from S to R whose support is artinian and narrow, with pointwise addition and the skew convolution multiplication, it becomes a ring called the skew generalized power series rings (SGPSR and denoted by R[[ S, ω, ]]. A ring R is called reduced if it contains no nonzero nilpotent elements, reversible if for all r, s R, rs 0 implies sr 0. Let µ : R R be a ring endomorphism, if for r R, rµ ( r 0 implies r 0, then µ is called rigid. If for all r, s R, 0if and only if ( 0, then µ is called compatible. In this paper we will discuss about the constructing of SGPSR homomorphism. Beside that, we also discuss about rigid and compatible endomorphism on SGPSR R[[ S, ω, ]]. Keywords: SGPSR, homomorphism, endomorphism, rigid, compatible. 1. PENDAHULUAN Suatu relasi biner pada himpunan tak kosong S disebut relasi urutan parsial jika memenuhi sifat refleksif, anti simetris, transitif. Suatu urutan parsial dikatakan total jika sebarang dua anggota yang berbeda pada S dapat diperbandingkan. Jika tidak, maka urutan parsial dikatakan trivial. Himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan suatu urutan parsial disebut himpunan terurut. Untuk selanjutnya notasi ( S, menyatakan S himpunan terurut terhadap urutan parsial (Adkins [1]. Himpunan ( S, dikatakan Artin jika setiap barisan turun tegas dari anggotaanggota S selalu berhingga, dikatakan Noether jika setiap barisan naik tegas dari anggota-anggota S selalu berhingga, segkan dikatakan narrow jika setiap himpunan bagian S yang terurut trivial berhingga. Jika himpunan ( S, Artin narrow, maka sebarang himpunan bagian X S juga Artin narrow (Ribenboim []. Himpunan tak kosong S dengan operasi biner yang asosiatif disebut semigrup. Jika semigrup S mempunyai elemen identitas, maka S disebut monoid (Howie [3]. Himpunan ( S, dikatakan monoid terurut jika S monoid relasi urutan compatible yakni jika ( s, s', t S( s s' st s' t ( S, dikatakan monoid terurut tegas jika urutannya compatible tegas, yakni jika ( s, s', t S( s < s' st < s' t. (Elliot Ribenboim [4]. Konstruksi RDPTM pertama kali dipublikasikan oleh R. Mazurek M. Ziembowski [5]. Ring ini merupakan perumuman dari ring deret pangkat tergeneralisasi yang dikonstruksi oleh Ribenboim []. Pada perkembangannya, pembahasan tentang RDPTM oleh R. Mazurek M. Ziembowski diawali dengan membahas syarat perlu cukup RDPTM merupakan ring uniserial [5]. Pada tahun 008 dibahas tentang karakterisasi RDPTM sebagai ring Von Neumann [6]. Pada tahun 010 dibahas tentang weak dimension sifat distributif kanan dari RDPTM, serta karakterisasi RDPTM sebagai ring duo, Bézout distributif [7]. Selain R. Mazurek M. Ziembowski, Renyu Zhao [8] membahas tentang karakterisasi RDPTM sebagai ring-

2 Ahmad Faisol (Endomorfisma Rigid Compatible pada Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring APP kiri, segkan A. R. Nasr [9] membahas tentang RDPTM yang dapat dibalik. Pada publikasi-publikasi sebelumnya, belum ada pembahasan mendalam tentang homomorfisma RDPTM, sehingga memberikan motivasi untuk membahas tentang konstruksi homomorfisma RDPTM. Selain itu, pada makalah ini juga akan dibahas tentang endomorfisma RDPTM yang compatible rigid. Sifatsifat dasar tentang endomorfisma ring yang compatible rigid dapat dilihat pada makalah yang dibahas oleh E. Hashemi A. Moussavi [10].. HOMOMORFISMA RDPTM Pada bagian ini akan dibahas tentang homomorfisma RDPTM yang dikonstruksi oleh M. Ziembowski [11]. Pada bagian ini juga dibuktikkan beberapa lemma terkait homomorfisma RDPTM. Misalkan R1 R ring, ( S1, 1 ( S, monoid terurut tegas, misalkan α : S1 End( R1 β : S End( R homomorfisma monoid. Didefinisikan suatu homomorfisma monoid σ : S1 S sedemikian sehingga untuk setiap himpunan bagian X S1 yang Artin narrow, σ ( X S juga Artin narrow. Selanjutnya didefinisikan suatu homomorfisma ring µ : R1 R sedemikian sehingga untuk setiap s S1 diagram berikut komutatif : µ R1 R α s β σ ( s µ R R 1 Untuk sebarang f R1[[ S1, α,, misalkan f : S R suatu pemetaan yang didefinisikan oleh : karena supp( f σ (supp( f, maka supp( f Artin narrow. Dengan kata lain f R[[ S, β, ]]. Oleh karena itu, dapat didefinisikan suatu pemetaan τ : R [[ S, α, ]] R [[ S, β, ]] dengan τ ( f f. Lemma.1 [11] Pemetaan τ : R [[ S, α, ]] R [[ S, β, ]] dengan τ ( f f merupakan suatu homomorfisma ring. (i Ambil sebarang f, g R1[[ S1, α,, akan ditunjukkan τ ( f + g τ ( f + τ ( g. τ( f + g f + g µ o + σ σ ( f g o ( t ; t ( S1 µ (( f g ( σ ( t µ ( f ( σ ( t g( σ ( t µ ( f ( σ ( t µ ( g( σ ( t ( µ of oσ ( t ( µ ogoσ ( t f + g τ( f + τ( g (ii Ambil sebarang f, g R1[[ S1, α,, akan ditunjukkan ( (.( τ( fg fg µ o σ σ ( fg o ( t ; t ( S1 (( fg ( ( t µ σ µ f( u αu ( g( v uv σ ( t µ o f oσ ( t jika t σ ( S1 f ( t 0 selainnya (.1 46

3 Jurnal Matematika Vol 17, No., Agustus 014 : uv σ ( t uv σ ( t uv σ ( t σ ( u σ ( v t xy t ( f ( u u ( g( v ( f ( u ( u ( g( v ( f ( u σ ( u ( ( g( v ( f ( u σ ( u ( ( g( v ( ( ( f ( ( x x g ( ( y ( µ o f oσ ( x β x ( µ o g oσ ( y xy t xy t f g ( g y f ( x β ( τ( f τ( g µ α µ µ α µ β µ µ β µ µ σ β µ σ x Dari (i (ii, maka terbukti bahwa pemetaan τ : R1[[ S1, α, R[[ S, β, ]] merupakan suatu homomorfisma RDPTM. Lemma. [11] Misalkan τ : R1[[ S1, α, R[[ S, β, ]] suatu homomorfisma RDPTM. Jika µ : R1 R monomorfisma, maka τ : R1[[ S1, α, R[[ S, β, ]] juga monomorfisma. Bukti : Ambil sebarang f, g R1[[ S1, α,, akan ditunjukkan τ injektif. Andaikan τ ( f τ( g, maka berdasarkan (1 jelas bahwa µ o f oσ ( t µ o g oσ ( t untuk setiap t σ ( S1. Dengan kata lain ( f ( ( t g ( ( t ( µ σ µ σ. Karena µ merupakan monomorfisma, maka f σ ( t g σ ( t. Jadi diperoleh ( ( f g, dengan kata lain terbukti τ injektif atau τ merupakan monomorfisma. 3. RDPTM τ-rigid τ- COMPATIBLE Misalkan R suatu ring. R dikatakan tereduksi jika tidak memuat elemen nilpoten tak nol, dikatakan dapat dibalik jika untuk setiap r1, r R, maka r1 r 0 mengakibatkan r r 1 0. Dan R dikatakan semikomutatif jika r 1 r 0, maka r 1 Rr 0 untuk setiap r 1, r R. Lebih lanjut, setiap ring tereduksi adalah dapat dibalik setiap ring dapat dibalik adalah semikomutatif tetapi secara umum tidak berlaku sebaliknya (Marks, Mazurek Ziembowski [1]. Misalkan µ : R R π : R R endomorfisma ring. Jika untuk r R, rµ ( r 0 mengakibatkan r 0, maka µ dikatakan rigid. Suatu ring R dikatakan ring µ rigid jika terdapat suatu µ endomorfisma rigid dari ring R. Sifat-sifat dari ring µ rigid dapat dilihat dalam Krempa [13]. Sebarang endomorfisma rigid dari suatu ring adalah monomorfisma ring µ rigid adalah tereduksi. Suatu ring R dikatakan µ compatible jika untuk setiap r1, r R, r1 r 0 jika hanya jika r 1 µ ( r 0. Lebih lanjut, ring R dikatakan π compatible jika untuk setiap r1, r R, r1 r 0 jika hanya jika r1 π ( r 0. Jika R µ compatible sekaligus π compatible, maka R dikatakan ( µ, π compatible. Suatu ring R adalah µ rigid jika hanya jika R adalah ( µ, π compatible tereduksi (Hashemi Moussavi [10]. Lemma 3.1 Misalkan τ endomorfisma RDPTM R[[ S, ω, ]], maka berlaku : (i Jika τ rigid, maka R[[ S, ω, ]] tereduksi. (ii Jika R[[ S, ω, ]] tereduksi, maka R[[ S, ω, ]] dapat dibalik. (iii Jika τ rigid, maka R[[ S, ω, ]] dapat dibalik. 47

4 Ahmad Faisol (Endomorfisma Rigid Compatible pada Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring (iv Jika τ rigid, maka untuk sebarang f, g R[[ S, ω, ]], fτ ( g 0 jika hanya jika gτ ( f 0. (i Ambil sebarang f R[[ S, ω, ]] misalkan ff 0. Karena τ endomorfisma, maka τ ( ff τ ( f τ ( f 0. Selanjutnya diperoleh fτ ( f τ ( f τ ( f fτ ( f τ ( fτ ( f 0. Karena τ rigid, maka fτ ( f 0 yang berakibat f 0. Jadi terbukti bahwa jika τ rigid, maka R[[ S, ω, ]] tereduksi. (ii Ambil sebarang f, g R[[ S, ω, ]]. Misalkan fg 0, maka g( fg f ( gf ( gf 0. Karena R[[ S, ω, ]] tereduksi, akibatnya gf 0. Jadi terbukti bahwa jika R[[ S, ω, ]] tereduksi, maka R[[ S, ω, ]] dapat dibalik. (iii Ambil sebarang f R[[ S, ω, ]]. Misalkan fg 0, maka τ ( fg τ ( f τ ( g 0. Selanjutnya diperoleh τ ( g τ( f τ ( g τ ( f τ ( gf τ ( gf 0, yang berakibat gfτ ( gf τ( gf τ ( gf gfτ ( gf τ gfτ ( gf 0 48 ( Karena τ rigid, maka gfτ ( gf 0 yang juga berakibat gf 0. Jadi terbukti bahwa jika τ rigid, maka R[[ S, ω, ]] dapat dibalik. (iv Ambil sebarang f, g R[[ S, ω, ]], akan ditunjukkan fτ ( g 0 jika hanya jika gτ ( f 0. Misalkan fτ ( g 0, maka gf τ ( g τ( f gfτ ( gf 0. Karena τ rigid, maka gf 0. Selanjutnya, dari (iii diperoleh fg 0. Akibatnya τ ( fg 0 gτ ( fg τ ( f gτ ( f τ( g τ ( f gτ ( f τ( gτ ( f 0 Karena τ rigid, maka gτ ( f 0. Di sisi lain, jika gτ ( f 0, maka fgτ ( f τ( g fgτ ( fg 0. Karena τ rigid, maka fg 0. Selanjutnya, dari (iii diperoleh gf 0. Akibatnya τ ( gf 0 fτ( gf τ ( g fτ( g τ( f τ ( g 0 fτ( g τ( fτ( g 0 Karena τ rigid, maka fτ ( g 0. Jadi terbukti bahwa, jika τ endomorfisma RDPTM R[[ S, ω, ]] rigid, maka untuk sebarang f, g R[[ S, ω, ]], fτ ( g 0 jika hanya jika gτ ( f 0. Proposisi 3. Diberikan τ -rigid endomorfisma RDPTM R[[ S, ω, ]]. τ compatible jika hanya jika untuk setiap f, g R[[ S, ω, ]], berakibat τ ( f g 0 jika hanya jika fg 0. Ambil sebarang f, g R[[ S, ω, ]]. Misalkan τ ( f g 0, maka diperoleh τ ( g τ ( f gf τ ( gf gf 0. Akibatnya τ τ( gf gf τ ( gf τ( gf τ( gf τ ( gf τ( gf τ τ( gf 0 ( ( Selanjutnya, karena τ rigid, maka τ ( gf 0 yang berakibat gfτ ( gf 0. Dan karena τ rigid, maka gf 0. Oleh karena itu, berdasarkan Lemma 3.1 (iii diperoleh fg 0. Di lain pihak, jika fg 0, maka τ ( f g 0. Karena τ dapat dibalik, maka diperoleh gτ ( f 0.Akibatnya, τ τ τ τ τ τ τ τ τ ( ( f g ( f ( f ( f g ( f ( g ( f g ( f g 0 Karena τ rigid, maka τ ( f g 0. Jadi terbukti bahwa, jika τ rigid, maka τ compatible jika hanya jika untuk setiap f, g R[[ S, ω, ]], τ ( f g 0 jika hanya jika fg 0. Proposisi 3.3 Diberikan τ -rigid endomorfisma RDPTM R[[ S, ω, ]]. Pernyataan berikut ini ekuivalen : (a τ adalah rigid. (b τ compatible R[[ S, ω, ]] tereduksi.

5 Jurnal Matematika Vol 17, No., Agustus 014 : (c Untuk setiap f R[[ S, ω, ]], jika τ ( f f 0, maka f 0. Bukti : a ( b Jika fτ ( g 0, maka ( gτ ( f 0. Akibatnya diperoleh fgτ ( f τ( g fgτ ( fg 0. Karena τ rigid, maka fg 0. Di lain pihak, jika fg 0, maka τ ( fg 0. Akibatnya diperoleh τ( f τ( g gτ ( f τ( g τ ( f gτ ( f τ( gτ ( f 0 Karena τ rigid, maka gτ ( f 0 yang berakibat fτ ( g 0. Jadi terbukti jika τ adalah rigid, maka τ compatible. Selanjutnya, dari Lemma 3.1 (i jelas R[[ S, ω, ]] tereduksi. Jadi terbukti jika τ rigid, maka τ compatible R[[ S, ω, ]] tereduksi. ( b ( c Jika τ ( f f 0, maka ( fτ ( f f fτ ( f fτ ( f fτ ( f 0. Akibatnya fτ ( f 0. Karena τ compatible, maka diperoleh ff 0. Dan karena R[[ S, ω, ]] tereduksi, berakibat f 0. Jadi terbukti jika τ compatible R[[ S, ω, ]] tereduksi, maka untuk setiap f R[[ S, ω, ]], jika τ ( f f 0, maka f 0. ( c ( a τ ( τ τ τ Jika fτ ( f 0, maka f ( f ( f ( f 0. Akibatnya ( τ τ τ τ τ τ τ τ τ ( f ( f ( f f ( f ( f ( f f ( f f ( f f 0 Oleh karena itu, diperoleh τ ( f f 0 yang juga berakibat f 0. Jadi terbukti jika untuk setiap f R[[ S, ω, ]], τ ( f f 0 f 0, maka τ rigid. 4. DAFTAR PUSTAKA [1] W.A. Adkins, S.H. Weintraub, (199, Algebra An Approach Via Module Theory, Springer-Verlag, New York [] P. Ribenboim, (1990, Generalized Power Series Rings, In Lattice, Semigroups and Universal Algebra, Plenum Press, New York, [3] J.M. Howie, (1976, An Introduction to Semigroup Theory, Academic Press Inc., London. [4] G.A. Elliot, P. Ribenboim, (1990, Fields of Generalized Power Series, Arch. Math. 54 : [5] R. Mazurek, M. Ziembowski, (007, Uniserial rings of skew generalized power series, J. Algebra 318 : [6] R. Mazurek, M. Ziembowski, (008, On von Neumann regular rings of skew generalized power series, Comm. Algebra 36 (5 : [7] R. Mazurek, M. Ziembowski, (010, Weak dimension and right distributivity of skew generalized power series rings, Journal of the Mathematical Society of Japan. [8] R. Zhao, (010, Left app-rings of skew generalized power series. [9] A. R. Nasr-Isfahani, (010, Reversible skew generalized power series rings. [10] E. Hashemi, A. Moussavi, (005, Polynomial extensions of quasi-baer rings, Acta Math. Hungarica, 107(3 : [11] M. Ziembowski, (010, Right Gaussian rings and related topics,university of Edinburgh. [1]G. Marks, R. Mazurek, M. Ziembowski, (010, A unified approach to various generalizations of Armendariz rings, Bull. Austral. Math. Soc. 81 : [13] J. Krempa, (1996, Some examples of reduce rings, Algebra Colloq., 3 :