PENYELESAIAN STACKER CRANE PROBLEM DENGAN ALGORITME LARGEARCS DAN SMALLARCS

Transkripsi

1 PENYELESAIAN STACKER CRANE PROBLEM DENGAN ALGORITME LARGEARCS DAN SMALLARCS HARDONO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 0

2 ABSTRAK HARDONO. Penyelesaian Stacker Crane Problem dengan Algoritme Largearcs dan Smallarcs. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan TONI BAKHTIAR. Rural Postman Problem (RPP) merupakan permasalahan dalam pencarian rute terpendek dengan biaya minimum dan hanya sebagian sisi atau sisi berarah diperlukan saja yang harus dilewati. Salah satu jenis RPP ialah Stacker Crane Problem (SCP), yaitu RPP pada graf campuran yang harus melewati setiap sisi berarah. SCP dapat diselesaikan menggunakan dua macam algoritme heuristik, yaitu algoritme Largearcs dan algoritme Smallarcs yang dalam langkahlangkah penyelesaian juga memerlukan beberapa algoritme lain. Penentuan path terpendek diselesaikan dengan algoritme Dijkstra, penentuan minimum bipartite matching diselesaikan dengan metode Hungaria, penentuan minimum spanning tree diselesaikan dengan algoritme Prim, dan sirkuit Euler ditentukan dengan algoritme van Aardenne-Ehrenfest & de-bruijn dan algoritme Fleury. Untuk menyelesaikan masalah SCP perlu dipilih sirkuit Euler terpendek dari dua algoritme heuristik yang digunakan. Contoh aplikasi SCP dalam karya ilmiah ini adalah penentuan rute pengiriman katering dengan jarak minimum. Kata kunci: Stacker Crane Problem, Largearcs, Smallarcs, sirkuit Euler, jarak minimum

3 ABSTRACT HARDONO. The Solution of Stacker Crane Problem using Largearcs and Smallarcs Algorithm. Supervised by FARIDA HANUM and TONI BAKHTIAR. In graph theory, the Rural Postman Problem (RPP) aims to determine the shortest route with minimum cost, in which only certain edges or arcs are necessarily traversed. One type of RPP is Stacker Crane Problem (SCP) which deals with a mixed graph but only arcs are necessarily traversed. SCP can be solved by using two heuristic algorithms, i.e. Largearcs and Smallarcs algorithms, which include other algorithms in their steps, such as: Dijkstra algorithm to determine shortest route, Hungaria method to determine minimum bipartite matching, Prim algorithm to determine minimum spanning tree, and van Aardenne-Ehrenfest & de-bruijn algorithm and Fleury algorithm to determine Euler circuits. The shortest Euler circuit resulted from two heuristic algorithms can be used to find a solution of SCP. The application of SCP is illustrated in establishing the minimum distance route of catering delivery. Keywords: Stacker Crane Problem, Largearcs, Smallarcs, Euler circuit, minimum distance

4 PENYELESAIAN STACKER CRANE PROBLEM DENGAN ALGORITME LARGEARCS DAN SMALLARCS HARDONO Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 0

5 Judul Skripsi Nama NIM : Penyelesaian Stacker Crane Problem dengan Algoritme Largearcs dan Smallarcs : Hardono : G000 Menyetujui Pembimbing I, Pembimbing II, Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP: Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. NIP: Mengetahui: Ketua Departemen, Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP: Tanggal Lulus:

6 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:. keluarga tercinta: Alm. Bapak dan Alm. Ibu yang pasti selalu mendoakanku, kakakku Mas Ismail dan Mbak Woro (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kasih sayang, dan motivasinya), Mbak Resti, Mas Taufan, Mbak Mulyati (terima kasih atas doa, semangat, motivasi dan dukungannya), Fenny Risnita (terima kasih atas kasih sayang, dan doanya),. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya,. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran dan doanya,. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan,. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Bapak Deni, Mas Hery, Ibu Yanti atas semangat dan doanya,. teman-teman satu bimbingan: Nurul, Maya, Ana dan Ali Vikri yang selalu saling mengingatkan dan memberi motivasi dalam penyusunan skripsi ini,. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan : Herlan, Arbi, Beni, Izzudin, Haryanto, Hendri, Ari, Ridwan, Isna, Santi, Laisanopaci, Regita, Primastuti, Putri, Yunda, Fitryah, Finata, Dewi, Prama, Chastro, Fuka, Ade, Tiwi, Fikri, Irwan, Dimas, Ito, Rianiko, Nova, Dini, Heru, Bram, Kunedi, Khafidz, Irma dan teman-teman lainnya atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya selama tahun,. kakak-kakak Matematika angkatan, dan yang menjadi cermin untuk menjadi pribadi yang lebih baik, 0. adik-adik Matematika angkatan dan yang terus mendukung agar berkembang,. Gumatika brilian yang menunjukkan sebuah hal yang baru,. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya. Bogor, Januari 0 Hardono

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal Mei 0 dari bapak Lasimun Hadi Atmodjo (Alm) dan ibu Sri Retno Wati (Alm). Penulis merupakan putra bungsu dari tiga bersaudara. Pada tahun penulis lulus dari TK Tunas Rimba, tahun 00 penulis lulus dari SD Negeri Kembangan Selatan 0 Pagi, tahun 00 penulis lulus dari SMP Negeri 0 Jakarta Barat, tahun 00 penulis lulus dari SMA Negeri Jakarta Barat. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 00 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 00, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Analisis Numerik (S) pada semester ganjil dan semester pendek tahun akademik 0-0 dan 0-0. Tahun dan 0-0 penulis mendapatkan beasiswa BBM (Bantuan Belajar Mahasiswa) dari Institut Pertanian Bogor. Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai Staf Divisi Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa (PSDM) tahun dan sebagai Kepala Divisi yang sama pada tahun Penulis pernah menjadi ketua Masa Perkenalan Departemen untuk angkatan 00 atau angkatan. Penulis juga pernah menjadi panitia dan koordinator di berbagai acara kemahasiswaan.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... ix DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... x x I PENDAHULUAN. Latar Belakang.... Tujuan Penulisan... II LANDASAN TEORI. Graf dan Digraf.... Graf Euler.... Penentuan Path Terpendek dengan Algoritme Dijktra.... Penentuan Minimum Bipartite Matching dengan Metode Hungaria.... Penentuan Minimum Spanning Tree dengan Algoritme Prim Penentuan Sirkuit Euler dengan Algoritme van Aardenne-Ehfrenfest - de Bruijn.... Penentuan Sirkuit Euler dengan Algoritme Fleury... III PENYELESAIAN STACKER CRANE PROBLEM. Algoritme Preprocess.... Algoritme Largearcs.... Algoritme Smallarcs... IV APLIKASI MASALAH. Penyelesaian SCP dengan Algoritme Largearcs Penyelesaian SCP dengan Algoritme Smallarcs... V SIMPULAN DAN SARAN. Simpulan.... Saran... DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN... viii

9 DAFTAR TABEL Halaman Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 =... Tabel biaya yang berhubungan dengan model penugasan... 0 Penjelasan setiap verteks pada graf kasus katering di Jakarta Pusat... 0 Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 = v... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 = v... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 = v... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 = v f... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 =... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 =... 0 Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 =... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 =... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 =... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 =... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 =... Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 =... Bobot (W ij ) setiap sisi i, j, dengan i, j V(G LS )... DAFTAR GAMBAR Halaman Graf... Digraf... Graf berbobot... Graf campuran... Graf G... Subgraf dari G... Spanning subgraph dari G... Multigraf... Multidigraf... 0 Digraf balans... Graf lengkap... Graf terhubung... Graf tak terhubung... Komponen ke- dari graf pada Gambar... Komponen ke- dari graf pada Gambar... Graf yang terdapat bridge... Tree... Graf G... Spanning tree dari G... 0 Arborescence... Graf G... Spanning arborescence dari G... Graf bipartite... Graf dengan matching... Graf dengan matching perfect... Graf Euler... Graf berbobot dan tidak berarah... Graf contoh algoritme Prim... Minimum spanning tree dari graf pada Gambar... 0 Graf untuk contoh algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn... Spanning arborescence dari digraf G... Pelabelan pada algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn... Graf Euler untuk contoh algoritme Fleury... ix

10 0 Iterasi pertama: inisialisasi v 0... Iterasi kedua: sisi {,} dihapus... Iterasi ketiga: sisi {,} dihapus... Graf terakhir dari algoritme Fleury... Graf G untuk ilustrasi algoritme preprocess... Graf G yang diperoleh dari Langkah algoritme preprocess... 0 Graf G yang memenuhi syarat dan... Skema penyelesaian SCP dengan algoritme Largearcs... Skema penyelesaian SCP dengan algoritme Smallarcs... Skema penyelesaian SCP... Peta Katering Eco Raos di Jakarta Pusat... Graf kasus Katering Eco Raos di Jakarta Pusat dengan arah pendistribusian katering... 0 Subgraf G AL... 0 Graf bipartite G BL... Graf G ML... Komponen K dan K... 0 Graf G K... Graf G CL... Graf G DL... Spanning arborescence digraf G DL... Graf G DL yang sudah dilabeli... Graf kasus Katering Eco Raos di Jakarta Pusat dengan algoritme Largearcs... Subgraf G AS... Graf G BS... Minimum spanning tree pada graf G BS... Graf lengkap G L... 0 Matching perfect minimum dari graf G L... Graf G CS... Graf G DS... Graf G E... Spanning arborescence digraf G E... Graf G E yang sudah dilabeli... Graf kasus Katering Eco Raos di Jakarta Pusat dengan algoritme Smallarcs... Graf G = V, A E... 0 Graf Kasus Katering Eco Raos di Jakarta Pusat... Graf lengkap G LS... DAFTAR LAMPIRAN Halaman Penentuan Minimum Bipartite Matching dengan metode Hungaria... Langkah penentuan minimum spanning tree dengan algoritme Prim... Langkah solusi sirkuit Euler dengan menggunakan algoritme Fleury... Penentuan path terpendek dengan menggunakan algoritme Dijkstra... 0 Penentuan path terpendek pada kasus Katering menggunakan algoritme Dijkstra... Penentuan Minimum Bipartite Matching dengan metode Hungaria... Penentuan path terpendek K dan K... Penentuan path terpendek n i dan n j... Langkah penentuan minimum spanning tree dengan algoritme Prim... 0 Penentuan Matching yang perfect dengan bobot minimum... Penentuan solusi sirkuit Euler dengan menggunakan algoritme Fleury... x

11 I PENDAHULUAN. Latar Belakang Teori graf merupakan topik yang banyak mendapat perhatian saat ini karena teori graf dapat diaplikasikan di berbagai bidang. Pada penerapannya, dapat dihubungkan dengan berbagai bidang ilmu dan juga kehidupan sehari-hari seperti masalah transportasi yang bertujuan menentukan jarak atau biaya optimal. Salah satu teori graf yang dikembangkan untuk menyelesaikan masalah transportasi adalah Rural Postman Problem (RPP) yang merupakan kasus khusus dari Chinese Postman Problem (CPP). Eiselt et al. (a) menyatakan bahwa CPP bertujuan mencari jarak minimum dalam suatu lintasan dengan kondisi setiap jalur harus dilewati paling tidak satu kali. Jika diharuskan melewati jalur yang telah ditentukan, maka permasalahannya menjadi RPP (Eiselt et al. b). RPP pertama kali diperkenalkan oleh Orloff pada tahun. Dalam jurnalnya (Orloff ), disebutkan bahwa RPP merupakan formulasi masalah untuk menentukan biaya minimum yang melintasi setiap jalur yang diperlukan pada suatu lintasan. RPP dengan graf berarah biasanya digunakan untuk lintasan yang memiliki jalur satu arah saja, sedangkan jalur yang memiliki dua arah menggunakan RPP dengan graf tidak berarah. Jika kedua jalur, baik yang satu arah atau pun dua arah, bisa dilayani secara bersamaan, maka dapat digunakan RPP dengan graf campuran. Contoh aplikasi RPP sangat banyak, di antaranya penentuan rute terpendek penyapuan jalan, pengiriman surat atau barang dengan rute terpendek atau biaya minimumnya, penentuan rute bus sekolah, penentuan rute pengiriman bahan bakar, rute pengiriman katering, dsb. Ada beberapa tema yang dibahas dalam RPP, yaitu undirected RPP, directed RPP, Stacker Crane Problem (SCP), dan Capacitated Arc Routing Problem (CARP). Pada karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian Stacker Crane Problem menggunakan dua macam algoritme heuristik, yaitu Largearcs dan Smallarcs yang bersumber dari Eiselt et al. (b).. Tujuan Penulisan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:. menyelesaikan masalah SCP dengan dua macam algoritme heuristik, yaitu algoritme Largearcs dan algoritme Smallarcs,. mengaplikasikan masalah SCP ke dalam masalah penentuan rute pengiriman katering. II LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan dibahas beberapa landasan teori yang berkaitan dengan bahasan karya ilmiah ini.. Graf dan Digraf Teori graf merupakan salah satu dari beberapa bidang matematika yang diketahui dengan pasti awal perkembangannya. Teori ini pertama kali dikenal sejak Euler () mengemukakan penelitiannya tentang masalah jembatan Königsberg. Dua abad kemudian (), untuk pertama kalinya dibuat buku tentang teori graf yang ditulis oleh Denes König. Dalam periode yang sangat singkat, teori graf kini mengalami perkembangan yang sangat pesat. (Chartrand & Oellermann ) Definisi (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut V, E dengan V adalah himpunan berhingga dan takkosong dari elemen-elemen graf yang disebut verteks (node, simpul) dan E adalah himpunan pasangan yang menghubungkan dua elemen subhimpunan dari V yang biasa disebut sisi (edge, line). V dapat dituliskan V G dan E = E G, setiap sisi u, v pada V dapat dinotasikan dengan uv atau vu. Banyaknya verteks dari graf G disebut order dari G dan banyaknya sisi dari graf G disebut size dari graf G. (Chartrand & Zhang 00)

12 G : v e v e v e e v tetangga dari verteks v dinotasikan dengan N v. Jika e = uv adalah sisi pada graf G maka e dikatakan incident dengan verteks u dan v. (Chartrand & Zhang 00) e v e e e v v e 0 e v e e e Gambar Graf. Pada Gambar diperlihatkan bahwa V = v, v, v, v, v, v, v, v, v dan E = {e, e, e, e, e, e, e, e, e, e 0, e, e, e, e } Definsi (Graf berarah/digraf) Digraf atau graf berarah (directed graph) D adalah pasangan terurut V, A dengan V adalah himpunan takkosong yang hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut yang menghubungkan elemen-elemen di V. Elemen-elemen dari A disebut sisi berarah (arc). Notasi sisi berarah secara umum ialah u, v, yaitu sisi berarah dari verteks u ke verteks v. (Chartrand & Zhang 00) D : e v v e v e e e v v Gambar Digraf. e v e Ilustrasi adjacent dan incident diperlihatkan pada Gambar. Verteks v adjacent dengan verteks v dan verteks v, tetapi verteks v tidak adjacent dengan verteks v dan verteks v. Verteks v incident dengan sisi e dan sisi e, tetapi verteks v tidak incident dengan sisi e dan sisi e. Definisi (Graf berbobot) Suatu graf G = V, E dikatakan berbobot jika terdapat sebuah fungsi w E R (dengan R adalah himpunan bilangan real) yang disebut bobot. Setiap bobot w uv dengan uv E dinotasikan dengan w uv. (Foulds ) G : v v Gambar Graf berbobot. Graf G pada Gambar merupakan contoh graf berbobot dengan bobot w uv sebagai berikut: sisi v v memiliki bobot w(v v ) =, sisi v v memiliki bobot w v v =, dan seterusnya. Definisi (Graf campuran) Graf campuran G = (V, A E) merupakan graf yang setidaknya memiliki satu sisi berarah dan satu sisi tidak berarah. A merupakan himpunan sisi-sisi berarah pada G dan E merupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada G. (Balakrishnan ) v v Pada Gambar terdapat contoh sisi berarah, yaitu v, v, v, v, v, v, v, v, v, v, v, v. Definisi (Adjacent dan incident) Misalkan u dan v verteks pada graf G. Verteks v dikatakan tetangga (adjacent) dari u jika ada sisi e yang menghubungkan verteks u dan v, yaitu e = uv. Himpunan semua G : v v v Gambar Graf campuran.

13 Definisi (Subgraf) Graf H = (W, F) adalah subgraf dari G = V, E jika W H V(G) dan F H E(G). (Chartrand & Oellermann ) G : e v e Definisi (Multigraf dan multidigraf) Suatu graf (digraf) dikatakan multigraf (multidigraf) bila graf (digraf) tersebut memiliki lebih dari satu sisi (sisi berarah) yang incident dengan satu pasang verteks. (Foulds ) Ilustrasi multigraf dapat dilihat pada gambar berikut: v v e v v e e v v e Gambar Graf G. v v Gambar Multigraf. H : e v e Gambar merupakan contoh multigraf karena verteks v dan v dihubungkan oleh lebih dari satu sisi. Ilustrasi multidigraf bisa dilihat pada Gambar berikut. v v e v v e v Gambar Subgraf dari G. Definisi (Spanning subgraph) Suatu subgraf H dikatakan spanning subgraph dari graf G jika semua verteks pada graf G terdapat pada subgraf H. (Vasudev 00) H e v e v v e e v v Gambar Spanning subgraph dari G. v v Gambar Multidigraf. Definisi (Derajat/degree) Derajat suatu verteks v adalah banyaknya sisi yang incident pada verteks, dan dinotasikan dengan deg G (v) atau deg v atau d(v). (Vasudev 00) Pada Gambar diperlihatkan bahwa d(v ) =, d(v ) =, d v = d v =. Definisi 0 (Graf genap) Suatu graf dikatakan graf genap, jika setiap verteksnya berderajat genap. (Eiselt et al. ) Graf G pada Gambar, merupakan graf genap karena pada Gambar setiap verteks berderajat genap.

14 Definisi (Derajat masuk/indegree) Pada graf berarah, indegree suatu verteks v, yang dinotasikan dengan d (v), adalah banyaknya sisi berarah yang berakhir di verteks v. (Vasudev 00) Pada Gambar diperlihatkan derajat masuk tiap verteksnya, yaitu d (v ) = d (v ) = d (v ) =, d (v ) =. Definisi (Derajat keluar/outdegree) Pada graf berarah, outdegree suatu verteks v, yang dinotasikan dengan d + (v), adalah banyaknya sisi berarah yang dimulai dari verteks v. (Vasudev 00) Pada Gambar diperlihatkan derajat keluar tiap verteksnya, yaitu d + (v ) = d + (v ) = d + (v ) =, d + (v ) =. Definisi (Balans) Suatu digraf dikatakan balans jika setiap verteks v pada digraf tersebut memiliki δ v = 0, dengan δ v adalah selisih dari derajat masuk dengan derajat keluar dari verteks v. (Diestel ) dimulai dan diakhiri oleh verteks. Walk yang dimulai dari v 0 dan berakhir di v n disebut walk v 0 v n dan walk W memunyai panjang n karena melalui n sisi (tidak harus berbeda). Walk yang sisi-sisinya memiliki orientasi arah disebut directed walk atau walk berarah. (Chartrand & Oellermann ) Ilustrasi walk dapat dilihat pada Gambar, yaitu W = v e v e v e v e 0 v. Ilustrasi walk berarah dapat dilihat pada Gambar, yaitu W B = v e v e v. Definisi (Walk tertutup) Suatu walk pada graf G dikatakan tertutup (closed) jika verteks awal dan verteks akhir pada walk tersebut adalah sama. (Foulds ) Ilustrasi walk tertutup dapat dilihat pada Gambar, yaitu W T = v e v e v e v e v merupakan walk tertutup karena verteksnya dimulai dan diakhiri dengan verteks yang sama. Definisi (Jalur/path) Path adalah walk dengan tidak ada verteks yang diulang. (Chartrand & Oellermann ) v v Ilustrasi path dapat dilihat pada Gambar, yaitu P = v e v e v e 0 v merupakan path karena tidak ada verteks yang diulang. v v Gambar 0 Digraf balans. Digraf pada Gambar 0 merupakan digraf balans karena setiap verteks v memiliki δ v = 0. Definisi (Underlying graph) Jika suatu graf didapat dengan cara menghapus semua arah dari sisi berarah pada digraf, maka graf tersebut adalah underlying graph dari digraf. (Vasudev 00) Ilustrasi underlying graph bisa dilihat dari Gambar dan Gambar 0. Graf pada Gambar merupakan underlying graph dari digraf pada Gambar 0. Definisi (Jalan/walk) Suatu walk W pada graf G adalah barisan bergantian antara verteks dan sisi yang Definisi (Cycle) Cycle adalah walk tertutup, yang memuat sedikitnya tiga verteks, dan semua verteks pada walk tersebut berbeda. (Foulds ) Ilustrasi cycle dapat dilihat pada Gambar. C E = v e v e v e v merupakan cycle karena tidak ada verteks yang diulang dan verteksnya dimulai di v dan berakhir di v. Definisi (Lintasan/trail) Trail adalah walk dengan tidak ada sisi yang diulang. (Chartrand & Oellermann ) Ilustrasi trail dapat dilihat pada Gambar, yaitu T I = v e v e v e 0 v e v e v merupakan trail karena tidak ada sisi pada T I yang diulang. Definisi 0 (Circuit) Circuit adalah trail yang tertutup. (Chartrand & Oellermann )

15 Ilustrasi circuit dapat dilihat pada Gambar, yaitu C I = v e v e v e v e v e v e v e v merupakan circuit karena tidak ada sisi pada C I yang diulang dan merupakan walk tertutup. Definisi (Graf lengkap) Graf lengkap G n adalah graf dengan n verteks sehingga terdapat tepat satu sisi yang menghubungkan tiap pasang verteks. (Balakrishnan ) G : v v v v Gambar Graf lengkap. Definisi (Terhubung/connected) Suatu graf G = V, E dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap pasang verteks u dan v di G, maka u dihubungkan dengan v. Jika terdapat pasangan verteks u v di G sehingga tidak ada path u v, maka graf tersebut dikatakan tak terhubung (disconnected). (Chartrand & Oellermann ) G : v v v v v v v Gambar Graf tak terhubung. Definisi (Komponen graf) Suatu subgraf terhubung yang tidak termuat pada subgraf lainnya yang juga terhubung disebut komponen graf. Banyaknya komponen dari graf G dituliskan sebagai k G. (Balakrishnan ) Graf pada Gambar terdiri atas dua komponen, yaitu K dan K sebagai berikut: K : v v v Gambar Komponen ke- dari graf pada Gambar. K : v v v v v v v v Gambar Graf terhubung. Gambar Komponen ke- dari graf pada Gambar. Definisi (Bridge) Pada graf G suatu sisi e yang terhubung disebut bridge jika sisi e tidak terletak pada suatu cycle di G sehingga pada saat sisi e tersebut dihilangkan menyebabkan graf G menjadi tak terhubung. (Chartrand & Oellermann )

16 G : v e v e e e e v e e v Definisi (Arborescence) Suatu tree yang memiliki verteks v yang indegree-nya bernilai 0 (nol), sementara verteks-verteks lainnya memiliki indegree (satu) disebut arborescence. (Balakrishnan ) v Gambar Graf yang terdapat bridge. v Verteks yang indigree-nya bernilai 0 (nol) pada arborescence disebut akar arborescence. Pada Gambar, sisi e merupakan bridge, karena jika sisi e dihapus, maka graf G menjadi tak terhubung. v v Definisi (Tree) Suatu graf yang bersifat connected dan tidak memunyai cycle disebut tree. (Chartrand & Zhang 00) v v Gambar 0 Arborescence. v v Tree pada Gambar 0 adalah arborescence dengan verteks v sebagai akar arborescence. v v Gambar Tree. Definisi (Spanning arborescence) Spanning tree yang bersifat arborescence disebut spanning arborescence. (Vasudev 00) Definisi ( Spanning Tree) Suatu spanning tree adalah subgraf yang merupakan tree. (Vasudev 00) v v v v v v v v Gambar Graf G. v v v Gambar Graf G. v v v v v v Gambar Spanning arborescence dari G. v v v Gambar Spanning tree dari G. Tree pada Gambar merupakan spanning arborescence dari graf G pada Gambar dengan akar arborescence di verteks v.

17 Definisi (Graf bipartite) Graf G dikatakan bipartite jika V G dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan takkosong V dan V sehingga setiap sisi di G menghubungkan suatu verteks di V dengan verteks di V. (Chartrand & Oellermann ) G : e v v e e v v e Gambar Graf dengan matching perfect. v v v V Graf pada Gambar ber-order dan M = {e, e } merupakan matching berkardinalitas, sehingga M adalah matching yang perfect. v v Gambar Graf bipartite. Graf G pada Gambar merupakan graf bipartite dengan V = v, v, v dan V = v, v. Definisi 0 (Graf r-regular) Sebuah graf merupakan graf r-regular, atau graf regular berderajat r, jika setiap verteks pada graf memiliki derajat r. (Chartrand & Oellermann ) Graf G pada Gambar, merupakan graf regular berderajat karena setiap verteks memiliki derajat. Definisi (Matching) Matching pada sebuah graf merupakan subgraf -regular, yaitu berupa himpunan sisisisi yang tidak adjacent. (Chartrand & Oellermann ) e v e v v e v e e v V Gambar Graf dengan matching. M = {e, e } adalah salah satu matching pada graf di Gambar. Definisi (Matching yang perfect) Graf ber-order p yang mempunyai matching berkardinalitas p/, maka matching tersebut dikatakan matching yang perfect. (Chartrand & Oellermann ) Definisi (Matching berbobot minimum) Matching berbobot minimum merupakan matching dengan jumlah bobot pada sisinya adalah minimum. (Chartrand & Oellermann ) Ilustrasi matching yang perfect dapat dilihat pada graf Gambar, yaitu M = v, v, v, v dengan bobot, M = v, v, v, v dengan bobot 0. Jadi, M adalah matching yang perfect dengan bobot minimum.. Graf Euler Leonhard Euler (0-) lahir di Swiss. Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa. Euler menyumbangkan berbagai penemuan penting di berbagai bidang antara lain kalkulus dan teori graf. Graf Euler merupakan salah satu penemuan Euler yang terkenal di bidang teori graf. Berikut ini akan dijelaskan beberapa definisi yang berkaitan dengan graf Euler yang dipakai dalam karya ilmiah ini. Definisi (Lintasan Euler) Lintasan Euler adalah lintasan yang melewati semua sisi pada graf G tepat satu kali. Karena setiap sisi hanya boleh dilewati satu kali, maka lintasan Euler sering juga disebut trail Euler. (Vasudev 00) Pada Gambar lintasan Euler dari graf G salah satunya ialah E L = v e v e v e v e v e v e v. Definisi (Sirkuit Euler) Sirkuit Euler adalah lintasan Euler yang tertutup. (Vasudev 00)

18 Ilustrasi sirkuit Euler bisa dilihat pada Gambar. Sirkuit Euler yang diperoleh salah satunya ialah S E = v e v e v e v e v e v e v. e v e e v v v e e v Gambar Graf Euler. Definisi (Graf Euler) Graf yang memiliki sirkuit Euler disebut graf Euler. (Vasudev 00) Ilustrasi graf Euler bisa dilihat pada Gambar. Graf pada Gambar merupakan graf Euler, karena graf tersebut memiliki sirkuit Euler. Selanjutnya akan diberikan teoremateorema yang digunakan sebagai dasar pengerjaan karya ilmiah ini. Teorema Suatu graf merupakan graf Euler jika dan hanya jika setiap verteks pada graf tersebut berderajat genap. (Chartrand & Oellermann ) Teorema Suatu digraf terhubung yang takkosong adalah digraf Euler jika dan hanya jika d + (v i ) = d (v i ) untuk setiap verteks v i pada digraf balans. (Chartrand & Oellermann ). Penentuan Path Terpendek dengan Algoritme Dijkstra Algoritme Dijkstra dapat digunakan untuk mencari path terpendek atau jarak terpendek pada graf atau digraf atau graf campuran yang e tidak berbobot maupun yang berbobot pada graf ber-order p. Misalkan diberikan graf berbobot G = (V, E) dengan himpunan V = {,,,. n} dan bobot pada tiap verteksnya taknegatif. Pada setiap langkah dalam algoritme didefinisikan sebuah variabel PARENT(v) yang menyatakan verteks yang mendahului verteks v pada path terpendek u o v yang telah diperoleh. Variabel PARENT(v) diperbaharui jika ditemukan path u o v yang lebih pendek. Misalkan S adalah himpunan semua verteks dari G yang jaraknya dengan u 0 sudah diketahui. Langkah langkah pada algoritme Dijkstra untuk menentukan jarak dari u 0 ke setiap verteks di G sebagai berikut: Langkah. Inisialisasikan sebuah verteks awal u 0 dengan jarak l u 0 = 0, (i 0), S {u 0 }, S V G {u 0 }, dan jarak verteks lainnya l v bernilai untuk semua v V G {u 0 }, PARENT v u 0 ; jika p =, maka proses dihentikan; lainnya, proses dilanjutkan. Langkah. Untuk setiap v S sehingga u i, v E G, diperiksa: jika l v l u i + w u i v, maka proses dilanjutkan; lainnya, l v l u i + w u i v, dan PARENT v u i. Langkah. Ditentukan m = min{l(v) v S }. Jika v j S dipilih sebagai verteks dengan l v j = m, maka m adalah jarak antara u 0 dengan v j, dan u i+ v j. Langkah. Pembaharuan S dan S, yaitu S S u i+, dan S S u i+. Langkah. i i +. Jika i = p, maka berhenti. Jika tidak, kembali ke Langkah. (Chartrand Oellermann ) Contoh Penggunaan Algoritme Dijkstra Berikut ini contoh penggunaan algoritme Dijkstra pada graf berbobot dan tidak berarah.

19 G 0 : 0 Gambar Graf berbobot dan tidak berarah. Akan ditentukan jarak terpendek dari satu verteks ke verteks lainnya. Misalkan verteks awalnya adalah verteks u 0 =, maka dengan algoritme Dijkstra (penghitungan lebih lengkap dapat dilihat pada Tabel ) akan diperoleh path terpendek dari verteks menuju verteks lainnya. Tabel Penentuan path terpendek dimulai dari verteks u 0 = Iterasi l() l() l() l() l() l() l() l() Penambahan S 0 0 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,) (,) (,) (,) (, ) (, ) (, ) (,) (,) (,) (,) (,) (, ) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Dari Tabel, dapat diketahui beberapa path terpendek dari verteks u 0 = ke verteks lainnya. Contohnya path terpendek dari verteks u 0 = menuju verteks, yaitu path terpendek P = dengan jarak, untuk path terpendek dari verteks u 0 = menuju verteks ialah P = dengan jarak.. Penentuan Minimum Bipartite Matching dengan Metode Hungaria Misalkan ada m karyawan dan n pekerjaan. Notasi i i =,,, m menunjukkan karyawan ke-i dan notasi j j =,,, n menunjukkan pekerjaan ke- j. Jika banyaknya karyawan sama dengan banyaknya pekerjaan, maka dengan mempertimbangkan aspek tertentu seperti pengoptimalan profit (keuntungan) yang didapat dari penempatan m karyawan terhadap n pekerjaan dikenal dengan masalah penugasan optimal. Masalah penugasan (assignment problem) adalah suatu masalah mengenai pengaturan objek untuk melaksanakan tugas, dengan tujuan meminimalkan biaya, waktu, jarak, dan sebagainya ataupun memaksimalkan keuntungan yang salah satu penyelesaiannya menggunakan metode Hungaria. Misalkan graf bipartite, sehingga himpunan karyawan dianggap sebagai V dan himpunan pekerjaan sebagai V. Misalkan c ij adalah biaya yang diperlukan ketika karyawan i ditugaskan untuk menyelesaikan pekerjaan j. Untuk mencari solusi dari masalah penugasan optimal yang dinyatakan sebagai graf bipartite adalah dengan menerapkan konsep matching. Tabel memberikan gambaran umum dari model penugasan ini.

20 0 Tabel Tabel biaya yang berhubungan dengan model penugasan Contoh Penggunaan Metode Hungaria Diberikan tabel biaya sebagai berikut: Karyawan Pekerjaan n c c c n c c c n m c m c m c mn Metode ini dimulai dengan mengurangi setiap elemen pada baris dengan nilai minimum baris tersebut, kemudian setiap elemen kolom dari tabel yang dihasilkan dikurangi dengan nilai minimum kolom tersebut. Tabel biaya yang dihasilkan akan memuat paling sedikit satu nol pada setiap baris dan kolom. Semua elemen tabel yang dihasilkan bernilai taknegatif. Dengan elemen-elemen nol ini akan ditentukan suatu penugasan yang fisibel (yaitu pada matriks yang dihasilkan tersebut dapat dipilih tepat nol pada setiap baris dan nol pada setiap kolom). Jika itu mungkin maka penugasan itu optimal, karena elemen-elemen biaya adalah taknegatif dan nilai minimum fungsi tujuan lebih kecil daripada nol sehingga suatu penugasan dengan biaya nol adalah optimum. Jika penugasan yang fisibel pada elemenelemen nol tidak diperoleh, maka aturan lebih lanjut diperlukan untuk menemukan penugasan yang fisibel. Aturan tersebut diberikan sebagai berikut: Sejumlah minimum garis yang melalui beberapa baris dan kolom digambarkan sedemikian sehingga menutup semua elemen nol. (Sejumlah minimum garis yang dibutuhkan adalah sama dengan jumlah maksimum pekerja yang dapat ditugaskan dengan menggunakan elemen nol).. Pilih elemen minimum yang tidak tertutupi garis, elemen ini dikurangi dengan setiap baris elemen yang tidak tertutupi garis dan ditambahkan ke setiap elemen yang berada di titik potong antara dua garis. Jika solusi optimum tidak ditemukan dalam langkah di atas, prosedur penggambaran garis tersebut harus diulangi sampai satu penugasan yang fisibel diperoleh. Untuk menyelesaikan masalah penugasan dengan tujuan memaksimumkan, masalah diubah ke masalah meminimumkan sebelum diaplikasikan ke metode Hungaria, yaitu dengan cara mengalikan semua elemen c ij dari matriks penugasan dengan. (Ravindran et al. ). Dengan metode Hungaria (Lampiran ) didapatkan Minimum Bipartite Matching pada tabel berikut Tabel terakhir memberikan biaya minimum yang ditunjukkan dengan elemen nol yang diberi kotak, yaitu elemen (,), (,), (,) sehingga diperoleh minimum dari bipartite matching, yaitu himpunan sisi {{,}, {,}, {,}} dengan total biayanya adalah + + = 0.. Penentuan Minimum Spanning Tree dengan Algoritme Prim Minimum spanning tree adalah spanning tree T yang memiliki bobot atau nilai minimum. Salah satu cara untuk menentukan minimum spanning tree dari suatu graf/digraf adalah dengan menggunakan algoritme Prim. Algoritme Prim membentuk minimum spanning tree dengan langkah per langkah. Pada setiap langkah diambil sisi graf yang memiliki bobot minimum namun yang terhubung dengan spanning tree T yang telah terbentuk. Misalkan diberikan graf dengan banyaknya verteks adalah n, maka: Langkah. Ambil sisi dari graf yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T. Langkah. Pilih sisi u, v di graf yang memiliki bobot minimum dan adjacent dengan sisi di T. Jika u, v tidak membentuk cycle, maka u, v ditambahkan ke dalam T dan lanjut ke langkah. Sebaliknya, jika penambahan sisi u, v membentuk cycle, maka sisi tersebut tidak dipilih dan kembali ke langkah kedua. 0

21 Langkah. Proses berhenti jika T memiliki n sisi. (Balakrishnan ) Contoh Penggunaan Algoritme Prim Diberikan graf berbobot tak berarah sebagai berikut: Gambar Graf contoh algoritme Prim. Dengan algoritme Prim (Lampiran ) didapatkan minimum spanning tree dengan bobot minimum seperti pada gambar berikut: Gambar Minimum spanning tree dari graf pada Gambar.. Penentuan Sirkuit Euler dengan Algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn Misalkan G = V, A adalah digraf yang balans. Langkah. Bentuk sebuah spanning arborescence dari digraf balans yang berakar di v r. Langkah. Sisi berarah yang keluar dari tiap-tiap verteks diurutkan dan dilabeli, dan sisi berarah yang terakhir dilabeli adalah sisi berarah pada spanning arborescence. Langkah. Tentukan sirkuit Euler dengan melintasi tiap-tiap sisi berarah yang telah dilabeli, mulai dari label yang terkecil sampai dengan label terbesar. Proses berhenti jika tiap sisi berarah yang dilabeli telah dilewati. (Eiselt et al. a) Contoh Penggunaan Algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn Misalkan diberikan digraf balans sebagai berikut: G : Gambar 0 Graf untuk contoh algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn. Langkah pertama yang akan ditentukan adalah penentuan spanning arborescence dari digraf balans tersebut, misalkan diambil spanning arborescence yang berawal di verteks adalah sebagai berikut: Gambar Spanning arborescence dari digraf G. Semua sisi berarah diurutkan dan dilabeli, dengan label terakhir (terbesar) adalah label untuk sisi berarah pada spanning arborescence. L L L L L L L L L L Gambar Pelabelan pada algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn. Sirkuit Euler yang diperoleh, misalkan mulai dari verteks, adalah dengan total bobot.

22 . Penentuan Sirkuit Euler dengan Algoritme Fleury Misalkan G = V, E adalah graf terhubung yang semua verteksnya berderajat genap. Langkah. Inisialisasikan i = 0. Dimulai dari verteks v 0 dan didefinisikan trail T 0 : v 0. Langkah. Misalkan T i = v 0 e v e v e... e i v i sebagai trail dari v 0 ke v i pada iterasi ke-i, lalu dipilih sebuah sisi e i+ yang menghubungkan v i dengan v i+ yang bukan merupakan bridge dari himpunan sisi E i = E e, e, e i. Jika e i+ adalah bridge pada subgraf yang didapat dari G setelah menghapus sisi yang dimiliki E i dari E, dan tidak ada pilihan lain yang bisa diambil, maka sisi tersebut dimasukkan ke dalam trail T i = v 0 e v e v e e i v i e i+. Jika tidak ada sisi lagi yang bisa dipilih maka proses berhenti. Langkah. Kemudian i diganti menjadi i +, lalu kembali ke Langkah. Trail yang terbentuk dari urutan sisi yang diambil merupakan sirkuit Euler pada graf G. (Balakrishnan ) Contoh Penggunaan Algoritme Fleury Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar. G : Gambar Graf Euler untuk contoh algoritme Fleury. Untuk mencari sirkuit Euler pada graf tersebut dengan algoritme Fleury, dilakukan prosedur sebagai berikut:. dipilih sembarang verteks, misalkan verteks, yang dilabeli sebagai v 0, v 0 Gambar Iterasi pertama: inisialisasi v 0.. dipilih sisi yang incident dengan v 0 dan bukan merupakan bridge pada graf. Misalkan sisi {,} dipilih, lalu sisi tersebut dihapus dan didefinisikan verteks sebagai verteks v, sehingga graf menjadi seperti pada Gambar. v 0 v Gambar Iterasi kedua: sisi {,} dihapus.. dipilih sisi {,} yang bukan bridge pada subgraf G, sehingga graf menjadi seperti pada Gambar. v 0 v v Gambar Iterasi ketiga: sisi {,} dihapus. Iterasi selanjutnya diberikan secara lengkap pada Lampiran. Setelah semua sisi dihapus, sehingga dihasilkan graf seperti pada Gambar, maka sirkuit Euler sudah bisa ditemukan. v 0 v 0 v v v v v v v Gambar Graf terakhir dari algoritme Fleury. Dari urutan verteks yang dipilih dan sisi yang dihapus akan diperoleh solusi sirkuit Euler yang dimulai dari verteks, yaitu dengan total bobot. v v

23 III PENYELESAIAN STACKER CRANE PROBLEM Rural Postman Problem (RPP) merupakan permasalahan dalam pencarian rute terpendek dengan biaya minimum dan hanya sebagian sisi atau sisi berarah yang diperlukan saja yang harus dilewati. Misalkan diberikan graf campuran G = V, A E dengan A himpunan sisi berarah dan E himpunan sisi tidak berarah pada graf G. Misalkan R merupakan himpunan sisi berarah yang harus dilewati minimal satu kali (required arc) pada G, yaitu R A E. Selanjutnya, diberikan bobot/nilai untuk setiap sisi berarah i, j dan sisi tidak berarah {i, j} yang dinotasikan dengan c ij. RPP memiliki banyak jenis yaitu URPP (Undirected RPP)/RPP yang tidak berarah, DRPP (Directed RPP)/RPP yang berarah, SCP (Stacker Crane Problem)/RPP dengan graf campuran, dan CARP (Capacitated Arc Routing Problem)/RPP dengan graf berkapasitas. Pada karya ilmiah ini, hanya dibahas kasus SCP (Stacker Crane Problem) saja, yaitu RPP dengan himpunan sisi berarah yang harus dilewati minimal satu kali R = A. Stacker Crane Problem (SCP) dapat dinyatakan sebagai permasalahan dalam pencarian rute dengan biaya atau jarak minimum dan diharuskan melewati ruas jalan yang telah ditentukan R paling tidak satu kali. Arah sisi berarah dari R dapat dilihat sebagai pergerakan yang harus dilakukan oleh sebuah crane dengan arah yang telah ditentukan, masing-masing tepat satu kali. Permasalahan tersebut juga dapat dinyatakan sebagai masalah menemukan sirkuit Euler yang merepresentasikan rute terpendek yang melewati sisi yang telah ditentukan tepat satu kali pada suatu graf Euler. Frederickson et al. () mengajukan dua metode heuristik untuk menyelesaikan SCP dengan ketentuan graf campuran G = V, A E memenuhi syarat berikut: Syarat. Setiap verteks adalah incident dengan setidaknya satu sisi berarah di A. Syarat. Fungsi bobot pada sisi i, j yaitu c ij, memenuhi pertidaksamaan segitiga, yaitu c ij c ik + c kj, i, j, k V G. Apabila graf G tidak memenuhi kedua syarat tersebut, algoritme Preprocess akan mengubahnya menjadi graf yang memenuhi kedua syarat Frederickson tersebut.. Algoritme Preprocess Input : Graf campuran G = V, E A dan fungsi bobot c. Output : Graf campuran G = V, E A memenuhi syarat dan fungsi bobot c memenuhi syarat.. Jika v s bukan endpoint (verteks awal atau verteks akhir dari sisi berarah) pada graf G, maka verteks v f dan sisi berarah v f, v s ditambahkan pada graf G dengan bobot 0. Untuk semua v i dalam V, sisi v i, v f ditambahkan pada graf G dengan bobot c is.. Pada V ditambahkan semua verteks yang merupakan endpoint dari sisi berarah dan ditentukan path terpendek antara setiap pasang verteks v i dan v j, sisi v i, v j ditambahkan pada E, dan c ij ditetapkan dari bobot path terpendek yang diperoleh. Contoh algoritme Preprocess Misalkan diberikan graf campuran G = V, E A seperti pada Gambar. Graf tersebut tidak memenuhi syarat dan karena terdapat verteks v yang bukan merupakan endpoint dari sisi berarah manapun dan fungsi bobot c ij tidak memenuhi pertidaksamaan segitiga, karena c c + c. G v v Gambar Graf G untuk ilustrasi algoritme preprocess. Langkah. Pada graf G terdapat verteks v yang bukan merupakan endpoint dari sisi berarah manapun. Sisi berarah v f, v dengan bobot 0, sisi v, v f dengan bobot c = dan sisi v, v f dengan bobot c f = ditambahkan pada graf G sehingga diperoleh graf G. Dapat dilihat bahwa graf G memenuhi syarat. v

24 G : v v 0 Gambar Graf G yang diperoleh dari Langkah algoritme preprocess. Langkah. Verteks v, v, v, v f merupakan endpoint dari suatu sisi berarah. Dengan algoritme Dijkstra didapat bobot terpendek antarverteks pada graf G (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran ). Path terpendek antara verteks v f dan v, yaitu P = v f v v dengan bobot c f = sehingga bobot sisi v f, v diganti dengan bobot c f = dan path tependek antara verteks v dan v, yaitu P = v v v dengan bobot c = sehingga bobot sisi v, v diganti dengan bobot c =. Graf G yang memenuhi syarat dan tersebut adalah: G v v Gambar 0 Graf G yang memenuhi syarat dan. 0 Frederickson et al. () mengajukan dua metode heuristik untuk menyelesaikan penentuan rute terpendek pada graf campuran G = V, A E yang memenuhi syarat dan. Kedua metode heuristik tersebut, yaitu Largearcs dan Smallarcs.. Algoritme Largearcs Misalkan diberikan graf campuran G = V, A E, dengan R = A himpunan sisi berarah yang harus dilewati minimal satu kali dan bobot setiap sisi i, j atau sisi berarah i, j adalah c ij. Langkah-langkah algoritme Largearcs adalah sebagai berikut: v v f v v f Langkah. Subgraf G AL = V, A yang dibentuk dari graf G dengan menghilangkan E. Himpunan verteks-awal dari sisi berarah di G AL dinotasikan dengan V dan himpunan verteks-akhir dari sisi berarah di G AL dinyatakan dengan V. Langkah. Dibentuk graf bipartite G BL = V V, E dengan E = {{v i,v j } v i V, v j V dan {(v i,v j ) A}. Langkah. Minimum bipartite matching ditentukan dari graf G BL. Selanjutnya graf G ML = (V, A E ML ) dibentuk dengan A himpunan sisi berarah dari G AL dan E ML himpunan matching berbobot minimum yang diarahkan dari V ke V. Langkah. Komponen-komponen pada G ML ditentukan dan dinotasikan dengan K,, K C. Jika c =, maka A E ML dijadikan sebagai hasil output dan proses selesai. Jika tidak, maka dibentuk graf lengkap yang tidak berarah G K = N K, E K dengan himpunan verteks N K = K,, K c dan bobot atau nilai tiap sisi yang menghubungkan K p dan K q ialah cpq = min i Kp,j K q SP i, j dengan SP i, j merupakan panjang path terpendek dari verteks i pada komponen K p dengan verteks j pada komponen K q. Langkah. Misalkan A BL himpunan sisi tidak berarah pada G ML yang terletak pada path terpendek yang berpadanan dengan sisisisi minimum spanning tree pada G K. Graf G CL = V, A E M A B dibentuk dengan menentukan minimum spanning tree pada G K. Langkah. Graf G DL = (V, A E ML A BL ) dibentuk dengan A BL ialah himpunan sisi berarah yang diperoleh dengan menambahkan dua sisi yang arahnya berlawanan untuk sisi dari spanning tree terpendek. Langkah. Ditentukan sirkuit Euler pada G DL dan dijadikan sebagai solusi dari SCP. (Eiselt et al. b) Pada Gambar diberikan skema tahapan penyelesaian SCP dengan algoritme Largearcs.

25 Graf campuran berbobot G = V, E A Diperoleh sirkuit Euler ` Dibentuk subgraf G AL = V, A Algoritme van Aardenne- Ehrenfest - de Bruijn Dibentuk graf bipartite G BL = (V, E ) Dibentuk graf baru G DL = V, A E ML A BL Algoritme Dijkstra Ditentukan bobot sisi graf G BL Pengubahan sisi tidak berarah menjadi sisi berarah Metode Hungaria Diperoleh minimum bipartite matching E ML Dibentuk graf G CL = V, A E ML A BL Dikonstruksi graf G ML = (V, A E ML ) Ditentukan Minimum Spanning Tree (MST) di G K Algoritme Prim Dibuat graf G K Algoritme Dijkstra Ditentukan jarak antarkomponen Gambar Skema penyelesaian SCP dengan algoritme Largearcs.

26 . Algoritme Smallarcs Misalkan diberikan graf campuran G = V, A E, dengan R = A himpunan sisi berarah yang harus dilewati minimal satu kali dan bobot setiap sisi i, j atau sisi berarah i, j adalah c ij. Langkah-langkah algoritme Smallarcs adalah sebagai berikut: Langkah. Dibentuk subgraf G AS = V, A dari graf G dengan menghilangkan E. Langkah. Graf G AS diubah menjadi graf tidak berarah G BS = V, E dengan V ialah himpunan verteks n i yang mewakili sisi berarah t i, h i pada subgraf G AS. Untuk setiap verteks n i dan n j, c n i, n j ditentukan sebagai minimum dari c t i, t j, c t i, h j, c h i, t j, dan c h i, h j. Jarak antarverteks d n i, n j dari G BS ditentukan dengan c n i, n j. Antara verteks n i dan n j dihubungkan dengan sisi yang bobotnya ialah jarak terpendek c n i, n j. Langkah. Minimum spanning tree T S ditentukan dari graf G BS dengan algoritme Prim. Langkah. Diidentifikasi verteks berderajat ganjil pada spanning tree T S dari graf G BS. Selanjutnya dibentuk graf lengkap G L dari verteks berderajat ganjil tersebut dengan jarak antarverteks-nya merupakan jarak terpendek yang diperoleh dari Langkah. Langkah. Matching yang perfect dan berbobot minimum, yaitu E MS, ditentukan dari graf G L. Langkah. Setiap verteks n i dan n j diubah kembali menjadi sisi berarah seperti pada G AS, sisi spanning tree graf G BS dan matching yang perfect berbobot minimum graf G L diganti dengan path terpendek yang diperoleh dari Langkah, sehingga menghasilkan graf G CS = V, A M S dengan M S = T S E MS. Langkah. Jika t i dan h i pada G CS berderajat ganjil, maka ditambahkan sisi t i, h i dan diarahkan dari h i ke t i. Graf yang dihasilkan diberi nama G DS = V, A M S ABS dengan ABS himpunan sisi berarah ti,hi yang diperoleh dari penambahan sisi dari verteks berderajat ganjil pada G CS dan diarahkan dari h i ke t i. Langkah. Sirkuit Euler ditentukan pada G DS dengan mengabaikan arah dari sisi berarah pada verteks berderajat genap. Arah sirkuit Euler dibalikkan jika terdapat sisi berarah pada verteks berderajat genap yang dilintasi dengan arah yang salah yang bobotnya melebihi dari setengah total bobot sisi berarah pada verteks berderajat genap dari graf G CS. Langkah. Dibentuk graf G E = V, A M A BS A BS dengan M adalah himpunan sisi spanning tree graf G BS dan matching yang perfect berbobot minimum graf G L yang telah ditetapkan arahnya dari sirkuit Euler dan A BS ialah himpunan sisi berarah yang diperoleh dengan menambahkan dua sisi berarah t i, h i pada sisi berarah dari verteks berderajat genap t i, h i yang dilintasi dengan arah sirkuit Euler yang salah. Langkah 0. Sirkuit Euler ditentukan pada G E dan dijadikan sebagai solusi dari SCP. (Eiselt et al. b) Pada Gambar diberikan skema tahapan penyelesaian SCP dengan algoritme Smallarcs dan pada Gambar diberikan skema keseluruhan penyelesaian SCP.

27 Graf campuran berbobot G = V, E A Dibentuk subgraf G AS = V, A Diperoleh sirkuit Euler Algoritme Dijkstra Algoritme van Aardenne- Ehrenfest - de Bruijn Dibentuk Graf G BS = V, E Membentuk Graf G E = V, A M A BS A BS Algoritme Prim Ditentukan minimum spanning tree graf G BS Penambahan sisi berarah Penentuan verteks berderajat ganjil pada spanning tree T S graf G BS Penentuan sebuah sirkuit Euler G DS sehingga menghasilkan graf G E Algoritme Fleury Konstruksi graf lengkap G L dari verteks berderajat ganjil di G BS Dibentuk graf baru G DS = V, A M S A BS Algoritme Dijkstra Penentuan bobot sisi-sisi dan matching yang perfect berbobot minimum pada graf G L Dibentuk Graf G CS = (V, A M S ) Gambar Skema penyelesaian SCP dengan algoritme Smallarcs.

28 Graf campuran berbobot G = V, E A Memenuhi syarat dan Frederickson et al. () Tidak Algoritme Preprocess Algoritme Smallarcs Ya Algoritme Largearcs Graf campuran G = V, E A A L G O R I T M E Diperoleh sirkuit Euler Diperoleh sirkuit Euler C R A N E Dipilih sirkuit Euler terpendek Rute terpendek Gambar Skema penyelesaian SCP.

29 IV APLIKASI MASALAH Katering adalah salah satu jasa/pelayanan untuk memenuhi pesanan makanan dari pihak yang membutuhkan makanan dalam jumlah besar untuk acara yang diadakannya. Terdapat banyak katering yang tersebar di Jakarta, misalnya Katering Eco Raos yang berlokasi di Jakarta Pusat. Katering Eco Raos adalah perusahaan katering dengan empat dapur yang masing-masing bertugas untuk menyiapkan makanan untuk satu pelanggan yang menggunakan jasanya (Gambar ), namun hanya memiliki satu kendaraan untuk mengantarkan makanan dari dapur Katering Eco Raos ke pelanggan. Kendaraan tersebut berada di Dapur yang diasumsikan memiliki tempat penyimpanan kendaraan. Agar proses pengantaran makanan berjalan lancar dan optimal, maka pihak Katering Eco Raos harus menentukan rute atau jalan terbaik untuk proses pengantaran makanan. Pada karya ilmiah ini akan dibahas penentuan rute pengantaran makanan dari dapur-dapur Katering Eco Raos ke pelanggan yang menggunakan katering tersebut. Lokasi dapur Katering Eco Raos dan pelanggan yang menggunakan katering serta jarak tempuhnya dinyatakan dengan graf pada Gambar. Verteks,,, dan menyatakan dapur Katering Eco Raos, dan lokasi pelanggan katering ialah verteks lainnya. Gambar Peta Katering Eco Raos di Jakarta Pusat. ( Keterangan : : Lokasi dapur Katering Eco Raos di Jakarta Pusat : Lokasi pelanggan katering Asumsi yang digunakan dalam penentuan rute tersebut adalah sebagai berikut:. Semua jalur pendistribusian makanan harus dilewati tanpa kecuali.. Jalur pilihan boleh dilewati atau tidak.. Pendistribusian makanan dimulai pada Dapur di pertigaan jalan Sutan Syahrir dan berakhir di tempat yang sama.. Mobil mengambil makanan dari dapur Katering Eco Raos untuk diantarkan ke pelanggan.. Waktu pengiriman makanan tidak diperhitungkan. Pada Gambar, bobot pada setiap sisi {i, j} atau sisi berarah (i, j) merupakan jarak dari verteks i ke verteks j. Jarak diperoleh dari perkiraan dengan satuan kilometer. Model di atas dapat dibuat menjadi graf sebagai berikut: