PERBANDINGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES DALAM PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Transkripsi

1 Bult Ilmah Mat. Stat. a Trapaya (Bmastr) Volum, No. (3), hal PRBANDINGAN MTOD MAXIMUM LIKLIHOOD STIMATION (ML) DAN MTOD BAYS DALAM PNDUGAAN PARAMTR DISTRIBUSI KSPONNSIAL Dw Nurlala, Daa Kusaar, vy Sulstagsh INTISARI Plta mmbagka mto ML a mto Bays alam muga paramtr Dstrbus ksposal. Dstrbus pror utuk mto Bays yag guaka paa plta aalah prluasa strbus pror Jffry. Prbaga kua mto lakuka mlalu smulas ata paa brbaga kos paramtr a ukura sampl. valuas trhaap kua mto lakuka mlalu pgamata trhaap la bas a MS yag haslka. Plta mujukka bahwa mto Bays ga la kostata Jffry lbh kl ar satu slalu mghaslka la bas a MS yag lbh bak bagka ga mto Mamum Lklhoo stmato (ML). Kata ku: Dstrbus ksposal, Mto ML, Mto Bays. PNDAHULUAN Pugaa paramtr aalah baga ar statstk frs yag mrupaka suatu ara utuk mmprks karaktrstk ar suatu populas brasarka sampl yag ambl. Sara umum pugaa paramtr gologka mja ua yatu pugaa ttk a pugaa slag. Bbrapa mto pugaa ttk yag guaka utuk muga paramtr ataraya aalah mto mom, mto kuarat trkl, mto Mamum Lklhoo stmato (ML) a mto Bays. Mto mom muga paramtr ga ara myamaka k mom sampl ga k mom populas a mylsaka sstm prsamaa yag haslka []. Sagka mto kuarat trkl prsp krjaya aalah mmmumka jumlah kuarat pympaga atau rror la-la obsrvas trhaap rata-rataya. Slajutya mto ML mrupaka suatu mto pugaa paramtr yag mmaksmalka fugs lklhoo. Kmua mto Bays mrupaka mto pugaa yag mggabugka strbus pror a strbus sampl. Dstrbus pror aalah strbus awal yag mmbr formas ttag paramtr. Dstrbus sampl yag gabug ga strbus pror aka mghaslka suatu strbus baru yatu strbus postror yag myataka rajat kyaka ssorag mga ltak paramtr stlah sampl amat []. Al Kutub a Ibrahm [3] mlakuka plta mga pugaa paramtr Dstrbus ksposal ar ata waktu hup. Plta trsbut mgguaka mto Bays ga strbus pror Jffry a prluasa strbus pror Jffry. Plta mghaslka bahwa prluasa strbus pror Jffry mmbrka puga trbak bagka ga puga laya. Plta la mga mto Bays yag muga paramtr Dstrbus Gamma lakuka olh Praha a Kuu [4]. Plta trsbut mmbagka krja Bays ga ML srta mto mom mgguaka smulas Mot Carlo. Dar hasl smulas apat lhat bahwa puga Bays a puga ML lbh bak ar puga mom. Jka bagka puga Bays a puga ML maka apat smpulka bahwa paa saat puga Bays ga pror o-formatf mghaslka la yag sama ga ML, ttap paa saat mgguaka pror formatf puga Bays lbh bak bagka ML. Slajutya Shawky a Bakoba [5] juga mlakuka plta mga pugaa paramtr sbuah bag Dstrbus Gamma potat. 5

2 5 D NURLAILA, D KUSNANDAR, DAN SULISTIANINGSIH Plta trsbut mgguaka mto Bays a ML utuk mmprolh puga ar paramtr btuk, rlablty (kaala) a falur rat futos (fugs tgkat kgagala). Plta mgajurka pgguaa pkata Bays ga quarat loss futo (kuarat fugs khlaga) utuk muga paramtr btuk ar Dstrbus Gamma potat. Smtara ML lbh ajurka utuk muga kaala a fugs tgkat kgagala. Kmua Plta yag lakuka olh Yarmohamma a Pazra [6] mgguaka mto Bays a ML alam muga paramtr btuk, rlablty a falur rat futo paa Gralz potal Dstrbuto. Hasl yag prolh ar pgamata mujukka sara umum bahwa lbh bak mgguaka pkata Bays ga LINX loss futo utuk mmprkraka paramtr btuk ar Gralz potal Dstrbuto. Sagka utuk mmprkraka kaala a fugs tgkat kgagala mgguaka pkata Bays ga Prautoary loss futo. Pugaa paramtr paa Dstrbus Wbull juga mgguaka mto Bays a ML yag tlt olh Ahm t al [7]. Paa plta trsbut mto Bays mgguaka strbus pror Jffry a prluasa strbus pror Jffry utuk mmprkraka paramtr Dstrbus Wbull paa ata waktu hup. Plta mympulka bahwa mto Bays yag guaka alam muga paramtr Wbull tak lbh uggul bagka ga mto ML. Tujua plta aalah mmbagka tgkat fktftas mto Mamum Lklhoo stmato (ML) a mto Bays alam muga paramtr Dstrbus ksposal. Prbaga kua mto lakuka mlalu stu smulas yag mlbatka tga la paramtr a tga ukura sampl. Mto Bays yag guaka paa plta mgguaka prluasa strbus pror Jffry. Kmua prbaga kfktftasa kua mto lhat ar la bas a MS yag prolh. MTOD MAXIMUM LIKLIHOOD STIMATION Mto Mamum Lklhoo stmato aalah mto pugaa yag mmaksmumka fugs lklhoo. Dalam plta mto ML guaka utuk muga paramtr Dstrbus ksposal. Dstrbus ksposal mrupaka salah satu strbus kotu. Dstrbus guaka paa ata waktu hup ga kgagala kosta. Dstrbus ksposal ga paramtr mmlk fugs kpaata pluag sbaga brkut [8]: f,,, Aapu fugs lklhoo ar Dstrbus ksposal aalah sbaga brkut []: L f f... f. () Nla yag maksmum ar L() juga aka maksmum paa log-lklhoo. Aapu prsamaa loglklhoo ar Dstrbus ksposal aalah l L l l L l. ()

3 Prbaga Mto ML a Mto Bays alam Pugaa Paramtr Dstrbus ksposal 53 Nla puga prolh ga muruka Prsamaa () trhaap ga ol, yatu: shgga prolh, l., Dga mka puga Mamum Lklhoo stmato bag aalah. a myamaka turuaya MTOD BAYS Dasar ar mto Bays aalah probabltas brsyarat, shgga utuk mlakuka pugaa prluka sbuah formas awal ar paramtr yag sbut ga strbus pror. Dstrbus pror apat otaska ga ( ), yag maa aalah paramtr ar strbus sampl. Salah satu strbus pror aalah strbus pror Jffry [3] yatu ( ) ( ), maa l, f I. Dalam aplkasya, strbus pror Jffry prluas mja prluasa strbus pror Jffry yatu I, utuk smua. Shgga prluasa strbus pror Jffry utuk Dstrbus ksposal yatu k, ga k aalah kostata,, a aalah jumlah sampl. Dstrbus pror kmua kombas ga strbus sampl yag aka mghaslka strbus baru yatu strbus postror. Dstrbus postror prolh ga ara mmbag fugs kpaata brsama ga fugs margal. Utuk mghaslka fugs kpaata brsama a fugs margal lakuka ga ara brkut [9]: Fugs kpaata brsama ar,...,, yatu: Fugs margal ar ( H ) yatu:,...,, L ~ k, P,..., H,...,. (3)

4 54 D NURLAILA, D KUSNANDAR, DAN SULISTIANINGSIH k k,..., P Dar Prsamaa (3) a Prsamaa (4) strbus postror apat tuls sbaga brkut:,,..., H,,..., H,..., Pugaa Bays aalah rata-rata ar strbus postror []. 3,..., Dga mka puga Bays bag aalah. Puga yag prolh mgguaka mto ML a mto Bays aka bagka mgguaka smulas. Smulas ata lakuka ga mmbagktka brbaga js kos ata yag mlbatka tga la yatu,5; a,5 srta tga maam ukura sampl yatu = 5, = 5 a =. Kmua lakuka prulaga sbayak. kal utuk stap kombas a. Data yag prolh trsbut aalss utuk muga paramtr mgguaka mto ML a mto Bays. Puga paramtr ga mto Bays mgguaka prluasa strbus pror Jffry yag mlbatka bbrapa la kostata Jffry yatu =,;,3;,5;,7. Slajutya htug la bas a MS ar kua mto trsbut ga rumus sbaga brkut: Bas MS Smulas paa plta lakuka ga program R. Kmua la bas a MS yag htug mgguaka rumus paa prsamaa (5) a Prsamaa (6) tamplka paa Tabl a. (4) (5) (6)

5 Prbaga Mto ML a Mto Bays alam Pugaa Paramtr Dstrbus ksposal 55 Tabl. Nla Bas yag Dhaslka olh Puga ML a Puga Bays ar Paramtr Dstrbus ksposal 5 5 ML Bas Bays =, =,3 =,5 =,7 =,3,5,9838 -,759 -,977 -,9553,736,3343,4477 -, ,3788,938,96483,697949,5, , ,37857,348,6554,37,5,799 -, ,35899,4957,4584,68385,736 -,64 -,78445,34,84873,3985,5, ,7697 -,5397 -,377,9473,45743,5,4988 -,4599 -,4 -,5,899,79584,998 -,8994 -,4595 -,96,394,64,5,853 -,976 -,53,3698,948,7368 Tabl. Nla MS yag Dhaslka olh Puga ML a Puga Bays ar Paramtr Dstrbus ksposal 5 5 ML MS Bays =, =,3 =,5 =,7 =,3,5,9779,857,49,677,89,393,48653,463,47635,4333,44859,537898,5,97739,93437,947635,97494,386,5,5,5657,595,5493,533,543,59598,358,634,7789,599,477,35456,5,5334,468377,478,47676,4848,5867,5,67,57,53,56,55,677,4834,86,4,77,749,766,5,43369,398,33454,35355,38,544 Tabl a mujukka la bas a MS yag brba-ba ar masg-masg mto. Trlhat bahwa kua mto mmlk pola yag sama yatu smak bsar ukura sampl la bas a MS yag haslka smak kl. Hal trja utuk smua ukura. Mto Bays ga la kostata Jffry yag lbh kl ar satu mghaslka la bas a MS yag lbh kl bagka ga mto ML. Aka ttap sbalkya mto Bays ga la kostata Jffry yag lbh bsar ar satu mghaslka la bas a MS yag lbh bsar ar mto ML. Kua mto trsbut mmlk la bas yag rlatf kl yatu ar la paramtr. Nla bas trkl prolh ktka kostata Jffry sama ga,5, kaaa kosst alam brbaga kos ata. Sla tu mto Bays ga kostata Jffry, mghaslka la MS yag lbh kl ar yag la. Smak bsar la kostata Jffry maka la bas a MS yag haslka smak bsar. Dar aalss yag lakuka ktahu bahwa

6 56 D NURLAILA, D KUSNANDAR, DAN SULISTIANINGSIH mto Bays ga prluasa strbus pror Jffry lbh bak bagka ga mto ML. Namu hal trsbut tak brlaku sara umum, kara hal trsbut ttuka olh la yag mrupaka kostata Jffry. PNUTUP Plta mghaslka bahwa utuk muga paramtr Dstrbus ksposal, Mto Bays ga prluasa strbus pror Jffry lbh fktf bagka ga mto ML. Aka ttap hal haya brlaku ktka sbaga kostata Jffry kurag ar satu. Kara mghaslka la bas a MS yag lbh kl bagka ga mto ML. DAFTAR PUSTAKA []. Ba LJ, glhart M. Itrouto to Probablty a Mathmatal Statsts. Bosto: Dubury Prss; 99. []. Walpol R, Myrs RH. Ilmu Pluag a Statstka utuk Isyur a Ilmuwa. Baug: Prbt ITB; 995. [3]. Al-Kutub HS, Ibrahm NA. Bays stmator for potal Dstrbuto wth tso of Jffry Pror Iformato. Malaysa Joural of Mathmatal Ss. 9; 3(): [4]. Praha B, Kuu D. Bays stmato a Prto of th Two-Paramtr Gamma Dstrbuto. Joural Statstal Computato a Smulato. ; 8: [5]. Shawky AI, Bakoba RA. Baysa a No-Baysa stmatos o th potat Gamma Dstrbuto. Appl Mathmatal Ss. 8; (5):5-53. [6]. Yarmohamma M, Pazra H. Classal a Baysa stmatos o th Gralz potal Dstrbuto Usg Csor Data. It.Joural of Math.Aalyss. ; 4(9): [7]. Ahm AM, Al-Kutub HS, Ibrahm NA. Comparso of th Baysa a Mamum Lklhoo stmato for Wbull Dstrbuto. Joural of Mathmats a Statsts. ; 6():-4. [8]. Forbs C, vas M, Hastgs N, Paok B. Statstal Dstrbutos. Hobok, NJ: Joh Wly & Sos;. [9]. Subaar. Statstka Matmatka. Yogyakarta: Graha Ilmu;. []. Caslla G, Brgr RL. Statstal Ifr. Bosto: Dubury Prss;. Dw Nurlala Daa Kusaar vy Sulstagsh : Fakultas MIPA Uvrstas Tajugpura, Potaak, [email protected] : Fakultas MIPA Uvrstas Tajugpura, Potaak, [email protected]. : Fakultas MIPA Uvrstas Tajugpura, Potaak, [email protected]