Goodness of fit (GoF) Test 1/4/2019

Transkripsi

1 Goodness of fit (GoF) Test 1/4/2019

2 Sering dalam statistik, kita asumsikan suatu sampel berasal dari suatu distribusi tertentu Goodness-of-fit (GoF) test membantu kita untuk mengetahui apakah distribusi yang kita asumsikan relevan dengan data yang kita miliki.

3 Kolmogorov GoF test Fungsi distribusi empirik, F(x), dari suatu sampel adalah suatu estimasi dari fungsi distribusi kumulatif, F x, dari populasinya sampel tersebut. S x F x F x = P X x

4 Jika F(x) dekat dengan cdf dari distribusi yang kita asumsikan maka asumsi kita relevan. Jika F(x) jauh dari cdf dari distribusi yang diasumsikan, maka asumsi kita dapat ditolak.

5 Ilustrasi

6 Jarak F(x) dan F(x) Kolmogorov: T = sup F x F(x) x perbedaan vertikal antara F(x) dan F(x) yang paling besar.

7 Kolmogorov Goodness of Fit test Asumsi : X 1, X 2,, X n saling bebas. Statistik uji berdasarkan hipotesis: T = sup x F x F x untuk dua arah T + = sup x F x F x satu arah T = sup( F x F x ) satu arah x Gunakan Tabel Kolmogorov untuk n 40 Untuk n > 40 gunakan aproksimasi distribusi

8 Hipotesa 2 arah H 1 : F x H 0 : F x = F (x) F x, untuk beberapa x Tolak H 0 jika T > w 1 α (Tabel Kolmogorov 2 arah)

9 Hipotesa 1 arah (+) H 0 : F x H 1 : F x F (x) < F x Tolak H 0 jika T + > w 1 α (Tabel Kolmogorov 1 arah)

10 Hipotesa 1 arah (-) H 0 : F x H 1 : F x F x > F x Tolak H 0 jika T > w 1 α ( Kolmogorov 1 arah )

11 Contoh 10 observasi diperoleh dari suatu sampel yang diduga berasal dari distribusi seragam (0,1) Data sampel: 0.203, 0.329, 0.382, 0.477, 0.480, 0.503, 0.554, 0.581, 0.621, Apakah distribusi yang diasumsikan dapat dianggap benar? α = 5%.

12 Distribusi yang diasumsikan F x 0 1

13

14 H 0 : F x H 1 : F x = F x F x Statistik uji: T = 0,290 Keputusan: w 0,95 = 0,409 T < w 0,95 maka H 0 tidak ditolak Kesimpulan: distribusi seragam (0,1) relevan dengan data

15 Contoh 2 Sebelumnya banyaknya tumor pada ginjal berdistribusi Poisson dengan laju 1,75. Diambil sampel 18 ginjal dan diperoleh data banyaknya tumor dari setiap ginjal sebagai berikut: 2,2,4,1,3,1,4,0,2,2,1,1,0,2,2,3,3,3. Apakah terdapat bukti bahwa distribusi banyaknya tumor lebih besar secara stokastik dari sebelumnya?

16 P X > x > P X > x P X x < P X x H 0 : F x F x vs. H 1 : F x < F x T + = 0,4106, w 0,95 = 0,279 Keputusan: T + > w 0,95 H 0 ditolak Kesimpulan: Distribusi sebenarnya cenderung akan memberikan banyaknya tumor lebih besar dibanding distribusi Poisson(1,75).

17 Selang kepercayaan 1 α 100% Batas bawah : S x w 1 α Batas atas: S x + w 1 α

18 Uji Lilliefors untuk uji kenormalan X 1, X 2,, X n sampel acak berukuran n berasal dari distribusi yang tidak diketahui F x Rataan sampel : n Variansi sampel X = 1 n i=1 X i Normalisasi : s = 1 n 1 Z i = X i X s n i=1 X i X 2, i = 1,2,, n

19 F x N 0,1 Statistik Uji: T 1 = sup F x S(x) x S x disini distribusi empirik data yang dinormalisasi!

20 Hipotesa H 0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal dengan mean dan standar deviasi yang tidak diketahui H 1 : distribusi dari sampel acak X i bikan normal. Keputusan: TolakH 0 jika T 1 > w 1 α pda tabel Lillyfors

21

22 Contoh X i Z i X i Z i X i X i X i

23 T 1 = 0,08 w 0,95 = 0,886 n = 0, = 0,125 T 1 < w 0,95 maka H 0 tidak ditolak Kesimpulan: Distribusi Normal dapat sesuai dengan data

24 Lillyfors untuk uji eksponensial H 0 : sampel acak memiliki distribusi eksponensial H 1 : tidak eksponensial Data sampel acak X 1, X 2,, X n Transformasi : Z i = X i, i = 1,2,, n. X Statistik uji : T 2 = sup F x S x x Keputusan: Tolak H 0 jika T 2 > w 1 α pada tabel Lillyfors untuk eksponensial

25

26 Contoh 6,2,8,6,1,11,10,3,4,6 berasal dari distribusi eksponensial dengan parameter tidak diketahui. i X i Z i F z i S z i F z i F z i S z i : :