MODEL ECONOMIC PRODUCTION QUANTITY (EPQ) DENGAN PROSES PENGERJAAN ULANG ABSTRACT

Transkripsi

1 MODEL ECONOMIC RODUCTION QUANTITY EQ) DENGAN ROSES ENGERJAAN ULANG Nur Faizin 1, T. Nababan 1 Mahasiswa rogram Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu engetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya ekanbaru 893), Indonesia faizin.math@gmail.com ABSTRACT This paper discusses a method developed by Yuan-Shyi eter Chiu, Singa Wang Chiu and Hong-Dar Lin [1] to solve EQ model with reworking process. During the reworking process, shortage is not allowed. Therefore the consument demand s service level is constant. This model considers the reworking cost of defective item and the time during the reworking process. A numerical example is given at the last discussion. Keywords: robability Density Function, EQ, Reworking ABSTRAK Artikel ini membahas pengembangan metode Yuan-Shyi eter Chiu, Singa Wang Chiu dan Hong-Dar Lin [1] untuk menyelesaikan model EQ dengan pengerjaan ulang. Di saat pengerjaan ulang, kekurangan persediaan tidak terjadi, sehingga pelayanan terhadap permintaan konsumen tidak terganggu. Model ini mempertimbangkan biaya yang dikeluarkan jika barang yang cacat diproses ulang dan mempertimbangkan waktu yang dibutuhkan untuk pemrosesan ulang. Sebuah contoh numerik diberikan pada akhir pembahasan. 1. ENDAHULUAN Dalam sektor produsen manufacture) proses produksi merupakan faktor penting dalam menjamin tersedianya suatu produk. rodusen memproduksi barang sendiri bukan diperoleh dari luar. Model EQ digunakan untuk menentukan produksi optimal yang meminimalkan biaya produksi. Model EQ sederhana mengansumsikan tingkat produksi dan tingkat permintaan konstan [5]. Namun, dalam proses produksi kerusakan barang tidak dapat dihindari. Barang yang cacat dapat dikerjakan ulang atau diperbaiki dengan tambahan biaya perbaikan dan biaya penyimpanan perusahaan [1, ]. 1

2 Menurut Hillier dan Lieberman [3] permintaan tidak akan hilang backlogging), tetapi akan dipenuhi jika stok berikutnya sudah diproduksi. rodusen yang terlambat memenuhi permintaan konsumennya, biaya kekurangan dapat diartikan hilangnya kepercayaan konsumen dan selanjutnya konsumen tidak akan memesan produk atau bekerja sama dengan produsen tersebut akibat kurangnya pelayanan dari pihak produsen kepada konsumen. Dalam artikel ini dibahas model EQ dengan proses pengerjaan ulang. Di saat pengerjaan ulang kekurangan persediaan tidak terjadi. Model ini mempertimbangkan biaya yang dikeluarkan dan waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan ulang barang yang cacat. Kajian ini merupakan kajian ulang yang mendetailkan kertas kerja Yuan-Shyi eter Chiu, Singa Wang Chiu dan Hong-Dar Lin sesuai pada pembahasan [1].. MODEL EQ DENGAN ENGERJAAN ULANG DAN SHORTAGE TIDAK TERJADI Tingkat produksi barang sebesar, tingkat permintaan barang sebesar λ dan tingkat pengerjaan barang yang cacat sebesar 1 yang konstan selama proses produksi berlangsung. Tingkat barang yang cacat d dapat dinyatakan sebagai tingkat kali persentase barang yang cacat x yang diproduksi, sehingga berlaku d = x. 1) Gambar 1 menunjukkan model EQ dengan barang yang cacat dikerjakan ulang dan kekurangan persediaan shortage) tidak terjadi [1] It) H H 1 d λ 1 λ λ t 1 t t 3 T Waktut) Gambar 1: Model EQ dengan engerjaan Ulang dan Shortage Tidak Terjadi. Dalam situasi pada Gambar 1, tingkat produksi barang yang bagus harus lebih besar atau sama dengan jumlah dari tingkat permintaan dan tingkat produksi barang yang dikerjakan ulang. Agar tidak akan mengalami kekurangan persediaan, sehingga pelayanan akan permintaan tetap dapat dipenuhi d+λ,

3 dengan menggunakan persamaan 1), maka diperoleh sehingga nilai x akan berupa interval 1 x) λ, x 1 λ, ) dimana x merupakan varibel random dengan distribusi uniform. Waktu yang diperlukan untuk memproduksi total semua barang sebesar Q unit adalah t 1 = Q. 3) Waktu yang diperlukan untuk mencapai tingkat inventori maksimum dari barang yang cacat H 1 adalah H 1 t 1 = d λ. 4) UntukmenentukanhubunganantaratingkatinventorimaksimumH 1 padawaktu t 1 dengantotalbarangyangdiproduksisebesarqunitadalahdenganmensubtusikan persamaan 3) dengan persamaan 4), maka dapat diperoleh persamaan H 1 = d λ) Q. 5) Waktu yang diperlukan untuk mengerjakan ulang barang yang cacat setelah memproduksi barang adalah t = H H 1 1 λ, 6) dengan H 1 merupakan tingkat persediaan barang yang cacat diakhir periode produksi pada waktu t, H juga merupakan tingkat barang bagus setelah barang yang cacat sudah dikerjakan ulang. Jumlah barang yang diproduksi selama t 1 pada tingkat d sama dengan jumlah barang yang dikerjakan ulang selama t pada tingkat 1, sehingga dapat ditulis 1 t = dt 1. 7) Dari persamaan 7) maka dapat diperoleh persamaan t yang baru, yaitu: t = dt 1 1 = dq 1. 8) Untuk memperoleh hubungan antara H dan Q gunakan persamaan 3),4),6) dan 7), sehingga dapat diperoleh [ H = 1 d+ ] 1) 1 λ Q. 9) 3

4 Waktu yang diperlukan untuk menghabiskan barang inventori di gudang atau semua barang yang bagus dan barang yang dikerjakan ulang adalah t 3 = H [ λ = 1 d+ ] 1) Q 1 λ λ. 1) T merupakan waktu yang diperlukan untuk menghabiskan semua barang Q unit pada tingkat λ selama satu periode produksi. Satu periode produksi merupakan jumlahdariwaktuyangdiperlukanmemproduksit 1,memperbaikibarangyangcacat t dan menghabiskan barang t 3 T = t 1 +t +t 3, dengan mensubsitusikan persamaan 4), 6) dan 1) maka diperoleh T = H 1 d λ + H H 1 1 λ + H λ = Q λ. 11) Biaya yang sesuai dengan model diatas adalah biaya produksi untuk semua barang cq dan biaya perbaikan untuk semua barang yang cacat c R Qx. Biaya penyimpanan merupakan biaya yang mencangkup semua biaya barang yang diproduksi, yang bagus dan barang yang cacat. ada h per unit per satuan waktudanjugaseluruhbarangyangdikerjakanulangpadah 1 perunitsatuanwaktu. Tingkat inventori rata-rata barang yang sempurna per satu periode produksi adalah t 1 H 1 +H 1 +H) t +Ht 3, jumlah barang yang cacat selama produksi adalah Qx dan juga sama terhadap tingkat barang yang cacat selama produksi pada selang waktu t 1 Qx = dt 1, tingkat inventori rata-rata dari barang yang cacat selama produksi per periode adalah dt 1 ) t 1 = dt 1, tingkat inventori rata-rata barang yang cacat dikerjakan ulang per periode adalah jadi biaya penyimpanan adalah [ H1 t 1 h + H 1 +H)t dt 1 t, + Ht ] 3 +h ) dt1 ) dt1 t +h 1. 1) Biaya total per periode merupakan jumlah biaya produksi, biaya perbaikan, biaya pengadaan dan biaya penyimpanan. Jadi biaya total per periode adalah [ H1 t 1 TC = cq+c R Qx+K +h + H 1 +H)t + Ht ] 3 ) ) dt1 dt1 t +h +h 1. 4

5 Untuk mencari biaya total terhadap jumlah seluruh barang yang di produksi sebanyak Q unit adalah dengan mensubsitusikan persamaan H, H 1, t 1, t dan t 3 yang ada pada persamaan 9), 5), 3), 8) dan 1), maka dapat diperoleh h TCQ) = cq+c R Qx+K + h1 d + )Q 1 ) Q [ 1 d λ λ 1 λ 1 ). 13) Biaya total tahunan rata-rata diperoleh dengan membagi biaya total terhadap jumlah seluruh barang yang diproduksi pada persamaan 13) dengan panjang periode T pada persamaan 11), maka diperoleh TCUQ) =λc+c R x)+ Kλ Q + h Q dengan d = x, maka λ d Q λ 1 )h 1 h) = λ Q x 1 ] + 1 ) d Q λ h 1 h), 1 ) h 1 h), jadi biaya tahunan rata-rata adalah TCUQ) = λc+c R x)+ Kλ Q + h Q + λ Q h 1 h)x. 14) 1 Dari persamaan ), variabel random x merupakan fungsi fx), yang disebut dengan fungsi densitas probabilitas yang memenuhi 1 λ fx)dx = 1, dengan x merupakan variabel random yang berdistribusi uniform [4]. Nilai ekspektasi dari x adalah E[x] = 1 λ Nilai ekspektasi dari fx), gx) adalah E[gx)] = 1 λ xfx)dx. gx)fx)dx. Ekspekpasi dari biaya total tahunan rata-rata gx) adalah [1]: E[TCUQ)] =λ[c+c R E[x]]+ Kλ Q + h Q1 λ ) + λ Q 1 h 1 h)e[x ]. 15) 5

6 Untuk mendapatkan produksi optimal, persamaan 15) diturunkan terhadap Q. Lalu, diperoleh d E[TCUQ)]) = Kλ dq Q + h + λ h 1 h)e[x ]. 1 Dengan menyamakan d E[TCUQ)]) dengan nol, diperoleh dq Kλ Q + h + λ h 1 h)e[x ] = 1 Kλ Q =h + λ h 1 h)e[x ] 1 Q Kλ = h + λ h 1 h)e[x ] 1 Kλ Q =± h + λ. h 1 h)e[x ] 1 Karena produksi tidak bernilai negatif, maka dapat diperoleh persamaan persediaan optimal Q sebagai berikut [1]: Q Kλ = h +h 1 h) λ, 16) E[x ] 1 dengan E[x ] = 1 λ x fx)dx. Waktu yang dibutuhkan setiap putaran produksi adalah t 1 = Q. erusahaan akan memulai putaran produksi berikutnya setelah mengerjakan ulang barang yang cacat pada setiap T = Q λ. Biaya rata-rata yang dikeluarkan per satuan waktu oleh perusahaan untuk memproduksi barang optimal adalah ekspektasi dari biaya optimum E[TCUQ )] terhadap jumlah produksi optimal adalah dengan mensubtitusikan persamaan 16) ke persamaan 15), sehingga E[TCUQ )] =λc+c R E[x])+ Kλ Q + [ h +h 1 h) λ ] E[x ] Q. 1 6

7 Jika tidak ada barang yang cacat selama produksi, dimana x = dan d =, maka Q pada persamaan 16) menjadi Q Kλ = h. Biaya rata-rata yang dikeluarkan perusahaan per satuan waktu untuk memproduksi barang optimal dimana tidak ada barang yang dikerjakan ulang adalah TCU Q ) = cλ+ Kλh. Untuk menunjukkan bahwa Q pada persamaan 16) dapat meminimumkan E[TCUQ)]padapersamaan15),makaturunankeduadariE[TCUQ)]terhadapQ haruslebihbesardaripada. Yaitu,perluditunjukkanbahwa d E[TCUQ)]) >. d Q Turunan kedua dari E[T CUQ)] adalah d E[TCUQ)] d Q = Kλ Q 3, dengan nilai K, λ dan Q positif. Tampak bahwa d E[TCUQ)]) adalah positif d Q untuk semua Q >, sehingga Q dapat berlaku secara umum. 3. CONTOH MASALAH Contoh 1: Suatu perusahaan dapat memenuhi permintaan pelanggan dengan kecepatan permintaan 8 unit per tahun. Sebetulnya perusahaan mampu memproduksi barang dengan kecepatan produksi 9 unit per tahun. erusahaan mengeluarkan biaya pengadaan tetap per tahun sebesar Rp 15..,. Biaya produksi Rp 18., dan biaya penyimpanan yang dikeluarkan oleh perusahaan sebesar Rp 36., per unit per tahun. Barang yang diproduksi oleh perusahaan tidak selamanya bagus. Tetapi, terdapat barang yang cacat disaat proses produksi. Barang yang cacat yang dikerjakan ulang sebanyak unit per tahun. Biaya untuk mengerjakan ulang Rp 1., per unit dan biaya penyimpanan barang sempurna setelah barang dikerjakan ulang adalah Rp 4., per unit per tahun. Diketahui = 9 unit/tahun; h = 36; K = 15; 1 = unit/tahun; h 1 = 4; c = 18; λ = 8 unit/tahun; c R = 1, 7

8 dengan K,h,h 1,c dan c R dalam rupiah. Nilai x akan berupa interval yaitu: x 1 λ x.1, sehingga fungsi densitas probabilitas adalah { 1 untuk < x <.1, fx) = untuk yang lainnya. Ekspektasi dari x dan x adalah.1 E[x] = 1xdx =.5 E[x ] =.1 1x dx =.33 roduksi optimal yang diproduksi oleh perusahaan adalah Q Kλ = h +h 1 h) λ = 816 unit. E[x ] 1 Waktu yang dibutuhkan setiap putarann produksi adalah t 1 = Q = =.91 tahun = 39 hari. Waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan ulang barang yang cacat t = H H 1 1 λ = =.6 tahun = 1 hari. Waktu untuk menghabiskan persediaan barang yang bagus dan barang yang cacat selesai dikerjakan ulang adalah t 3 = H λ = =.81 tahun = 3 hari. erusahaan akan memulai putaran produksi berikutnya setelah mengerjakan ulang barang yang cacat pada setiap T = Q λ = = 1.13 tahun = 369 hari. 8

9 Biaya optimum atau biaya rata-rata per tahun yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi jumlah barang yang optimal adalah E[TCUQ )] = λc+c R E[x])+ Kλ [ h Q + +h 1 h) λ ] E[x ] Q 1 =Rp ,. Contoh : Dari Contoh 1 diasumsikan tidak ada barang yang tidak sempurna selama proses produksi, dimana x = dan d =. Maka diketahui sebagai berikut: = 9 unit/tahun; K = 15; h = 36; λ = 8 unit/tahun; c = 18, dimana K,h dan c dalam rupiah. roduksi optimal yang diproduksi oleh perusahaan adalah Q Kλ = h = 8165 unit. Waktu yang dibutuhkan setiap putarann produksi adalah t 1 = Q = =.97 tahun = 33 hari. erusahaan akan memulai putaran produksi berikutnya pada setiap T = Q λ = = 1.1 tahun = 37 hari. Biaya optimum atau biaya rata-rata per tahun yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi jumlah barang optimal adalah TCU Q ) =cλ+ Kλh =Rp ,. 4. KESIMULAN Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa model EQ dengan proses pengerjaan ulang tidak memandang berapa banyak barang yang cacat. Namun, perusahaan akan mempertimbangkan biaya yang dikeluarkan untuk pengerjaan ulang barang yang cacat. Di saat proses pengerjaan ulang kekurangan persediaan tidak terjadi. rodusen akan memproduksi optimal barang yang diproduksi, sehingga produsen akan memperoleh keuntungan optimal dan pelayanan kepada konsumen tidak akan terganggu. erusahaan juga akan mengerjakan ulang barang yang cacat dengan mempertimbangkan waktu yang dibutuhkan untuk proses pengerjaan ulang. 9

10 Ucapan Terimakasih enulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. M. D. H. Gamal, M.Sc yang telah banyak memberi masukan dalam penyelesaian artikel ini. DAFTAR USTAKA [1] Chiu, Y.., S. W. Chiu & H. D. Lin. 6. Solving EQ model with rework and service level constraint Association for Scientific Researh 11: [] Hayek,. A.& M. K. Salameh. 1. roduction Lot Sizing with the Reworking of Imperfect Quality Items roduced. roduction lanning and Control: The Management of Operations 1: [3] Hillier, F. S. & G. J. Lieberman engantar Riset Operasi edisi kelima: Jilid 1. Terj. dari Introduction to Operation Research, Fifth Edition, oleh Gunawan, E. & A. W. Mulia. enerbit Erlangga. Jakarta. [4] Hines, W. W. & G. C. Montgomery robabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Managemen: Edisi Kedua. Terj. dari robability and Statistics in Engineering and Management Science, oleh Rudiansyah. UI-RESS, Jakarta. [5] Subagyo,., M. Asri & H. Hani.. Dasar-dasar Operations Research. Edisi kedua. Yogyakarta: BBFE Yogyakarta. [6] Taha, H. A Operations Research: An Introduction. Macmillan ublishing, Co. New York. 1