Catatan Kuliah. Matematika Keuangan. (preliminary draft, comments welcome)

Transkripsi

1 Catatan Kuliah Matematika Keuangan (preliminary draft, comments welcome) M. Syamsuddin

2 Daftar Isi Pendahuluan v Model Binomial untuk Harga Saham. Model untuk satu periode Pergerakan harga saham Harga opsi Eropa Model untuk dua periode Pergerakan harga saham Notasi formal Harga opsi Eropa Model untuk n periode aljabar 3 2. Pendahuluan Aljabar dan -aljabar aljabar Borel B (R) Ukuran dan Integral Lebesque 7 3. Pendahuluan Ukuran Lebesque Integral Lebesque Ruang Probabilitas 2 4. Pendahuluan Ruang probabilitas Variabel acak Integral pada ruang probabilitas Aproksimasi variabel acak Kebebasan Kebebasan -aljabar Kebabasan variabel acak Ekspektasi Bersyarat Peluang bersyarat Ekspektasi bersyarat terhadap kejadian ii

3 DAFTAR ISI iii 5.3 Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak diskret Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak Sifat-sifat ekspektasi bersyarat Martingales 43 7 Teorema Radon-Nikodym Pendahuluan Teorema Radon-Nikodym Eksistensi ekspektsi bersyarat Integral Ito Symmetric random walk Sifat-sifat dari symmetric random walk fm k g k= Scaled symmetric random walk Kovariansi dari Brownian motion Quadratic variation Konstruksi Integral Ito Integral Ito untuk fungsi sederhana Integral Ito untuk fungsi yang umum Rumus Ito Rumus Ito Geometric Brownian motion Teorema Girsanov 6. Teorema Girsanov Risk-Neutral measure Teorema Representasi Martingale 66 2 Rumus Black-Scholes Pendahuluan Cara pertama Cara kedua Brownian Motion Ito s Lemma Geometric Brownion Motion Financial portfolio Value of an option Replicating Portfolio Solusi Cara ketiga Cara keempat Cox-Ross-Rubinstein Model

4 iv DAFTAR ISI 3 Proses Gauss De nisi proses Gauss Obligasi Pendahuluan Pemodelan Model Hull-White Daftar Pustaka 99 Indeks

5 Pendahuluan Catatan Kuliah ini dirancang untuk dipergunakan oleh mahasiswa tingkat sarjana maupun pasca sarjana serta para peneliti yang akan mempelajari matematika keuangan melalui teori peluang dengan konsep ukuran. Karena itu pembicaraan konsep ukuran (measure) akan dipakai sebagai materi pembuka. Pembahasan akan dimulai dengan konsep -aljabar dan secara berturut-turut akan dilanjutkan dengan pembahasan tentang fungsi terukur, variabel acak (random variable), integral, ekspektasi bersyarat (conditional expectation) dan martingales. Yang paling utama sebagai titik tolak dalam pembahasan teori peluang adalah pende nisian integral X dp () sebagai ekspektasi dari suatu variabel acak X: Untuk itu mula-mula akan dikonstruksi integral Lebesque. Setelah itu melalui cara pekonstruksian yang serupa akan dilanjutkan dengan pende nisian integral di ruang probabilitas. Sekalipun materi yang akan dicakup pada Catatan ini disesuaikan dengan kebutuhan seseorang yang akan mempelajari matematika keuangan pada tingkat lanjut, namun Catatan ini dapat pula digunakan oleh seseorang yang akan mempelajari teori peluang melalui konsep ukuran untuk keperluan lain. Prasyarat yang diperlukan seseorang yang akan mempelajari Catatan ini adalah penguasaan teori peluang yang setara dengan materi di buku Hogg & Craig [5]. Contoh-contoh soal yang akan dipergunakan untuk membantu pemahaman teori peluang akan disesuaikan dengan permasalahan sederhana yang ada di dalam matematika keuangan. Pada banyak kesempatan akan disajikan contoh dari hasil eksperimen Bernoulli yang berupa pelantunan sebuah koin untuk pemodelan dinamika pergerakan harga saham. Model demikian akan diberi nama model Binomial untuk penentuan harga saham dan akan dibahas pada kesempatan pertama. v

6 Kuliah ke Model Binomial untuk Harga Saham. Model untuk satu periode.. Pergerakan harga saham Pergerakan harga suatu saham pada suatu selang waktu tertentu adalah suatu proses stokastik yang rumit untuk dimodelkan. Karena itu pemodelan dinamika pergerakan harga saham akan membutuhkan matematika yang rumit pula. Namun pada kesempatan kali ini pergerakan harga saham tersebut akan dimodelkan melalui cara yang paling sederhana sehingga matematika yang akan dipergunakan juga relatif sederhana. Untuk keperluan itu akan diasumsikan pergerakan harga sebuah saham pada suatu periode waktu hanya akan menempati salah satu dari dua keadaan yang mungkin, yaitu naik atau turun. Dimisalkan kenaikkan atau penurunan harga sebuah saham S pada setiap periode akan ditentukan oleh hasil eksperimen acak Bernoulli yang berupa pelantunan sebuah koin. Bila pelantunan koin tersebut menghasilkan muka (M) maka harga saham akan naik dengan faktor a dan dengan peluang P (M) = p: (.) Sedangkan bila pelantunan koin menghasilkan belakang (B) maka harga saham akan turun dengan faktor b dan dengan peluang P (B) = p (.2) = q: (.3) Bila harga saham mula-mula dimisalkan sebesar S maka sebagai hasil dari pelantunan koin yang pertama, harga saham pada akhir periode pertama adalah S (M) = as (.4) S (B) = bs :

7 2 Kuliah ke. Model Binomial untuk Harga Saham Di lain pihak, pada pasar uang berlaku suku bunga deposito bank per periode sebesar r dan diasumsikan akan berlaku hubungan berikut b < + r < a: (.5) Bila persyaratan ini dipenuhi maka seseorang akan mempunyai dua pilihan untuk investasi, yaitu tabungan dalam bentuk deposito di bank atau pembelian saham. Bila kondisi (:5) tidak dipenuhi, misalnya b > + r; (.6) maka orang tidak akan pernah menabung di bank. Penjelasannya adalah sebagai berikut. Bila (:6) dipenuhi maka lebih baik seseorang membeli saham karena dipastikan keuntungan yang akan diperolehnya selalu lebih besar dari pada keuntungan dari tabungan di bank sekalipun saham sedang dalam kondisi terburuk. Hal ini diperlihatkan oleh prosentase perubahan harga saham bila saham berada di keadaan terburuk S (B) S S = bs S S (.7) = S (b ) S (.8) = b > r: (.9) Hasil (:9) memperlihatkan bahwa prosentase perubahan dari harga saham selalu lebih besar dari prosentase perubahan dari nilai tabungan di bank sekalipun sedang berada dalam keadaan terburuk. Demikian pula bila + r > a (.) maka orang tidak akan pernah membeli saham. Dalam keadaan ini lebih baik baginya menabung di bank yang selalu akan menghasilkan keuntungan yang lebih besar sekalipun harga saham sedang dalam kondisi terbaik. Hal ini bisa diperlihatkan oleh prosentase perubahan harga saham berikut S (M) S S = as S S (.) = S (a ) S (.2) = a < r: (.3) Hasil (:3) memperlihatkan bahwa prosentasi perubahan harga saham selalu lebih kecil dari prosentase perubahan nilai tabungan di bank. Karena itu pada model untuk dinamika pergerakan harga saham perlu dipenuhi ungkapan (:5) sehingga orang masih mungkin mempunyai dua buah pilihan investasi yang berupa tabungan di bank atau pemilikan saham. Bila kondisi (:5) dilanggar maka dua keadaan ekstrim akan terjadi, orang hanya akan menabung di bank dalam bentuk deposito saja atau orang hanya akan memiliki saham saja.

8 .. Model untuk satu periode 3..2 Harga opsi Eropa Suatu opsi call Eropa (European call option) adalah suatu kontrak keuangan yang memberi hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu saham pada saat jatuh tempo T (exercise date) dengan harga tertentu K (exercise/strike price). Untuk T = dan bila perekonomian sedang bagus sehingga S > K maka pemegang opsi call akan menggunakan haknya untuk membeli saham dengan harga K dan menjualnya di pasar dengan harga S sehingga ia mendapat penghasilan sebesar S K: Sebaliknya bila perekonomian sedang lesu sehingga S < K maka pemegang opsi call tidak akan menggunakan haknya untuk membeli saham seharga K sehingga ia tidak bisa mendapat tambahan penghasilan. Dengan perkataan lain, nilai opsi pada saat adalah V = S K bila S K > atau V = bila S K atau V = ( S K bila S > K bila S K: (.4) Nilai V pada (:4) akan disebut nilai intrinsik (intrinsict value) dari opsi call. Ungkapan (:4) dapat dinyatakan pula menjadi salah satu dari ungkapan berikut V = [S K] + (.5) atau V = maks fs K; g : (.6) Nilai S akan tergantung pada hasil pelantunan koin yang bisa meberikan hasil M atau B sehingga nilai V pun akan tergantung pada hasil tersebut. Dengan demikian berbagai nilai V yang mungkin adalah ( V (M) = maks fas K; g V = (.7) V (B) = maks fbs K; g Persamaan (:7) memperlihatkan besar dana yang menjadi hak bagi pemegang opsi call untuk berbagai keadaan. Pada saat yang sama persamaan (:7) merupakan kewajiban bagi penerbit opsi call untuk menyediakan dana sebesar V (M) atau V (B) di akhir periode : Karena hal ini berupa kewajiban bagi penerbit maka ia harus mengusahakan agar memperoleh dana sebesar itu di akhir periode : Cara yang akan ditempuh oleh penerbit adalah dengan pembentukan portfolio replikasi (replicating portfolio), yaitu suatu protfolio yang nilainya di akhir periode akan sama persis dengan kewajiban penerbit di akhir periode ; yaitu V (M) atau V (B) : Portfolio replikasi tersebut akan dibentuk dengan cara sebagai berikut. Misalkan pihak penerbit menjual opsi call di awal periode seharga V (kelak akan ditentukan nilai V ini). Agar penerbit mempunyai dana yang cukup untuk menutup kewajiban Ada jenis opsi Eropa yang lain, yaitu opsi put Eropa (European put option) yang merupakan suatu kontrak keuangan yang memberi hak kepada pemegang kontrak tersbut untuk mejual suatu saham pada saat jatuh tempo T yang disebut exercise date dan dengan harga tertentu K yang disebut exercise/strike price.

9 4 Kuliah ke. Model Binomial untuk Harga Saham membayar dana sebesar (:7) maka sejak awal periode penerbit akan membuat suatu portfolio keuangan yang terdiri dari saham sebanyak lembar (nilai V dan akan ditentukan kemudian). Kepemilikan saham tersebut diambil dari penjualan call seharga V. Bila dana sebesar V tidak mencukupi bagi penerbit opsi call untuk membeli lembar saham maka penerbit berhutang dengan bunga r per periode untuk mencukupinya. Sebaliknya bila ada kelebihan dana maka sisanya ditabung dengan suku bunga r per periode. Nilai portfolio ini pada awal periode adalah X = V yang berupa S dalam bentuk saham dan (V S ) dalam bentuk tabungan (atau hutang) X = S + (V S ) (.8) = V : (.9) Pada akhir periode ke, nilai portfolio akan menjadi X yang terdiri dari S dalam bentuk saham dan yang dalam bentuk tabungan (atau hutang) akan tumbuh menjadi ( + r) (V S ) X = S + ( + r) (V S ) : (.2) Nilai portfolio sebesar X di akhir periode diharapkan sama dengan nilai opsi call V di (:7) X = V : (.2) Jadi tugas penerbit adalah menentukan nilai V dan agar (:2) terpenuhi. Namun karena nilai S tergantung dari hasil pelantunan koin maka nilai portfolio X di (:2) juga akan tergantung dari hasil pelantunan koin sehingga nilai X yang mungkin adalah X (M) dan X (B) V = X = = = ( ( ( X (M) = S (M) + ( + r) (X S ) X (B) = S (B) + ( + r) (X S ) X (M) = as + ( + r) (X S ) X (B) = bs + ( + r) (X S ) (.22) (.23) X (M) = (a ( + r)) S + ( + r)x X (B) = (b ( + r)) S + ( + r)x (.24) Pemilihan dan V yang tepat akan menghasilkan nilai portfolio X pada akhir periode di persamaan (:24) sama persis dengan nilai opsi call V pada akhir periode di persamaan (:7) agar pihak penerbit opsi call bisa memagari risiko yang muncul berkaitan dengan kewajibannya membayar sejumlah dana di akhir periode : Dari kedua persamaan di (:22) didapat nilai yang dimaksud, yaitu = X (M) X (B) S (M) S (B) = V (M) V (B) S (M) S (B) (.25) = X (M) X (B) as bs (.26) = X (M) X (B) : (.27) S (a b)

10 .. Model untuk satu periode 5 Bila dari (:27) disubstitusikan lagi ke persamaan pertama dari (:24) maka akan didapat atau atau X (M) = (a ( + r)) X (M) X (B) + ( + r)x (a b) (.28) (a ( + r)) (a ( + r)) = X (M) X (B) + ( + r)x a b a b (.29) X = + r ( + r) a b b X (M) + a ( + r) X (B) a b (.3) = + r [epx (M) + eqx (B)] (.3) V = + r [epv (M) + eqv (B)] (.32) V ini adalah arbitrage price untuk opsi call dengan payo sebesar V pada akhir periode. Sedangkan ep dan eq adalah risk-neutral probabilities. Persamaan (:3) dan (:32) memperlihatkan bahwa expected rate of return di bawah (ep; eq) dari aset yang berisiko seperti opsi call dan portfolio adalah r; yang tidak lain adalah rate of return dari asset yang tidak berisiko yang berupa tabungan di bank. Hasil menarik lainnya dapat diperoleh darii persamaan pertama di (.22) dan (.32) V (M) = S (M) + ( + r)((v S ) (.33) = (S (M) ( + r)s ) + ( + r)v (.34) = (S (M) ( + r)s ) + [epv (M) + eqv (B)] : (.35) dan penyederhanaan lebih lanjut akan menghasilkan (S (M) ( + r)s ) + [( + ep)v (M) + eqv (B)] = (.36) V (M) V (B) S (M) S (B) (S (M) ( + r)s ) + [ eqv (M) + eqv (B)] = (.37) [V (M) V (B)] (S (M) ( + r)s ) eq [V (M) V (B)] = (.38) S (M) S (B) (S (M) ( + r)s ) [V (M) V (B)] eq = : (.39) S (M) S (B) Agar persamaan terakhir berlaku untuk semua state! (yaitu state M atau B), maka persyaratan berikut harus dipenuhi (S (M) ( + r)s ) eq = S (M) S (B) dan dengan sedikit uraian akan diperoleh S = + r [eps (M) + eqs (B)] : (.4)

11 6 Kuliah ke. Model Binomial untuk Harga Saham Persamaan (:4) memperlihatkan bahwa expected rate of return di bawah (ep; eq) dari harga saham adalah r: Interpretasi hasil ini serupa dengan interpretasi hasil dari persamaan (:32) sehingga bisa disimpulkan bahwa di bawah (ep; eq) expected return dari seluruh aset keuangan yang berisiko adalah r dan ini sama dengan expected return dari aset yang tidak berisiko. Karena itulah (ep; eq) disebut risk-neutral probabilities. Contoh. Misal S = 4; a = 2; b = =2; r = %: Akan ditentukan harga opsi call yang jatuh tempo pada akhir periode dan dengan strike price K = 5: Untuk itu akan ditentukan dulu nilai S dan V V = S = ( ( S (M) = as = (2) (4) = 8 S (B) = bs = (.4) 2 (4) = 2 V (M) = maks fs (M) K; g = 3 V (B) = maks fs (B) K; g = setelah itu akan dihitung ~p dan ~q dari (:24) dan (:66) Nilai opsi call dapat diperoleh dari (:32) ( + r) b ~p = a b ( + :) =2 = 2 =2 (.42) (.43) (.44) = :4 (.45) a ( + r) ~q = a b 2 ( + :) = 2 =2 (.46) (.47) = :6 (.48) V = + r [epv (M) + eqv (B)] (.49) = (: :66 ) (.5) + : = :92727: (.5).2 Model untuk dua periode.2. Pergerakan harga saham Sebagai hasil dari pelantunan koin sebanyak dua kali, harga saham pada akhir periode kedua adalah S 2 (MM) = as (M) = a 2 S (.52) S 2 (MB) = bs (M) = bas (.53) S 2 (BM) = as (B) = abs (.54) S 2 (BB) = bs (B) = b 2 S : (.55)

12 .2. Model untuk dua periode 7 Pergerakan harga saham dalam dua periode ini digambarkan oleh pohon Binomial pada Gambar dengan S = 4; a = 2; b = =2 Gambar Pohon Binomial.2.2 Notasi formal Secara formal, seluruh kemungkinan hasil eksperimen dari pelantunan sebuah koin sebanyak dua kali akan dinyatakan dalam suatu ruang sampel = fmm; MB; BM; BBg : (.56) Setiap unsur dari akan dinyatakan dengan!: Variabel acak S dan S 2 berturut-turut akan diungkapkan dengan S (!) = ( 8 bila! 2 fmm; MBg 2 bila! 2 fbm; BBg (.57) dan 8 >< 6 bila! = fmmg S 2 (!) = 4 bila! = fmb; BMg >: bila! = fbbg : (.58) Bila dide nisikan X sebagai variabel acak yang menyatakan jumlah muka M di dalam pelantunan sebuah koin sebanyak dua kali maka distribusi dari X adalah Binomial b(2; p) dengan p adalah peluang muka M akan keluar dari setiap kali pelantunan koin, lihat (:) : Dengan mudah bisa dipahami bahwa sekalipun X dan S 2 adalah dua buah variabel

13 8 Kuliah ke. Model Binomial untuk Harga Saham acak yang berbeda namun keduanya memiliki distribusi yang sama! P (X = 2) = P (S 2 = 6) = 2 p 2 q 2 2 = p 2 (.59) 2! P (X = ) = P (S 2 = 4) = 2 p q 2 = 2pq (.6)! P (X = ) = P (S 2 = ) = 2 p q 2 = q 2 : (.6).2.3 Harga opsi Eropa Kali ini akan dibahas opsi call Eropa yang akan jatuh tempo di akhir periode 2 dengan strike price K: Nilai intrinsik dari opsi call ini adalah V 2 = maks fs 2 K; g (.62) yang bisa diurai lebih rinci dengan 8 V 2 (MM) = maks fs 2 (MM) K; g >< V 2 (MB) = maks fs 2 (MB) K; g V 2 = V 2 (BM) = maks fs 2 (MB) K; g >: V 2 (BB) = maks fs 2 (BB) K; g : (.63) Nilai V 2 ini merupakan hak bagi pemegang opsi call dan sekaligus kewajiban bagi penerbit opsi call pada berbagai keadaan. Agar penerbit bisa memagari dirinya dari risiko yang muncul berkaitan dengan kewajibannya untuk menyediakan dana sebesar V 2 di akhir periode 2 maka ia akan menyusun portfolio replikasi. Portfolio ini disusun dari penjualan opsi call seharga V dan dialokasikan untuk pembelian saham sebanyak sisanya (atau kekurangannya) ditabung (hutang) ke bank dengan suku bunga r per periode. Jadi pada awal periode nilai protfolionya adalah X = V : (.64) Tujuan dari pembentukan portfolio ini adalah untuk mendapatkan nilai portfolio di akhir periode 2 sebesar X 2 yang sama persis dengan nilai opsi call di akhir periode 2 X 2 = V 2 (.65) melalui pemilihan komposisi portfolio pada tiap awal periode dan 2: Dengan kata lain akan dipilih komposisi portfolio yang terdiri dari sejumlah saham dan tabungan (hutang) di bank dengan lembar saham pada awal periode dan lembar saham pada awal periode 2 yang memungkinkan persamaan (:65) terpenuhi. Pada akhir periode nilai portfolionya adalah X ; serupa dengan (:22) X = ( X (M) = S (M) + ( + r) (X S ) X (B) = S (B) + ( + r) (X S ) : (.66)

14 .2. Model untuk dua periode 9 Posisi portfolio pada akhir periode ini akan di ubah pada awal periode 2 melalui perubahan komposisi kepemilikan saham dari semula sebanyak lembar menjadi lembar. Kelebihan (kekurangan) dana akan disimpan (hutang) di bank sebesar X S : Nilai portfolio pada akhir periode 2 akan menjadi X 2 8 X 2 (MM) = (M)S 2 (MM) + ( + r)fx (M) (M)S (M)g >< X 2 (MB) = (M)S 2 (MB) + ( + r)fx (M) (M)S (M)g X 2 = X 2 (BM) = (B)S 2 (BM) + ( + r)fx (B) (B)S (B)g >: X 2 (BB) = (B)S 2 (BB) + ( + r)fx (B) (B)S (B)g: (.67) Dengan demikian telah diperoleh 6 buah persamaan yang terdiri dari (:66) dan (:67) : Dari keenam persamaan ini akan dicari 6 buah nilai yang masing-masing untuk ; X ; (M) ; (B) ; X (M) dan X (B) agar persamaan (:65) terpenuhi. Dari keempat persamaan di (:67) ini akan didapat komposisi jumlah kepemilikan saham pada awal periode 2 sebesar (M) = X 2(MM) X 2 (MB) S 2 (MM) S 2 (MB) = V 2(MM) V 2 (MB) S 2 (MM) S 2 (MB) (B) = X 2(BM) X 2 (BB) S (BM) S (BB) (.68) (.69) (.7) = V 2(BM) V 2 (BB) S (BM) S (BB) : (.7) Perubahan dari persamaan (:68) ke persamaan (:69) dan dari persamaan (:7) ke persamaan (:7) telah mulai digunakan pembatas (:65) sehingga nilai (M) dan (B) yang diperoleh telah menjamin bahwa (:65) terpenuhi. Setelah (M) dan (B) diperoleh maka dari keempat persamaan (:67) ini pula akan didapat X sebagai nilai portfolio pada akhir periode ( X (M) = X = +r [epx 2(MM) + eqx 2 (MB)] X (B) = +r [epx (.72) 2(BM) + eqx 2 (BB)] : Perolehan X (M) dan X (B) di (:72) telah melibatkan penggunaan (M) dan (B) sehingga nilai yang diperoleh turut menjamin bahwa (:65) terpenuhi. Dari nilai X ini bisa diperoleh komposisi kemilikan saham pada awal periode sebanyak lembar sesuai dengan (:27) = X (M) S (M) X (B) S (B) dan nilai opsi call pada awal periode melalui persamaan (:3) (.73) V = X (.74) = + r [epx (M) + eqx (B)] : (.75) Jadi penyusunan potfolio replikasi pada awal periode dan disesuaikan komposisinya pada awal periode 2 menghasilkan 6 buah persamaan, yaitu 2 buah persamaan di (:66)

15 Kuliah ke. Model Binomial untuk Harga Saham dan 4 buah persamaan di (:67) sehingga bisa diperoleh 6 buah nilai yang masing-masing untuk ; X ; (M) ; (B) ; X (M) dan X (B) : Melalui pemilihan komposisi portfolio replikasi ini akan dijamin (:65) terpenuhi sehingga penerbit opsi call bisa memagari dirinya dari risiko yang muncul oleh penerbitan opsi tersebut. Dengan prosedur yang serupa dengan pembahasan sebelumnya akan diperoleh pula S = + r [eps (M) + eqs (B)] (.76) S (M) = + r [eps 2(MM) + eqs 2 (MB)] (.77) S (B) = + r [eps 2(BM) + eqs 2 (BB)] : (.78) Seluruh hasil ini memperlihatkan bahwa aset keuangan yang berisiko atau tidak berisiko akan menghasilkan expected return yang sama di bahwa risk-neutral world seperti kesimpulan yang dicapai pada model untuk satu periode. Contoh.2 Misal S = 4; a = 2; b = =2; r = %: Akan ditentukan harga opsi call yang jatuh tempo pada akhir periode 2 dan dengan strike price K = 5: Untuk itu akan ditentukan dulu nilai S 2 S 2 (MM) = as (M) = a 2 S = = 6 (.79) S 2 (MB) = bs (M) = bas = = 4 (.8) S 2 (BM) = as (B) = abs = = 4 (.8) 2 S 2 (BB) = bs (B) = b 2 S = 4 = : (.82) 2 dan X 2 = V 2 dari (:63) 8 X 2 (MM) = maks fs 2 (MM) K; g = maks f6 5; g = >< X 2 (MB) = maks fs 2 (MB) K; g = maks f4 5; g = X 2 = V 2 = X 2 (BM) = maks fs 2 (MB) K; g = maks f4 5; g = >: X 2 (BB) = maks fs 2 (BB) K; g = maks f 5; g = : (.83) Dengan ~p = :4 dan ~q = :6 seperti yang diperoleh dari Contoh.; akan didapat nilai X dari (:72) X (M) = + r [epx 2(MM) + eqx 2 (MB)] (.84) = (:4 + :6 ) (.85) + : = 4 (.86) X (B) = + r [epx 2(BM) + eqx 2 (BB)] (.87) = (:4 + :6 ) (.88) + : = : (.89)

16 .3. Model untuk n periode Akhirnya nilai opsi call dapat diperoleh dari (:75) V = + r [epx (M) + eqx (B)] (.9) = (:4 4 + :6 ) (.9) + : = :4545: (.92).3 Model untuk n periode Bila S n menyatakan harga saham pada periode ke n dan harga ini tergantung dari hasil pelantunan koin sebanyak n kali! ;! 2 ; ;! n maka hubungan antara S n dan S n dinyatakan oleh S n (! ;! 2 ; ;! n ; M) = as n (! ;! 2 ; ;! n ) (.93) S n (! ;! 2 ; ;! n ; B) = bs n (! ;! 2 ; ;! n ) (.94) dengan a adalah faktor kenaikkan harga saham dan b adalah faktor penurunan harga saham. Nilai opsi call yang jatuh tempo pada akhir periode n dan dengan exercise price K adalah V n (! ;! 2 ; ;! n ) = maks fs n (! ;! 2 ; ;! n ) K; g : (.95) Portfolio replikasi yang akan dibentuk oleh penerbit opsi call akan memenuhi pembatas X n (! ;! 2 ; ;! n ) = V n (! ;! 2 ; ;! n ) : (.96) Sedangkan hubungan antara nilai portfolio X n dan X n dinyatakan oleh X n (! ;! 2 ; ;! n ; M) = + r [epx n (! ;! 2 ; ;! n ; M) + eqx n (! ;! 2 ; ;! n ; B)] (.97) dengan r adalah suku bunga tabungan di bank per periode sedangkan ep dan eq adalah risk-neutral probabilities ~p = ~q = ( + r) b b a (.98) a ( + r) : b a (.99) Secara rekursif dari hubungan (:97) akhirnya akan diperoleh harga opsi call sekarang V = X = + r [epx (M) + eqx (B)] : (.) Tentu saja pemodelan pergerakan harga saham dan penentuan harga opsi dengan cara demikian kelihatannya sangat naif. Namun ternyata pemodelan ini cukup ampuh dan akan menghasilkan alat yang sering dipakai di dalam matematika keuangan. Model inilah yang melatarbelakangi sebagian besar contoh soal yang akan menjelaskan teori peluang dengan ukuran.

17 2 Kuliah ke. Model Binomial untuk Harga Saham Untuk panjang periode yang sangat pendek t! model Binomial ini akan menghasilkan rumus Black-Scholes yang semula diturunkan dari suatu persamaan diferensial stokastik. Dengan demikian model Binomial ini dapat dipandang sebagai aproksimasi terhadap suatu model untuk pergerakan harga saham yang diungkapkan melalui persamaan diferensial stokastik. Tentu saja model yang terkahir tersebut lebih canggih dari pada model Binomial. Namun akan ditunda dulu pembicaraan ke arah sana dan sekarang dimulai saja pembicaraan tentang ukuran dan yang pertama kali akan dibahas adalah konsep -aljabar yang menggambarkan tentang informasi hasil eksperiman percobaan acak.

18 Kuliah ke 2 -aljabar 2. Pendahuluan Pada pelajaran kali ini akan dijelaskan kosep -aljabar yang akan dipergunakan sebagai bahan bangunan bagi teori peluang. Di dalam teori peluang, -aljabar ini akan diartikan sebagai informasi tentang hasil eksperimen acak. Setelah itu akan diperkenalkan konsep kejadian (event), -aljabar yang dibangkitkan oleh suatu kejadian, dan -aljabar Borel B (R) : 2.2 Aljabar dan -aljabar De nisi 2. (aljabar) Misal adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi subhimpunan dari : Suatu aljabar pada adalah koleksi himpunan F dengan tiga buah sifat berikut. 2 F 2. Bila A 2 F maka A c 2 F 3. Bila A; B 2 F maka A [ B 2 F: Catatan 2.2 Bila A; B 2 F maka A \ B = (A c [ B c ) c 2 F sehingga aljabar pada adalah keluarga sub-himpunan dari yang tertutup oleh sejumlah operasi himpunan [ dan/atau \ yang terhingga ( nite). De nisi 2.3 (-aljabar) Misal adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi subhimpunan dari : Koleksi himpunan F disebut -aljabar pada bila F adalah aljabar S dan bila A ; A 2 ; adalah barisan di F maka A k 2 F: Catatan 2.4 Sebuah aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi himpunan yang terhingga ( nite) sedangkan sebuah -aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi himpunan yang terhitung ( countable). k= 3

19 4 Kuliah ke 2. -aljabar De nisi 2.5 (kejadian) Misal adalah suatu ruang sample (sample space), yaitu himpunan dari seluruh hasil yang mungkin dari suatu eksperimen acak. Bila F adalah himpunan kuasa dari (ditulis F = kuasa()) maka setiap anggota dari F akan disebut sebuah kejadian ( event). Berikut ini akan di bahas sebuah contoh soal tentang ruang sampel dan -aljabar. Contoh soal ini akan sering dirujuk pada berbagai pembahasan topik yang akan datang. Contoh 2.6 Misalkan ada sebuah eksperimen acak yang berupa pelantunan sebuah koin sebanyak dua kali. Seluruh hasil yang mungkin dari eksperimen ini akan disebut ruang sampel ( sample space) = fmm; MB; BM; BBg (2.) dengan M menyatakan lantunan dengan hasil muka dengan peluang P (M) = p (2.2) dan B menyatakan lantunan dengan hasil belakang dengan peluang P (B) = p (2.3) = q: (2.4) Lihat kembali Kuliah ke. Tiap unsur! 2 disebut titik sampel ( sample point). Dalam contoh ini! terdiri dari dua komponen. Komponen ke k dari! akan dinyatakan dengan! k : Sebagai ilustrasi,! = MB adalah titik sampel yang menyatakan bahwa lantunan koin yang pertama menghasilkan! = M dan lantunan yang kedua menghasilkan! 2 = B, kadang! dituliskan dengan! = (! ;! 2 ) : Sebuah -aljabar yang paling sederhana yang bisa dibangun pada adalah F F = f;?g : (2.5) Sedangkan -aljabar yang paling kompleks yang bisa dibangun pada adalah F yang berupa keluarga seluruh sub-himpunan dari atau disebut himpunan kuasa dari F = kuasa () = f;?; fmmg ; fmbg ; fbmg ; fbbg ; (2.6) fmm; MBg ; fmm; BMg ; fmm; BBg ; fmb; BMg ; fmb; BBg ; (2.7) fbm; BBg ; fmm; MB; BMg ; fmm; MB; BBg ; fmb; BM; BBgg : (2.8) Koleksi himpunan F ini adalah sebuah -aljabar yang berisi seluruh informasi tentang hasil eksperimen acak dari pelantunan koin sebanyak dua kali. Setiap unsur di F akan disebut sebagai kejadian ( event). Sebagai ilustrasi, kejadian yang menyatakan bahwa lantunan pertama menghasilkan muka adalah A M = fmm; MBg (2.9)

20 2.2. Aljabar dan -aljabar 5 Sedangkan kejadian yang menyatakan bahwa lantunan pertama menghasilkan belakang adalah A B = fbm; BBg : (2.) Bisa diperlihatkan dari de nisi -aljabar bahwa koleksi himpunan F berikut F = f;?; fmm; MBg ; fbm; BBgg (2.) = f;?; A M ; A B g (2.2) adalah suatu -aljabar yang memuat seluruh informasi tentang hasil eksperimen acak dari pelantunan koin sebanyak satu kali. Demikian pula bisa diperlihatkan bahwa koleksi himpunan F 2 dan F 3 berikut adalah sebuah -aljabar F 2 = f;?; fmmg ; fmbg ; fmm; MBg ; fbm; BBg ; fmb; BM; BBg ; fmm; BM; BBgg = ;?; fmmg ; fmbg ; A M ; A B ; fmb; BM; BBg ; fmm; BM; BBg F 3 = f;?; fmmg ; fbmg ; fmm; BMg ; fmb; BBg ; fmm; MB; BBg ; fmb; BM; BBgg: Dari contoh ini bisa dilihat bahwa F F F 2 F. Catatan 2.7 Setiap -aljabar memuat informasi. Pada Contoh 2.6, -aljabar F berisi informasi tentang hasil pelantunan koin yang pertama sedangkan F sendiri berisi informasi tentang hasil pelantunan koin sampai yang kedua kali. De nisi 2.8 Bila F ; F 2 ; adalah keluarga sub--aljabar dari F dengan sifat F F 2 F maka keluarga tersebut dinamakan ltrasi ( ltration). Latihan 2.9 Dari Contoh 2.6 dapat disimpulkan bahwa F ; F ; F 2 ; F adalah suatu ltrasi. Apakah F ; F ; F 2 ; F 3 ; F juga suatu ltrasi? De nisi 2. ( (C) ; -aljabar yang dibangitkan oleh C) Misal C adalah kelas dari sub-himpunan dari : Pengertian -aljabar yang dibangkitkan oleh C dan dinyatakan dengan (C) adalah -aljabar terkecil pada dengan C (C) : Contoh 2. Dari Contoh 2.6 dapat ditarik beberapa kesimpulan berikut. Bila C = A M = fmm; MBg maka (C) = F karena F merupakan -aljabar terkecil pada dan C F : 2. Tentu saja F 2 bukan -aljabar yang dibangkitkan oleh C karena F 2 bukan -aljabar terkecil sekalipun C F 2 3. F juga bukan -aljabar yang dibangkitkan oleh C sekalipun C F karena F bukan -aljabar terkecil pada dengan C F: 4. Misal C = ffmmg ; fmbgg maka (C) = F 2 karena F 2 merupakan -aljabar terkecil pada dan C F 2 :

21 6 Kuliah ke 2. -aljabar 2.3 -aljabar Borel B (R) De nisi 2.2 (-aljabar Borel B (R)) Misal R adalah himpunan seluruh bilangan riil. Pengertian -aljabar Borel pada R adalah -aljabar yang dibangkitkan oleh famili selang terbuka pada R dan dinyatakan dengan B (R) atau B (R) = (selang-selang buka di R) : (2.3) Catatan 2.3 Setiap himpunan yang merupakan unsur dari B(R) akan disebut himpunan Borel. Konsep -aljabar Borel B(R) kadang agak sulit dimengerti oleh seseorang. Berikut ini ada cara lain yang bisa memudahkan untuk menggambarkan konsep -aljabar Borel. Mula-mula diperkenalkan dulu (R) dengan (R) = f( ; x] : x 2 Rg (2.4) dan bisa diperlihatkan bahwa -aljabar Borel B(R) tidak lain adalah -aljabar yang dibangkitkan oleh (R) B(R) = ( (R)) : (2.5) Dari de nisi B(R) terlihat bahwa setiap selang (a; b) dengan a; b 2 R adalah himpunan Borel sehingga gabungan selang-selang tersebut akan merupakan himpunan Borel pula. Hal ini disebabkan karena B(R) adalah suatu -aljabar. Sebagai contoh selang (a; ) dan ( ; a) akan merupakan himpunan Borel karena dan (a; ) = ( ; a) = [ (a; a + n) (2.6) n= [ (a n; a) : (2.7) Selang tutup [a; b] dengan a; b 2 R akan merupakan himpunan Borel pula karena n= [a; b] = (( ; a) [ (b; )) c (2.8) demikian pula fag akan merupakan himpunan Borel karena fag = \ n= a n ; a + n (2.9) sehingga setiap himpunan dengan jumlah unsur terhingga dari bilangan riil adalah himpunan Borel, yaitu bila A = fa ; a 2 ; ; a n g maka A = n[ fa k g : (2.2) k=

22 Kuliah ke 3 Ukuran dan Integral Lebesque 3. Pendahuluan Setelah diperkenalkan konsep -aljabar, akan diperkenalkan konsep ukuran dan integral. Berturut-turut akan diperkenalkan konsep ruang terukur, ukuran, ruang ukuran, ukuran Lebesque beserta integral Lebesque. Pembicaraan akan ditutup oleh dua buah teorema yang sangat penting untuk integral Lebesque. Semua konsep ini akan dipergunakan di dalam teori peluang untuk pembangunan ruang probabilitas, pende nisian variabel acak dan ekspektasi. 3.2 Ukuran Lebesque De nisi 3. (ruang terukur) (; F) disebut ruang terukur ( measurable space) bila adalah suatu himpunan dan F adalah -aljabar pada : Unsur F disebut sub-himpunan dari yang F-terukur (F-measurable). Contoh 3.2 Pada Contoh 2.6 kejadian A M = fmm; MBg adalah F -terukur dan A M juga F 2 -terukur akan tetapi kejadian A M tidak F 3 -terukur karena A M 2 F dan A M 2 F 2 akan tetapi A M 62 F 3 : De nisi 3.3 (fungsi himpunan yang aditif) Misal adalah suatu himpunan dan F adalah suatu aljabar pada serta adalah fungsi himpunan ( set function) yang nonnegatif : F! (; ] : (3.) Fungsi disebut aditif ( additive) bila memenuhi sifat berikut. (?) = 2. Bila A ; A 2 2 F dan A \ A 2 =? maka (A [ A 2 ) = (A ) + (A 2 ) : De nisi 3.4 (fungsi himpuanan aditif yang terhitung) Fungsi disebut aditif yang terhitung ( countably additive) bila memiliki sifat-sifat berikut. (?) = 7

23 8 Kuliah ke 3. Ukuran dan Integral Lebesque S 2. Bila A ; A 2 ; adalah barisan di F dengan A i \A j =? untuk i 6= j dan A k 2 F k S P maka A k = (A k ) : k k De nisi 3.5 (ukuran, ruang ukuran) Misal (; F) adalah suatu ruang terukur: Fungsi yang dide nisikan dengan : F! [; ) (3.2) disebut ukuran (measure) pada (; F) bila adalah aditif yang terhitung dan (; F; ) akan disebut ruang ukuran (measure space). Salah satu ukuran yang penting dan terde nisi pada ruang terukur (R;B (R)) adalah ukuran Lebesque. De nisi 3.6 (ukuran Lebesque) Misal (R;B (R)) adalah suatu ruang terukur dan A = (a; b) 2 B (R) : Ukuran Lebesque dide nisikan dengan (A) = b a: Catatan 3.7 Tentu saja bisa dimaklumi bahwa (R) = : Contoh 3.8. Telah diperlihatkan bahwa fag a n ; a + n (3.3) sehingga Bila n! maka fag a fag = lim a n! n ; a + = 2 n n : (3.4) n ; a + n (3.5) 2 = lim (3.6) n!n = : (3.7) 2. Bila A = fa ; a 2 ; a 3 ; :::g (3.8) himpunan dengan unsur yang terhitung maka (A) = X fa k g = : (3.9) k= Dengan kata lain setiap himpunan bilangan riil dengan unsur yang terhitung maka ukuran Lebesque-nya adalah nol.

24 3.3. Integral Lebesque Integral Lebesque Pada pende nisian berikut mula-mula akan dide nisikan integral Lebesque untuk fungsi indikator, kemudian berturut-turut akan dide nisikan integral Lebesque untuk fungsi sederhana, fungsi non-negatif dan akhirnya untuk fungsi yang umum. De nisi 3.9. Misal g : R! R adalah fungsi indikator (indicator function) ( bila x 2 A g (x) = bila x 2 A : (3.) Himpunan A yang dide nisikan oleh fungsi g ditulis dengan A = fx 2 R; g (x) = g : (3.) Integral Lebesque untuk fungsi g dide nisikan dengan g d = (A) : (3.2) R 2. Misal h : R! R adalah fungsi sederhana (simple function), yaitu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator dengan g k (x) = h (x) = ( nx c k g k (x) (3.3) k= bila x 2 A k bila x =2 A k (3.4) c k bilangan riil. Integral Lebesque untuk fungsi h dide nisikan dengan nx hd = c k g k d (3.5) R = = R k= nx c k k= R g k d (3.6) nx c k (A k ) (3.7) k= 3. Misal f : R! R adalah fungsi non-negatif, integral Lebesque untuk fungsi f dide nisikan dengan fd = sup hd : h fungsi sederhana dan h (x) f (x) ; 8x 2 R R R (3.8) 4. Misal f : R! R adalah fungsi yang umum dan akan dide nisikan dulu f + (x) = maks ff (x) ; g (3.9) f (x) = maks f f (x) ; g : (3.2)

25 2 Kuliah ke 3. Ukuran dan Integral Lebesque Integral Lebesque untuk fungsi f dide nisikan dengan fd = f + d f d (3.2) R 5. Misal A R, pende nisian integral R A fd adalah sebagi berikut dengan A I A (x) = R fd = ( R R f:i A d (3.22) bila x 2 A bila x =2 A (3.23) Catatan 3. Bila R R fd < maka f akan disebut sebagai fungsi yang dapat diintegralkan. Dua buah teorema yang sangat penting di dalam konsep integral Lebesque adalah teorema monotone convergence dan dominated convergence. Teorema ini memudahkan penghitungan integral untuk fungsi f yang umum bila ia diaproksimasi oleh barisan fungsi f n yang sederhana dan konvergen ke f: Teorema 3. (monotone convergence) Misal f n ; n = ; 2; adalah barisan fungsi yang konvergen ke fungsi f. Bila f (x) f 2 (x) ; 8x 2 R (3.24) maka R f d = lim f n d : (3.25) n! R Teorema 3.2 (dominated convergence) Misal f n ; n = ; 2; adalah barisan fungsi yang konvergen ke f: Bila ada fungsi non-negatif g yang dapat diintegralkan (yaitu R R g d < ) sehingga jf n (x)j g (x) 8x 2 R; 8n 2 N (3.26) maka R f d = lim f n d : (3.27) n! R

26 Kuliah ke 4 Ruang Probabilitas 4. Pendahuluan Pada Kuliah kali ini akan dibangun ruang probabilitas sebagai tempat untuk pende nisan variabel acak. Setelah itu akan dide nisikan integral pada ruang probabilitas yang sekaligus merupakan pende nisian dari ekspektasi.e (X) : Dua buah teorema yang berlaku untuk integral Lebesque akan dipergunakan disini untuk penghitungan integral (ekspektasi) melalui aproksimasi variabel acak. 4.2 Ruang probabilitas De nisi 4. Ukuran P disebut ukuran probabilitas (probability measure) bila P adalah suatu ukuran pada ruang terukur (; F) dan P () = : Catatan 4.2 Dengan kata lain, P adalah suatu ukuran probabilitas pada (; F) yang mempunyai sifat. P () = 2. Untuk barisan A ; A 2 ; A 3 ; ada di F dengan A i \ A j =? untuk 8i 6= j akan S P berlaku P A k = P [A k ] : k= n k= De nisi 4.3 (ruang probabilitas) Suatu ruang probabilitas ( probability space) (; F; P ) terdiri dari 3 obyek. suatu ruang sample ( sample space) 2. suatu -aljabar F = kuasa() 3. suatu ukuran probabilitas P di suatu ruang terukur (; F) ; yaitu P (A) terde nisi 8A 2 F: De nisi 4.4 (hampir pasti) Suatu kejadian A dikatakan akan terjadi hampir pasti ( almost surely) bila P (A) = : (4.) 2

27 22 Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas 4.3 Variabel acak De nisi 4.5 (Borel-terukur) Misal f adalah suatu fungsi dari R ke R: Dikatakan bahwa f adalah Borel-terukur (Borel-measurable) bila f (A) = fx : f(x) 2 Ag 2 B(R) untuk 8A 2 B(R): De nisi 4.6 (fungsi F-terukur) Misal (; F) adalah suatu ruang ukuran. Suatu fungsi f :! R disebut F-terukur (F-measurable) bila f : B(R)! F atau f (B) = f! : f(!) 2 Bg 2 F; untuk tiap himpunan Borel B. Fungsi f ini dapat digambarkan dengan f! R (4.2) F f B (R) : (4.3) De nisi 4.7 (variabel acak) Misal (; F; P ) adalah suatu ruang probabilitas. Suatu fungsi X :! R akan disebut sebagai variabel acak (random variabel) jika dan hanya jika X (B) = f! : X (!) 2 Bg 2 F untuk tiap himpunan Borel B: Catatan 4.8 Ada beberapa ungkapan lain yang ekivalen untuk pende nisian variabel acak, yaitu. X :! R adalah suatu variabel acak jika dan hanya jika X adalah F-terukur. 2. X :! R adalah suatu variabel acak jika dan hanya jika X adalah fungsi dari B(R) ke F X : B(R)! F: (4.4) De nisi 4.9 ( (X) : -aljabar dibangkitkan oleh X ) Misal X adalah suatu variabel acak di (; F; P ) : Istilah -aljabar yang dibangkitkan oleh X (ditulis (X)) dide nisikan dengan koleksi dari semua himpunan yang berbentuk f! 2: X (!) 2 Ag ; 8A R: Dengan kata lain (X) = X (B) : B 2 B(R) : (4.5) Catatan 4. (X) adalah -aljabar yang memuat seluruh informasi yang terkandung pada X: De nisi 4. Misal X adalah suatu variabel acak di (; F) dan G adalah sub--aljabar dari F: Dikatakan X adalah G-terukur bila setiap himpunan di (X) ada pula di G: De nisi 4.2 Misal X adalah variabel acak diskret yang terhingga. Atom dari (X) dide nisikan sebagai koleksi dari himpunan X (X (!)) j! 2 (4.6) (X) terdiri dari atom-atom beserta komplemennya dan hasil operasi himpunan padanya.

28 4.3. Variabel acak 23 De nisi 4.3 Variabel acak X disebut sederhana (simple) bila ia dapat dinyatakan dengan mx X(!) = a i I Ai (!) untuk 8a i (4.7) dengan i= I A (!) = ( bila! 2 A i bila! 62 A i : (4.8) Contoh 4.4 Misal ruang sampel yang dide nisikan pada Contoh 2.6 di halaman 4 = fmm; MB; BM; BBg: (4.9) Misal variabel acak S menyatakan nilai saham pada akhir periode pertama ( 8 bila! 2 fmm; MBg S (!) = 2 bila! 2 fbm; BBg (4.) dan variabel acak S 2 menyatakan nilai saham pada akhir periode kedua (lihat Kuliah ke ) 8 >< 6 bila! 2 fmmg S 2 (!) = 4 bila! 2 fmb; BMg : (4.) >: bila! 2 fbbg :. Tentukan (S ) melalui atom-atomnya. 2. Tentukan (S ) melalui atom-atomnya. 3. Tentukan (S ; S 2 ) melalui atom-atomnya. Solusi. Atom-atom dari (S ) terdiri dari S (8) = f! : S (!) = 8g = fmm; MBg (4.2) S (2) = f! : S (!) = 2g = fbm; BBg (4.3) sehingga -aljabar yang dibangkitkan oleh S ; yaitu (S ) ; dapat dibentuk melalui operasi himpunan terhadap atom-atom ini (S ) = f?; ; fmm; MBg ; fbm; BBgg : (4.4) 2. Atom-atom dari (S 2 ) terdiri dari S 2 (6) = f! : S 2 (!) = 6g = fmmg (4.5) S 2 (4) = f! : S 2 (!) = 4g = fmb; BMg (4.6) S 2 () = f! : S 2 (!) = g = fbbg (4.7) sehingga -aljabar yang dibankitkan (S 2 ) dapat dibentuk melalui operasi himpunan terhadap atom-atom ini (S 2 ) = f?; ; fmmg ; fmb; BMg ; fbbg ; fmm; MB; BMg ; fmb; BM; BBg ; fmm; BBgg:

29 24 Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas 3. Sedangkan -aljabar yang dibangkitkan oleh S dan S 2 dibangun dari gabungan atom-atom dari S dan atom-atom dari S 2 dan dilanjutkan dengan operasi himpunan pada koleksi himpunan atom-atom tersebut (S ; S 2 ) = f;; ; fmm; MBg ; fbm; BBg ; fmmg ; fmb; BMg ; fbbg ; fmb; BM; BBg; fmm; MB; BMg ; fmm; BBg ; fbm; BB; MMg ; fmm; MB; BBgg: Contoh 4.5 Kelanjutan Contoh 4.4. Tentukan pra-peta di bawah S 2 dari selang [3; 3] :dan [; ] : Solusi Pra-peta di bawah S 2 dari selang [3; 3] dide nisikan dengan S 2 ([3; 3]) = f! 2 : S 2 (!) 2 [3; 3]g (4.8) Demikian pula pra-peta di bawah S 2 dari selang [; ] adalah = f! 2 : 3 S 2 3g (4.9) = fmm; MB; BMg : (4.2) S 2 ([; ]) = f! 2 : S 2 (!) 2 [; ]g (4.2) = f! 2 : S 2 g (4.22) = fmmg : (4.23) Pra-peta untuk selang lainnya dapat diperoleh dengan cara yang sama. Sehingga untuk hal yang lebih umum, pra-peta di bawah S 2 untuk seluruh selang buka di R adalah f;; ; fmmg ; fmb; BMg ; fbbg ; fmm; MB; BMg ; fmm; BBg ; fmb; BM; BBgg Ini tidak lain adalah -aljabar yang dibangkitkan oleh S 2 ; yaitu (S 2 ) Kandungan informasi yang ada di dalam (S 2 ) sama persis dengan informasi yang didapat dengan pengamatan terhadap S 2 : Namun kandungan informasi di dalam (S 2 ) tidaklah sekaya dengan informasi yang ada di dalam F = power() : Di dalam F dapat dibedakan antara kejadian fmbg dan kejadian fbmg ; sedangkan di dalam (S 2 ) tidak bisa dibedakan antara kejadian fmbg dan kejadian fbmg : Contoh 4.6 Kelanjutan Contoh 4.4. Tuliskan. S sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator 2. S 2 sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator. Solusi. Agar cocok dengan notasi di (4:7) ; dimisalkan A = fmm; MBg (4.24) A 2 = fbm; BBg (4.25)

30 4.4. Integral pada ruang probabilitas 25 sehingga Misalkan pula A i \ A j =?; untuk i 6= j (4.26) [ A i = : (4.27) i a = 8 (4.28) a 2 = 2 (4.29) sehingga S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator 2X S = a i I Ai (4.3) i= = 8:I fmm;mbg (!) + 2:I fbm;bbg (!) : (4.3) 2. Agar cocok dengan notasi di (4:7) ; dimisalkan C = fmmg (4.32) C 2 = fmb; BMg (4.33) C 3 = fbbg (4.34) sehingga Misalkan pula C i \ C j =?; untuk i 6= j (4.35) [ C i = : (4.36) i c = 6 (4.37) c 2 = 4 (4.38) c 3 = (4.39) sehingga S 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator 3X S 2 = c i I Ci (4.4) i= = 6:I fmmg (!) + 4:I fmb;bmg (!) _:I fbbg (!) : (4.4) 4.4 Integral pada ruang probabilitas Konstruksi integral pada suatu ruang probabilitas (; F; P ) mengikuti langkah-langkah sebagaimana konstruksi integral Lebesque di halaman 9. Mula-mula akan dide nisikan integral untuk variabel acak X sebagai fungsi indikator, kemudian berturut-turut akan dide nisikan integral untuk X sederhana, X non-negatif dan X yang umum. Pende nisan integral ini akan sekaligus merupakan pende nisian ekspektasi E (X) :

31 26 Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas De nisi 4.7 (integral di (; F; P )) Misal (; F; P ) adalah suatu ruang probabilitas dan misal X adalah suatu variabel acak di (; F; P ). Misal X adalah suatu variabel acak diskret yang berupa fungsi indikator, yaitu X (!) = I A (!) (4.42) ( bila! 2 A = (4.43) bila! =2 A untuk A 2 F: Integral R X dp akan dide nisikan dengan E (X) = X dp = P (A) : (4.44) 2. Misal X suatu variabel acak diskret yang berupa suatu fungsi sederhana, yaitu nx X (!) = c k I Ak (!) : (4.45) k= dengan c k adalah bilangan riil dan A k 2 F: Integral R X dp akan dide nisikan dengan E (X) = X dp (4.46) = = = nx c k I Ak (!) dp (4.47) k= nx c k k= I Ak (!) dp (4.48) nx c k P (A k ) : (4.49) k= 3. Misal X adalah variabel acak. Integral R X dp akan dide nisikan dengan E (X) = X dp (4.5) = sup Y dp : Y sederhana dan Y (!) X (!) ; a:s: 8! 2 : (4.5) 4. Misal X adalah variabel acak yang umum. De nisikan X + dan X dengan X + (w) = max fx (!) ; g (4.52) X (w) = max f X (!) ; g : (4.53) Misal R X+ dp < dan R X dp < (dengan kata lain X+ dan X dapat diintegralkan). Integral R X dp akan dide nisikan dengan E (X) = X dp (4.54) = X + dp X dp (4.55)

32 4.4. Integral pada ruang probabilitas Untuk A 2 F dan X adalah suatu variabel acak, integral R A X dp akan dide nisikan dengan E (X:I A ) = X dp (4.56) A = X:I A dp (4.57) dengan I A (!) = ( bila! 2 A bila! 62 A (4.58) Ekspektasi E (X:I A ) dapat dipandang sebagai rata-rata parsial ( partial average) dari X terhadap himpunan A: Teorema 4.8 (monotone convergence theorem) Misal X n ; n = ; 2; adalah barisan variabel acak yang konvergen hampir pasti (almost surely (a.s.)) ke variabel acak X dan misalkan X X 2 X 3 a:s: maka X dp = lim X n dp (4.59) n! atau dituliskan dengan E (X) = lim n! E (X n) (4.6) Teorema 4.9 (dominated convergence theorem) Misal X n ; n = ; 2; adalah barisan variabel acak yang konvergen hampir pasti (almost surely (a.s.)) ke variabel acak X dan misalkan jx n j Y a:s: 8n maka X dp = lim X n dp (4.6) n! atau dituliskan dengan E (X) = lim n! E (X n) (4.62) Kedua buah teorema ini sangat membantu untuk penghitungan integral R X dp bila X adalah variabel acak yang umum karena penghitungan integral R X n dp lebih mudah dilakukan dari pada penghitungan integral R X dp langsung dari de nisinya. Melalui konsep aproksimasi variabel acak yang non-negatif kelak akan diperlihatkan bahwa selalu bisa dibuat suatu barisan fungsi sederhana X n ; n = ; 2; 3; dengan sifat X (!) X 2 (!) X 3 (!) a:s: 8! 2 (4.63) dan X (!) sebagai limit dari barisan tersebut X (!) = lim n! X n (!) a:s:8! 2 : (4.64) Sifat barisan yang demikian memenuhi persyaratan yang dituntut oleh Teorema 4.8 maupun Teorema 4.9 sehingga dapat diperoleh hasil berikut X dp = lim X n dp: (4.65) n!

33 28 Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas Jadi prosedur penghitungan integral R X dp untuk X yang bersifat umum akan lebih mudah dilakukan melalui penghitungan integral R X n dp untuk X n yang sederhana kemudian diambil limitnya Dengan kata lain untuk setiap variabel acak X selalu dapat dikonstruksi integral X dp (4.66) sebagai ungkapan dari ekspektasi E (X) : 4.5 Aproksimasi variabel acak Mula-mula akan diperkenalkan dulu aproksimasi untuk tiap variable acak kontinu dan non-negatif X : Aproksimasi dari variabel acak X yang demikian adalah variabel acak diskrit X n yang dide nisikan dengan X n = n:2 n X i= i 2 n I (i=2 n X < (i+)=2 n ): (4.67) Dari (4:67) dapat diperlihatkan bahwa aproksimasi tersebut menghasilkan barisan variabel acak diskret X ; X 2 ; X 3 ; dengan sifat X (!) X 2 (!) X 3 (!) a:s 8! 2 : (4.68) Bahkan bila variabel acak X (!) terbatas nilainya untuk tiap! 2 maka bisa diperoleh X (!) X 2 (!) X 3 (!) X (!) a:s 8! 2 : (4.69) Sifat lain yang bisa diturunkan dari aproksimasi (4:67) adalah jx (!) X n (!)j 2 n a:s 8! 2 : (4.7) sehingga bisa disimpulkan bahwa X n konvergen ke X X (!) = lim n! X n (!) a:s:8! 2 : (4.7) Dengan demikian sifat barisan variabel acak diskret X ; X 2 ; X 3 ; ini telah memenuhi persyaratan yang dikehendaki Teorema 4.8 atau Teorema 4.9. Distribusi dari X n dapat dikarakterisasikan oleh hasil berikut P X n = i i 2 n = P = P 2 n < X < i + 2 n ; i = ; ; 2; ; n:2 n (4.72)! 2 : ; i = ; ; 2; ; n:2 n (4.73) i 2 n < X (!) < i + 2 n = i P (!) ; i = ; ; 2; ; n:2 n : (4.74)

34 4.5. Aproksimasi variabel acak 29 Sehingga ekspektasi E [X n ] adalah E [X n ] = X n dp (4.75) dengan i P (!) = P n:2 n X = = = =! 2 : i= n:2 X n i= n:2 X n i= n:2 X n i= i 2 n E I (i=2 n X < (i+)=2 n ) i i 2 n P 2 n < X < i + 2 n i 2 n P! 2 : i 2 n < X (!) < i + 2 n (4.76) (4.77) (4.78) i 2 n ip (!) (4.79) i 2 n < X (!) < i + 2 n ; i = ; ; 2; ; n:2 n : (4.8) Sehingga dari Teorema 4.8 atau Teorema 4.9 diperoleh E[X] = lim n! E[X n] (4.8) atau X dp = lim n! = lim n! n:2 n X i= X n dp (4.82) i 2 n ip (!) : (4.83) Karena X n nilainya naik bersamaan dengan kenaikkan n, maka limitnya bisa +: Untuk variabel acak yang lebih umum, yaitu < X < ; maka mula-mula X diurai menjadi X = X + X dengan X + = max(x; ) dan X = max( X; ): Karena X + ; dan X maka masing-masing dapat diaproksimasi dengan variabel acak diskrit X n + dan X n sehingga ekspektasinya E (X) adalah E [X] = X dp (4.84) = X + dp X dp (4.85) = lim X + n! n dp lim X n! n dp: (4.86) Contoh 4.2 Kelanjutan Contoh 4.4 dan Contoh 4.6 Hitunglah ekspektasi berikut. E (S ) = R S dp 2. E (S 2 ) = R S 2dp:

35 3 Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas Solusi Menurut De nisi 4.7,. ekspektasi E (S ) adalah E (S ) = = S dp (4.87) 2X a i P (A i ) (4.88) i= = 8:P (fmm; MBg) + 2:P (fbm; BBg) (4.89) = 8 p 2 + pq + 2 pq + q 2 (4.9) = 8p 2 + 3pq + q 2 : (4.9) 2. ekspektasi E (S 2 ) adalah E (S 2 ) = S 2 dp (4.92) = 2X c i P (C i ) (4.93) i= = 6:P (fmmg) + 4:P (fmb; BMg) + :P (fbbg) (4.94) = 6p 2 + 4:2pq + q 2 (4.95) = 6p 2 + 8pq + q 2 : (4.96) Contoh 4.2 Misal X adalah variabel acak yang berdistribusi seragam U(; ): Aproksimasilah X dengan suatu barisan X ; X 2 ; X 3 ; yang konvergen ke X dengan sifat dan hitunglah integral X (!) X 2 (!) X 3 (!) a:s 8! 2 (4.97) Solusi Untuk n = aproksimasi dari variabel acak X adalah Sebagai ilustrasi X = 2X i= XdP: (4.98) i 2 I (i=2 X < (i+)=2) (4.99) = :I ( X < 2) + 2 I ( 2 X < ) (4.) Bila X = 2=5 maka X = dan jx X j = 2=5 < 2 Bila X = 4=5 maka X = =2 dan jx X j = =5 < 2

36 4.5. Aproksimasi variabel acak 3 Untuk n = 2 aproksimasi dari variabel acak X adalah X 2 = 2:2 2 X i= i 2 2 I (i=4 X < (i+)=4) = 4 I ( X < =4) + 4 I (=4 X < 2=4) I (2=4 X < 3=4) I (3=4 X < 4=4)+ 4 4 I (4=4 X < 5=4) I (5=4 X < 6=4) I (6=4 X < 7=4) I (7=4 X < 8=4) Sebagi ilustrasi Bila X = =5 maka X 2 = dan jx X 2 j = 4=2 < 2 2 Bila X = 2=5 maka X 2 = =4 dan jx X 2 j = 3=2 < 2 2 Bila X = 3=5 maka X 2 = 2=4 dan jx X 2 j = 2=2 < 2 2 Bila X = 4=5 maka X 2 = 3=4 dan jx X 2 j = =2 < 2 2 : Ekspektasi E [X] bisa diperoleh dari (4:8) dengan E[X] = lim n! E[X n] (4.) i P (!) = P Namun karena X U (; ) maka = = n:2 X n i = lim n! 2 n ip (!) (4.2) i=! : (i+)=2 n i 2 n X(!) i + 2 n (4.3) i=2 n f X (x)dx (4.4) (i+)=2 n i=2 n dx (4.5) = i + i 2 n 2 n (4.6) = 2 n : (4.7) i P (!) = untuk i > 2 n (4.8) sehinga i P (!) = ( 2 n bila i 2 n bila i 2 n + (4.9)