MATEMATIKA KEUANGAN PENDAHULUAN. Julan HERNADI. Semester Genap 2012/2013. Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Ponorogo

Transkripsi

1 MATEMATIKA KEUANGAN PENDAHULUAN 1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Ponorogo Semester Genap 2012/2013

2 SIMULASI INVESTASI Kebutuhan pokok plus mencakup: sandang, pangan, papan, kendaraan, alat komunikasi, dll. Misalkan kebutuhan pokok tersebut telah terpenuhi dan anda masih mempunyai kelebihan uang, katakan 100 juta rupiah selama 1 tahun. Digunakan untuk apa uang 100 juta rupiah ini? Dibelikan perhiasan/emas Didepositokan di bank Dibelikan property extra, mis tanah, dll Dibelikan saham perusahaan, misalkan ikut danareksa Dibelikan obligasi Disimpan di bawah kasur, dll Keadaan uang 1 tahun yang akan datang Bertambah signikan berlipat-lipat Tetap nominalnya Berkurang nominalnya

3 KEADAAN INVESTASI PADA 2 TITIK WAKTU Figure: Model uktuasi investasi

4 TENTANG MATA KULIAH INI Deskripsi mata kuliah: mata kuliah ini membahas manajemen investasi khususnya portofolio ditinjau dari teori matematika khususnya teori probabilitas. Tujuan mata kuliah : memberikan pengetahuan tentang model-model investasi, mengetahui estimasi keuntungan (return) dan resikonya terhadap suatu investasi. Materi Kuliah : Model pasar sederhana (istilah & asumsi dasar, Prinsip non-arbitrase, Model binomial 1 langkah, Resiko dan kembalian, Kontrak muka, Opsi) Aset bebas resiko Aset dengan resiko Model Pasar waktu diskrit Managemen Portofolio.

5 Lanjutan Referensi : Capinski, M & Zastawniak, T Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering, Spring-Verlag, London. SISTEM PERKULIAHAN: Tatap muka, presentasi dosen, presentasi kelompok, menyusun makalah, dll. PENILAIAN: Kehadiran (10%) Presentasi (20%) Makalah (20%) Tugas pemecahan masalah (10%) Ujian: UTS (20%), UAS (20%) UTS dan UAS wajib diikuti.

6 MACAM ASSET Asset = harta/kekayaan. Asset dengan resiko (risky-asset), misalnya saham, logam mulia, valuta asing, dll Asset tanpa resiko (risk-free asset), misalnya deposito, obligasi pemerintah, dll Untuk sementara diperhatikan 2 titik waktu, yaitu t = 0 yaitu saat awal investasi t = 1 yaitu akhir 1 periode investasi. Misalkan S(0) harga/nilai asset dengan resiko, A(0) harga/nilai asset tanpa resiko pada saat t = 0. Kedua harga ini diketahui oleh investor. Bayangkan S(t) harga saham pada saat t, dan A(t) banyaknya uang pada rekening bank. S(1) tidak diketahui oleh investor, sedangkan A(1) diketahui oleh investor.

7 Rate of return Rate of return atau disingkat return didenisikan sebagai selisih perubahan nilai asset terhadap nilai asset mula-mula. Risky-asset: K S := S(1) S(0) S(0) tidak diketahui oleh investor, karena S(1) tak diketahui Risk free-asset: A S := A(1) A(0) A(0) diketahui oleh investor pada saat t = 0. Tugas matematikawan dalam bidang keuangan: membangun model matematika dari pasar sekuritas keuangan. Diperlukan teori matematika yang relevan. Untuk itu diperlukan beberapa asumsi dasar agar dapat dianalisis secara matematika. Asumsi ini sedapat mungkin mempunyai kemiripan dengan keadaan sesungguhnya atau realitas.

8 ASUMSI DASAR Asumsi RANDOM. Harga saham yang akan datang S(1) tidak pasti, dapat naik, turun atau tetap. Nilai kenaikan atau penurunan juga tidak diketahui. Harga obligasi yang akan datang A(1) sudah diketahui saat ini. Asumsi Positif. Semua harga saham dan obligasi selalu positif, yaitu S(t), A(t) > 0, t = 0, 1.

9 PORTOFOLIO DALAM INVESTASI Seorang investor mempunyai x lembar saham dan y lembar obligasi (surat berharga) akan mempunyai kekayaan V (t) = xs(t) + ya(t), t = 0, 1 Pasangan (x, y) disebut portofolio dan V (t) disebut nilai portofolio atau kekayaan investor. Loncatan (perubahan) nilai asset adalah V (1) V (0) = x (S(1) S(0)) + y (A(1) A(0)). Return portofolio adalah K V = V (1) V (0). V (0)

10 Contoh Return 1 A(0) = 100 dan A(1) = 110 dollar. Return investasi sebesar K A = = 0.1 = 10%. 2 Misalkan S(0) = 50 dollar, dan S(1) variabel random dengan dua kemungkinan nilai 52 dengan probabilitas p S(1) = 48 dengan probabilitas 1 p maka returnnya juga ada dua kemngkinan, yaitu 4% bila saham naik K S = 4% bila saham turun

11 Contoh Portofolio Misalkan harga per lembar saham dan obligasi sama seperti sebelumnya, yaitu S(0)=50 dollar dan A(0)=100 dollar. Pada t = 0, diketahui portofolionya adalah x = 20 lembar saham dan y = 10 surat obligasi. Tentukan nilai portfolio padat = 0, 1. Kemudian hitunglah returnnya. Penyelesaian: V(0)= (20)(50)+(10)(100) = 2000 dollar. Bila harga saham naik maka V(1) = (20)(52)+(10)(110)= Bila harga saham turun maka V(1) = (20)(48)+(10)(110)= Return agar dihitung sendiri! LATIHAN Selesaikan Latihan 1.1 dan 1.2 (lihat hal 4)

12 Asumsi Dasar Lanjutan Asumsi Keterbagian: banyak lembar saham x dan obligasi y diasumsikan dapat bernilai bulat, pecahan, negatif, nol, positif, yaitu x, y R. Fakta lapangannya, x dan y bilangan bulat tak negatif. Asumsi Likuiditas: tidak ada pembatasan jumlah lembar saham dan obligasi yang diperdagangkan. Ini merupakan idealisasi matematika, keadaan sesungguhnya tidak demikian. Long position adalah suatu keadaan dimana sekuritas pada portofolio bernilai positif. Kebalikannya adalah short position. Pada posisi short, Investor aset bebas resiko dapat pinjam tunai, bunganya dihitung dari nilai penjaman. Pengembalian pinjaman + bunga disebut closing short position. Investor saham dapat pinjam saham orang lain, menjualnya dan hasilnya digunakan untuk membuat investasi lainnya. Cara ini disebut juga short selling.

13 Asumsi kesanggupan: kekayaan investor tidak pernah minus, yaitu V (t) 0, t = 0, 1 Portofolio yang memenuhi kondisi ini disebut admisibble (layak). Harga satuan diskrit : harga saham yang akan datang S(1) mempunyai nilai diskrit atau banyak kemungkinannya berhingga.

14 PRINSIP NON-ARBITRASE Pasar tidak membolehkan keuntungan tanpa resiko, yaitu dengan investasi nol. CONTOH: Misalkan pedagang A di Newyork menawarkan untukmembeli poundsterling seharga 1.62 US dollar per pound, sedangkan penjual B di London menawarkan untukmenjual 1.60 dollar per pound. Seorang investor tanpa modal dapat untung =0.02 dollar per pound dengan cara ambil short position dengan pedagang B dan long position dengan A. Keadaan seperti ini diasumsikan tidak boleh terjadi. Model matematika untuk prinsip non-arbitrase: tidak boleh ada admisibble portfolio dengan V(0)=0 sehingga V(1)>0 dengan probabilitas tidak nol. LATIHAN Kerjakan exercises 1.3 (lihat hal 6). Mungkinkah prinsip non-arbitrase dilanggar!

15 MODEL BINOMIAL 1 LANGKAH Pada model ini, harga saham S(1) diasumsikan hanya memiliki 2 kemungkinan. Misalkan S(0) = 100 dan 125 dengan probabilitas p S(1) = 105 dengan probabilitas 1 p dimana 0 < p < 1. Mudah diperoleh returnnya adalah 25% jika harga naik K S = 5% jika harga turun Secara umum model binomial 1 langkah dapat disajikan sebagai S u dengan probabilitas p S(1) = S d dengan probabilitas 1 p dimana S d < S u dan 0 < p < 1.

16 Penentuan harga saham S dan obligasi A dibatasi oleh prinsip non-arbitrase, seperti diungkapkan pada teorema berikut. Theorem Bila A(0) = S(0) maka haruslah S d < A(1) < S u. Bila tidak maka akan terjadi kesempatan arbitrase. Bukti. Untuk sederhananya, misalkan A(0) = S(0) = 100. Andai A(1) S d maka pada t = 0 dilakukan kegiatan sbb Pinjam cash 100 dollar aset bebas-resiko, Beli 1 lembar saham seharga 100 dollar Keadaan ini memenuhi portofolio x = 1, y = 1 sehingga V (0) = 0. Pada t = 1, diperoleh S u A(1) bila harga naik V (1) = S d A(1) bila harga turun. Pada kedua kasus V (1) > 0 sehingga muncul kesempatan arbitrase.

17 Selanjutnya diandaikan A(1) S u, maka pada t = 0 dilakukan short selling 1 lembar saham 100 dollar investasikan 100 dollar tsb pada ases tanpa resiko Keadaan ini memenuhi portofolio x = 1, y = 1 sehingga V (0) = 0. Pada t = 1, diperoleh S u + A(1) bila harga naik V (1) = S d + A(1) bila harga turun. Pada kedua kasus selalu dipenuhi V (1) > 0, yaitu prinsip non-arbitrase dilanggar. Oleh karena itu untuk menjamin agar prinsip non-arbitrasi tidak dilanggar haruslah S d < A(1) < S u.

18 EKSPEKTASI RETURN DAN RESIKO INVESTASI Diperhatikan ilustrasi berikut: misalkan A(0) = 100, A(1) = 110, dan S(0) = 80, S(1) diberikan oleh 100 probabilitasnya 0.8 S(1) = 60 probabilitasnya 0.2. Misalkan dana dollar diinvestasikan denga portofolio x = 50 saham dan y = 60 obligasi. Diperoleh bila harga naik V (1) = 9600 bila harga turun bila harga naik K V = 0.04 bila harga turun. Ekspektasi return adalah ekspektasi matematika terhadap return portofolio, dalam hal ini adalah

19 E(K V ) = (0.16)(0.8) + ( 0.04)(0.2) = 0.12 = 12%. Sedangkan resiko investasi didenisikan sebagai standar deviasi dari variabel random K V, yaitu σ V = = n i=1 (K i E(K V )) 2 p(k V = K i ) ( ) 2 (0.8) + ( ) 2 (0.2) = 0.08 Jadi untuk investasi ini diperoleh ekspektasi 12% dan resiko 8%. Coba bandingkan dengan portofolio berikut: x = 0 dan y = 100, kemudian dengan portofolio x = 125 dan y = 0. Latihan Kerjakan exercise 1.4 hal 10!

20 KONTRAK MAJU Kontrak maju (forward contract) adalah kesepakatan bersama investor untuk menjual atau membeli asset beresiko pada waktu tertentu di masa yang akan datang (delivery date), dengan harga tertentu F (forward price). Investor yang setuju untuk membeli disebut mengambil posisi long forward. Investor yang setuju untuk menjual disebut mengambil posisi short forward. CONTOH: Misalkan forward price 80 dollar. Kalau harga pasar pada saat delivery date 84 dollar maka pemegang kontrak long forward akan membeli saham tsb seharga 80 dan langsung menjualnya 84 dollar, untung 4 dollar. Sebaliknya, pihak short foward rugi 4 dollar krn hrs mau menjual seharga 80 dollar. Tetapi dalam kasus harga pasar 75 dollar maka pihak long rugi dan pihak short untung. Dalam sistem kontrak maju, kerugian pihak 1 mengakibatkan keuntungan pihak lain, dan sebaliknya.

21 PAYOFF DALAM KONTRAK MAJU Pihak pada posisi long akan untung bila S(1) > F, sedangkan posisi short akan untung bila S(1) < F. Payo didenisikan sebagai selisih nilai S(1) dan F yang membuat investor untung. Jadi S(1) F bagi posisi long payo = F S(1) bagi posisi short Sekarang portofolio dapat memuat kontrak maju, sehingga komponen portofolio dapat disajikan sebagai (x, y, z) dimana x lembar saham y lembar obligasi z banyaknya kontrak maju (positif untuk long dan negatif untuk short) Nilai portofolio pada t = 0, V (0) = xs(0) + ya(0). Pada delivery date nilai portofolio menjadi V (1) = xs(1) + ya(1) + z(a(1) F ).

22 PENENTUAN FORWARD PRICE F Penentuan forward price F didasarkan pada prinsip non-arbitrase. Contoh: bila A(0) = 100, A(1) = 110 dan S(0) = 50 maka haruslah F = 55, sebab kasus lain akan melanggar prinsip non-arbitrase. Buktinya sbb: Bila F > 55 maka pada saat t = 0 lakukan: pinjam 50 dollar, beli 1 lembar saham dan ambil posisi short. Portofolio ini adalah (1, 1, 1) yaitu punya 1 saham, hutang separuh obligasi, dan 1 2 posisi short. Mudah dihitung V (0) = 0. Pada delivery date dilakukan: tutup posisi short dg menjual 1 saham seharga F dan tutup hutang dengan mebayar = nilai V (1) = F 55 > 0...terjadi pelanggaran prinsip non-arbitrase. Coba bagaimana bila F < 55? Kerjakan Exercise 1.5 dan 1.6 hal 13.

23 OPSI CALL Opsi call adalah suatu kontrak yang memberikan hak kepada pemegangnya (bukan kewajiban) untuk membeli asset dengan harga (strike/exercise price) tertentu di masa yang akan datang (exercise time). Perbedaan dengan posisi long pada forward kontrak adalah di sini tidak ada kewajiban membeli bagi pemegang hak, sedangkan pada forward kontrak harus membeli. Misalkan A(0) = 100, A(1) = 110, S(0) = 100 dan 120 dengan prob p S(1) =. Misalkan strike price dengan prob 1 p Pada saat exercise time, jika harga saham 80, yaitu dibawah strike price maka opsi call tidak berguna. Tidak mungkin pemegang opsi call mau membeli saham dengan 100 padahal harga pasar 80. Sebaliknya jika yang terjadi S(1) = 120 maka si pemegang opsi call pasti menggunakan haknya, krn dapat membeli saham seharga 120 dengan hanya membayar 100.

24 PAYOFF OPSI Mirip payo pada kontrak maju, tetapi di sini nilainya tidak pernah negatif. Dalam ilustrasi sebelumnya berlaku payo opsi sbb 20 jika saham naik C(1) =, 0 jika saham turun C(0) dapat diinterpretasikan sebagai nilai opsi pada t = 0, yaitu harga opsi yang dapat diperjualbelikan pada saat ini. Portofolio yang memuat x lembar saham, y obligasi dan z opsi adalah V (0) = xs(0) + ya(0) + zc(0) V (1) = xs(1) + ya(1) + zc(1).

25 Menentukan Nilai Opsi C(0) Step 1 (Replikasi opsi): bangun investasi dengan x saham dan y obligasi shg nilainya pada saat t = 1 sama dengan nilai opsi C(1), yaitu xs(1) + ya(1) = C(1) sehingga diperoleh sistem persamaan: 120x + 110y = 20 80x + 110y = 0 yang memberikan penyelesaian x = 1 2 dan y = 4. Ini artinya 11 beli 1 lembar saham dan ambil posisi short, yaitu pinjam agar dapat melakukan replikasi ini Step 2 (penilaian opsi): Pada t = 0, diberlakukan kondisi xs(0) + ya(0) = C(0) sehingga diperoleh C(0) = 1 2 (100) =

26 BENTUK UMUM NILAI OPSI Nilai opsi untuk portofolio seperti diberikan di atas ditentukan berdasarkan formula C(0) = 1 2 S(0) 4 11 A(0). Kemungkinan lain akan menyebabkan pelanggaran prinsip non-arbitrase. Bukti: (lihat buku hal 16). CATATAN Probabilitas saham naik p dan saham turun 1 p tidak berpengaruh pada penentuan harga opsi. Kerjakan Exercise 1.7 dan Exercise 1.8 hal 17.

27 OPSI PUT Opsi put adalah hak untuk menjual saham seharga tertentu pada waktu tertentu di masa yang akan datang. Berbeda dengan opsi call, opsi put tidak berguna jika harga saham pada waktu exercise date lebih tinggi dari strike price. Payo opsi call adalah P(1) = 0 bila harga naik F S d bila harga turun = 0 bila harga naik 20 bila harga turun Pemegang opsi call tidak akan menggunakan haknya untuk menjual harga saham di bawah harga pasar. Tetapi dalam kontrak maju posisi short wajib menjual saham seharga tsb. Variasi investasi dapat memuat opsi sekaligus kontrak maju, dimana payo bergantung pada harga saham. Karena itu kedua bentuk investasi ini disebut derivative securities (sekuritas turunan) atau contingent claim. Kerjakan Latihan 1.9 hal 18.

28 MANAGEMEN RISIKO DENGAN OPSI Adanya opsi dan turunan sekuritas lainnya memungkinkan untuk memperluas skenario investasi. Ilustrasi, andai anda mempunyai dana 1000 dollar. Diperhatikan model investasi sebelumnya, yaitu: A(0) = 100, A(1) = 110, S(0) = 100 dan 120 dengan prob p S(1) = 80 dengan prob 1. p Bila dibelikan 10 lembar saham maka akan diperoleh kekayaaan 1200 bila harga saham naik 10 S(1) =. 800 bila harga saham turun Bila diinvestasikan pada opsi call semua semua, yaitu 1000 = maka akan diperoleh kekayaan bila saham naik C(1) =. 0 bila saham turun

29 ANALISIS Perhatikan jika diinvestasikan pada opsi, anda akan memperoleh return 46.67% ketika saham naik, tapi sebaliknya modal awal habis bila saham turun. Bila investasi pada saham maka return akan didapat sebesar 20% jika saham naik, sebaliknya akan rugi 20% jika saham turun. KERJAKAN Latihan 1.10, Latihan 1.11, Latihan 1.12 hal