ABSTRAK. Kata kunci : Integral Riemann-Stieltjes, Fractional Brownian Motion, nilai indeks saham

Transkripsi

1 Judul Nama : Pendekatan Integral Riemann-Stieltjes pada Fungsi Fractional Brownian Motion : Sherly Octavia Bouk Pembimbing : 1. Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc. 2. Kartika Sari, S.Si., M.Sc. ABSTRAK Integral Riemann-Stieltjes merupakan bentuk umum dari Integral Riemann dengan mengambil integratornya berupa fungsi kontinu dengan variasi terbatas. Pada bidang finansial, data tingkat pengembalian saham (return) dalam kegiatan investasi bersifat kontinu sehingga model Fractional Brownian Motion dapat digunakan untuk menentukan nilai indeks saham, salah satunya dalam kegiatan investasi bursa saham di Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG). Berdasarkan hasil simulasi model, fungsi Fractional Brownian Motion dengan H 0, 7 memberikan nilai lebih rendah dibandingkan dengan nilai simulasi menggunakan fungsi gerak Brown biasa dimana 0 H 1. Apabila nilai parameter H diperkecil menjadi H 0, 5, maka hasil simulasi Fractional Brownian Motion akan menyerupai gerak Brown biasa. Kata kunci : Integral Riemann-Stieltjes, Fractional Brownian Motion, nilai indeks saham

2 Title Name Supervisor : Approach of Riemann-Stieltjes Integral to the Function of the Fractional Brownian Motion : Sherly Octavia Bouk : 1. Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc. 2. Kartika Sari, S.Si., M.Sc. ABSTRACT Riemann-Stieltjes Integral is a common form of the Riemann integral by taking integrator the form of a continuous function with limited variation. In the financial field, the data rate of return on stocks in investment activity is continuous so that the Fractional Brownian Motion model can be used to determine the value of the stock index, one of them in investment activity in the IHSG. Based on the results of model simulations, the function of Fractional Brownian Motion to H 0, 7, provide a lower value than the value of the simulation using Brownian motion function, where 0 H 1. If the parameter value reduced to H 0, 5, then the simulation results of Fractional Brownian Motion function would resemble ordinary Brownian motion function. Keywords : Riemann-Stieltjes Integral, Fractional Brownian Motion, the value of stock index vi

3 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan rahmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan tugas akhir yang berjudul Pendekatan Integral Riemann-Stieltjes pada Fungsi Fractional Brownian Motion. Penulis menyadari bahwa penyusunan tugas akhir ini tidak akan terwujud tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak, baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh Karena itu melalui kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu, yaitu kepada : 1. Ibu Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si, M.Si sebagai ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Udayana. 2. Ibu Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc sebagai pembimbing satu yang dengan penuh dedikasi dan kesabaran telah banyak membantu dan membimbing dalam penyusunan tugas akhir ini. 3. Ibu Kartika Sari, S.Si., M.Sc sebagai pembimbing dua yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan serta memeriksa dan menyempurnakan penulisan tugas akhir ini. 4. Bapak I Wayan Sumarjaya, S.Si., M.Stats., Ibu Dra. Ni Luh Putu Suciptawati, M.Si., dan Bapak Ir. Komang Dharmawan, M.Math., Ph.D, selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun bagi penulis. vii

4 5. Segenap dosen dan pegawai di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Udayana yang telah meluangkan waktu dan bersedia membantu penulis dalam penyusunan tugas akhir ini. 6. Kedua orang tuaku, adik-adikku serta keluarga besar di Belu-Malaka dan di Dili-Timor Leste yang selalu memberikan doa, semangat dan motivasi bagi penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini. 7. Sahabat-sahabat baikku : Elien, Harnas, Yandri, Reta, Pikha, Ida Geong, Mas Adit, Afi, Oa, Ka David dan MV, para kerbau (Stefia, Mala, dan Jaime), serta d Mupe (Titien dan Nitta), yang telah memberikan dukungan moril dalam penyelesaian tugas akhir ini. 8. Keluarga Mahasiswa Katolik (KMK) St. Albertus Agung Universitas Udayana, keluarga besar mahasiswa Timor Leste in Udayana University, dan keluarga besar SEKAR St. Maria Rosa Mistika khususnya angkatan XVI yang selalu ada untuk memberikan motivasi dan semangat kepada penulis. 9. Semua pihak yang turut membantu penyelesaian tugas akhir ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Disadari pula bahwa proposal tugas akhir ini masih mengandung banyak kelemahan dan kekurangan. Oleh sebab itu, kritikan dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Bukit Jimbaran, November 2016 Penulis viii

5 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i LEMBAR PERSEMBAHAN...ii LEMBAR PERNYATAAN...iii LEMBAR PENGESAHAN..iv ABSTRAK... v ABSTRACT... vi KATA PENGANTAR... vii BIODATA ALUMNI... ix DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sifat Kelengkapan Bilangan Real Integral Riemann-Stieltjes Fungsi p Variasi Terbatas Brownian Motion Fractional Brownian Motion (fbm) ix

6 2.6 Lemma ITô Pasar Modal Indonesia Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) BAB III METODE PENELITIAN 34 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Kajian Fungsi Fractional Brownian Motion Aplikasi Fractional Brownian Motion pada Simulasi Harga Saham IHSG BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA Lampiran 1 Data Close Saham IHSG Lampiran 2 Syntax Simulasi Brownian Motion Lampiran 3 Syntax Simulasi Fractional Brownian Motion x

7 DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 2.1 Jumlahan Riemann sebagai Suatu Area Nilai Historis IHSG dan Nilai Simulasi Menggunakan Gerak Brown biasa dengan H= Nilai Historis IHSG dan Nilai Simulasi Menggunakan Gerak Brown Fraksional dengan H= xii

8 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori integral merupakan salah satu konsep penting dalam matematika yang digunakan dalam analisis matematika untuk menyelesaikan berbagai macam persoalan yang berkaitan dengan kalkulus misalnya mengenai keterbatasan, kekontinuan, dan pendiferensialan. Perkembangan teori integral telah disumbangkan oleh beberapa matematikawan, di antaranya Archimedes ( SM), Isaac Newton ( ), Gottfried Wilhelm Leibniz ( ), Augustin-Luois Cauchy ( ), dan George Friedrich Bernhard Riemann ( ). Kemudian teori integral ini pun dikembangkan secara modern oleh Thomas Joannes Stieltjes ( ) (Burk, 2007). Thomas Joannes Stieltjes, seorang matematikawan asal Belanda, adalah penyusun sebuah teori integral baru yang selanjutnya dikenal sebagai integral Riemann-Stieltjes. Integral Riemann-Stieltjes merupakan bentuk umum dari integral Riemann dengan integratornya berupa fungsi bervariasi terbatas, sehingga sifat-sifat integral Riemann-Stieltjes akan berlaku juga untuk integral Riemann, tetapi tidak berlaku sebaliknya. Dalam analisis matematika terkait dengan teori integral, salah satu topik yang paling banyak dipelajari adalah fungsi bervariasi terbatas yang kemudian dikembangkan lebih luas menjadi fungsi p variasi terbatas dengan p 0. Hal ini mengakibatkan setiap fungsi bervariasi terbatas merupakan fungsi p variasi 1

9 terbatas tetapi tidak setiap fungsi p variasi terbatas merupakan fungsi bervariasi terbatas. Suatu fungsi dikatakan bervariasi terbatas jika dan hanya jika fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua fungsi naik. Diketahui bahwa setiap fungsi naik memiliki limit kiri dan limit kanan pada setiap titiknya. Oleh karena itu setiap fungsi bervariasi terbatas memiliki limit kiri dan limit kanan serta memiliki paling banyak titik diskontinu yang terhitung (countable) (Azmoodeh, 2010). Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi teori integral Riemann-Stieltjes ini dapat ditemukan pada beberapa bidang, antara lain di bidang fisika, bidang asuransi, dan bidang demografi. Adapun aplikasi integral Riemann- Stieltjes pada bidang ilmu statistika, antara lain digunakan untuk mengestimasi parameter peubah acak kontinu (Cahyandari, 2007). Pada kasus fungsi kontinu, digunakan fungsi Fractional Brownian Motion yang berbentuk suatu fungsi tertentu dan digunakan untuk mendekati fenomena pada kurva tidak mulus. Fungsi Fractional Brownian Motion merupakan salah satu bentuk fungsi stokastik dan juga merupakan perumuman dari fungsi Brownian Motion dengan nilai parameter Hurst H. Parameter Hurst 0,1 H, dinamakan berdasarkan nama hidrologiwan Inggris H. E. Hurst, yang melakukan studi statistik tahunan tentang aliran air dari sungai Nil (Skeen, 1991). Salah satu penelitian yang digunakan sebagai acuan dalam penelitian ini adalah penelitian Cahyandari (2012) yang menjelaskan tentang aplikasi integral Riemann-Stieltjes pada bidang ilmu statistika, yaitu pada perhitungan nilai ekspektasi (rataan) suatu peubah acak dan pendekatan dalam menganalisis fungsi

10 likelihood Poisson nonhomogen. Hasil dari penelitian tersebut adalah bahwa perhitungan integral Riemann-Stieltjes dapat digunakan untuk menghitung ekspektasi peubah acak diskret dan kontinu. Menurut Brigo et al (2009) pada bidang finansial, data tingkat pengembalian saham (return) dalam kegiatan investasi atau penanaman modal bersifat berdistribusi normal (kontinu) sehingga model Fractional Brownian Motion dapat digunakan untuk menentukan nilai indeks saham. Di Indonesia sebagian besar perusahaan melakukan investasi pada bursa saham, salah satunya adalah investasi bursa saham di Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG). Berdasarkan uraian di atas, penulis akan mengkaji tentang Pendekatan Integral Riemann-Stieltjes pada Fungsi Fractional Brownian Motion. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut: 1. Bagaimana hasil aplikasi pendekatan integral Riemann-Stieltjes pada fungsi Fractional Brownian Motion pada penentuan nilai indeks saham IHSG? 2. Bagaimana mensimulasi nilai indeks saham IHSG menggunakan fungsi Fractional Brownian Motion? 1.3 Batasan Masalah Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah: 1. Proses yang diambil didefinisikan pada himpunan bilangan real.

11 2. Fungsi p -variasi terbatas digunakan untuk menguji variasi terbatas fungsi Fractional Brownian Motion yang nantinya akan digunakan sebagai integrator di dalam penyelesaian persamaan integral Riemann-Stieljes. 3. Pada penelitian ini integral Riemann-Stieltjes digunakan untuk menganalisis peubah acak kontinu fungsi Fractional Brownian Motion. 4. Data yang digunakan adalah data sekunder yaitu data penutupan dari saham IHSG periode 2 Januari 2015 sampai 31 Agustus Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah: 1. mengetahui hasil aplikasi pendekatan integral Riemann-Stieltjes pada fungsi Fractional Brownian Motion pada penentuan nilai indeks saham IHSG ; 2. mengetahui nilai indeks saham IHSG pada simulasi dengan fungsi Fractional Brownian Motion. 1.5 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi dan menambah ilmu pengetahuan mengenai integral Riemann-Stieltjes dalam menganalisis peubah acak kontinu fungsi Fractional Brownian Motion.

12