Minggu VIII dan IX PERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT

Transkripsi

1 Minggu VIII dan IX PERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT Herni Utami Universitas Gadjah Mada

2 Misalkan X 1j = X 2j = X 1j1 X 1jp X 2j1 X 2jp adalah observasi ke-j dari sampel 1 adalah observasi ke-j dari sampel 2, untuk j = 1, 2,, n D j merupakan vektor selisih antara X 1j dan X 2j, yaitu D j = X 1j X 2j X 1j1 X 2j1 = X 1jp X 2jp = D j1 D jp Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 2 / 15

3 Ekspektasi dari D j adalah E (D j ) = δ = δ 1 δ p dan cov (D j ) = d Jika D j, j = 1, 2,, n independen N p (δ, d ), maka dengan D = 1 n T 2 = n ( D δ ) Sd ( D δ ) n D j dan S d = 1 n j=1 (n 1)p n p F p,n p n ( Dj D ) ( D j D ) j=1 Jika n dan p besar, maka T 2 d χ 2 p Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 3 / 15

4 Diberikan dua populasi dependen, masing-masing berdistribusi N p (µ 1, 1 ) dan N p (µ 2, 2 ) Sampel berpasangan (x j1, x j2 ) untuk j = 1, 2,, n dengan x 1j = dan x 2j = x 2j1 x 2jp Selisih antara x 1j dan x 2j dinyatakan dengan d j yaitu x 1j1 x 2j1 d j1 d j = x 1j x 2j = =, j = 1, 2,, n x 1jp x 2jp d jp x 1j1 x 1jp Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 4 / 15

5 UJI HIPOTESIS Jika d j = [ ] d j1 d jp untuk j = 1, 2,, n adalah sampel dari populasi p-variat N p (δ, d ) maka uji hipotesis untuk δ sebagai berikut: H 0 : δ = 0 vs H 1 : δ 0 tingkat signifikansi=α Statistik penguji T 2 = n d S d d H 0 ditolak jika T 2 > (n 1)p n p F p,n p(α) Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 5 / 15

6 DAERAH KONFIDENSI Sedangkan daerah konfidensi 100(1 α)% untuk δ: ( d δ ) S 1 d ( d δ ) Gambar daerah Konfidensi??? (n 1)p n p F p,n p(α) Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 6 / 15

7 CONTOH Setiap pabrik diwajibkan oleh pemerintah untuk memantau secara teratur pembuangan limbah ke sungai Untuk meyakinkan hasil dilakukan penelitian pada 2 lembaga penelitian, di mana setiap sampel limbah dibagi dua dan dikirim ke lembaga 1 dan lembaga 2 Pengukuran tingkat pencemaran dilihat dari kandungan BOD (biochemical oxygen demand) dan SS (Suspended sold) dan diperoleh data sebagai berikut: Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 7 / 15

8 Apakah hasil pengukuran kedua lembaga sama? Jawab: Hipotesis H 0 : δ = 0 vs H 1 : δ 0 d = [ ] [ d 1 9, 36 = d 2 13, 27 T 2 = 11 [ 9, 36 13, 27 ] [ 0, , , , 0026 ] [ ] 199, 26 88, 38 S d = 88, , 61 ] [ ] 9, 36 = 13, 6 13, 27 Untuk tingkat signifikansi α = 0, 05, H 0 ditolak jika T 2 = F 2,9(0, 05) = 9, 47 Karena T 2 = 13, 6 > 9, 47 maka H 0 ditolak jadi terdapat perbedaan hasil pengukuran yang dilakukan oleh lembaga 1 dan lembaga 2 Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 8 / 15

9 Perbedaan vektor mean 2 populasi independen asumsi: x 11, x 12,, x 1n adalah sampel random berukuran n 1 dari populasi p-variat dengan vektor mean µ 1 dan matriks kovariansi 1, x 21, x 22,, x 2n adalah sampel random berukuran n 2 dari populasi p-variat dengan vektor mean µ 2 dan matriks kovariansi 2, kedua sampel indepeden BAGAIMANA INFERENSI TENTANG µ 1 µ 2? Untuk n 1 dan n 2 kecil perlu tambahan asumsi bahwa sampel 1 dari populasi N p (µ 1, 1 ) dan sampel 2 dari populasi N p (µ 2, 2 ) Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 9 / 15

10 Jika Σ 1 = Σ 2 : H 0 : µ 1 µ 2 = δ 0 vs H 0 : µ 1 µ 2 δ 0, tingkat signifikansi=α, statistik penguji: T 2 = ( x 1 x 2 δ 0 ) [( 1 n n 2 ) S pooled ] 1 ( x 1 x 2 δ 0 ) dengan S pooled = = n 1 j=1 (x 1j x 1 ) (x 1j x 1 ) + n 2 j=1 n 1 + n 2 2 n 1 1 n 1 + n 2 2 S 1 + n 1 1 n 1 + n 2 2 S 2 (x 2j x 2 ) (x 2j x 2 ) Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 10 / 15

11 H 0 ditolak jika T 2 > (n 1 + n 2 2) (n 1 + n 2 p 1) F p,n 1 +n 2 p 1(α) Daerah konfidensi untuk µ 1 µ 2 : ( x 1 x 2 (µ 1 µ 2 )) [( 1 n n 2 ) S pooled ] 1 ( x 1 x 2 (µ 1 µ 2 )) c 2 dengan c 2 = (n 1+n 2 2)p (n 1 +n 2 p 1) F p,n 1 +n 2 p 1(α) Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 11 / 15

12 CONTOH Masing-masing 50 batang sabun yang diproduksi dengan cara 1 dam cara 2 digunakan sebagai sampel Dua karakter sabun yaitu busa dan kelemmbutan diukur pada tiap sabun untuk membandingkan kualitas sabun yang diproduksi cara 1 dan cara 2 Diketahui Σ 1 = Σ 2 Ringkasan data sebagai berikut: x 1 = x 2 = [ 8, 3 4, 1 [ 10, 2 3, 9 ] [ 2 1, S 1 = 1 6 ], S 2 = Tentukan daerah konfidensi untuk µ 1 µ 2! [ ], ] Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 12 / 15

13 S pooled = S [ S 2 = 1 5 [ ] 1, 9 x 1 x 2 = 0, 2 Eigen value dan eigen vektor dari S pooled : λ 1 = 5, 303 e 1 = [ 0, 290 0, 957 ] λ 2 = 1, 697 e 2 = [ 0, 957 0, 290 ] ( ) ( 1 c 2 = n 1 n ) (98) F 2,97(0, 05) = 0, 25 ] Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 13 / 15

14 Sumbu ellips: λi ( 1 n n 2 ) c 2 = λ i 0, 25 λ1 0, 25 = 1, 15 ke arah e1 λ2 0, 25 = 0, 65 ke arah e2 Gambar daerah konfidensi tersebut!!!!! Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 14 / 15

15 Σ 1 Σ 2, n 1 p dan n 2 p besar Hipotesis: H 0 : µ 1 µ 2 = δ 0 vs H 0 : µ 1 µ 2 δ 0 Statistik penguji: T 2 = ( x 1 x 2 δ 0 ) [( 1 n 1 S n 2 S 2 )] 1 ( x 1 x 2 δ 0 ) Ho ditolak jika T 2 > χ 2 p(α) Daerah konfidensi 100(1 α)%: ( x 1 x 2 (µ 1 µ 2 )) [( 1 n 1 S n 2 S 2 )] 1 ( x 1 x 2 (µ 1 µ 2 )) χ 2 p(α) Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 15 / 15