METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI DENGAN MODEL VOLATILITAS RISK ADJUSTED PRICING METHODOLOGY (RAPM) ILHAM SYATA

Transkripsi

1 METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI DENGAN MODEL VOLATILITAS RISK ADJUSTED PRICING METHODOLOGY (RAPM) ILHAM SYATA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Metode Numerik untuk Menentukan Nilai Opsi dengan Model Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 2015 Ilham Syata G

4 RINGKASAN ILHAM SYATA. Metode Numerik untuk Menentukan Nilai Opsi dengan Model Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM). Dibimbing oleh DONNY CITRA LESMANA dan HADI SUMARNO. Fisher Black dan Myron Scholes (1973) menunjukkan bahwa harga opsi merupakan solusi dari persamaan diferensial parsial (PDP) yang disebut persamaan Black Scholes. Fisher Black dan Myron Scholes dalam merumuskan persamaan Black-Scholes standar menggunakan asumsi bahwa tidak ada biaya transaksi dalam jual beli aset atau opsi. Asumsi tersebut tidak relevan, karena sebenarnya dalam jual beli aset selalu ada biaya transaksi. Dengan memasukkan biaya transaksi ke dalam model, Jandacka & Sevcovic (2005) menunjukkan bahwa volatilitas menjadi tidak konstan, yaitu suatu fungsi yang bergantung pada harga saham dan turunan parsial kedua harga opsi terhadap harga saham. Dengan mengasumsikan bahwa terdapat biaya transaksi untuk pembelian dan penjualan aset atau opsi, persamaan Black-Scholes dengan volatilitas konstan berubah menjadi Persamaan Black-Scholes taklinear sebagai berikut dengan adalah harga opsi, suku bunga bebas risiko, adalah volatilitas termodifikasi, dengan adalah waktu dan adalah waktu jatuh tempo, adalah harga saham. Jandacka dan Sevcovic (2005) dalam tulisannya berargumentasi bahwa harga opsi adalah solusi dari persamaan diferensial parsial taklinear pada persamaan di atas dengan volatilitas termodifikasi sebagai berikut ( ( ) ) dengan adalah turunan parsial kedua U terhadap S, adalah ukuran biaya transaksi dan adalah ukuran premi risiko, adalah volatilitas sebagai fungsi dari dan. Secara umum persamaan diferensial parsial taklinear tidak memiliki solusi analitik, termasuk pada kasus ini, sehingga diperlukan metode numerik untuk menyelesaikannya. Persamaan Black-Scholes taklinear diaproksimasi dengan metode implisit untuk diskretisasi waktu, dan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi ruang (harga saham). Metode beda hingga upwind adalah suatu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial taklinear dengan cara mengkombinasikan antara beda hingga maju dan beda hingga mundur. Skema diskretisasi metode beda hingga upwind dan metode implisit menghasilkan matriks sistem berupa matriks M. Skema diskretisasi tersebut terbukti monoton, konsisten dan stabil untuk penyelesaian persamaan Black- Scholes taklinear dengan model volatilitas RAPM. Selanjutnya, ditentukan orde kekonvergenan solusi hampiran persamaan Black-Scholes taklinear dengan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham dan metode implisit

5 untuk diskretisasi waktu. Orde kekonvergenan opsi call, opsi put, opsi butterfly, dan opsi cash or nothing (CoN) yaitu berkisar antara Kata kunci : Opsi Eropa, Metode Beda Hingga Upwind dan metode Implisit, Persamaan Diferensial Parsial taklinear, Volatilitas RAPM.

6 SUMMARY ILHAM SYATA. Numerical Method for Determining Option Price with Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Model. Supervised by DONNY CITRA LESMANA and HADI SUMARNO. Fisher Black and Myron Scholes (1973) showed that option price is the solution of partial differential equations (PDE) called Black-Scholes equation. When formulating the standard Black-Scholes equation, they assume that there is no transaction costs on buying and selling either assets or options. This is irrelevant because buying and selling assets always involve transaction costs. By applying the transaction costs into the model, Jandacka and Sevcovic (2005) showed that the volatility becomes a function of stock prices and the second derivative of the option price. Assuming that the transaction costs exist, the Black-Scholes equation with constant volatility turns into a nonlinear Black-Scholes equation as follow where is the option price, is a constant riskless interest rate, is a modified volatility, with is time and is the expiry date, and is stock price. Jandacka and Sevcovic (2005) argue that option price is the solution of nonlinear partial differential equations in the equation above with modified volatility as follow ( ( ) ) where is the second partial derivative of U, is a measure of transaction costs and is a measure of the risk premium, is the modified volatility as a function of and. In general, nonlinear partial differential equations do not have analytical solutions, including this one, so we require numerical methods to solve the equations. The nonlinear Black-Scholes equation is approximated using an implicit methods for time discretization and an upwind finite difference method for space discretization. An upwind finite difference method solves the nonlinear partial differential equations in a way that combines forward and backward finite difference. From its discretization scheme, we have an M-matrix for the system matrix. We show that the discretization scheme converges to the viscosity solution to the equation by showing that the scheme is monotone, consistent, and stable. The convergence rates of the approximation solutions to the nonlinear equatioan using an upwind finite difference method for space discretization and an implicit method for time discretization are calculated, and the results for call option, put option, butterfly option, and cash-or-nothing (CoN) option are shown to be betwen

7 Keywords: European Options, Upwind Finite Difference and implicit methods, nonlinear Partial Differential Equations, RAPM Volatility

8 Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

9 METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI DENGAN MODEL VOLATILITAS RISK ADJUSTED PRICING METHODOLOGI (RAPM) ILHAM SYATA Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

10 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA

11

12 PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan ridho-nya, kesempatan, dan kesehatan yang dikaruniakan-nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Metode Numerik untuk Menentukan Nilai Opsi dengan Model Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) ini dapat terselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. Ayahanda dan Ibunda tercinta Muhammad Syata dan Sitti Rahman yang telah membesarkan dan midik penulis dengan penuh kasih sayang. 2. Bapak Dr Donny Citra Lesmana, MFinMath dan Dr Ir Hadi Sumarno MS selaku pembimbing, atas kesediaan dan kesabaran untuk membimbing dan membagi ilmunya kepada penulis dalam penyusunan karya ilmiah ini. 3. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan Institut Pertanian Bogor. 4. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji luar komisi. 5. Dosen Departemen Matematika Terapan IPB yang telah mengasuh dan midik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil menyelesaikan studi, serta seluruh staf Departemen Matematika Terapan IPB atas bantuan, pelayanan, dan kerjasamanya selama ini. 6. Mahasiswa Pascasarjana Departemen Matematika Terapan IPB, Petapa Timbul IPB, dan HIMMPAS IPB atas segala bantuan dan kebersamaannya selama menghadapi masa-masa terindah maupun tersulit dalam menuntut ilmu, serta semua pihak yang telah banyak membantu dan tak sempat penulis sebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Bogor, Oktober 2015 Ilham Syata

13 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN 1 PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Opsi 2 Aset yang Masari Opsi (Underlying Asset) 5 Persamaan Black-Scholes 5 Proses Harga Saham 7 Penurunan Persamaan Black-Scholes 7 Model Volatilitas RAPM 9 Metode Iteratif Newton 9 Matriks M 10 Solusi Viskositas 10 Operator Beda Hingga 11 3 METODE PENELITIAN 12 Langkah-langkah Penelitian 12 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 12 Syarat awal dan Syarat Batas 12 Skema Diskretisasi 13 Kekonvergenan Skema Diskretisasi 14 Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi 18 Simulasi Numerik 21 5 SIMPULAN DAN SARAN 25 Simpulan 25 DAFTAR PUSTAKA 25 LAMPIRAN 27 RIWAYAT HIDUP 32 vi vi vi

14 DAFTAR TABEL 1 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi call 22 2 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi put 23 3 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi butterfly 24 4 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi cash or nothing 25 DAFTAR GAMBAR 1 Payoff untuk opsi call dengan pada 5 2 Payoff untuk opsi put dengan pada 5 3 Payoff untuk opsi butterfly dengan dan pada 5 4 Payoff untuk opsi cash or nothing dengan dan pada 5 5 Harga opsi call Eropa dengan 21 6 Harga opsi call Eropa dengan 21 7 Harga opsi put Eropa dengan 23 8 Harga opsi butterfly Eropa dengan 24 9 Harga opsi cash or nothing Eropa dengan 24 DAFTAR LAMPIRAN 1 Pembuktian Lemma Ito 27 2 Sintaks program 27

15 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Pasar keuangan (financial market) terdiri atas pasar uang (money market) dan pasar modal (capital market). Pasar uang adalah suatu tempat pertemuan di mana para pemilik dana jangka pek dapat menawarkan kepada calon pemakai yang membutuhkannya, baik secara langsung maupun melalui perantara. Sedangkan yang dimaksud dengan dana jangka pek adalah dana-dana yang dihimpun dari perusahaan maupun perorangan dengan batasan waktu dari satu hari sampai satu tahun, yang dapat diperjualbelikan di dalam pasar uang. Sedangkan untuk pasar modal terjadi jual beli aset keuangan untuk jangka panjang. Pasar modal terdiri atas pasar obligasi, pasar saham, dan pasar derivatif (Bodie et al 2003). Derivatif digunakan oleh manajer investasi atau manajer portofolio, perusahaan dan lembaga keuangan, serta investor perorangan untuk mengelola posisi yang mereka miliki terhadap risiko dari pergerakan harga saham, komoditas, suku bunga, atau nilai tukar valuta asing tanpa memengaruhi posisi fisik produk yang menjadi acuannya (underlying). Produk derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang masarinya seperti saham, obligasi, dan lain-lain. Salah satu produk derivatif adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga dan waktu yang telah ditentukan. Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 menunjukkan bahwa harga opsi merupakan solusi dari persamaan diferensial parsial (PDP) yang disebut persamaan Black Scholes (Black & Scholes, 1973). Dalam merumuskan persamaan Black-Scholes, salah satu asumsi yang digunakan adalah tidak ada biaya transaksi dalam jual beli aset atau opsi. Asumsi tersebut sudah tidak relevan, karena sebenarnya dalam jual beli aset selalu ada biaya transaksi. Dengan memasukkan biaya transaksi ke dalam model, volatilitas menjadi tidak konstan yaitu suatu fungsi yang bergantung pada turunan kedua dari harga saham, persamaan Black-Scholes standar menjadi persamaan diferensial parsial taklinear yang disebut persamaan Black-Scholes taklinear (Jandacka & Sevcovic, 2005; Barles & Soner, 1998; Lesmana & Wang, 2013; Ankundinova & Ehrhardt, 2008; Boyle & Vorst, 1992). Secara umum persamaan diferensial parsial taklinear sulit diselesaikan secara analitik, termasuk pada kasus ini, sehingga diperlukan metode numerik. Beberapa pekatan secara numerik dapat dilakukan untuk menentukan harga opsi, antara lain pekatan numerik dengan metode beda hingga (finite difference method), metode volume hingga (finite volume method) (Wang 2004), metode element hingga (finite element method) dan simulasi Monte Carlo (Monte Carlo Simulation). Metode beda hingga upwind dan metode volume hingga terbukti konsisten, stabil dan monoton (Zhang & Wang 2009; Lesmana & Wang 2013). Metode beda hingga (finite difference method) dengan metode diskretisasi fully implisit monoton dan konvergen ke solusi viskositas, sedangkan Crank- Nicolson hanya monoton bersyarat (Pooley et al 2001).

16 2 Berdasarkan uraian di atas, pada penelitian ini akan dikaji perilaku dan kecepatan kekonvergenan solusi numerik menggunakan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga dan metode implisit untuk diskretisasi waktu, untuk model Black-Scholes dengan volatilitas RAPM. Tujuan Penelitian Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah: 1. mengembangkan metode numerik untuk mencari harga opsi ketika terdapat biaya transaksi. Metode tersebut didasarkan pada metode implisit untuk diskretisasi waktu, serta metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham. 2. menentukan orde kekonvergenan solusi hampiran menggunakan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham, serta metode implisit untuk diskretisasi waktu. 2 TINJAUAN PUSTAKA Opsi Definisi 1 (Opsi) Opsi adalah suatu kontrak atau perjanjian antara dua pihak, di mana salah satu pihak (sebagai pembeli opsi) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang ditentukan (Hull, 2006). Nilai Opsi Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk mapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. Ada beberapa hal yang memengaruhi nilai opsi, yaitu: a) Harga underlying asset (S) Underlying asset yang digunakan adalah saham. Harga saham berpengaruh terhadap harga opsi. Jika harga saham naik maka harga opsi call akan meningkat, sedangkan jika harga saham naik maka harga opsi put akan turun. b) Harga strike (K) Harga strike atau harga exercise merupakan harga jual atau harga beli saham yang tercantum dalam kontrak opsi dan besarnya akan tetap selama masa berlangsungnya opsi tersebut. Jika faktor lain diasumsikan tetap, maka semakin rah harga strike maka akan semakin tinggi harga opsi call, sedangkan untuk opsi put semakin tinggi harga strike maka akan semakin tinggi harga opsi tersebut.

17 c) Waktu jatuh tempo (T) Waktu jatuh tempo akan memengaruhi perubahan harga opsi. Semakin lama jangka waktu jatuh tempo suatu opsi maka akan semakin besar peluang harga saham mempengaruhi harga opsi. d) Volatilitas (σ) Volatilitas merupakan suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga berfluktuasi dalam suatu periode (Lo 2003). Volatilitas atas saham ini mengukur tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan saham tersebut di masa yang akan datang. Jika volatilitas semakin meningkat maka kemungkinan menyimpang dari nilai harapan juga semakin tinggi. e) Suku bunga bebas risiko ( ) Pada tingkat suku bunga bebas risiko yang tinggi, investor akan lebih tertarik untuk membeli opsi daripada membeli saham karena: 1. pemegang opsi dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir, 2. serta para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cerung turun maka akan membeli opsi put. Hal ini akan menyebabkan harga opsi naik. f) Dividen ( ) Dividen merupakan bagian dari keuntungan perusahaan yang dibagikan kepada para pemegang saham. Dividen menyebabkan harga saham turun sesaat setelah pembagian dividen, sehingga memengaruhi harga opsi. Beberapa istilah yang berhubungan dengan harga saham (S) dan harga strike (K), yaitu: 1. opsi call a) jika, maka opsi call dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan membeli saham dengan harga strike (K), yang lebih kecil dari harga saham (S), kemudian menjualnya di pasar dengan harga sebesar (S), sehingga pemegang opsi tersebut akan mapatkan imbalan sejumlah, b) jika, maka opsi call dikatakan dalam keadaan at the money, c) jika, maka opsi call dikatakan out of the money dan investor tidak akan mengeksekusi hak atas opsinya. 2. opsi put a) jika, maka opsi put dikatakan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi put, yaitu dengan menjual saham dengan harga strike (K), yang lebih besar dari harga saham (S), kemudian membelinya di pasar dengan harga sebesar (S), sehingga pemegang opsi tersebut akan mapatkan imbalan sejumlah b) jika, maka opsi put dikatakan dalam keadaan at the money, c) jika, maka opsi put dikatakan dalam keadaan out of the money dan investor tidak akan mengeksekusi hak atas opsinya. 3

18 4 Jenis-jenis opsi Jenis-jenis opsi yaitu: 1. opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise price) pada atau sebelum waktu jatuh tempo. 2. opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. 3. opsi butterfly merupakan strategi spread yang melibatkan kombinasi antara empat opsi call dengan 2 harga strike yang berbeda dan dua harga strike yang sama, di mana investor tidak bisa menentukan nantinya harga saham naik atau turun. 4. opsi cash or nothing merupakan opsi yang memberikan imbalan sebesar 1 satuan jika harga saham lebih besar dari harga strike dan memberikan imbalan sebesar 0 jika harga saham lebih kecil harga strike. Opsi cash or nothing disebut juga opsi call digital atau opsi biner. Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. 1. opsi tipe Eropa (European option) adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual underlying asset hanya pada waktu jatuh tempo. 2. opsi tipe Amerika (American option) memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual underlying asset pada saat atau sebelum waktu jatuh tempo. (Hull, 2006). Payoff harga opsi Payoff adalah imbalan yang diperoleh dari jual beli opsi ketika opsi tersebut dieksekusi. Payoff opsi tipe Eropa sebagai berikut { untuk call untuk put untuk butterfly untuk CoN dengan adalah fungsi heaviside, adalah konstanta,,,, dan adalah harga strike, dan (Lesmana & Wang 2013). { Diagram payoff untuk opsi call, opsi put, opsi butterfly dan opsi cash or nothing (CoN) digambarkan pada Gambar 1 4.

19 5 Aset yang Masari (Underlying Asset) Aset yang masari (underlying asset) adalah aset yang dijadikan sebagai objek atau dasar transaksi. Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang dapat digunakan sebagai aset dasar, antara lain indeks (index), valuta asing (foreign currency), surat berjangka (future) dan saham (stock). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset berbasis indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset berbasis mata uang asing dengan kurs tertentu, opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset berbasis kontrak berjangka. Sedangkan opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang masarinya adalah saham. Dalam tulisan ini, underlying asset yang digunakan adalah saham. Bursa Amerika yang memperdagangkan opsi saham antara lain The Chicago Board Option Exchange (CBOE), The Philadephia Stock Exchange (PHLX), The American Stock Exchange (AMEX), dan New York Stock Exchange (NYSE). Bursa Indonesia yang memperdagangkan opsi saham adalah Bursa Efek Jakarta (BEJ). Persamaan Black-Scholes Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi masarkan pada beberapa asumsi, yaitu:

20 6 1. suku bunga bebas risiko ( ) adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo. 2. dimungkinkan adanya short selling terhadap aset (saham). Short shelling yaitu meminjam suatu aset kepada seseorang kemudian menjualnya dengan harapan bahwa bisa membeli kembali aset tersebut dengan harga yang lebih murah kemudian mengembalikannya. 3. perdagangan dari aset yang masari bersifat kontinu. 4. tidak terdapat peluang arbitrage. 5. tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku. 6. harga dari aset yang masari mengikuti proses Wiener yang mempunyai fungsi kepekatan peluang lognormal. 7. tidak ada biaya transaksi dalam pembelian atau penjualan aset atau opsi. Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah berikut: Definisi 2 (Proses Stokastik) Proses stokastik adalah suatu koleksi (gugus, himpunan, atau kumpulan) dari peubah acak (random variables). Untuk setiap t pada himpunan indeks H, W(t) adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan sebagai waktu (Ross, 1996). Definisi 3 (Gerak Brown) Proses stokastik disebut gerak Brown jika memenuhi persyaratan berikut (Ross, 1996): untuk peubah acak = di mana saling bebas. 3. untuk setiap berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi. Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005). Definisi 4 (Proses Wiener Umum (Generalized Wiener Process)) Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak S dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2006): (1) dengan disebut sebagai komponen deterministik dan menyatakan komponen stokastik, serta adalah proses Wiener, sedangkan dan masing-masing menyatakan rataan (drift rate) dan standar deviasi (variance rate) dari S. Definisi 5 (Proses Ito ) Proses Ito adalah proses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi dari peubah acak S dan waktu t. Secara aljabar proses Ito dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull, 2006).. (2)

21 Lemma Ito Misalkan fungsi merupakan fungsi kontinu yang dapat diturunkan secara parsial terhadap x dan t, yaitu,, ada. Selanjutnya didefinisikan persamaan diferensial stokastik dari variabel x dengan drift rate dan variansi rate 7, (3) dengan merupakan gerak Brown, dan adalah fungsi dari x dan t. Maka fungsi akan mengikuti proses: { } (4) Proses Harga Saham Dengan kondisi pasar yang tidak menentu menyebabkan terjadinya perubahan harga saham. Harga saham merupakan variabel stokastik karena dipengaruhi oleh faktor-faktor yang tidak dapat ditentukan secara pasti. Sehingga perubahan harga saham dapat dimodelkan menggunakan persamaan diferensial stokastik berikut: dengan adalah komponen deterministik, adalah komponen stokastik dan adalah proses Wiener. Sedangkan dan masing-masing menyatakan nilai harapan dan volatilitas dari harga saham tersebut. Persamaan ini juga dikenal sebagai model pergerakan harga saham. Selanjutnya dari Lemma Ito, diketahui bahwa jika harga saham mengikuti model saham pada persamaan (5), maka bentuk persamaan diferensial stokastik untuk sebuah fungsi U(S(t), t) dengan dapat dinyatakan dalam bentuk ( ). (6) Solusi dari persamaan (5) adalah: (5) {( ) } (7) dengan dan T berturut-turut adalah harga saham pada awal kontrak, harga saham pada saat jatuh tempo, suku bunga bebas risiko, volatilitas harga saham, dan waktu jatuh tempo (Hull, 2006). Penurunan Persamaan Black-Scholes Standar Misalkan menyatakan harga opsi pada harga saham S dan pada waktu t, serta dari persamaan (5) diketahui bahwa perubahan harga saham S bergerak mengikuti proses, (8)

22 8 berdasarkan Lemma Ito, proses untuk U berubah atas interval waktu dt yang sangat kecil, akan diperoleh ( ) (9) Versi diskret dari persamaan (8) dan (9) adalah dan ( ) (10) (11) di mana dan adalah perubahan harga saham S dan harga opsi U pada selang waktu. Adapun pada persamaan (10) dan (11) adalah karena proses Wiener pada persamaan (10) dan (11) adalah sama. Selanjutnya dipilih sebuah portofolio dari saham S dan opsi U sehingga proses Wiener dapat dihilangkan. Portofolio tersebut adalah opsi dan saham. Pemegang portofolio ini akan menjual satu opsi dan membeli saham sebanyak tersebut adalah sebesar x, dengan Perubahan nilai portfolio dalam selang waktu adalah. Nilai dari portofolio. (12). (13) Substitusi (10) dan (11) ke dalam (13), menghasilkan ( ). (14) Portofolio ini dikatakan tidak berisiko karena tidak ada faktor ketidakpastian. Portofolio ini dikatakan konstan sehingga portofolio ini mempunyai papatan yang sama dengan saham jangka pek lainnya yang bebas risiko. Perubahan nilai portofolio bebas risiko dapat dinyatakan dengan, dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Dengan mensubstitusi persamaan (12) dan ke persamaan (14) diperoleh ( ) ( ) (15) Persamaan (16) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes standar. Dengan melakukan transformasi, maka (16) sehingga persamaan (16) dapat dituliskan sebagai berikut: (17)

23 9 (18) Model Volatilitas RAPM Dengan mengasumsikan bahwa terdapat biaya transaksi untuk pembelian dan penjualan aset atau opsi, volatilitas menjadi suatu fungsi yang bergantung pada saham dan turunan parsial kedua harga opsi terhadap harga saham. Sehingga persamaan Black-Scholes standar berubah menjadi persamaan Black-Scholes taklinear sebagai berikut (19) dengan adalah harga opsi, suku bunga bebas risiko, adalah volatilitas, dengan adalah waktu dan adalah waktu jatuh tempo, adalah harga saham. Jandacka dan Sevcovic (2005) dalam tulisannya berargumentasi bahwa harga opsi adalah solusi dari persamaan diferensial parsial taklinear pada persamaan (19) dengan volatilitas termodifikasi sebagai berikut: dengan adalah ukuran premi risiko, ( ( ) ) (20) adalah ukuran biaya transaksi dan adalah turunan parsial kedua U terhadap S, adalah volatilitas sebagai fungsi dari dan. Persamaan Black- Scholes taklinear tersebut yang akan dibahas dalam tesis ini. Metode Iteratif Newton Metode iteratif Newton digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan taklinear yang memiliki bentuk sebagai berikut: (21) Untuk menyederhanakan notasi, definisikan sebagai vektor x dan dengan adalah vektor nol. Dengan notasi tersebut, sistem persamaan (21) dapat ditulis dalam notasi matriks menjadi. Berikut ini adalah pekatan yang dilakukan dengan metode iteratif Newton dengan, (22)

24 10 bilangan cacah (23) serta elemen-elemen adalah turunan parsial dari yaitu (24) ( ) dengan metode iteratif Newton, akan dicari vektor yang membuat konvergen ke vektor nol, sehingga (25) (26) (27) di mana adalah matriks segi dan adalah vektor yang diketahui. Untuk langkah selanjutnya, penentuan solusi memiliki proses berikut: 1. Selesaikan Ulangi proses iterasi sampai konvergen dengan dengan adalah bilangan positif yang sangat kecil. Matriks M Definisi 6 (Matriks M) Matriks merupakan matriks dengan invers matriks bernilai positif di mana diagonal utama bernilai positif dan elemen yang lainnya bernilai takpositif. Misalkan adalah suatu matriks taksingular berukuran dengan 0 untuk setiap dan untuk setiap dan maka matriks disebut matriks (Fujimoto & Ranade 2004). Solusi Viskositas Misalkan diberikan PDP orde-2 sebagai berikut Solusi viskositas diberikan pada definisi berikut, (28) Definisi 7 (Solusi Viskositas) Misalkan adalah himpunan terbuka dan kontinu di i. Dikatakan bahwa adalah subsolusi viskositas persamaan (28) pada titik, jika dan hanya jika, untuk setiap fungsi uji sedemikian sehingga yang mencapai maksimum lokal di, dan (29)

25 ii. Dikatakan bahwa adalah supersolusi viskositas persamaan (28) pada titik jika dan hanya jika, untuk setiap fungsi uji sedemikian sehingga yang mencapai minimum lokal di, dan (30) iii. Dikatakan bahwa adalah solusi viskositas pada himpunan terbuka jika adalah subsolusi viskositas dan supersolusi viskositas, pada setiap titik (Dragoni, 2009). 11 Operator Beda Hingga Persamaan Black-Scholes taklinear akan diaproksimasi dengan diskretisasi menggunakan metode implisit untuk diskretisasi waktu, serta metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham. Metode beda hingga upwind adalah suatu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial taklinear dengan cara mengkombinasikan antara beda hingga maju dan beda hingga mundur. Untuk diskretisasi harga, misalkan dibagi menjadi subinterval, di mana dengan, dan untuk setiap dimisalkan. Untuk diskretisasi waktu, misalkan dibagi menjadi sub-interval, di mana dengan dan untuk setiap dimisalkan. Aproksimasi turunan parsial pertama dan kedua diperoleh dari ekspansi deret Taylor sebagai berikut: Untuk sembarang dan dengan dan, didefinisikan turunan pertama dan turunan kedua mengikuti operator beda hingga berikut: (31), (32) (33)

26 12 3 METODE PENELITIAN Langkah-langkah Penelitian Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah: 1. melakukan diskretisasi untuk persamaan Black-Scholes taklinear dengan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham, dan metode implisit untuk diskretisasi waktu. 2. memeriksa kekonvergenan skema diskretisasi yaitu dengan membuktikan Lemma monoton, konsisten, dan stabil. 3. membandingkan hasil numerik yang diperoleh dari metode implisit dan eksplisit. 4. melakukan simulasi numerik untuk menunjukkan akurasi dari metode beda hingga upwind untuk diskretisasi variabel harga saham, dan metode implisit untuk diskretisasi variabel waktu. 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Syarat Awal dan Syarat Batas Persamaaan Black-Scholes taklinear mempunyai domain. Untuk perhitungan komputasi perlu dibatasi menjadi, dengan merupakan nilai yang cukup besar yang menjamin akurasi dari solusi. Syarat batas untuk persamaaan Black-Scholes taklinear dapat ditentukan sebagai berikut: (34) (35) (36) dengan,, dan adalah suatu fungsi sedemikian sehingga dan. Fungsi,, dan dipilih berdasarkan jenis opsi tipe Eropa yaitu opsi call, opsi put, opsi butterfly, dan opsi cash or nothing (CoN). Syarat awal dan syarat batas untuk opsi tersebut yaitu sebagai berikut: { untuk call untuk put untuk butterfly untuk CoN { untuk call untuk put untuk butterfly untuk CoN

27 13 { untuk call untuk put untuk butterfly untuk CoN dengan adalah fungsi heaviside, adalah konstanta,,,, dan adalah harga strike, dan { (Lesmana & Wang 2013). Skema Diskretisasi Dengan menggunakan operator (31-33) dan dengan mengaplikasikan metode beda hingga upwind, persamaan Black-Scholes taklinear (19) diaproksimasi menjadi sebagai berikut: ( ) ( ). Dalam model jandacka dan Sevcovic (2005) diketahui bahwa nilai sehingga persamaan (37) menjadi, (37) (38) ( ). ( ) (39) Selanjutnya, diperoleh: ( ) ( ) ( ). Untuk penyederhanaan, persamaan (40) dapat dituliskan menjadi bentuk berikut: (40), (41) untuk dan di mana:, (42), (43). (44) Berdasarkan (34-36), didefinisikan syarat awal dan syarat batas untuk persamaan (41) sebagai berikut (45)

28 14 untuk dan Dengan syarat awal dan syarat batas di atas, persamaan (41) dapat dituliskan menjadi bentuk matriks berikut, (46) di mana [ ] untuk Teorema 1. Matriks M Untuk sembarang, matriks ( ) adalah matriks M untuk yang diberikan. Bukti: Untuk membuktikan Teorema 1, harus ditunjukkan bahwa (47) (48) untuk. Untuk matriks, dari persamaan (42) - (44) dapat dilihat bahwa syarat (47) terpenuhi. Selanjutnya, karena dan maka: Dari definisi (49) ( ), diperoleh: Sehingga merupakan matriks M karena matriks tridiagonal memiliki diagonal utama yang bernilai positif dan dua diagonal atas dan bawah bernilai takpositif. Kekonvergenan Skema Diskretisasi Persamaan (19) memiliki solusi unik yang disebut solusi viskositas. Barles (1997) telah menunjukkan bahwa metode numerik dikatakan konvergen ke solusi viskositas jika metode tersebut terbukti konsisten, stabil dan monoton. Pada

29 bagian ini akan ditunjukkan bahwa skema diskretisasi memenuhi syarat kekonvergenan tersebut. Untuk dan didefinisikan suatu fungsi yaitu ( ) ( ) 15 (50) di mana. Kemudian, persamaan (41) dapat ditulis dalam bentuk. (51) Untuk skema diskretisasi ini, diberikan lemma berikut: Kemonotonan Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan monoton melalui Lemma 2. Lemma 2 Skema diskretisasi (41) monoton yaitu untuk sembarang dan Bukti: dan (52) ( ) (53) ( ) ( )( ). (54) Karena, dan, maka tiga bagian pertama pada ruas kanan dari persamaan (50) secara berturut-turut taknaik terhadap terhadap dan turun terhadap., naik Misalkan ( ) adalah suatu matriks berukuran. Berdasarkan definisi, diperoleh ( ) dan ( )

30 16 Selanjutnya, diperiksa tanda pada bagian taklinear, di mana didefinisikan sebagai berikut ( ( ) ) (55) maka, ( ) ( ) (56) ( ( ) ) ( ), misalkan dan ( ( ) ) ( ) ( ) (57) ( ( ) ) (58) Diketahui dan ( ) jelas karena dan selanjutnya akan dibuktikan bahwa ( ) (59) karena maka ( ) ( ) ( ) (60) Dari persamaan di atas diperoleh bahwa ( ( ) ) (61) Dengan demikian adalah fungsi naik pada dengan syarat bahwa Dengan demikian untuk sembarang dan diperoleh gabungan bagian linear dan bagian taklinear dari persamaan (50) sebagai berikut: ( ) ( )

31 17 *( ( ( )) )+ ( ) dengan cara yang sama diperoleh ( ) ( ) *( ( ( )) )+ ( ) Sehingga skema diskretisasi (41) terbukti monoton. Kestabilan Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan stabil melalui Lemma 3. Lemma 3 Skema diskretisasi (41) stabil, yaitu untuk setiap misalkan ( ( ) ) di mana adalah solusi dari (46), maka memenuhi dengan, dan adalah syarat awal dan syarat batas (34 36) dan adalah norm. Bukti: Untuk sembarang berikut: persamaan (41) dapat dituliskan sebagai untuk Perlu diingat kembali bahwa, dan. Sehingga diperoleh: (62) (63) untuk Jika untuk, maka persamaan berikut: dengan (64) menjadi: (65) Sehingga, dengan menggunakan persamaan (48) maka pertidaksamaan (65) menjadi sebagai berikut:

32 18 (66). Selanjutnya jika atau maka berdasarkan persamaan (35), (36) dan (45) dapat dilihat bahwa: (67) dari persamaan (66) dan (67), diperoleh:. Sehingga skema diskretisasi (41) terbukti stabil. Kekonsistenan Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan konsisten melalui Lemma 4. Lemma 4 Skema diskretisasi (41) konsisten. Bukti Teorema ekuivalensi Lax menyatakan bahwa metode beda hingga konsisten untuk persamaan diferensial parsial dengan masalah nilai awal yang diberikan (Strikwerda 1989). Teorema 2. Kekonvergenan Solusi numerik dari skema diskretisasi (41) konvergen ke solusi viskositas persamaan (19) dengan syarat batas yang diberikan oleh (34)-(36) ketika. Bukti: Barles (1997), membuktikan bahwa jika suatu diksretisasi dari PDP taklinear orde-2 konsisten, stabil dan monoton, maka konvergen ke solusi viskositas. Berdasarkan Lemma 2, Lemma 3, dan Lemma 4 maka diskretisasi terbukti konsisten, stabil dan monoton, maka skema diskretisasi (46) konvergen ke solusi viskositas persamaan (19). Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi Untuk menyelesaikan sistem taklinear skema diskretisasi (46) disusun sebuah metode iterasi pada setiap langkah waktu. Diketahui diskretisasi (46) berbentuk, dengan Misalkan komponen ke-i dari ( )

33 19 dengan dan didefinisikan pada (45). Matriks Jacobi dari dinotasikan sebagai dengan [ ] di mana untuk semua dan. Dengan menggunakan persamaan (31) - (33), dan (20), serta menggunakan notasi Lemma 1, diperoleh persamaan untuk turunan berikut ( ) ( ) ( ) Dengan cara yang serupa, diperoleh ( ) ( ) Menggunakan matriks Jacobi berikut, diberikan algoritma metode Newton sebagai Algoritma 1 1. Pilih Untuk, evaluasi syarat awal, menggunakan (45). 2. Ambil dan 3. Selesaikan Hitung

34 20 4. Jika set dan kembali kelangkah 3. Jika sebaliknya, lanjutkan ke langkah berikutnya. 5. Tentukan Jika. Set dan kembali ke langkah 2. Jika sebaliknya berhenti. Dengan menggunakan matriks Jacobi, diperoleh Teorema 3 berikut. Teorema 3 Untuk sembarang dengan, adalah matriks M. Bukti Untuk membuktikan Teorema 3, harus ditunjukkan bahwa (68) (69) Untuk matriks, diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) (menggunakan persamaan 61). Hal yang sama untuk ( ) ( ) ( ) ( ). Selanjutnya karena dan maka untuk sembarang dengan ketentuan bahwa. Oleh karena itu, matriks adalah matriks M. Sistem linear pada langkah 3 dari Algoritma 1 biasanya berskala besar dan teorema di atas menjamin bahwa sistem linear tersebut memiliki solusi khusus. Solusi untuk sistem linear dengan dekomposisi LU atau metode iteratif akan stabil secara numerik.

35 21 Simulasi Numerik Simulasi numerik dengan metode beda hingga upwind dan implisit untuk menentukan harga opsi empat jenis tipe Eropa dilakukan dengan mengambil contoh kasus kontrak opsi. Selanjutnya diamati perbandingan harga opsi metode implisit dan metode eksplisit, serta dihitung orde kekonvergenan dari metode implisit dengan memilih serangkaian mesh yang dibangkitkan dengan membagi-dua parameter mesh pada iterasi sebelumnya. a) Opsi Call Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi call pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 5. (a) metode implisit Gambar 5 Harga opsi call Eropa dengan (b) metode eksplisit dan Dengan mengganti mesh seragam Perbandingan harga opsi call pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 6. (a) metode implisit Gambar 6 Harga opsi call Eropa dengan (b) metode eksplisit dan

36 22 Pada Gambar 6, metode implisit masih memberikan solusi, sedangkan metode eksplisit tidak memberikan solusi (tidak stabil). Untuk menghitung norm dan rasio skema tersebut, dipilih serangkaian mesh yang dibangkitkan secara berurutan dengan membagi dua ukuran mesh sebelumnya. Selanjutnya akan dihitung norm dan rasio metode tersebut dengan membandingkan solusi eksaknya ( ). Dalam menentukan solusi eksak ( ) digunakan solusi numerik dengan mengambil ukuran mesh yang sangat kecil, yaitu dan Selanjutnya dengan menggunakan solusi eksak tersebut, dihitung rasio dari solusi numerik dari mesh yang berurutan dengan di mana adalah solusi pada mesh dengan ukuran mesh saham dan ukuran mesh waktu, serta rumus untuk menghitung norm sebagai berikut. Orde kekonvergenan metode numerik dihitung dengan menghitung rata-rata dari rasio. Tabel 1 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi call M N Metode implisit Rasio Hasil perhitungan di Tabel 1 menunjukkan orde kekonvergenan pada opsi call adalah sekitar 1.7. b) Opsi Put Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi put pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 7.

37 23 (a) metode implisit Gambar 7 Harga opsi put Eropa dengan (b) metode eksplisit dan Dengan perhitungan yang sama dengan opsi call, diperoleh hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi put sebagai berikut Tabel 2 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi put M N Metode implisit Rasio Hasil perhitungan di Tabel 2 menunjukkan orde kekonvergenan opsi put adalah sekitar 1.7. c) Opsi Butterfly Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi butterfly pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 8.

38 24 (a) metode implisit (b) metode eksplisit Gambar 8 Harga opsi butterfly Eropa dengan dan Tabel 3 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi butterfly M N Metode implisit Rasio Hasil perhitungan di Tabel 3 menunjukkan bahwa orde kekonvergenan opsi butterfly adalah sekitar 1.6. d) Opsi Cash or Nothing Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi cash or nothing pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 9. (a) metode implisit (b) metode eksplisit Gambar 9 Harga opsi cash or nothing Eropa dengan dan Dengan perhitungan yang sama dengan opsi call, diperoleh hasil perhitungan error dan rasio untuk opsi cash or nothing sebagai berikut:

39 25 Tabel 4 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi cash or nothing M N Metode implisit Rasio Hasil perhitungan di Tabel 4 menunjukkan bahwa orde kekonvergenan opsi cash or nothing adalah sekitar 1.4. SIMPULAN Persamaan Black-Scholes taklinear diaproksimasi dengan metode implisit untuk diskretisasi waktu dan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham diperoleh: 1. suatu sistem matrix yang disebut matriks M yang menjamin solusi bernilai positif. 2. skema diskretisasi terbukti monoton, konsisten, dan stabil. Sehingga, solusi numerik skema diskretisasi konvergen ke solusi viskositas persamaan Black- Scholes taklinear. 3. dengan sub-interval harga saham dan sub-interval waktu menghasilkan orde kekonvergenan opsi call, opsi put, opsi butterfly, dan opsi cash or nothing bekisar antara DAFTAR PUSTAKA Ankudinova J, Ehrhardt M On the numerical solution of nonlinear Black- Scholes equations. Comput. Math. Appl. 56: Barles G Convergence of Numerical Schemes for Degenerate Parabolic Equations Arising in Finance, in: L.C.G. Rogers, D. Talay (Eds.), Numerical Methods in Finance. Cambridge: Cambridge University Press. Barles G, Soner HM Option pricing with transaction costs and a nonlinear Black-Scholes equation. Finance and Stochastics. 2(4): Black F, Scholes M The pricing of options and corporate liabilities. J. Political Economy. 81(3): Bodie Z, Kane A, Marcus AJ Invesment. United State of America: The McGraw-Hill.

40 26 Boyle P, Vorst T Option replication in discrete time with transaction costs. The Journal of Finance. XLVII(1): Dragoni F Introduction to Viscosity Solutions for Nonlinear PDEs. London: Notes Imperial College London. Fujimoto T, Ranade R Two characterizations of inverse-positive matrices: the Hawkins-Simon condition and the Le Chatelier-Braun principle. Electronic Journal of Linear Algebra 11: Hull J Option, Futures and Other Derivatives. 6th Ed. New Jersey: Prentice Hall. Jandacka M, Sevcovic D On the risk-adjusted pricing-methodology-based valuation of vanilla options and explanations of the volatility smyle. J Appl. Math. 3: Lesmana DC, Wang S Numerical method for non-linear partial differential equations and inequalities arising from option valuation under transaction cost. Appl. Math. Comput. 219: Lo MS Generalized Autoregressive Conditional Heterscedasticity Time Series Model [Thesis]. Burnaby: Department of Statistics and Actuaria Science, Simon Fraser University. Niwiga DB Numerical Method for Valuation of Financial Derivatives, [Thesis]. South Africa (tza): University of Werstern Cape. Pooley DM, Forsyth PA, Vetzal KR Numerical convergence properties of option pricing PDEs with uncertain volatility. IMA J. Numer. Anal. 23: Ross SM Sthochastic Process. New York: John Wiley & Son Inc. Strikwerda JC Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. 1st Ed. Madison: Wadsworth & Brooks. Zang K, Wang S A computational scheme for uncertain votality model in option pricing. Appl. Numer. Math. 59: Wang S A novel fitted finite volume method for the Black-Scholes equation governing option pricing. IMA J. Numer. Anal. 24:

41 27 Lampiran 1 Pembuktian Lemma Ito LAMPIRAN Diasumsikan bahwa model dari harga saham dapat dinyatakan sebagai berikut: 1.a) Misalkan U(S(t),t) dan berdasarkan ekspansi deret Taylor diperoleh (. 1.b) Dengan menguadratkan kedua ruas pada persamaan (1.a), diperoleh sebagai berikut Diketahui bahwa dan maka (1.c) Dengan menyubstitusikan persamaan (1.a) dan (1.c) pada persamaan (1.b) akan diperoleh: ( ). Jadi, Lemma Ito terbukti. Lampiran 2 Sintaks program Beda Hingga Upwind dan Eksplisit function B=ExplisitIL(u0,g1,g2,S_,T,nS,nt) format long ns1 = ns + 1; %% jumlah titik S nt1 = nt + 1; %% jumlah titik t hs = S_/nS; %% panjang sub-interval S hs2 = hs*hs; ht = T/nt; %% panjang sub-interval t sigma0 = 0.2; %% Sigma from standard BSM r = 0.08; %% tingkat suku bunga bebas risiko b = 0.35; %% Biaya Transaksi p = 0.5; %% Premi Resiko %%%% Grid untuk variabel S dan t Svec = hs*(0:ns); %% size = 1x(nS+1) tvec = ht*(0:nt); %% size = 1x(nt+1) %%%% Batas U= zeros(nt1, ns1); %% size = (nt+1)x(ns+1) for h = 1:nS1 U(1,h) = feval(u0,svec(h)); %%Syarat awal

42 28 for k = 1:nt1 U(k,1) = feval(g1,tvec(k)); %% Syarat batas 1 U(k,nS1) = feval(g2,tvec(k)); %% syarat batas 2 for m = 2:nt1 Vtemp = U(m-1,:); U_SS = zeros (1, ns1-2); for j = 2:nS1-1 U_SS(j-1) = (Vtemp(j-1)-2*Vtemp(j)+ Vtemp(j+1))/hS2; %%%% Volatilitas RAPM sigma2 = zeros(ns1-2, 1); for i = 1:nS1-2 if Svec(i)*U_SS(i) < 3.14/(32*b^2*p)&& Svec(i)*U_SS(i)>0 sigma2(i) = sigma0^2*(1-3*(b^2*p*svec(i)*u_ss(i)/(2*3.14))^(1/3)); else sigma2(i) = sigma0^2; %%%% Menentukan harga Opsi secara eksplisit for j = 1:nt1-1 for i = 2:nS1-1 U(j+1,i) = ht*0.5*sigma2(i-1)*(svec(i)^2)*((u(j,i-1)- 2*U(j,i)+ U(j,i+1))/hS2)+ ht*r*svec(i)*((u(j,i+1)-u(j,i))/hs) + ht*(1/ht - r)*u(j,i); B = zeros(nt1,ns1); for j = 1:nt1 B(j,:) = U((nt1+1)-j,:); %%%%% Plot Solusi Numerik surf(svec,tvec,b) ylabel('waktu'); xlabel('harga Saham'); zlabel('harga Opsi'); s1=sprintf('h_t=%6.4f h_s=%6.4f', ht, hs); title(s1); Beda Hingga Upwind dan Implisit function V=BedaHinggaUP(u0,g1,g2,S_,T,nS,nt) % % INPUT % u0 = u0(s) : syarat awal % g1 = g1(t) : syarat batas 1 pada S=0 % g2 = g2(t) : syarat batas 2 pada S=S_ % S_ : S_max % T : waktu jatuh tempo

43 29 % ns : banyak sub-interval dari [0, S_] % nt : banyak sub-interval dari [0, T] % % OUTPUT % U : solusi (u(j,i)), j adalah indeks untuk waktu, i adalah indeks untuk % harga saham format long ns1 = ns+1; % Jumlah titik S (harga saham) hs = S_/nS; % panjang subinterval S hs2 = hs*hs; % nt1 = nt+1; % Jumlah titik t (waktu) ht = T/nt; % panjang subinterval t sigma0 = 0.2; bt = 0.35; %biaya_transaksi pr = 0.5; %premi_risiko r = 0.08; % tingkat suku bunga bebas risiko rat = 1/ht; % % titik untuk variabel S dan t Svec = hs*(0:ns); % size = 1x(nS+1) tvec = ht*(0:nt); % size = 1x(nt+1) % mefinisikan matriks U U = zeros(nt1, ns1); % size = (nt+1)x(ns+1) for k = 1:nS1 U(1,k) = feval(u0,svec(k)); for k = 1:nt1 U(k,1) = feval(g1,tvec(k)); U(k,nS1) = feval(g2,tvec(k)); for m = 2:nt1 % time-step iteration Vtemp = U(m-1,:); Vtemphit = U(m-1,2:nS1-1)'; Un = U(m-1,2:nS1-1); tol = 1; iter = 1; while tol > 1.0e-5 && iter <= 1000 U_SS = zeros (1, ns1-2); for j = 2:nS1-1 U_SS(j-1) = (Vtemp(j-1)-2*Vtemp(j)+ Vtemp(j+1))/hS2; Svechit = zeros(1, ns1-2); for j=1:(ns1-2) Svechit(j) = Svec(j+1); %%%% Volatilitas RAPM sigma2 = zeros(ns1-2, 1); for i = 1:nS1-2 if Svechit(i)*U_SS(i) < 3.14/(32*bt^2*pr)&& Svechit(i)*U_SS(i)>0 sigma2(i) = (sigma0^2)*(1-3*(bt^2*pr*svechit(i)*u_ss(i)/(2*3.14))^(1/3)); else sigma2(i) = (sigma0^2);

44 30 %%%%%%%%%%%%******** b = r*svechit; A = zeros(ns1-2,3); % entri dari koefisien matrix untuk systems tridiagonal (to be % solved at each time level) for i = 1:(nS1-2) A(i,2) = rat+2*sigma2(i)*(svechit(i)^2)/hs2 + (1/(hS)*b(i))+ r; for i = 1:(nS1-2) A(i,1) = -sigma2(i)*(svechit(i)^2)/hs2; for i = 1:(nS1-2) A(i,3) = -sigma2(i)*(svechit(i)^2)/hs2 -(1/hS)*b(i); F = zeros(ns1-2,1); F(1) = A(1,1)*U(m,1) + A(1,2)*Vtemphit(1) +A(1,3)*Vtemphit(2)- rat*un(1); F(nS1-2) = A(nS1-2,1)*Vtemphit(nS1-3)+A(nS1-2,2)*Vtemphit(nS1-2)+A(nS1-2,3)*U(m, ns1) - rat*un(ns1-2); for i = 2:(nS1-3) F(i)=A(i,1)*Vtemphit(i-1) + A(i,2)*Vtemphit(i) +A(i,3)*Vtemphit(i+1)-rat*Un(i); % Generate Jacobian matrix Jacval = zeros(ns1-2,1); for i = 1:(nS1-2) if Svechit(i)*U_SS(i) < 3.14/(32*bt^2*pr)&& Svechit(i)*U_SS(i)>0 Jacval(i) = ((sigma0^2)/hs2)*svechit(i)^2*((bt^2*pr*svechit(i)*u_ss(i)/(2*3.14 ))^(1/3)); else Jacval(i) = 0; % Matrix Jacobian J = zeros(ns1-2,3); for i = 1:(nS1-2) J(i,2) = A(i,2)- Jacval(i); for i = 2:(nS1-2); J(i,1) = A(i,1)+ 0.5*Jacval(i); for i = 1:(nS1-3) J(i,3) = A(i,3)+ 0.5*Jacval(i); %%%%% Menyelesaikan matrix tridiagonal J*y=-F menggunakan Factorization Crout lamb1 = zeros(ns1-2,1); lamb1(1)=j(1,3)/j(1,2); d = zeros(ns1-2,1); d(1) = -F(1)/J(1,2);

45 for k = 2:(nS1-3) lamb1(k) = J(k,3)/(J(k,2)-J(k,1)*lamb1(k-1)); d(k) = (-F(k)-J(k,1)*d(k-1))/(J(k,2)-J(k,1)*lamb1(k-1)); y = zeros(ns1-2,1); y(ns1-2) = (-F(nS1-2)-J(nS1-2,1)*d(nS1-3))/(J(nS1-2,2)-J(nS1-2,1)*lamb1(nS1-3)); for k = (ns1-3):-1:1 y(k) = d(k) - lamb1(k)*y(k+1); %%%%%%%%%%%%% End for Tridiagonal matrix %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Vtemphit = Vtemphit + y; tol = max(y); iter = iter + 1; Vtemp = [U(m,1) Vtemphit' U(m,)]; %%%%% End for while 31 for i = 1:nS1 U(m,i) = Vtemp(i); %%%%%%%%%%%% End untuk time-step iteration V = zeros(nt1, ns1); for j = 1:nt1 V(j,:) = U((nt1+1)-j,:); %%%%%%% Plot Solusi Numerik surf(svec,tvec,v) xlabel('harga Saham'); ylabel('waktu'); zlabel('harga Opsi'); s1=sprintf('h_t=%6.4f h_s=%6.4f', ht, hs); title(s1);

46 32 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Balusu Desa Balusu Kec.Balusu Kab.Barru Sul-Sel pada tanggal 09 Agustus 1990, sebagai anak keempat dari pasangan Muh Syata dan Sitti Rahman. Pidikan sekolah menengah ditempuh di SMA Negeri 1 Soppeng Riaja Program IPA, lulus pada tahun Pada tahun yang sama penulis diterima di program studi Matematika Universitas Negeri Makassar, dan menyelesaikannya pada tahun Sebuah artikel dengan judul Numerical method for determining option price with Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM) volatility model telah diterima untuk diterbitkan di jurnal Applied Mathematical Sciences (AMS), Hikari Ltd, Bulgaria. Karya ilmiah tersebut merupakan bagian dari penelitian S-2 penulis.