PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Transkripsi

1

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi dan kutipan dari karya penulis lain, yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan, telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Mei 2011 Muhamad Syazali NIM G

3 ABSTRACT MUHAMAD SYAZALI. American Put Option Pricing by Monte Carlo Simulation. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI An American option is an option that can be exercised at the strike price anytime before or on the date of expiration. In this thesis, Monte Carlo simulation for valuation of American option is presented. Monte Carlo simulation is one of the numerical methods used to determine the price of American options. The simulation provides several examples of initial stock price, rate of interest, exercise time, volatility, and strike price K. The simulation study shows the cost of the option c decreases when S increases, c decreases when r increases, c increases when T increases, c increases when increases, and c increases when K increases. Keywords : American Options, Black-Scholes Formula, Monte Carlo Simulation. 3

4 RINGKASAN MUHAMAD SYAZALI. Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI. Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Aset tertentu dalam penelitian ini adalah saham. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli aset. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli saham dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika yakni kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapanpun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date) dan opsi Eropa yakni opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan formula Black-Scholes yang merupakan solusi analitik dari persamaan Black-Scholes, namun untuk opsi Amerika belum terdapat solusi analitik, sehingga penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan numerik. Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini merupakan metode alternatif berbasis teknik simulasi. Dimulai dengan persamaan pemrograman dinamis tradisional, yang menyampaikan gagasan bahwa harga opsi Amerika adalah masalah mengetahui pada setiap titik waktu, apakah opsi akan dieksekusi atau tidak. Tantangan utamanya adalah menentukan kapan akan melakukan eksekusi tersebut. Metode yang dipakai di sini mentransformasikan persamaan pemrograman dinamis ke masalah dualnya, dan akhirnya mencoba untuk menyelesaikan secara numerik. Berdasarkan hal tersebut, maka penelitian ini bertujuan menentukan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo. Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan menentukan solusi numerik persamaan Black-Scholes yang merupakan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo. Untuk memperoleh output berupa harga opsi put Amerika, simulasi Monte Carlo tersebut diimplementasikan pada software Matlab. Untuk mengimplementasikan pada Matlab terlebih dahulu disusun kode programnya dengan menggunakan parameter-parameter input, yaitu: (harga saham awal), (harga eksekusi), (suku bunga), (volatilitas), (waktu jatuh tempo), ( banyaknya partisi untuk waktu) dan (banyaknya pengulangan). Dari hasil simulasi pada komputer dapat dilihat hubungan antara harga opsi put Amerika dengan parameter-parameter,,,, dan. Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal berikut. Simulasi Monte Carlo dapat meramalkan harga saham yang akan terjadi. Metode monte Carlo baru digunakan jika penyelesaian secara analitik tidak ada. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi: semakin tinggi harga saham awal maka harga opsi semakin rendah, semakin tinggi suku bunga maka harga opsi semakin 4

5 rendah, semakin lama waktu jatuh tempo maka harga opsi semakin tinggi, semakin tinggi nilai volatilitas saham, maka harga opsi akan semakin tinggi, semakin tinggi harga eksekusi maka harga opsi akan semakin tinggi. Kata kunci: Opsi Amerika, formula Black-Scholes, simulasi Monte Carlo 5

6 Hak Cipta milik IPB, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitianm penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB. 6

7 PENENTUAN HARGA OPSI PUT AMERIKA DENGAN SIMULASI MONTE CARLO MUHAMAD SYAZALI Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA 8

9 HALAMAN PENGESAHAN Judul Tesis : Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo Nama : Muhamad Syazali NRP : G Progam Studi : Matematika Terapan Menyetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Endar H Nugrahani, M.S. Ketua Ir. Retno Budiarti, M.S. Anggota Mengetahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H Nugrahani, M.S. Dr. Ir.Dahrul Syah, M.Sc.Agr. Tanggal Ujian: 19 Mei 2011 Tanggal Lulus: 9

10 PRAKATA Alhamdulillah, penulis panjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-nya sehingga penulisan tesis dengan judul Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo dapat diselesaikan. Tesis ini disusun sebagai salah syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S. dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberikan arahan dan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. 2. Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji luar komisi yang telah banyak memberikan saran untuk penyempurnaan tesis ini. 3. Kedua orang tua (Prayitno dan Saiti), kakak dan adik tercinta (Edy Prasetyo, Rahmad Junaidi, Istihana, Rofiqul Umam dan Fajri Farid), keponakan tercinta (Zidan dan Zaki) serta keluarga besar atas doa, pengorbanan, semangat dan kasih sayang yang telah diberikan. 4. Ibu Susi, Bapak Bono, Mas Hery, Bapak Yono beserta staf Departemen Matematika. 5. Sahabat seperjuangan MAT 2008 : Mba Mia, Mba Mahmuda, dan Ro fah atas segala bantuan dan motivasinya. 6. Rani Dwi Astuti yang telah memberikan semangat dan motivasi. 7. Teman-teman Al-Fath (Mas Erik, Mas Nono, Irfan, Aan, Ipung, Gonggo, Sigit) yang telah membantu penulis baik secara moril. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2011 Muhamad Syazali 10

11 RIWAYAT HIDUP Penulis bernama lengkap Muhamad Syazali. Penulis dilahirkan di Bandar Lampung, pada tanggal 21 November 1986 dari pasangan Bapak Prayitno dan Ibu Saiti. Penulis merupakan anak ke tiga dari enam bersaudara. Pada tahun 2004 penulis lulus dari MAN 1 Bandar Lampung. Pendidikan Sarjana ditempuh di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor dan lulus tahun Pada tahun yang sama penulis melanjutkan jenjang Magister Sains di Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. 11

12 DAFTAR ISI Hal DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii I. PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 3 II. LANDASAN TEORI Aset yang Mendasari Nilai Opsi Tipe Opsi Keuntungan Opsi Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi Persamaan Black-Scholes Formulasi Harga Black-Scholes Solusi Persamaan Black-Scholes Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika Martingale III. PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA Asumsi-Asumsi Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika Formulasi Dekomposisi Nilai Opsi Put Amerika Batas Atas dan Batas Bawah Nilai Opsi Put Amerika IV. SIMULASI MONTE CARLO Sejarah Gambaran Umum Ilustrasi Penggunaan Simulasi

13 V. IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA Harga Saham ( ) Pembangkitan Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika Harga Opsi Put Amerika Hedging dan Eksekusi Algoritma dan Implementasi VI. HASIL SIMULASI Harga Opsi dalam Berbagai Kasus Standar Deviasi VI. SIMPULAN DAN SARAN VII. DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

14 DAFTAR TABEL Hal 1. Distribusi permintaan sepatu per hari Distribusi permintaan dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif Tag number yang disusun berdasarkan FDK Hasil kesimpulan permintaan Harga opsi put Amerika dengan parameter,,,, dan, serta harga saham yang bervariasi Harga opsi put dengan parameter,,,, dan, serta suku bunga yang bervariasi Harga opsi put dengan parameter,,,, dan, serta waktu jatuh tempo yang bervariasi Harga opsi put dengan parameter,,,, dan, serta nilai volatilitas saham yang bervariasi Harga opsi put dengan parameter,,,, dan, serta harga eksekusi yang bervariasi Nilai opsi put Amerika untuk beberapa harga saham awal

15 DAFTAR GAMBAR Hal 1. Nilai harga saham pada waktu Nilai intrinsik opsi pada waktu Bagan alur algoritma simulasi Monte Carlo Hubungan harga opsi dengan harga saham awal Hubungan harga opsi dengan suku bunga Hubungan harga opsi dengan waktu jatuh tempo Hubungan harga opsi dengan volatilitas saham Hubungan antara harga opsi dengan harga eksekusi Nilai opsi put Amerika untuk di sepanjang interval waktu

16 DAFTAR LAMPIRAN Hal 1. Penurunan Persamaan (2.8) Penentuan rataan dan standar deviasi peubah Penurunan Persamaan (2.26) Bukti Teorema Bukti Teorema

17 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang. Dalam dunia keuangan, dikenal adanya pasar keuangan (financial market) yang terdiri atas pasar uang (money market) dan pasar modal (capital market). Sekuritas pasar uang adalah obligasi dengan jatuh tempo sangat pendek. Sekuritas pasar uang biasanya sangat laku di pasar dan memiliki risiko yang relatife kecil. Jatuh tempo yang pendek dan risiko kredit yang kecil memastikan keuntungan atau kerugian modal yang minimal. Sekuritas tersebut dijual dalam denominasi yang besar tetapi dapat dibeli secara tidak langsung melalui reksa dana pasar uang. Sedangkan pasar modal meliputi sekuritas jangka panjang dan lebih berisiko. Sekuritas yang ada di pasar modal lebih beragam dibanding pasar uang. Oleh karena itu, pasar modal dibagi menjadi empat segmen: pasar obligasi jangka panjang, pasar saham, serta pasar instrumen derivatif untuk opsi dan kontrak berjangka. Hull (2006) menyatakan bahwa derivatif adalah instrumen keuangan yang nilainya didasarkan atau diturunkan dari aset yang mendasarinya. Beberapa produk derivatif antara lain kontrak berjangka (future contract), kontrak forward dan kontrak opsi. Kontrak berjangka merupakan suatu kewajiban untuk membeli atau menjual suatu aset pada harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Kontrak forward merupakan perjanjian untuk melakukan penyerahan aset di masa mendatang pada harga yang disepakati. Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor berhati-hati dalam menginvestasikan dananya. Hal tersebut menjadi salah satu faktor munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk sekuritas turunan yang merupakan perangkat keuangan yang nilainya bergantung 17

18 kepada nilai aset yang mendasarinya. Salah satu produk tersebut adalah kontrak opsi. Chicago Board Options Exchange merupakan bursa pertama di dunia yang memperdagangkan kontrak opsi pada tahun Di Indonesia, perdagangan opsi baru dilakukan di Bursa Efek Jakarta (BEJ) pada bulan Oktober 2004, yang sekarang bernama Bursa Efek Indonesia. Kontrak opsi adalah perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak kepada salah satu pihak, untuk menjual atau membeli aset pada harga yang telah disepakati (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli aset. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli saham dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika yakni kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapanpun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date) dan opsi Eropa yakni opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Untuk mendapatkan kontrak opsi, investor harus mengeluarkan biaya (premi) dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. Besarnya biaya ini disebut juga dengan nilai opsi. Teori penentuan nilai opsi telah dikembangkan pada tahun 1973 oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah penentuan nilai opsi Eropa ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial (PDP) Black Scholes. Pada tahun yang sama, Robert C. Merton mempublikasikan hasil karyanya yang merupakan perluasan dari formula Black-Scholes yaitu formula Black-Scholes-Merton untuk nilai opsi put Eropa. Setelah itu, banyak peneliti lain yang berhasil memodelkan opsi Amerika dengan melakukan penyesuaian argumentasi terhadap penurunan PDP Black-Scholes. Dengan penyesuaian argumentasi ini, akan diperoleh model PDP Black-Scholes nilai opsi Amerika dalam bentuk ketaksamaan (Wilmott et al. 1993). 18

19 Dengan landasan yang diberikan para peneliti tersebut, muncul inovasiinovasi penilaian tentang nilai opsi, salah satunya mengenai nilai opsi put Amerika. Dalam kontrak opsi put Amerika ada suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai batas antara selang harga saham yang merupakan saat bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsi dengan selang harga saham lainnya yang merupakan saat bagi investor sebaiknya menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang tersebut disebut nilai kritis untuk eksekusi opsi. Pada opsi Amerika terdapat kebebasan waktu eksekusi, maka hingga saat ini belum terdapat solusi analitik. Penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan numerik (Pauly 2004). Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini merupakan metode alternatif berbasis teknik simulasi. Dimulai dengan persamaan pemrograman dinamis tradisional, yang menyampaikan gagasan bahwa harga opsi Amerika adalah masalah mengetahui pada setiap titik waktu, apakah opsi akan dieksekusi atau tidak. Tantangan utamanya adalah menentukan kapan akan melakukan eksekusi tersebut. Metode yang dipakai di sini mentransformasikan persamaan pemrograman dinamis ke masalah dualnya, dan akhirnya mencoba untuk menyelesaikan secara numerik. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah menentukan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo. 1.3 Manfaat Penelitian Dengan simulasi Monte Carlo dapat diramalkan harga saham yang akan terjadi di masa akan datang sehingga dapat diketahui harga opsi put Amerika yang maksimal. Oleh karena itu investor dapat menentukan kira-kira kapan dia akan mengeksekusi opsi agar mendapatkan keuntungan yang maksimum. 19

20 BAB II LANDASAN TEORI Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut. Hull (2006) memaparkan ada beberapa aset yang mendasari opsi. Lalu menerangkan pula tentang nilai opsi, tipe opsi, keuntungan opsi, dan faktor-faktor yang memengaruhi harga opsi. Seperti yang tertuliskan pada sub bab 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, dan 2.5 berikut ini. 2.1 Aset yang Mendasari Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option), opsi berjangka (future option), dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah mata uang asing dengan kurs tertentu. Opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah kontrak berjangka, dan opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham. Tulisan ini akan membahas tentang opsi saham. 2.2 Nilai Opsi Nilai opsi terdiri dari nilai intrinsik opsi dan nilai waktu. Dimana, nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsi call, nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi (S T ) lebih besar dari pada harga eksekusi 20

21 (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo). Untuk opsi put nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi pada waktu (S T ) kurang dari harga eksekusi (K). Sedangkan nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuka. 2.3 Tipe Opsi Terdapat dua tipe kontrak opsi, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Opsi put sendiri memberikan hak kepada pemegang opsi untuk untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat hal utama, yaitu : Harga aset yang mendasari yang akan dibeli. Jumlah aset yang mendasari yang akan dibeli. Harga eksekusi aset yang mendasari. Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut expiration date. Pada kontrak opsi put empat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi call. Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga saham awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi adalah K, serta c = c(s,t) menyatakan harga opsi call Eropa pada saat t, dan p = p(s,t) menyatakan harga opsi put Eropa pada saat t. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi yaitu c = maks (S T K,0). 21

22 Jika S T > K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga S T yang lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah S T K. Jika S T = K opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila S T < K opsi call dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah p = maks (K S T, 0). Jika S T > K, opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan haknya. Opsi put akan dieksekusi pada saat S T < K sehingga pemegang opsi memperoleh hasil sebesar K S T. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal dengan put-call-parity, dapat dinyatakan sebagai berikut :, dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko. Apabila C = C(S,t) menyatakan harga opsi call Amerika dan P = P(S,t) menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu maturity untuk opsi call adalah :, sedangkan untuk opsi put 2.4 Keuntungan Opsi Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat seperti berikut ini : Menejemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian. Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir. Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila 22

23 diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung turun maka akan membeli opsi put. Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi warrant, yaitu berupa premi dari opsi tersebut. 2.5 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi Harga Opsi sendiri dipengaruhi oleh berbagai faktor diantaranya adalah harga aset yang mendasari dan harga eksekusi, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku bunga bebas risiko. Harga Aset yang Mendasari dan Harga Eksekusi Jika suatu opsi call dieksekusi pada waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasari meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sementara pada opsi put, pembayaran atas eksekusi hak adalah sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya. Waktu Jatuh Tempo Untuk opsi Amerika, dari kedua macam opsi call maupun opsi put menjadi lebih berharga jika waktu jatuh temponya semakin lama. Sementara tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call maupun put tidak terpengaruh dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi haknya. Volatilitas Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa mendatang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan terhadap suatu opsi. Suku Bunga Bebas Risiko Suku bunga bebas risiko memengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan dan memengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan 23

24 mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko. 2.6 Persamaan Black-Scholes Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 dalam merumuskan nilai opsi call Eropa mendasarkan pada beberapa asumsi berikut ini : Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener dengan μ dan σ konstan; Tidak ada biaya transaksi dan pajak; Tidak ada pembayaran deviden pada saham; Tidak terdapat peluang arbitrase, yaitu suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko; Short selling diijinkan; Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo. Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah berikut : Definisi 1 (Proses Stokastik) Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X(t) adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan waktu. [Ross 1996] Definisi 2 (Gerak Brown) Proses stokastik disebut proses gerak Brown jika : 1. X(0) = Untuk 0 < t 1 < t 2 <... < t n peubah acak X(t i ) X(t i-1 ), i = 1, 2, 3,..., n saling bebas. 24

25 3. Untuk setiap t > 0, X(t) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi σ 2 t. [Ross 1996] Definisi 3 (Gerak Brown Geometris) Jika adalah gerak Brown, maka proses stokastik yang didefinisikan disebut gerak Brown Geometris. [Ross 1996] Definisi 4 (Proses Wiener) Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1. [Niwiga 2005] Definisi 5 (Proses Wiener Umum) Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut : dx(t) = adt + bdw(t). (2.1) adt disebut komponen deterministik dan bdw(t) menyatakan komponen stokastik, serta W(t) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan rataan dan standar deviasi dari X. [Hull 2006] Definisi 6 (Proses Itô) Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut : dx(t) = a(x(t),t)dt + b(x(t),t)dw(t). (2.2) [Hull 2006] Lema Itô Misalkan proses X(t) memenuhi (2.2) dan fungsi adalah kontinu serta turunan kontinu, maka memenuhi persamaan berikut : 25

26 (2.3) dengan, dan adalah proses Wiener sama seperti persamaan (2.2). mengikuti proses Itô, dengan drift rate dan variance rate [Hull 2006] Definisi 8 (Model Harga Saham) Jika S harga saham pada waktu t, μ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan σ volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu : (2.4) [Hull 2006] Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black-Scholes. Misalnya mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalnya adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Itô, perubahan akan memiliki nilai harapan drif rate µ. Parameter µ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan µ disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah,dengan menyatakan volatilitas harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4). Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan Lemma Itô untuk suatu fungsi, yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh:. (2.5) 26

27 Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan menjual saham. Misalnya π adalah nilai portofolio yang dimaksud, maka. (2.6) Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai. (2.7) Dengan menyubstitusikan (2.4) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh. (2.8) (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1) Tingkat pengembalian (return) dari investasi sebesar π pada saham takberisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam selang waktu dt, dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu :. (2.9) Substitusi (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan (2.10) Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton. 2.7 Formulasi Harga Black-Scholes Hull (2006) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-Scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah (2.11) 27

28 Didefinisikan adalah fungsi kepekatan peluang dari, maka. (2.12) Misalkan, maka,, dan. Berdasarkan Lemma Itô diperoleh. Oleh karena µ dan σ konstan maka mengikuti gerak Brown dengan rataan dan varian. Berdasarkan (2.3), merupakan tingkat keuntungan (return) dari harga saham. Bentuk keuntungan dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari keuntungan yang bersifat deterministik adalah keuntungan dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta µ dapat diganti dengan r. Karena berubah dari 0 sampai dengan T dan mengikuti gerak Brown, maka berdistribusi normal dengan rataan dan variansi. Misalkan pada waktu nilai dan pada waktu T nilai, maka pada selang waktu sampai dengan T, adalah berdistribusi normal dengan rataan dan variansi di atas, sehingga diperoleh:, atau dapat dituliskan berdistribusi normal dengan. Dengan demikian, berdistribusi normal dengan rataan, (2.13) dan standar deviasi. 28

29 Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah dengan. (2.14) Substitusi m dari (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh, maka peubah juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan dengan, yaitu. (2.15) (Bukti berdasarkan Buchanan 2006 dapat dilihat pada Lampiran 2) Persamaan (2.14) diubah menjadi. (2.16) Perubahan batas integral pada sisi kanan dari (2.12), dari integral menurut menjadi integral menurut, adalah sebagai berikut: Jika, maka. Jika maka sehingga. Dengan menggunakan (2.15), (2.16), dan perubahan batas integral serta misalkan, maka (2.12) menjadi: 29

30 sehingga (2.12) dapat dinyatakan dengan. (2.17) Jika didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal kumulatif, maka. Peubah pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku pertama di atas disubstitusi dengan (2.13) dan, maka diperoleh, dengan. 30

31 Dengan alasan yang serupa seperti di atas, maka. (2.18) Dengan menyubstitusikan m dan s pada (2.13) ke dalam (2.18) diperoleh, dengan, sehingga (2.12) menjadi. (2.19) Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai. (2.20) Dengan substitusi (2.19) ke dalam (2.20) diperoleh formula Black-Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan deviden pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu, (2.21) dan dengan put-call-parity diperoleh harga opsi put Eropa, dengan dan. 31

32 2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes Berdasarkan Hull (2006) berikut ini akan ditunjukkan bahwa pada (2.21) merupakan solusi dari (2.10). yaitu akan dihasilkan dengan menentukan turunan-turunan (2.21) terhadap dan serta peubah T diganti dengan. Turunan terhadap S adalah. (2.22) Dari persamaan, turunan terhadap dan berturut turut adalah dan sehingga (2.23) Turunan parsial (2.21) terhadap adalah. (2.24) Substitusi (2.23) ke dalam (2.24) diperoleh, (2.25) dengan. (2.26) (Bukti dapat dilihat pada lampiran 3) Turunan parsial (2.21) terhadap adalah. (2.27) 32

33 Substitusi (2.23) dan (2.26) ke dalam (2.27) diperoleh (2.28). (2.29) Substitusi (2.22) ke dalam (2.29) diperoleh. (2.30) Peubah pada (2.10) diubah dengan maka menjadi. (2.31) Substitusi (2.21), (2.25), (2.27), dan (2.30) ke dalam (2.31) didapat. Sehingga terbukti bahwa. 2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika Persamaan (2.4) menyatakan bahwa model perubahan harga saham adalah. Seperti halnya pada penurunan persamaan Black-Scholes, dibentuk suatu portofolio dengan membeli sebuah opsi Amerika dan menjual sejumlah saham, maka diperoleh:. Dengan memilih dan analogi (2.8), maka nilai portofolio berubah menjadi. Pada persamaan Black-Scholes untuk opsi Eropa argumentasinya adalah dibentuk suatu persamaan dengan return tak berisiko, agar tidak terjadi peluang arbitrase. Namun ketika opsi pada portofolio itu opsi Amerika, diperoleh 33

34 pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga. Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan:, atau. (2.32) Pertidaksamaan (2.32) adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan (2.32) dapat dinyatakan sebagai berikut : (2.33). (2.34) Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka diberikan nilai batas untuk menentukan nilai opsi put Amerika Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika Kondisi batas bawah untuk opsi put Amerika adalah. (2.35) Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika seseorang dapat membeli opsi put P, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak berisiko sebesar. Oleh karena Black-Scholes dengan asumsi tidak terjadi kesempatan arbitrase, maka (2.35) adalah kendala yang benar untuk opsi put Amerika. Misalkan menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan. Jika maka opsi akan dieksekusi, namun jika opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian (2.35) dapat dinyatakan dengan: 34

35 (2.36) Oleh karena ( ) tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap (, ) ini disebut masalah nilai batas bebas (free buondary-value problem), sehingga ketika < ( ) < nilai (, ) =, serta harus memenuhi (2.33) sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi: + + <0 (, ) =. (2.37) Pada saat ( ) <, nilai (, ) > ( ), serta harus memenuhi (2.34), sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi: + + = 0 (, ) > ( ). (2.38) Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika adalah sebagai berikut: Untuk < ( ) + + <0 Untuk > ( ) Syarat batas (, ) =. + + = 0 (, ) > ( ). lim (, ) = 0 lim (, ) = Syarat akhir ( ( ), ) = ( ( )). (2.39) Untuk harga saham dan menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi: lim maks{0, } = 0 [Pauly 2004] Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham yang semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat put harus memenuhi: lim (, ) = 0 menuju tak hingga. Maka, nilai opsi 35

36 Kemudian jika = 0, maka nilai intrinsiknya maks{0, } akan bernilai. Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi. Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi put harus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsi put adalah: (0, ) = Martingale Misalkan proses stokastik ( ) dengan [0, ] didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω,, ). Misalkan { ( ), [0, ]} menyatakan kumpulan informasi yang disebut filtrasi. Jika nilai ( ) termasuk dalam himpunan ( ) untuk 0, maka dapat dikatakan bahwa ( ) adalah ( ). Dengan kata lain, nilai ( ) akan diketahui dengan diberikan himpunan informasi ( ). Definisi 9. (Martingale) Proses stokastik { ( ), [0, ]} dikatakan martingale yang berdasarkan filtrasi ( ) dan peluang, jika untuk 0, i. ( ) diketahui, dengan diberikan filtrasi ( ) ( ( ) adalah ( ) ). ii. ( ) < iii. [ ( )] = [ ( ) ( )] = ( ) untuk <, dengan peluang 1. [Neftci 2000] 36

37 BAB III PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA Pada bab ini akan disajikan rumusan mengenai penilaian opsi put Amerika. Pada bagian pertama diberikan beberapa asumsi untuk penilaian opsi Amerika. Bentuk nilai intrinsik opsi put Amerika dibahas di bagian kedua. Kemudian di bagian ketiga akan disajikan formulasi dekomposisi nilai opsi put Amerika, dengan nilai batas atas dan batas bawah opsi put Amerika diberikan pada bagian keempat. 3.1 Asumsi-asumsi Asumsi-asumsi yang digunakan dalam penilaian opsi put Amerika, antara lain: 1. Tingkat suku bunga bebas risiko dan bernilai konstan. 2. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko. 3. Model pasar sempurna, tidak ada biaya transaksi jual atau beli pada saham atau opsi. 4. Perubahan harga saham mengikuti model gerak Brown. 5. Sebaran harga saham adalah lognormal dan ragam adalah konstan. 6. Tidak ada pembayaran dividen atas saham. 3.2 Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika Opsi Amerika yang memiliki waktu jatuh tempo pada waktu, memiliki nilai opsi bukan hanya ditentukan pada saat waktu jatuh tempo seperti pada opsi Eropa. Karena dalam kontrak opsi Amerika terdapat keleluasaan dalam waktu mengeksekusi sehingga opsi dapat dieksekusi kapan saja sejak kontrak dibuat sampai dengan waktu jatuh tempo. Oleh karena hal ini, penentuan nilai opsi Amerika menjadi hal menarik yang hingga saat ini masih banyak diteliti oleh para peneliti terdahulu. 37

38 Seperti hal nya opsi Eropa, opsi Amerika pun memiliki keadaan-keadaan dimana investor mengalami kerugian dan mengalami keuntungan ataupun tidak mengalami kerugian dan keuntungan (dalam hal ini disebut impas). Dalam opsi put Amerika keadaan dimana opsi memberikan keuntungan jika segera dieksekusi disebut in the money. Keadaan opsi yang memberikan kerugian jika opsi segera dieksekusi disebut out the money. Sedangkan keadaan dimana opsi yang tidak memberikan keuntungan maupun kerugian disebut at the money. Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh tempo, nilai intrinsiknya disebut sebagai nilai payoff. Misalkan S adalah harga saham dan K merupakan harga eksekusi (strike price). Apabila <, tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar, maka kontrak opsi put berada pada posisi in the money. Apabila =, tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar nol, maka kontrak opsi put berada pada posisi at the money. Dan ketika >, tindakan eksekusi tidak memberikan keuntungan. Maka kontrak opsi put berada pada posisi out the money. Karena pada saat, tindakan eksekusi opsi put tidak memberikan keuntungan, maka untuk, didefinisikan nilai intrinsiknya opsi put adalah nol. Dengan demikian, untuk setiap [0, ), nilai intrinsik opsi put dirumuskan sebagai: = maks{0, }. (3.1) Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai (, ), untuk [0, ) dan [0, ], dengan T menyatakan waktu jatuh tempo. Hubungan nilai opsi put (, ) dengan nilai intrinsik terdiri dari tiga kemungkinan: Nilai opsi put Amerika (, ) memenuhi ketaksamaan: (, ) < maks{0, }. (3.2) Jika investor membeli kontrak opsi tersebut dengan harga (, ) dan kontrak opsi segera dieksekusi, maka investor akan memperoleh keuntungan bebas risiko sebesar = (, ). Hal ini berarti bahwa terdapat peluang terjadinya tindakan arbitrase, maka kemungkinan pertama tidak berlaku. Nilai opsi put Amerika memenuhi persamaan: (, ) = maks{0, }. (3.3) 38

39 Maka akan terdapat dua reaksi investor tidak tertarik untuk membeli opsi karena investasi yang impas atau investor tertarik untuk membeli opsi karena adanya harapan bahwa nilai pengembalian opsi (return) pada saat opsi dieksekusi akan meningkat. Untuk mengantisipasi kedua kemungkinan tersebut, maka investor pemegang kontrak opsi lebih memilih mengeksekusi opsinya. Dengan demikian, persamaan memberikan keadaan bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsi put Amerika. Nilai opsi put Amerika memenuhi ketaksamaan: (, ) > maks{0, }. (3.4) Hal ini berarti bahwa tindakan eksekusi opsi akan merugikan karena nilai keuntungan opsi lebih kecil dari nilai kontrak opsinya. Akibatnya investor pemegang kontrak opsi lebih memilih untuk menjual kontrak opsi dengan harga (, ) kepada pihak lain. Dengan demikian, ketaksamaan (3.4) menghasilkan aksi jual kontrak opsi. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa nilai opsi put Amerika harus memenuhi ketaksamaan: (, ) maks{0, }. (3.5) 3.3 Formulasi Dekomposisi Nilai Opsi put Amerika. Model nilai opsi put Amerika. Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai (, ), untuk [0, ) dan [0, ], dengan T menyatakan waktu jatuh tempo. Nilai opsi put Amerika (, ) merupakan fungsi kontinu yang memetakan (, ) [0, ) [0, ], kebilangan real tak negatif. Karena nilai opsi put Amerika (, ) kontinu dan berlaku persamaan (3.5), maka untuk setiap [0, ) terdapat suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai batas antara selang harga saham yang merupakan saat investor mengeksekusi kontrak opsi dan selang harga saham lainnya yang merupakan saat investor menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang ini disebut dengan nilai kritis untuk eksekusi opsi. Misalkan nilai kritis dituliskan sebagai, untuk [0, ) yang didefinisikan oleh: = maks{ (, ) = } (3.6) Sedemikian sehingga: 39

40 , (, ) = (3.7) >, (, ) > maks{0, } (3.8) Nilai kritis, [0, ) berlaku sebagai nilai batas yang membagi selang harga saham (, ) [0, ) [0, ] menjadi dua selang daerah bagian, yaitu daerah stopping [0, ] [0, ], yang merupakan selang harga saham dengan waktu yang tepat untuk mengeksekusi opsi, karena untuk [0, ] nilai opsi put (, ) memenuhi persamaan (4.3) dan ketaksamaan + + <0. jadi untuk [0, ], dengan [0, ), maka nilai opsi put (, ) harus memenuhi: < 0 (, ) = maks{0, } (3.9) Selang daerah berikutnya yaitu daerah kontinu l (, ) [0, ], yang merupakan selang harga saham S yang tepat untuk menjual kontrak opsi kepada pihak lain. Berdasarkan persamaan + + =0 dan persamaan (4.4) nilai opsi put (, ) untuk (, ) dan [0, ) harus memenuhi: = 0 (, ) > maks{0, }. (3.10) Model nilai opsi put Eropa. Dengan diketahui konsep put-call parity pada maka nilai opsi put dapat juga ditentukan. Berdasarkan persamaan 2.10 dan persamaan 2.21, nilai opsi put Eropa dapat ditentukan sebagaimana dirumuskan pada Teorema berikut: Teorema 3.1. Misalkan (, ) adalah nilai opsi put tipe Eropa dengan harga eksekusi, tingkat suku bunga dan volatilitas harga saham, maka nilai opsi put diberikan oleh: (, ) = ( ) ( ) ( ) (3.11) dimana: 40

41 ln( / ) ( ) 2 ln( / ) + ( 2 ) ( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif. (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4) [Carr et al. 1992] Formulasi dekomposisi nilai opsi put Amerika. Pada saat = 0, misalkan harga saham dinotasikan sebagai dan nilai kritis sebagai. Misalkan investor memiliki satu opsi put Amerika ketika harga saham berada di atas batas eksekusi ( > ). Pada daerah tersebut tindakan eksekusi tidak memberi keuntungan eksekusi, karena berdasarkan persamaan (3.8) nilai opsi lebih bernilai dari pengembalian eksekusi. Dalam kontrak opsi put Amerika, nilai keuntungan opsi pada saat jatuh tempo = sama dengan nilai payoff, yaitu: (, ) = maks{0, }. (3.12) Nilai ekspektasi dari present value opsi put Amerika pada saat jatuh tempo merupakan bentuk dari nilai opsi put Eropa. Dengan demikian, untuk daerah kontinu l, nilai opsi put Amerika dapat dirumuskan dalam bentuk dekomposisi opsi put Eropa dengan premi resiko seperti dalam teorema berikut: Teorema 3.2. (Dekomposisi utama opsi put Amerika). Untuk daerah kontinu l, nilai opsi put Amerika saat = 0 yang dinotasikan sebagai (, 0) = terdiri dari nilai opsi put Eropa (, 0) = dan nilai premi (opsi) untuk eksekusi dini (early exercise premium), : = + (3.13) dimana = ( ) ( ) = ( ). 41

42 dengan = (3.14) = / (3.15) = ( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif: / ( ) = 2 / (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5) [Carr et al. 1992] 3.4 Batas Atas dan Batas Bawah Nilai Opsi Put Amerika Syarat Batas. Untuk harga saham menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi: lim maks{0, } = 0 Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham yang semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat menuju tak hingga. Maka, nilai opsi put harus memenuhi: lim (, ) = 0 Kemudian jika = 0, maka nilai intrinsiknya maks{0, } akan bernilai. Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi. Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi put harus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsi put adalah: (0, ) = Dalam kenyataannya seorang investor tidak mengetahui batas nilai saham yang tepat untuk mengeksekusi atau menjual opsi. Hal ini berarti Investor tidak mengetahui nilai batas pada persamaan (3.6). Karena posisi nilai ini tidak 42

43 diketahui secara pasti, maka nilai batas disebut sebagai nilai batas bebas. Nilai opsi put (, ) harus merupakan fungsi kontinu, sehingga: lim (, ) = (3.16) Dari persamaan (4.16) dapat diketahui bahwa, maka dari persamaan (4.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas atas bagi nilai opsi put sebagai berikut: = + ln( / ) ( /2) + ( / ) / (3.17) Untuk memperoleh nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put, diperlukan waktu eksekusi (stoping time ) tak terbatas. Dengan stoping time =, akan diperoleh peluang harga saham yang cukup kecil (Merton, 1992). Definisikan merupakan harga saham yang memberikan eksekusi menjadi maksimal dengan keuntungan sebesar, dengan memenuhi: (3.18) Karena, maka nilai keuntungan memenuhi: (3.19) Keuntungan eksekusi diperoleh jika dan keuntungan diperoleh jika (karena stoping time = ). Maka dari (3.18), dapat diperoleh nilai batas: (3.20) Dari persamaan (3.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put sebagai berikut: = + + ln( / ) ( /2) ln( / ) ( /2). 43

44 berikut: Dengan demikian, nilai opsi put Amerika mempunyai nilai batas sebagai + ln 2 + ln( / ) ( /2). 44

45 BAB IV SIMULASI MONTE CARLO Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit. Simulasi Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari penghitungan termodinamika kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radian, sehingga metode ini digunakan dalam penghitungan iluminasi global yang menghasilkan gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya. Karena algoritma ini memerlukan pengulangan (repetisi) dan penghitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya. 4.1 Sejarah Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik. Nama Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan nama kasino terkemuka di Monako. Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a Mathematician, 45

46 Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis. Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun 1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Rand Corporation dan Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang. Simulasi Monte Carlo dikenal dengan istilah sampling simulation atau Monte Carlo Sampling Technique. Istilah Monte Carlo pertama digunakan selama masa pengembangan bom atom yang merupakan nama kode dari simulasi nuclear fission. Simulasi ini sering digunakan untuk evaluasi dampak perubahan input dan risiko dalam pembuatan keputusan. Simulasi ini menggunakan data sampling yang telah ada (historical data) dan telah diketahui distribusi datanya. Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan-bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik. Aplikasi metode Monte Carlo Grafis, terutama untuk ray tracing Permodelan transportasi ringan dalam jaringan multi lapis / multi-layered tissues (MCML). Metode Monte Carlo dalam bidang finansial Simulasi prediksi struktur protein. 46

47 Dalam riset peralatan semikonduktor, untuk memodelkan transportasi pembawa arus. Pemetaan genetik yang melibatkan ratusan penanda genetik dan analisis QTL 4.2 Gambaran Umum Simulasi Monte Carlo adalah pengambilan sampel dengan menggunakan bilangan-bilangan acak (random numbers) dilakukan dengan bantuan komputer. Prinsip kerja dari simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan-bilangan acak atau sampel dari suatu variabel acak yang telah diketahui distribusinya. Oleh karena itu, dengan simulasi Monte Carlo seolah-olah dapat diperoleh data dari lapangan, atau dengan perkataan lain simulasi Monte Carlo meniru kondisi lapangan secara numerik. Simulasi Monte Carlo merupakan alat rekayasa yang ampuh untuk menyelesaikan berbagai persoalan rumit di dalam bidang probabilitas dan statistik. Meskipun demikian, simulasi Monte Carlo tidak memberikan hasil yang eksak, karena pada hakekatnya simulasi Monte Carlo adalah suatu metode pendekatan numerik. Seperti pada umumnya metode numerik, simulasi Monte Carlo membutuhkan banyak sekali iterasi dan usaha penghitungan, khususnya untuk masalah-masalah yang melibatkan peristiwa-peristiwa langka (very rare events). Oleh karena kelemahan-kelemahan tersebut, sebaiknya simulasi Monte Carlo baru digunakan bila metode analisis tidak tersedia atau metode pendekatan (misalnya pendekatan orde pertama dari fungsi variabel acak yang taklinear) tidak memadai. Simulasi Monte Carlo dari suatu proses stokastik adalah suatu prosedur untuk mendapatkan contoh acak terhadap hasil proses tersebut (Wong 2001). Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengikutsertakan faktor kemungkinan, model yang digunakan adalah model stokastik. Dasar dari simulasi Monte Carlo adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak). Metode ini memiliki lima tahapan dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dan terdapat tiga batasan dasar dalam penggunaan metode ini. 47