STUDI PERBANDINGAN ALGORITMA PRIM, ALGORITMA KRUSKAL, DAN ALGORITMA SOLLIN DALAM MENENTUKAN POHON MERENTANG MAKSIMUM SKRIPSI IBNU HARIS LUBIS

Transkripsi

1 STUDI PERBANDINGAN ALGORITMA PRIM, ALGORITMA KRUSKAL, DAN ALGORITMA SOLLIN DALAM MENENTUKAN POHON MERENTANG MAKSIMUM SKRIPSI IBNU HARIS LUBIS MATEMATIKA KOMPUTASI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011

2 2 STUDI PERBANDINGAN ALGORITMA PRIM, ALGORITMA KRUSKAL, DAN ALGORITMA SOLLIN DALAM MENENTUKAN POHON MERENTANG MAKSIMUM SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains IBNU HARIS LUBIS MATEMATIKA KOMPUTASI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011

3 3i PERSETUJUAN Judul : STUDI PERBANDINGAN ALGORITMA PRIM, ALGORITMA KRUSKAL, DAN ALGORITMA SOLLIN DALAM MENENTUKAN POHON MERENTANG MAKSIMUM Kategori : SKRIPSI Nama : IBNU HARIS LUBIS Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Komisi Pembimbing : Diluluskan di Medan, Juni 2011 Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs. Sawaluddin, M.IT Prof. Drs. Tulus, M.Si. NIP NIP Diketahui/Disetujui oleh Departeman Matematika FMIPA USU Ketua. Prof. Drs. Tulus, M.Si. NIP

4 ii 4 PERNYATAAN STUDI PERBANDINGAN ALGORITMA PRIM, ALGORITMA KRUSKAL, DAN ALGORITMA SOLLIN DALAM MENENTUKAN MAKSIMUM SPANNING TREE SKRIPSI Saya mengaku bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juni 2011 Ibnu Haris Lubis

5 iii 5 PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, karena atas rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Bapak Drs. Sawaluddin, M.I.T, selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas, padat dan bermanfaat telah diberikan agar saya dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Dra. Mardiningsih, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, Pegawai di FMIPA USU dan teman-teman seangkatan Tidak terlupakan kepada Ayah, Ibunda tercinta dan adik-adik yang selama ini memberikan dukungan dan doa. Spesial terima kasih buat Adinda Nur Aidar atas bantuan dan inspirasinya dari awal hingga selesainya skripsi ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku Novi Yuanda Lubis, Muhammad Haikal, Supardi, Riko Azhari, Irfan Affandi, Taufik Zuhri, dan Abang Abdul Syukur. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Abang dan Kakak stambuk atas nasehat dan bantuannya selama perkuliahan serta Adik stambuk yang memberikan motivasi kepada penulis. Demikian penulis sampaikan, jika ada kesalahan, penulis mengucapkan mohon maaf. Semoga Allah SWT membalas segala budi baik yang telah mereka berikan.

6 iv6 ABSTRAK Hasil penelitian ini merupakan pendeskripsian langkah-langkah dalam menentukan maximum spanning tree dengan menggunakan tiga algoritma. Setelah itu dilanjutkan dengan analisis perbandingan dari tiga algoritma tersebut. Hasil penelitian menunjukkan bahwa bentuk spanning tree dan jumlah bobot merentangnya mempunyai kesamaan untuk setiap graf berbobot tersebut. Yang membedakan antara algoritma Prim, algoritma Kruskal, dan algoritma Sollin adalah algoritmanya berbedabeda sehingga jumlah langkah yang digunakan ketiga algoritma tersebut berbedabeda. Untuk graf G dengan jumlah sisi = 2(p 1) algoritma Sollin paling efektif dan efisien dibandingkan algoritma Prim dan algoritma Kruskal. Untuk graf G dengan jumlah sisi = 2(p 1) namum terdapat sisi yang memiliki bobot yang sama algoritma Prim dan algoritma Sollin paling efektif dan efisien dibandingkan algoritma Kruskal. Untuk graf G dengan jumlah sisi < 2(p 1) algoritma Sollin paling efektif dan efisien dibandingkan algoritma Prim dan algoritma Kruskal. Untuk graf G dengan jumlah sisi > 2(p 1) algoritma Kruskal paling efektif dan efisien dibandingkan algoritma Prim dan algoritma Sollin. Pembahasan mengenai maximum spanning tree ini masih dapat dilanjutkan untuk penelitian maximum spanning tree pada jenis graf yang lain.

7 7v ABSTRACT The result of this research is description of steps in determining minimum spanning tree by using four algorithms. Then is continued with comparative analysis out of the three algorithms. The result of this research indicates that the form of spanning tree and the number of weight spanning it is having equality for every weighted graph. What differentiates between Prim algorithm, Kruskal algorithm, and Sollin algorithm are different so algorithm the that number of steps applied by fourth of algorithms are different. For graph G with number of sides = 2(p - 1), algoritma Sollin is the most efficient and effectively compared to Prim algorithm, and Kruskal algorithm. For graph G with number of sides = 2(p - 1) but there is side having the same weight, Prim algorithm and Sollin algorithm are the most efficient and effectively compared to Kruskal algorithm. For graph G with number of sides < 2(p - 1), Sollin algoritma is more efficient and effectively compared to Prim algorithm, and Kruskal algorithm. For graph G with number of sides > 2(p - 1), Kruskal algorithm is the most efficient and effectively compared to Prim algorithm, and Sollin algorithm. Discussion about the maximum spanning tree admits of continued for research of maximum spanning tree other graphs type.

8 vi 8 DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN... i PERNYATAAN...ii PENGHARGAAN...iii ABSTRAK...iv ABSTRACT... v DAFTAR ISI...vi DAFTAR GAMBAR...vii BAB 1 PENDAHULUAN Latar belakang Perumusan Masalah Pembatasan Masalah Tinjauan Pustaka Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metode Penelitian BAB 2 LANDASAN TEORI Teori Graf Defenisi Graf Macam-macam Graf Terminologi dalam Graf Graf Terhubung, Graf Berbobot, dan Sub-graf Graf Terhubung (Connected Graph) Graf Berbobot (Weighted Graph)... 22

9 Sub Graf Pohon dan Hutan Pohon (Tree) Hutan (Forest) Pohon Merentang dan Pohon Merentang Minimum Defenisi Pohon Merentang (Spanning Tree) Pohon Merentang Maksimum (Maximum Spanning Tree) Algoritma Prim Algoritma Kruskal Algoritma Sollin BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Perhitungan Maximum Spanning Tree Menggunakan Algoritma Prim Perhitungan Maximum Spanning Tree pada graf G dengan banyak edge = 2(p 1) Perhitungan Maximum Spanning Tree pada graf G dengan banyak edge = 2(p 1) dan terdapat edge yang memiliki bobot sama Perhitungan Maximum Spanning Tree pada graf G dengan edge < 2(p-1) Perhitungan Maximum Spanning Tree pada graf G dengan banyak edge > 2(p 1) Perhitungan Maximum Spanning Tree Menggunakan Algoritma Kruskal Perhitungan Maximum Spanning Tree pada Graf G dengan Banyak Sisi = 2(p - 1) Perhitungan Maximum Spanning Tree pada Graf G dengan Banyak Sisi = 2(p 1) dan Terdapat Sisi yang Memiliki Bobot Sama Perhitungan Maximum Spanning Tree pada Graf G dengan Banyak Sisi < 2(p 1) Perhitungan Maximum Spanning Tree pada Graf G dengan Banyak Sisi > 2(p 1) Perhitungan Maximum Spanning Tree Menggunakan Algoritma Sollin... 58

10 Perhitungan Maximum Spanning Tree pada Graf G dengan Banyak Sisi = 2(p 1) Perhitungan Maximum Spanning Tree pada Graf G dengan Banyak Sisi = 2(p 1) dan Terdapat Sisi yang Memiliki Bobot Sama Perhitungan Maximum Spanning Tree pada Graf G dengan Banyak Sisi < 2(p 1) Perhitungan Maximum Spanning Tree pada Graf G dengan Banyak Sisi >2(p 1) Perbandingan BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA... 78

11 11 vii DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Contoh Graf G(6, 9) Gambar 2.2 Graf Terhubung (Connected Graph) Gambar 2.3 Graf Berbobot (Weighted Graph) Gambar 2.4 Graf dan Subgraf-nya Gambar 2.5 Pohon dengan 1, 2, 3, dan 4 verteks Gambar 2.6 G 1 dan G 2 adalah Pohon, sedangkan G 3 dan G 4 bukan Pohon Gambar 2.7 Hutan (Forest) yang terdiri dari tiga buah Pohon (Tree) Gambar 2.8 Graf Lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T 1, T 2, T 3, dan T Gambar 3.1 Graf dengan verteks 8 dan edge Gambar 3.2 Graf dengan verteks 8 dan edge 14 dan ada bobot yang bernilai sama.. 31 Gambar 3.3 Graf dengan verteks 8 dan edge Gambar 3.4 Graf dengan verteks 8 dan edge Gambar 3.5 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Prim pada graf G dengan Banyak Sisi = 2(p 1) Gambar 3.6 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Prim pada graf G dengan Banyak Sisi = 2(p 1) dan terdapat Sisi yang Memiliki Bobot Sama Gambar 3.7 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Prim pada graf G dengan Banyak Sisi < 2(p 1) Gambar 3.8 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Prim pada graf G dengan Banyak Sisi > 2(p 1) Gambar 3.9 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Kruskal pada graf G dengan Banyak Sisi = 2(p 1) Gambar 3.10 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Kruskal pada graf G dengan

12 12 Banyak Sisi = 2(p 1) dan terdapat Sisi yang Memiliki Bobot Sama Gambar 3.11 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Kruskal pada graf G dengan Banyak Sisi < 2(p 1) Gambar 3.12 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Kruskal pada graf G dengan Banyak Sisi > 2(p 1) Gambar 3.13 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Sollin pada graf G dengan Banyak Sisi = 2(p 1) Gambar 3.14 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Sollin pada graf G dengan Banyak Sisi = 2(p 1) dan terdapat Sisi yang Memiliki Bobot Sama Gambar 3.15 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Sollin pada graf G dengan Banyak Sisi < 2(p 1) Gambar 3.14 Maximum Spanning Tree dengan Algoritma Sollin pada graf G dengan Banyak Sisi > 2(p 1)