NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF SIPUT. Shapbian Novindasari 34, Slamin 35, Dafik 36

Transkripsi

1 NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF SIPUT Shapbian Novindasari 4, Slamin 5, Dafik 6 Abstract. Let G=(V,E) be a simple graph, a labeling λ: V E {1,2,, k} is called an edge irregular total k-labelling of G if for any two different edges e and f of G there is, ωt(e) ωt(f). The total edge irregularity strength denoted by tes G is the smallest positive integer k for which G has an edge irregular total k-labelling. In this paper, we will determine the total edge irregularity strengths of a Snail graph, the union isomorphic and non-isomorphic union of Snail graph, and shackle graph of Snail graph. We show that tes(s n ) = n +, for n 1, tes(ms n ) = m(n+7)+2, for n 1 and m 2, tes(s n S r ) = (n+7)+ +(r+7)+2, for n r where n, r natural numbers, and tes(shack(s n, m)) = m(n+7)+2, for n 1 and m 2. Key Words: Total edge irregular labeling, Total edge irregularity strength, Snail graph. PENDAHULUAN Salah satu cabang matematika yang cukup populer yaitu teori graf mengenai pelabelan graf (graph labelling). Terdapat beberapa jenis pelabelan graf, salah satunya adalah pelabelan total sisi irreguler pada graf G yaitu pemberian label bilangan bulat positif (label boleh berulang) dengan nilai label seminimum mungkin pada himpunan titik dan sisi pada graf G sedemikian hingga bobot total di setiap sisinya berbeda serta mengacu pada Teorema berikut, Bača et al (2002), yaitu: E +2 tes(g) E. Dalam penelitian ini akan dicari pelabelan total sisi irregular pada graf Siput dengan mengetahui nilai tes pada graf Siput tunggal, gabungan isomorfis maupun nonisomorfis serta graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput. Graf Siput (Sn) Graf siput adalah salah satu family dari graf siput. Graf ini merupakan salah satu contoh graf (well-defined), yang dinotasikan dengan Sn dimana n merupakan jumlah pasang titik pada punggung graf Siput. Graf Siput dikembangkan dari graf roda (wheel) dan belum memiliki famili graf. Graf Siput memiliki himpunan titik V = {S, N, A, I, L, E, R, Y i, X i ; 1 i n} dan himpunan sisi E = 4 Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember 5 Dosen Program Studi Sistem Informasi Universitas Jember 6 Dosen Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember

2 106 Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal , April 2015 {RE, EY 1, Y i X i, X i Y i+1, X n S, SN, NA, AL, IL, LE, LX i ; 1 i n}. Graf Siput memiliki 2n + 7 titik dan n + 7 sisi. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah deduktif aksiomatik dan pendeteksian pola. Adapun teknik penelitian graf Siput Sn dengan pelabelan total sisi irregular adalah sebagai berikut: (1) menentukan batas bawah dan batas atas dari graf Siput Sn berdasarkan Teorema dasar, (2) menggunakan metode pendeteksian pola untuk melabeli seluruh titik dan sisi pada graf Sn dengan bilangan bulat positif, () memeriksa apakah bobot total di setiap sisi graf Siput sudah berbeda, (4) menentukan formulasi yang berupa fungsi yang memetakan himpunan titik dan himpunan sisi pada bilangan bulat positif, (5) menentukan nilai tes(s n ), untuk n 1 dengan menggunakan batas atas dan batas bawah yang sudah diperoleh, (6) melakukan langkah yang sama seperti di atas untuk menentukan nilai tes pada gabungan graf Siput isomorfis, non-isomorfis dan graf belenggu (shackle graph) dengan batasan yang sudah ditentukan. HASIL DAN PEMBAHASAN Langkah awal dalam menentukan pelabelan total sisi irregular adalah menentukan jumlah sisi pada graf yang diteliti, menentukan batas bawah, menentukan label titik dan label sisi sehingga didapat bobot total sisi yang berbeda pada graf Siput dan gabungan yang isomorfis dan non-isomorfis serta graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput. Teorema 1: Nilai ketakteraturan total sisi pada graf Siput tunggal adalah tes(s n ) = n +, untuk n 1. Bukti: Akan dibuktikan batas bawah tes(s n ), yaitu tes(s n ) (n+7)+2 berdasarkan Teorema dasar, dengan mensubstitusikan jumlah sisi S n = (n + 7) maka didapat tes(s n ) E +2 = (n+7)+2 = n +. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa batas atas dari tes(s n ) dengan melabeli seluruh titik dan sisi pada graf Siput S n dengan formulasi pelabelan sebagai berikut. Label titik λ(s) =

3 Shapbian dkk: Nilai Ketakteraturan Total Sisi Dari Graf 107 λ(n) = λ(a) = 2 λ(i) = λ(l) = 1 λ(e) = λ(r) = n + λ(x i ) = n + i, λ(y i ) = n + 4 i, Label sisi λ(li) = λ(la) = λ(le) = 1 λ(lx i ) = 1, λ(er) = n + λ(ey 1 ) = λ(x n S) = λ(na) = λ(sn) = n + 2 λ(y i X i ) = n + 2, λ(x i Y i+1 ) = n + 2, 1 Berdasarkan label titik dan sisi di atas maka dapat ditentukan formulasi bobot total di setiap sisi yaitu: ω(li) = ω(la) = 4 ω(lx i ) = n + 5 i, ω(le) = n + 5 ω(na) = n + 6 ω(sn) = n + 7 ω(x n S) = n + 8 ω(y i X i ) = n + 9 2i, ω(x i Y i+1 ) = n i, 1 ω(ey 1 ) = n + 8 ω(er) = n + 9 Dari formula di atas, nilai label terbesarnya adalah n +, dimana nilai tersebut merupakan nilai tes(s n ). Jadi batas atas tes(s n ) sama dengan batas bawahnya, sehingga terbukti bahwa tes(s n ) = n +, untuk n 1. Selanjutnya akan disajikan teorema tentang nilai ketakteraturan total sisi dari gabungan saling lepas graf Siput isomorfis.

4 108 Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal , April 2015 Teorema 2: Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan saling lepas graf Siput isomorfis adalah tes(ms n ) = m(n+7)+2, untuk n 1 dan m 2. Bukti: Akan dibuktikan batas bawah tes(ms n ), yaitu tes(ms n ) m(n+7)+2 berdasarkan Teorema dasar, dengan mensubstitusikan jumlah sisi E(mS n ) = m(n + 7) maka didapat tes(ms n ) E +2 = m(n+7)+2. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa batas atas dari tes(ms n ) dengan melabeli seluruh titik dan sisi pada gabungan graf Siput isomofis ms n dengan formulasi pelabelan sebagai berikut untuk 2 k m. Label titik γ(s k ) = λ(s) + (k 1)(n+7) γ(n k ) = λ(n) + (k 1)(n+7) γ(a k ) = λ(a) + (k 1)(n+7) γ(i k ) = λ(i) + (k 1)(n+7) γ(l k ) = λ(l) + (k 1)(n+7) γ(e k ) = λ(e) + (k 1)(n+7) γ(r k ) = λ(r) + (k 1)(n+7) γ(x k i ) = λ(x i ) + (k 1)(n+7), γ(y k i ) = λ(y i ) + (k 1)(n+7), Label sisi γ(l k I k ) = λ(li) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7) γ(l k A k ) = λ(la) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7) γ(l k E k ) = λ(le) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7) γ(l k X k i ) = λ(lx i ) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7), γ(e k R k ) = λ(er) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7) γ(e k Y k 1 ) = λ(ey 1 ) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7)

5 Shapbian dkk: Nilai Ketakteraturan Total Sisi Dari Graf 109 γ(x k n S k ) = λ(x n S) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7) γ(n k A k ) = λ(na) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7) γ(s k N k ) = λ(sn) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7) γ(y k i X k i ) = λ(y i X i ) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7), γ(x k i Y k i+1 1,2,, n 1 ) = λ(x i Y i+1 ) + (k 1)(n + 7) 2 (k 1)(n+7), i = Berdasarkan label titik dan sisi di atas maka dapat ditentukan formulasi bobot total di setiap sisi untuk 2 k m, yaitu: ω(l k I k ) = ω(li) + (k 1)(n + 7) ω(l k A k ) = ω(la) + (k 1)(n + 7) ω(l k X i k ) = ω(lx i ) + (k 1)(n + 7), ω(l k E k ) = ω(le) + (k 1)(n + 7) ω(n k A k ) = ω(na) + (k 1)(n + 7) ω(s k N k ) = ω(sn) + (k 1)(n + 7) ω(x n k S k ) = ω(x n S) + (k 1)(n + 7) ω(y i k X i k ) = ω(y i X i ) + (k 1)(n + 7), ω(x k i Y k i+1 ) = ω(x i Y i+1 ) + (k 1)(n + 7), 1 ω(e k Y 1 k ) = ω(ey 1 ) + (k 1)(n + 7) ω(e k R k ) = ω(er) + (k 1)(n + 7) Dari formula di atas, nilai label terbesarnya adalah m(n+7)+2, dimana nilai tersebut merupakan nilai tes(ms n ). Jadi batas atas tes(ms n ) sama dengan batas bawahnya, sehingga terbukti bahwa tes(ms n ) = m(n+7)+2, untuk n 1 dan m 2. Teorema selanjutnya yang akan dibuktikan tentang nilai ketakteraturan total sisi dari gabungan saling lepas non-isomorfis, yaitu: Teorema : Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan saling lepas graf Siput nonisomorfis adalah tes(s n S r ) = (n+7)+ +(r+7)+2, untuk n r dimana n, r bilangan asli.

6 110 Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal , April 2015 Bukti: Akan dibuktikan batas bawah dari gabungan saling lepas graf Siput nonisomorfis, yaitu tes(s n S r ) (n+7)+ +(r+7)+2 berdasarkan Teorema dasar, dengan mensubstitusikan jumlah sisi E(S n S r ) = (n + 7) + + (r + 7) maka terbukti tes(s n S r ) E +2 = (n+7)+ +(r+7)+2. Kemudian akan dibuktikan bahwa batas atas dari tes, yaitu tes(s n S r ) (n+7)+ +(r+7)+2 dengan melabeli seluruh titik dan sisi pada gabungan saling lepas graf Siput non-isomorfis. Berikut ini merupakan formulasi pelabelan pada sembarang bagian graf Siput dalam gabungan non-isomorfisnya (S n S p S q S r ), misalkan pada bagian S q : Label titik β(s q ) = λ(s) + (p+7)+ +(q+7) + n q β(n q ) = λ(n) + (p+7)+ +(q+7) + n q β(a q ) = λ(a) + (p+7)+ +(q+7) + n q β(i q ) = λ(i) + (p+7)+ +(q+7) + n q β(l q ) = λ(l) + (p+7)+ +(q+7) + n q β(e q ) = λ(e) + (p+7)+ +(q+7) β(r q ) = λ(r) + (p+7)+ +(q+7) β(x k i ) = λ(x i ) + (p+7)+ +(q+7), β(y k i ) = λ(y i ) + (p+7)+ +(q+7), Label sisi β(l q I q ) = λ(li) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7) + n q β(l q A q ) = λ(la) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7) + n q β(l q E q ) = λ(le) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7) + n q β(l q X q i ) = λ(lx i ) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7) + n q,

7 Shapbian dkk: Nilai Ketakteraturan Total Sisi Dari Graf 111 β(e q R q ) = λ(er) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7) β(e q Y q 1 ) = λ(ey i ) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7) β(x q n S q ) = λ(x n S) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7) β(n q A q ) = λ(na) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7) β(s q N q ) = λ(sn) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7) β(y q i X q i ) = λ(y i X i ) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7), β(x q i Y q i+1 ) = λ(x i Y i+1 ) + (p + 7) + + (q + 7) 2 (p+7)+ +(q+7), 1 Berdasarkan label titik dan sisi di atas maka dapat ditentukan formulasi bobot total di setiap sisi, yaitu: ω(l q I q ) = ω(li) + (p + 7) + + (q + 7) ω(l q A q ) = ω(la) + (p + 7) + + (q + 7) ω(l q X i q ) = ω(lx i ) + (p + 7) + + (q + 7), ω(l q E q ) = ω(le) + (p + 7) + + (q + 7) ω(n q A q ) = ω(na) + (p + 7) + + (q + 7) ω(s q N q ) = ω(sn) + (p + 7) + + (q + 7) ω(x n q S q ) = ω(x n S) + (p + 7) + + (q + 7) ω(y i q X i q ) = ω(y i X i ) + (p + 7) + + (q + 7), ω(x q i Y q i+1 ) = ω(x i Y i+1 ) + (p + 7) + + (q + 7), 1 ω(e q Y 1 q ) = ω(ey i ) + (p + 7) + + (q + 7) ω(e q R q ) = ω(er) + (p + 7) + + (q + 7) Dari formula di atas, nilai label terbesarnya adalah (n+7)+ +(r+7)+2, dimana nilai tersebut merupakan nilai tes(s n S r ). Jadi batas atas tes(s n S r ) sama dengan batas bawahnya, sehingga terbukti bahwa tes(s n S r ) = (n+7)+ +(r+7)+2, untuk n r dimana n, r bilangan asli. Teorema selanjutnya yang akan dibuktikan yaitu tentang nilai ketakteraturan total sisi pada graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput.

8 112 Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal , April 2015 Teorema 4: Nilai ketakteraturan total sisi pada graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput adalah tes(shack(s n, m)) = m(n+7)+2, untuk n 1 dan m 2. Bukti: Akan dibuktikan batas bawah yaitu tes(shack(s n, m)) m(n+7)+2 berdasarkan Teorema dasar, dengan mensubstitusikan jumlah sisi m(n + 7) maka didapat tes(shack(s n, m)) E +2 = m(n+7)+2. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa batas atas dari tes(shack(s n, m)) dengan cara melabeli seluruh titik dan sisi pada graf belenggu dari graf Siput dengan formulasi pelabelan sebagai berikut. Label titik σ(s k ) = λ(s) + (k 1)(n+7) σ(n k ) = λ(n) + (k 1)(n+7) σ(a k ) = λ(a) + (k 1)(n+7) σ(i k ) = λ(i) + (k 1)(n+7) σ(l k ) = λ(l) + (k 1)(n+7) σ(e k ) = λ(e) + (k 1)(n+7) σ(r k ) = λ(r) + (k 1)(n+7) σ(x k i ) = λ(x i ) + (k 1)(n+7), σ(y k i ) = λ(y i ) + (k 1)(n+7), Label sisi σ(i 1 L 1 ) = 1 σ(l k A k ) = σ(l k E k ) = k(n + 7) 2 k(n+7)+2 n σ(l k X k i ) = k(n + 7) 2 k(n+7)+2 n, σ(e k R k ) = k(n + 7) 2 k(n+7) σ(e k Y 1 k ) = σ(x n k S k ) = σ(n k A k ) = σ(s k N k ) = k(n + 7) 2 k(n+7)+2 + 1

9 Shapbian dkk: Nilai Ketakteraturan Total Sisi Dari Graf 11 σ(y k i X k i ) = k(n + 7) 2 k(n+7)+2 + 1, σ(x k i Y k i+1 1,2,, n 1 ) = k(n + 7) 2 k(n+7)+2 + 1, i = σ(r k 1 L k ) = (k 1)(n + 7) (k 1)(n+7)+2 k(n+7)+2 + n + 5 Berdasarkan label titik dan sisi di atas maka dapat ditentukan formulasi bobot total di setiap sisi, yaitu: ω(l 1 I) = ω(r k 1 L k ) = k(n + 7) n 4 ω(l k A k ) = k(n + 7) n ω(l k X i k ) = k(n + 7) 2n 2 i ω(l k E k ) = k(n + 7) 2n 2 ω(n k A k ) = k(n + 7) 2n 1 ω(s k N k ) = k(n + 7) 2n ω(x n k S k ) = k(n + 7) 2n + 1 ω(y i k X i k ) = k(n + 7) + 2 2i ω(x k i Y k i+1 ) = k(n + 7) + 2i ω(e k Y 1 k ) = k(n + 7) + 1 ω(e k R k ) = k(n + 7) + 2 Dari formula di atas, nilai label terbesarnya adalah m(n+7)+2, dimana nilai tersebut merupakan nilai dari tes(shack(s n, m)). Jadi batas atas tes(shack(s n, m)) sama dengan batas bawahnya, sehingga terbukti bahwa tes(shack(s n, m)) = m(n+7)+2, untuk n 1 dan m 2. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Nilai ketakteraturan total sisi pada graf Siput tunggal tes(s n ) = n +, untuk n 1; 2. Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan saling lepas graf Siput isomorfis adalah tes(ms n ) = m(n+7)+2, untuk n 1 dan m 2;

10 114 Kadikma, Vol. 6, No. 1, hal , April Nilai ketakteraturan total sisi pada gabungan saling lepas graf Siput nonisomorfis adalah tes(s n S r ) = (n+7)+ +(r+7)+2, untuk n r dimana n, r bilangan asli; 4. Nilai ketakteraturan total sisi pada graf belenggu (shackle graph) dari graf Siput adalah tes(shack(s n, m)) = m(n+7)+2, untuk n 1 dan m 2. DAFTAR PUSTAKA Ba ca, M., Jendrol., Miller,M. dan Ryan,J On Irregular Total Labelling. Discrete Mathematics, 07(1): Inayah, N Pelabelan (a,d)-h Anti Ajaib pada Beberapa Kelas Graf. Disertasi. Bandung: Institut Teknologi Bandung. Maryati, T.K., Salman, A.N.M., Baskoro, E.T., Ryan, J., dan Miller, M On H- Supermagic Labellings for Certain Shakles and Amalgamations of a Connected Graph. Discrete Mathematica. Slamin DESAIN JARINGAN: Pendekatan Teori Graf. Jember: Jember University Press.